Квантовая теория поля - Википедия - Quantum field theory

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Море Дирака Теория возмущений Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Квантовая геометрия Полуклассическая гравитация Отжим пена Теория струн Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая гравитация Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин

В теоретическая физика, квантовая теория поля (QFT) представляет собой теоретическую основу, объединяющую классическая теория поля, специальная теория относительности и квантовая механика,^[1]:xi но нет общая теория относительности описание сила тяжести. QFT используется в физика элементарных частиц строить физические модели из субатомные частицы И в физика конденсированного состояния построить модели квазичастицы.

QFT рассматривает частицы как возбужденные состояния (также называемый кванты ) лежащей в их основе квантовой поля, которые более фундаментальны, чем частицы. Взаимодействия между частицами описываются членами взаимодействия в Лагранжиан с их соответствующими квантовыми полями. Каждое взаимодействие может быть визуально представлено Диаграммы Фейнмана в соответствии с теория возмущений в квантовой механике.

История

В качестве успешной теоретической основы сегодня квантовая теория поля возникла в результате работы поколений физиков-теоретиков на протяжении большей части 20 века. Его разработка началась в 1920-х годах с описания взаимодействия между свет и электроны, кульминацией которой стала первая квантовая теория поля -квантовая электродинамика. Вскоре последовало серьезное теоретическое препятствие с появлением и сохранением различных бесконечностей в пертурбативных вычислениях, проблема была решена только в 1950-х годах с изобретением перенормировка процедура. Вторым серьезным препятствием стала очевидная неспособность QFT описать слабый и сильные взаимодействия, до такой степени, что некоторые теоретики призывали отказаться от теоретико-полевого подхода. Развитие калибровочная теория и завершение Стандартная модель в 1970-е годы привели к возрождению квантовой теории поля.

Теоретические основы

Силовые линии магнитного поля визуализировано с использованием железные опилки. Когда лист бумаги посыпают железными опилками и помещают над стержневым магнитом, опилки выравниваются в соответствии с направлением магнитного поля, образуя дуги.

Квантовая теория поля - это результат комбинации классическая теория поля, квантовая механика, и специальная теория относительности.^[1]:xi Уместен краткий обзор этих теоретических предшественников.

Самая ранняя успешная классическая теория поля возникла из Закон всемирного тяготения Ньютона, несмотря на полное отсутствие понятия полей в его трактате 1687 г. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Сила тяжести, описанная Ньютоном, есть "действие на расстоянии "- его воздействие на далекие объекты происходит мгновенно, независимо от расстояния. При обмене письмами с Ричард Бентли однако Ньютон утверждал, что «немыслимо, чтобы неодушевленная грубая материя без посредничества чего-то еще, что не является материальным, воздействовала на другую материю без взаимного контакта».^[2]:4 Лишь в XVIII веке физики-математики открыли удобное описание гравитации на основе полей - числовую величину ( вектор ), присвоенный каждой точке пространства, указывающий на действие гравитации на любую частицу в этой точке. Однако это считалось просто математическим трюком.^[3]:18

Поля начали обретать собственное существование с развитием электромагнетизм в 19 ​​веке. Майкл Фарадей ввел в употребление английский термин «поле» в 1845 году. Он ввел поля как свойства пространства (даже если оно лишено материи), имеющее физические эффекты. Он выступал против «действия на расстоянии» и предполагал, что взаимодействия между объектами происходят через заполняющие пространство «силовые линии». Это описание полей сохранилось по сей день.^{[2][4]:301[5]:2}

Теория классический электромагнетизм был завершен в 1864 г. Уравнения Максвелла, который описал взаимосвязь между электрическое поле, то магнитное поле, электрический ток, и электрический заряд. Уравнения Максвелла подразумевали существование электромагнитные волны, явление, при котором электрические и магнитные поля распространяются из одной пространственной точки в другую с конечной скоростью, которая оказывается скорость света. Таким образом, действие на расстоянии было окончательно опровергнуто.^[2]:19

Несмотря на огромный успех классического электромагнетизма, он не смог учесть дискретные линии в атомные спектры, ни для распределения излучение черного тела на разных длинах волн.^[6] Макс Планк Исследование излучения черного тела положило начало квантовой механике. Он рассматривал атомы, которые поглощают и излучают электромагнитное излучение, как крошечные генераторы с решающим свойством, что их энергия может принимать только серию дискретных, а не непрерывных значений. Они известны как квантовые гармонические осцилляторы. Этот процесс ограничения энергии дискретными значениями называется квантованием.^{[7]:Глава 2} Основываясь на этой идее, Альберт Эйнштейн предложил в 1905 г. объяснение фотоэлектрический эффект, этот свет состоит из отдельных пакетов энергии, называемых фотоны (кванты света). Это означало, что электромагнитное излучение, будучи волнами в классическом электромагнитном поле, также существует в форме частиц.^[6]

В 1913 г. Нильс Бор представил Модель Бора атомной структуры, при этом электроны внутри атомы могут принимать только серию дискретных, а не непрерывных энергий. Это еще один пример квантования. Модель Бора успешно объяснила дискретную природу атомных спектральных линий. В 1924 г. Луи де Бройль предложил гипотезу волновая дуальность, что микроскопические частицы проявляют как волнообразные, так и корпускулярные свойства при различных обстоятельствах.^[6] Объединяя эти разрозненные идеи, единая дисциплина, квантовая механика, была сформулирована в период с 1925 по 1926 год с важным вкладом Макс Планк, де Бройль, Вернер Гейзенберг, Макс Борн, Эрвин Шредингер, Поль Дирак, и Вольфганг Паули.^[3]:22-23

