Измеряемое пространство - Measurable space

В математика, а измеримое пространство или Борелевское пространство^[1] это базовый объект в теория меры. Он состоит из набор и σ-алгебра, что определяет подмножества что будет измерено.

Определение

Рассмотрим набор ${ displaystyle X}$ и σ-алгебра ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ на ${ displaystyle X}$ . Тогда кортеж ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$ называется измеримым пространством.^[2]

Обратите внимание, что в отличие от измерить пространство, нет мера необходим для измеримого пространства.

пример

Посмотри на набор

{ Displaystyle X = {1,2,3 }.}

Один возможный ${ displaystyle sigma}$ -алгебра была бы

{ displaystyle { mathcal {A}} _ {1} = {X, emptyset }.}

потом ${ displaystyle (X, { mathcal {A}} _ {1})}$ измеримое пространство. Другой возможный ${ displaystyle sigma}$ -алгебра была бы набор мощности на ${ displaystyle X}$ :

{ displaystyle { mathcal {A}} _ {2} = { mathcal {P}} (X).}

При этом второе измеримое пространство на множестве ${ displaystyle X}$ дан кем-то ${ displaystyle (X, { mathcal {A}} _ {2})}$ .

Общие измеримые пространства

Если ${ displaystyle X}$ конечна или счетно бесконечна, ${ displaystyle sigma}$ -алгебра в большинстве случаев набор мощности на ${ displaystyle X}$ , так ${ Displaystyle { mathcal {A}} = { mathcal {P}} (X)}$ . Это приводит к измеримому пространству ${ Displaystyle (Х, { mathcal {P}} (X))}$ .

Если ${ displaystyle X}$ это топологическое пространство, то ${ displaystyle sigma}$ -алгебра чаще всего Борель ${ displaystyle sigma}$ -алгебра ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ , так ${ Displaystyle { mathcal {A}} = { mathcal {B}} (X)}$ . Это приводит к измеримому пространству ${ Displaystyle (Х, { mathcal {B}} (X))}$ что является общим для всех топологических пространств, таких как действительные числа ${ Displaystyle mathbb {R}}$ .

Неоднозначность с борелевскими пространствами

Термин борелевское пространство используется для обозначения различных типов измеримых пространств. Это может относиться к

любое измеримое пространство, поэтому оно является синонимом измеримого пространства, как определено выше ^[1]
измеримое пространство, которое Борелевский изоморфный измеримому подмножеству действительных чисел (опять же с борелевским ${ displaystyle sigma}$ -алгебра)^[3]

использованная литература

^ ^а ^б Сазонов, В. (2001) [1994], «Измеримое пространство», Энциклопедия математики, EMS Press
^ Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п.18. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
^ Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Теория вероятностей и стохастическое моделирование. 77. Швейцария: Спрингер. п. 15. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[eommeasurablespace-1] а ^б Сазонов, В. (2001) [1994], «Измеримое пространство», Энциклопедия математики, EMS Press

[Klenke18-2] Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п.18. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[Kallenberg15-3] Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Теория вероятностей и стохастическое моделирование. 77. Швейцария: Спрингер. п. 15. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[1]

[2]

[3]