Измерьте пространство - Measure space

А измерить пространство является основным объектом теория меры, филиал математика который изучает обобщенные представления о тома. Он содержит базовый набор, подмножества этого набора, которые можно измерить ( σ-алгебра ) и метод, используемый для измерения ( мера ). Одним из важных примеров мерного пространства является вероятностное пространство.

А измеримое пространство состоит из первых двух компонентов без конкретных мер.

Определение

Пространство меры - это тройка ${ displaystyle (X, { mathcal {A}}, mu),}$ где^[1][2]

• ${ displaystyle X}$ это набор
• ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ это σ-алгебра на съемочной площадке ${ displaystyle X}$
• ${ displaystyle mu}$ это мера на ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$

пример

Набор ${ Displaystyle X = {0,1 }}$. В ${ textstyle sigma}$-алгебра на конечных множествах, таких как приведенная выше, обычно набор мощности, который является множеством всех подмножеств (данного множества) и обозначается ${ textstyle { mathcal {P}} ( cdot)}$. Придерживаясь этого соглашения, мы устанавливаем

${ Displaystyle { mathcal {A}} = { mathcal {P}} (X)}$

В этом простом случае набор мощности можно записать явно:

${ displaystyle { mathcal {P}} (X) = { emptyset, {0 }, {1 }, X }.}$

В качестве меры определим ${ textstyle mu}$ от

${ Displaystyle му ( {0 }) = му ( {1 }) = { гидроразрыва {1} {2}},}$

так ${ textstyle mu (X) = 1}$ (по аддитивности мер) и ${ textstyle му ( emptyset) = 0}$ (по определению мер).

Это приводит к измерению пространства ${ textstyle (Х, { mathcal {P}} (X), mu)}$. Это вероятностное пространство, поскольку ${ textstyle mu (X) = 1}$. Мера ${ textstyle mu}$ соответствует Распределение Бернулли с участием ${ textstyle p = { frac {1} {2}}}$, который, например, используется для моделирования честного подбрасывания монеты.

Важные классы пространств с мерой

Наиболее важные классы пространств мер определяются свойствами связанных с ними мер. Это включает в себя

• Пространства вероятностей, пространство меры, где мера вероятностная мера^[1]
• Пространства конечной меры, где мера конечная мера^[3]
• ${ displaystyle sigma}$-пространства конечной меры, где мера ${ displaystyle sigma}$-конечная мера^[3]

Другой класс пространств с мерой - это полные пространства мер.^[4]

использованная литература