В том же году, когда была опубликована статья о фотоэлектрическом эффекте, Эйнштейн опубликовал свою теорию специальная теория относительности, построенный на электромагнетизме Максвелла. Новые правила, называемые Преобразование Лоренца, были заданы способ изменения временных и пространственных координат события при изменении скорости наблюдателя, и различие между временем и пространством было размыто.^[3]:19 Было предложено, что все физические законы должны быть одинаковыми для наблюдателей с разными скоростями, т.е. что физические законы инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Остались две трудности. Наблюдательно Уравнение Шредингера лежащая в основе квантовой механики может объяснить стимулированное излучение излучения атомов, когда электрон испускает новый фотон под действием внешнего электромагнитного поля, но это не могло объяснить спонтанное излучение, где электрон самопроизвольно убывает в энергии и излучает фотон даже без действия внешнего электромагнитного поля. Теоретически уравнение Шредингера не могло описывать фотоны и несовместимо с принципами специальной теории относительности - оно рассматривает время как обычное число, в то же время продвигая пространственные координаты к линейные операторы.^[6]

Квантовая электродинамика

Квантовая теория поля естественно началась с изучения электромагнитных взаимодействий, поскольку электромагнитное поле было единственным известным классическим полем с 1920-х годов.^[8]:1

Через работы Борна, Гейзенберга и Паскуаль Джордан в 1925–1926 гг. была разработана квантовая теория свободного электромагнитного поля (не взаимодействующего с веществом) через каноническое квантование рассматривая электромагнитное поле как набор квантовые гармонические осцилляторы.^[8]:1 Однако, за исключением взаимодействий, такая теория все еще была неспособна делать количественные прогнозы о реальном мире.^[3]:22

В своей основополагающей статье 1927 г. Квантовая теория излучения и поглощения излучения, Дирак ввел термин квантовая электродинамика (QED), теория, которая добавляет к членам, описывающим свободное электромагнитное поле, дополнительный член взаимодействия между электрическими плотность тока и электромагнитный векторный потенциал. Использование первого порядка теория возмущений, он успешно объяснил явление спонтанного излучения. Согласно принцип неопределенности в квантовой механике квантовые гармонические осцилляторы не могут оставаться неподвижными, но они имеют ненулевой минимум энергии и всегда должны колебаться, даже в состоянии с самой низкой энергией ( основное состояние ). Поэтому даже в идеальном вакуум, остается колеблющееся электромагнитное поле, имеющее энергия нулевой точки. Это это квантовая флуктуация электромагнитных полей в вакууме, которые «стимулируют» спонтанное излучение электронов в атомах. Теория Дирака оказалась чрезвычайно успешной в объяснении как испускания, так и поглощения излучения атомами; применяя теорию возмущений второго порядка, он смог учесть рассеяние фотонов, резонансная флуоресценция, а также нерелятивистские Комптоновское рассеяние. Тем не менее, применение теории возмущений более высокого порядка сопровождалось проблематичными бесконечностями в вычислениях.^[6]:71

В 1928 году Дирак написал волновое уравнение описывающего релятивистские электроны - Уравнение Дирака. Это имело следующие важные последствия: вращение электрона 1/2; электрон грамм-фактор равно 2; это привело к правильной формуле Зоммерфельда для тонкая структура из атом водорода; и его можно использовать для получения Формула Клейна – Нишина для релятивистского комптоновского рассеяния. Хотя результаты были плодотворными, теория также, по-видимому, предполагала существование состояний с отрицательной энергией, которые могли бы сделать атомы нестабильными, так как они всегда могли распадаться на состояния с более низкой энергией путем испускания излучения.^[6]:71–72

В то время преобладало мнение, что мир состоит из двух очень разных ингредиентов: материальных частиц (таких как электроны) и квантовые поля (например, фотоны). Материальные частицы считались вечными, а их физическое состояние описывалось вероятностями нахождения каждой частицы в любой заданной области пространства или диапазоне скоростей. С другой стороны, фотоны считались просто возбужденные состояния лежащего в основе квантованного электромагнитного поля, и может свободно создаваться или разрушаться. Это было между 1928 и 1930 годами, когда Иордания, Юджин Вигнер, Гейзенберг, Паули и Энрико Ферми обнаружил, что материальные частицы также можно рассматривать как возбужденные состояния квантовых полей. Как фотоны являются возбужденными состояниями квантованного электромагнитного поля, так и каждому типу частиц соответствует соответствующее квантовое поле: электронное поле, протонное поле и т. Д. При наличии достаточной энергии теперь можно создавать материальные частицы. Основываясь на этой идее, Ферми в 1932 году предложил объяснение бета-распад известный как Взаимодействие Ферми. Атомные ядра не содержат электронов как таковой, но в процессе распада электрон создается из окружающего электронного поля, аналогично фотону, создаваемому из окружающего электромагнитного поля при радиационном распаде возбужденного атома.^[3]:22-23

В 1929 году Дирак и другие поняли, что состояния с отрицательной энергией, подразумеваемые уравнением Дирака, могут быть устранены, если предположить существование частиц с такой же массой, что и электроны, но с противоположным электрическим зарядом. Это не только обеспечило стабильность атомов, но и стало первым предположением о существовании антивещество. Действительно, доказательства для позитроны был открыт в 1932 году Карл Дэвид Андерсон в космические лучи. При достаточном количестве энергии, например, при поглощении фотона, может быть создана электрон-позитронная пара, процесс, называемый парное производство; обратный процесс, аннигиляция, также может происходить с испусканием фотона. Это показало, что нет необходимости фиксировать количество частиц во время взаимодействия. Однако исторически позитроны сначала рассматривались как «дыры» в бесконечном электронном море, а не как частица нового типа, и эта теория получила название Теория дыр Дирака.^[6]:72[3]:23 QFT естественным образом включила в свой формализм античастицы.^[3]:24

Бесконечности и перенормировка

Роберт Оппенгеймер показали в 1930 году, что пертурбативные вычисления более высокого порядка в КЭД всегда приводят к бесконечным величинам, таким как электронная собственная энергия и нулевую энергию вакуума электронного и фотонного полей,^[6] предполагая, что вычислительные методы в то время не могли должным образом справляться с взаимодействиями с участием фотонов с чрезвычайно высокими импульсами.^[3]:25 Систематический подход к устранению таких бесконечностей был разработан только 20 лет спустя.

С 1934 по 1938 год был опубликован ряд статей. Эрнст Штюкельберг это установило релятивистски инвариантную формулировку КТП. В 1947 году Штюкельберг также независимо разработал полную процедуру перенормировки. К сожалению, такие достижения не были поняты и признаны теоретическим сообществом.^[6]

Столкнувшись с этими бесконечностями, Джон Арчибальд Уиллер и Гейзенберг предложили в 1937 и 1943 годах соответственно заменить проблемную КТП так называемой Теория S-матрицы. Поскольку конкретные детали микроскопических взаимодействий недоступны для наблюдений, теория должна пытаться описать только отношения между небольшим числом наблюдаемые (например энергия атома) во взаимодействии, а не заниматься микроскопическими мелочами взаимодействия. В 1945 г. Ричард Фейнман и Уиллер смело предложил отказаться от QFT и предложил действие на расстоянии как механизм взаимодействия частиц.^[3]:26

В 1947 г. Уиллис Лэмб и Роберт Ретерфорд измерил минутную разницу в ²S_1/2 и ²п_1/2 энергетические уровни атома водорода, также называемые Баранина сдвиг. Пренебрегая вкладом фотонов, энергия которых превышает массу электрона, Ганс Бете успешно оценил численное значение сдвига Лэмба.^[6][3]:28 Впоследствии Норман Майлз Кролл, Ягненок, Джеймс Брюс Френч, и Виктор Вайскопф снова подтвердил это значение, используя подход, в котором бесконечности отменяли другие бесконечности, чтобы в результате были конечные количества. Однако этот метод был неуклюжим и ненадежным, и его нельзя было обобщить на другие вычисления.^[6]

Прорыв в конечном итоге произошел примерно в 1950 году, когда был разработан более надежный метод устранения бесконечностей. Джулиан Швингер, Фейнман, Фриман Дайсон, и Шиничиро Томонага. Основная идея - заменить исходные, так называемые «голые» параметры (масса, электрический заряд и т. Д.), Не имеющие физического смысла, их конечными измеренными значениями. Чтобы отменить кажущиеся бесконечными параметры, нужно ввести в лагранжиан дополнительные бесконечные «контрчлены». Эта систематическая вычислительная процедура известна как перенормировка и может применяться к произвольному порядку в теории возмущений.^[6]

Применив процедуру перенормировки, наконец, были произведены расчеты, объясняющие аномальный магнитный момент (отклонение электрона грамм-фактор из 2) и поляризация вакуума. Эти результаты в значительной степени совпадали с экспериментальными измерениями, что знаменовало конец «войны с бесконечностями».^[6]

В то же время Фейнман представил формулировка интеграла по путям квантовой механики и Диаграммы Фейнмана.^[8]:2 Последний может использоваться для визуальной и интуитивной организации и для помощи в вычислении членов пертурбативного расширения. Каждую диаграмму можно интерпретировать как пути частиц во взаимодействии, причем каждая вершина и линия имеют соответствующее математическое выражение, а произведение этих выражений дает амплитуда рассеяния взаимодействия, представленного диаграммой.^[1]:5

Именно с изобретением процедуры перенормировки и диаграмм Фейнмана КТП, наконец, возникла как законченная теоретическая основа.^[8]:2

Неперенормируемость

Учитывая огромный успех КЭД, многие теоретики в течение нескольких лет после 1949 года полагали, что КТП вскоре сможет обеспечить понимание всех микроскопических явлений, а не только взаимодействий между фотонами, электронами и позитронами. Вопреки этому оптимизму, QFT вступила в очередной период депрессии, который длился почти два десятилетия.^[3]:30

Первым препятствием была ограниченная применимость процедуры перенормировки. В пертурбативных вычислениях в КЭД все бесконечные величины могут быть исключены путем переопределения небольшого (конечного) числа физических величин (а именно массы и заряда электрона). Дайсон доказал в 1949 году, что это возможно только для небольшого класса теорий, называемых «перенормируемые теории», примером которых является КЭД. Однако большинство теорий, в том числе Теория Ферми из слабое взаимодействие, являются «неперенормируемыми». Любое пертурбативное вычисление в этих теориях, выходящее за рамки первого порядка, приведет к бесконечностям, которые нельзя удалить, переопределив конечное число физических величин.^[3]:30

Вторая серьезная проблема проистекает из ограниченной применимости метода диаграмм Фейнмана, который основан на разложении в ряд в теории возмущений. Для того, чтобы ряды сходились и вычисления низкого порядка были хорошим приближением, константа связи, в котором серия расширяется, должно быть достаточно малым числом. Константа связи в КЭД - это постоянная тонкой структуры α ≈ 1/137, который достаточно мал, чтобы в реалистичных расчетах учитывались только простейшие диаграммы Фейнмана низшего порядка. Напротив, константа связи в сильное взаимодействие примерно порядка единицы, что делает сложные диаграммы Фейнмана более высокого порядка столь же важными, как и простые. Таким образом, не было возможности получить надежные количественные прогнозы для сильного взаимодействия с использованием пертурбативных методов КТП.^[3]:31

Когда возникли эти трудности, многие теоретики начали отворачиваться от QFT. Некоторые сосредоточились на симметрия принципы и законы сохранения, в то время как другие подхватили старую теорию S-матрицы Уиллера и Гейзенберга. QFT использовалась эвристически как руководящие принципы, но не как основа для количественных расчетов.^[3]:31

Стандартная модель

Элементарные частицы из Стандартная модель: шесть видов кварки, шесть видов лептоны, четыре типа калибровочные бозоны которые несут фундаментальные взаимодействия, так же хорошо как бозон Хиггса, которые наделяют элементарные частицы массой.

В 1954 г. Ян Чен-Нин и Роберт Миллс обобщил локальная симметрия QED, что привело к неабелевы калибровочные теории (также известные как теории Янга – Миллса), которые основаны на более сложных локальных группы симметрии.^[9]:5 В КЭД (электрически) заряженные частицы взаимодействуют посредством обмена фотонами, тогда как в неабелевой калибровочной теории частицы, несущие новый тип "обвинять "взаимодействовать через обмен безмассовыми калибровочные бозоны. В отличие от фотонов, эти калибровочные бозоны сами несут заряд.^[3]:32[10]

Шелдон Глэшоу разработал неабелеву калибровочную теорию, объединившую электромагнитное и слабое взаимодействия в 1960 году. В 1964 году Абдус Салам и Джон Клайв Уорд пришел к той же теории другим путем. Тем не менее эту теорию нельзя было перенормировать.^[11]

Питер Хиггс, Роберт Браут, Франсуа Энглер, Джеральд Гуральник, Карл Хаген, и Том Киббл предложены в их знаменитых Письма с физическими проверками в статьях о том, что калибровочная симметрия в теориях Янга – Миллса может быть нарушена с помощью механизма, называемого спонтанное нарушение симметрии, благодаря которым первоначально безмассовые калибровочные бозоны могли приобретать массу.^[9]:5-6

Объединив более раннюю теорию Глэшоу, Салама и Уорда с идеей спонтанного нарушения симметрии, Стивен Вайнберг написал в 1967 году теорию, описывающую электрослабые взаимодействия между всеми лептоны и последствия бозон Хиггса. Его теорию сначала игнорировали,^[11][9]:6 пока он не был обнаружен в 1971 г. Жерар т Хофт Доказательство перенормируемости неабелевых калибровочных теорий. Электрослабая теория Вайнберга и Салама распространилась с лептонов на кварки в 1970 году Глэшоу, Джон Илиопулос, и Лучано Майани, отмечая его завершение.^[11]

Харальд Фрич, Мюррей Гелл-Манн, и Генрих Лойтвайлер обнаружил в 1971 году, что некоторые явления, связанные с сильное взаимодействие можно также объяснить неабелевой калибровочной теорией. Квантовая хромодинамика (QCD) родился. В 1973 г. Дэвид Гросс, Франк Вильчек, и Хью Дэвид Политцер показал, что неабелевы калибровочные теории "асимптотически свободный ", что означает, что при перенормировке константа связи сильного взаимодействия уменьшается по мере увеличения энергии взаимодействия (подобные открытия делались ранее много раз, но в значительной степени игнорировались). ^[9]:11 Следовательно, по крайней мере, при взаимодействии с высокой энергией, константа связи в КХД становится достаточно малой, чтобы гарантировать расширение пертурбативного ряда, что делает возможными количественные предсказания для сильного взаимодействия.^[3]:32

Эти теоретические открытия привели к возрождению QFT. Полная теория, включающая в себя теорию электрослабого взаимодействия и хромодинамику, сегодня называется Стандартная модель элементарных частиц.^[12] Стандартная модель успешно описывает все фундаментальные взаимодействия Кроме сила тяжести, и его многочисленные предсказания получили замечательное экспериментальное подтверждение в последующие десятилетия.^[8]:3 В бозон Хиггса, центральное место в механизме спонтанного нарушения симметрии, было наконец обнаружено в 2012 г. ЦЕРН, отмечая полную проверку существования всех составляющих Стандартной модели.^[13]

Прочие разработки

В 1970-х годах в неабелевых калибровочных теориях были разработаны непертурбативные методы. В Монополь 'т Хофта – Полякова был обнаружен 'т Хоофтом и Александр Поляков, флюсовые трубки к Хольгер Бех Нильсен и Пол Олесен, и инстантоны Полякова и соавторов. Эти объекты недоступны с помощью теории возмущений.^[8]:4

Суперсимметрия также появились в тот же период. Первая суперсимметричная КТП в четырех измерениях была построена Юрий Гольфанд и Евгений Лихтман в 1970 году, но их результат не вызвал широкого интереса из-за Железный занавес. Суперсимметрия взлетела в теоретическом сообществе только после работ Юлиус Весс и Бруно Зумино в 1973 г.^[8]:7

Среди четырех фундаментальных взаимодействий гравитация остается единственным, которому не хватает последовательного описания КТП. Различные попытки теории квантовая гравитация привело к развитию теория струн,^[8]:6 сам по себе тип двумерной КТП с конформная симметрия.^[14] Джоэль Шерк и Джон Шварц впервые предложил в 1974 г., что теория струн может быть то квантовая теория гравитации.^[15]

Физика конденсированного состояния

Хотя квантовая теория поля возникла в результате изучения взаимодействий между элементарными частицами, она успешно применялась к другим физическим системам, особенно к системы многих тел в физика конденсированного состояния.

Исторически механизм спонтанного нарушения симметрии Хиггса был результатом Ёитиро Намбу применение сверхпроводник теории элементарных частиц, в то время как концепция перенормировки возникла из исследования второго порядка фазовые переходы в зависимости.^[16]

Вскоре после введения фотонов Эйнштейн выполнил процедуру квантования колебаний в кристалле, что привело к первому квазичастица —фононы. Лев Ландау утверждал, что низкоэнергетические возбуждения во многих системах конденсированной материи можно описать в терминах взаимодействий между набором квазичастиц. Метод диаграмм Фейнмана в КТП, естественно, хорошо подходил для анализа различных явлений в системах конденсированного состояния.^[17]

Калибровочная теория используется для описания квантования магнитный поток в сверхпроводниках удельное сопротивление в квантовый эффект холла, а также соотношение между частотой и напряжением в сети переменного тока. Эффект джозефсона.^[17]

Принципы

Для простоты, натуральные единицы используются в следующих разделах, в которых приведенная постоянная Планка час и скорость света c оба установлены в один.

Классические поля

Классический поле это функция пространственных и временных координат.^[18] Примеры включают гравитационное поле в Ньютоновская гравитация грамм(Икс, т) и электрическое поле E(Икс, т) и магнитное поле B(Икс, т) в классический электромагнетизм. Классическое поле можно рассматривать как числовую величину, присваиваемую каждой точке пространства, которая изменяется во времени. Следовательно, у него бесконечно много степени свободы.^[18][19]

Многие явления, проявляющие квантово-механические свойства, нельзя объяснить только классическими полями. Такие явления, как фотоэлектрический эффект лучше всего объясняются дискретными частицами (фотоны ), а не пространственно непрерывное поле. Целью квантовой теории поля является описание различных квантово-механических явлений с использованием модифицированной концепции полей.

Каноническое квантование и интегралы по путям являются двумя распространенными формулировками QFT.^[20]:61 Чтобы обосновать основы КТП, необходимо сделать обзор классической теории поля.

Простейшее классическое поле - это настоящая скалярное поле - а настоящий номер в каждой точке пространства, которая изменяется во времени. Обозначается как ϕ(Икс, т), куда Икс - вектор положения, а т самое время. Предположим, что Лагранжиан поля, ${ displaystyle L}$, является

${ displaystyle L = int d ^ {3} x , { mathcal {L}} = int d ^ {3} x , left [{ frac {1} {2}} { dot { phi}} ^ {2} - { frac {1} {2}} ( nabla phi) ^ {2} - { frac {1} {2}} m ^ {2} phi ^ {2 }верно],}$

куда ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ - плотность лагранжиана, ${ displaystyle { dot { phi}}}$ - производная поля по времени, ∇ - оператор градиента, а м - реальный параметр («масса» поля). Применяя Уравнение Эйлера – Лагранжа. на лагранжиане:^[1]:16

${ Displaystyle { frac { partial} { partial t}} left [{ frac { partial { mathcal {L}}} { partial ( partial phi / partial t)}} right ] + sum _ {i = 1} ^ {3} { frac { partial} { partial x ^ {i}}} left [{ frac { partial { mathcal {L}}} { partial ( partial phi / partial x ^ {i})}} right] - { frac { partial { mathcal {L}}} { partial phi}} = 0,}$

получаем уравнения движения для поля, которые описывают его изменение во времени и пространстве:

${ displaystyle left ({ frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} - nabla ^ {2} + m ^ {2} right) phi = 0.}$

Это известно как Уравнение Клейна – Гордона.^[1]:17

Уравнение Клейна – Гордона представляет собой волновое уравнение, поэтому его решения можно выразить как сумму нормальные режимы (получено через преобразование Фурье ) следующее:

${ displaystyle phi ( mathbf {x}, t) = int { frac {d ^ {3} p} {(2 pi) ^ {3}}} { frac {1} { sqrt { 2 omega _ { mathbf {p}}}} left (a _ { mathbf {p}} e ^ {- i omega _ { mathbf {p}} t + i mathbf {p} cdot mathbf {x}} + a _ { mathbf {p}} ^ {*} e ^ {i omega _ { mathbf {p}} ti mathbf {p} cdot mathbf {x}} right) ,}$

куда а это комплексное число (нормализовано по соглашению), * обозначает комплексное сопряжение, и ω_п - частота нормального режима:

${ displaystyle omega _ { mathbf {p}} = { sqrt {| mathbf {p} | ^ {2} + m ^ {2}}}.}$

Таким образом, каждый нормальный режим соответствует одному п можно рассматривать как классический гармонический осциллятор с частотой ω_п.^[1]:21,26

Каноническое квантование

Процедура квантования вышеупомянутого классического поля в поле квантового оператора аналогична продвижению классического гармонического осциллятора в квантовый гармонический осциллятор.

Смещение классического гармонического осциллятора описывается формулой

${ displaystyle x (t) = { frac {1} { sqrt {2 omega}}} ae ^ {- i omega t} + { frac {1} { sqrt {2 omega}}} a ^ {*} e ^ {i omega t},}$

куда а - комплексное число (нормализованное по соглашению), и ω - частота генератора. Обратите внимание, что Икс представляет собой смещение частицы в простом гармоническом движении из положения равновесия, не путать с пространственной меткой Икс квантового поля.

Для квантового гармонического осциллятора Икс(т) повышен до линейный оператор ${ Displaystyle { шляпа {х}} (т)}$:

${ displaystyle { hat {x}} (t) = { frac {1} { sqrt {2 omega}}} { hat {a}} e ^ {- i omega t} + { frac {1} { sqrt {2 omega}}} { hat {a}} ^ { dagger} e ^ {i omega t}.}$

Сложные числа а и а^* заменены оператор аннигиляции ${ displaystyle { hat {a}}}$ и оператор создания ${ displaystyle { hat {a}} ^ { dagger}}$соответственно, где † обозначает Эрмитово спряжение. В коммутационное отношение между двумя

${ displaystyle [{ hat {a}}, { hat {a}} ^ { dagger}] = 1.}$

В состояние вакуума ${ displaystyle | 0 rangle}$, которое является самым низким энергетическим состоянием, определяется как

${ displaystyle { hat {a}} | 0 rangle = 0.}$

Любое квантовое состояние одиночного гармонического осциллятора может быть получено из ${ displaystyle | 0 rangle}$ путем последовательного применения оператора создания ${ displaystyle { hat {a}} ^ { dagger}}$:^[1]:20

${ displaystyle | n rangle = ({ hat {a}} ^ { dagger}) ^ {n} | 0 rangle.}$

К тому же вышеупомянутое действительное скалярное поле ϕ, что соответствует Икс в одиночном гармоническом осцилляторе, также превращается в квантовый оператор поля ${ displaystyle { hat { phi}}}$, а оператор аннигиляции ${ displaystyle { hat {a}} _ { mathbf {p}}}$, оператор создания ${ displaystyle { hat {a}} _ { mathbf {p}} ^ { dagger}}$ и угловая частота ${ Displaystyle ш _ { mathbf {p}}}$сейчас для конкретного п:

${ displaystyle { hat { phi}} ( mathbf {x}, t) = int { frac {d ^ {3} p} {(2 pi) ^ {3}}} { frac { 1} { sqrt {2 omega _ { mathbf {p}}}}} left ({ hat {a}} _ { mathbf {p}} e ^ {- i omega _ { mathbf { p}} t + i mathbf {p} cdot mathbf {x}} + { hat {a}} _ { mathbf {p}} ^ { dagger} e ^ {i omega _ { mathbf {p}} ti mathbf {p} cdot mathbf {x}} right).}$

Их коммутационные отношения:^[1]:21

${ displaystyle [{ hat {a}} _ { mathbf {p}}, { hat {a}} _ { mathbf {q}} ^ { dagger}] = (2 pi) ^ {3 } delta ( mathbf {p} - mathbf {q}), quad [{ hat {a}} _ { mathbf {p}}, { hat {a}} _ { mathbf {q} }] = [{ hat {a}} _ { mathbf {p}} ^ { dagger}, { hat {a}} _ { mathbf {q}} ^ { dagger}] = 0,}$

куда δ это Дельта-функция Дирака. Вакуумное состояние ${ displaystyle | 0 rangle}$ определяется

${ displaystyle { hat {a}} _ { mathbf {p}} | 0 rangle = 0, quad { text {для всех}} mathbf {p}.}$

Любое квантовое состояние поля можно получить из ${ displaystyle | 0 rangle}$ путем последовательного применения операторов создания ${ displaystyle { hat {a}} _ { mathbf {p}} ^ { dagger}}$, например^[1]:22

${ displaystyle ({ hat {a}} _ { mathbf {p} _ {3}} ^ { dagger}) ^ {3} { hat {a}} _ { mathbf {p} _ {2 }} ^ { dagger} ({ hat {a}} _ { mathbf {p} _ {1}} ^ { dagger}) ^ {2} | 0 rangle.}$

Хотя квантовое поле, появляющееся в лагранжиане, является пространственно непрерывным, квантовые состояния поля дискретны. В то время как пространство состояний одного квантового гармонического осциллятора содержит все дискретные энергетические состояния одной колеблющейся частицы, пространство состояний квантового поля содержит дискретные уровни энергии произвольного числа частиц. Последнее пространство известно как Пространство фока, что может объяснить тот факт, что в релятивистских квантовых системах числа частиц не фиксированы.^[21] Процесс квантования произвольного числа частиц вместо одной частицы часто также называют второе квантование.^[1]:19

Вышеупомянутая процедура является прямым применением нерелятивистской квантовой механики и может использоваться для квантования (комплексных) скалярных полей, Поля Дирака,^[1]:52 векторные поля (например электромагнитное поле) и даже струны.^[22] Однако операторы создания и уничтожения хорошо определены только в простейших теориях, не содержащих взаимодействий (так называемая свободная теория). В случае действительного скалярного поля существование этих операторов было следствием разложения решений классических уравнений движения на сумму нормальных мод. Чтобы выполнить расчеты по любой реалистичной теории взаимодействия, теория возмущений было бы необходимо.

Лагранжиан любого квантового поля в природе будет содержать члены взаимодействия в дополнение к членам свободной теории. Например, четвертое взаимодействие можно было бы ввести член в лагранжиан действительного скалярного поля:^[1]:77

${ displaystyle { mathcal {L}} = { frac {1} {2}} ( partial _ { mu} phi) ( partial ^ { mu} phi) - { frac {1} {2}} m ^ {2} phi ^ {2} - { frac { lambda} {4!}} Phi ^ {4},}$

куда μ - индекс пространства-времени, ${ Displaystyle partial _ {0} = partial / partial t, partial _ {1} = partial / partial x ^ {1}}$и т. д. Суммирование по индексу μ был опущен после Обозначения Эйнштейна. Если параметр λ достаточно мала, то взаимодействующую теорию, описываемую вышеупомянутым лагранжианом, можно рассматривать как малое возмущение свободной теории.

Интегралы по путям

В формулировка интеграла по путям КТП занимается прямым вычислением амплитуда рассеяния определенного процесса взаимодействия, а не установления операторов и пространств состояний. Для расчета амплитуда вероятности для системы, чтобы развиться из некоторого начального состояния ${ displaystyle | phi _ {I} rangle}$ вовремя т = 0 до некоторого конечного состояния ${ displaystyle | phi _ {F} rangle}$ в т = Т, общее время Т поделен на N небольшие интервалы. Общая амплитуда - это произведение амплитуды эволюции в каждом интервале, интегрированное по всем промежуточным состояниям. Позволять ЧАС быть Гамильтониан (т.е. генератор временной эволюции ), тогда^[20]:10

${ Displaystyle langle phi _ {F} | е ^ {- iHT} | phi _ {I} rangle = int d phi _ {1} int d phi _ {2} cdots int d phi _ {N-1} , langle phi _ {F} | e ^ {- iHT / N} | phi _ {N-1} rangle cdots langle phi _ {2} | e ^ {- iHT / N} | phi _ {1} rangle langle phi _ {1} | e ^ {- iHT / N} | phi _ {I} rangle.}$

Принимая предел N → ∞, указанное выше произведение интегралов становится интегралом по путям Фейнмана:^{[1]:282[20]:12}

${ displaystyle langle phi _ {F} | e ^ {- iHT} | phi _ {I} rangle = int { mathcal {D}} phi (t) , exp left { я int _ {0} ^ {T} dt , L right },}$

куда L - лагранжиан, содержащий ϕ и его производные по пространственным и временным координатам, полученные из гамильтониана ЧАС через Превращение Лежандра. Начальные и конечные условия интеграла по путям соответственно равны

${ displaystyle phi (0) = phi _ {I}, quad phi (T) = phi _ {F}.}$

Другими словами, общая амплитуда представляет собой сумму по амплитуде всех возможных путей между начальным и конечным состояниями, где амплитуда пути задается экспонентой подынтегральной функции.

Двухточечная корреляционная функция

Теперь мы предполагаем, что теория содержит взаимодействия, лагранжевые члены которых являются малым возмущением свободной теории.

В расчетах часто встречаются такие выражения:

${ Displaystyle langle Omega | T { phi (x) phi (y) } | Omega rangle,}$

куда Икс и у положение четырехвекторный, Т это заказ времени оператор (а именно заказывает Икс и у согласно их временной составляющей, более позднее время слева и более раннее время справа), и ${ displaystyle | Omega rangle}$ - основное состояние (вакуумное состояние) теории взаимодействия. Это выражение, известное как двухточечное корреляционная функция или двухточечный Функция Грина, представляет собой амплитуду вероятности распространения поля от у к Икс.^[1]:82

В каноническом квантовании двухточечная корреляционная функция может быть записана как:^[1]:87

${ Displaystyle langle Omega | T { phi (x) phi (y) } | Omega rangle = lim _ {T to infty (1-i epsilon)} { frac { langle 0 | T left { phi _ {I} (x) phi _ {I} (y) exp left [-i int _ {- T} ^ {T} dt , H_ { I} (t) right] right } | 0 rangle} { langle 0 | T left { exp left [-i int _ {- T} ^ {T} dt , H_ { I} (t) right] right } | 0 rangle}},}$

куда ε является бесконечно малый номер, ϕ_я - оператор поля по свободной теории, а ЧАС_я - член гамильтониана взаимодействия. Для ϕ⁴ теория, это^[1]:84

${ displaystyle H_ {I} (t) = int d ^ {3} x , { frac { lambda} {4!}} phi _ {I} (x) ^ {4}.}$

С λ - малый параметр, экспоненциальная функция exp может быть расширен до Серия Тейлор в λ и рассчитывается по срокам. Это уравнение полезно тем, что оно выражает полевой оператор и основное состояние в теории взаимодействия, которые трудно определить, в терминах их аналогов в свободной теории, которые хорошо определены.

В формулировке интеграла по путям двухточечная корреляционная функция может быть записана как:^[1]:284

${ Displaystyle langle Omega | T { phi (x) phi (y) } | Omega rangle = lim _ {T to infty (1-i epsilon)} { frac { int { mathcal {D}} phi , phi (x) phi (y) exp left [i int _ {- T} ^ {T} d ^ {4} z , { mathcal {L}} right]} { int { mathcal {D}} phi , exp left [i int _ {- T} ^ {T} d ^ {4} z , { mathcal {L}} right]}},}$

куда ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ - плотность лагранжиана. Как и в предыдущем абзаце, экспоненциальный множитель, включающий член взаимодействия, также может быть расширен в виде ряда в λ.

В соответствии с Теорема Вика, любой п-точечная корреляционная функция в свободной теории может быть записана как сумма произведений двухточечных корреляционных функций. Например,

${ Displaystyle { begin {align} langle 0 | T { phi (x_ {1}) phi (x_ {2}) phi (x_ {3}) phi (x_ {4}) } | 0 rangle = & langle 0 | T { phi (x_ {1}) phi (x_ {2}) } | 0 rangle langle 0 | T { phi (x_ {3}) phi (x_ {4}) } | 0 rangle & + langle 0 | T { phi (x_ {1}) phi (x_ {3}) } | 0 rangle langle 0 | T { phi (x_ {2}) phi (x_ {4}) } | 0 rangle & + langle 0 | T { phi (x_ {1}) phi (x_ { 4}) } | 0 rangle langle 0 | T { phi (x_ {2}) phi (x_ {3}) } | 0 rangle. End {align}}}$

Поскольку корреляционные функции в теории взаимодействия могут быть выражены через функции свободной теории, для вычисления всех физических величин в (пертурбативной) теории взаимодействия необходимо вычислить только последние.^[1]:90

С помощью канонического квантования или интегралов по путям можно получить:

${ Displaystyle D_ {F} (ху) экв langle 0 | T { phi (x) phi (y) } | 0 rangle = lim _ { epsilon to 0} int { гидроразрыв {d ^ {4} p} {(2 pi) ^ {4}}} { frac {i} {p _ { mu} p ^ { mu} -m ^ {2} + i epsilon} } e ^ {- ip _ { mu} (x ^ { mu} -y ^ { mu})}.}$

Это известно как Пропагатор Фейнмана для реального скалярного поля.^{[1]:31,288[20]:23}

Диаграмма Фейнмана

Корреляционные функции в теории взаимодействий можно записать в виде ряда возмущений. Каждый член в этой серии является продуктом пропагаторов Фейнмана в свободной теории и может быть представлен визуально в виде Диаграмма Фейнмана. Например, λ¹ член в двухточечной корреляционной функции в ϕ⁴ теория

${ displaystyle { frac {-i lambda} {4!}} langle 0 | T { phi (x) phi (y) int d ^ {4} z , phi (z) phi (z) phi (z) phi (z) } | 0 rangle.}$

После применения теоремы Вика одним из членов будет

${ displaystyle 12 cdot { frac {-i lambda} {4!}} int d ^ {4} z , D_ {F} (xz) D_ {F} (yz) D_ {F} (zz ),}$

соответствующая диаграмма Фейнмана

Каждая точка соответствует одному ϕ фактор поля. Точки, помеченные Икс и у называются внешними точками, а внутренние - внутренними точками или вершинами (на этой диаграмме есть одна). Значение соответствующего члена можно получить из диаграммы, следуя «правилам Фейнмана»: назначить ${ displaystyle -i lambda int d ^ {4} z}$ к каждой вершине и пропагатор Фейнмана${ displaystyle D_ {F} (x_ {1} -x_ {2})}$ к каждой строке с конечными точками Икс₁ и Икс₂. Произведение факторов, соответствующих каждому элементу диаграммы, деленное на «фактор симметрии» (2 для этой диаграммы), дает выражение для члена в ряду возмущений.^[1]:91-94

Чтобы вычислить п-точечная корреляционная функция k-го порядка, перечислить все допустимые диаграммы Фейнмана с п внешние точки и k или меньше вершин, а затем используйте правила Фейнмана, чтобы получить выражение для каждого члена. Точнее,

${ Displaystyle langle Omega | T { phi (x_ {1}) cdots phi (x_ {n}) } | Omega rangle}$

равна сумме (соответствующих выражений) всех связанных диаграмм с п внешние точки. (Связанные диаграммы - это такие, в которых каждая вершина соединена с внешней точкой линиями. Компоненты, которые полностью отсоединены от внешних линий, иногда называют «вакуумными пузырями».) ϕ⁴ Согласно теории взаимодействия, рассмотренной выше, каждая вершина должна иметь четыре ножки.^[1]:98

В реальных приложениях амплитуда рассеяния определенного взаимодействия или скорость распада частицы можно вычислить из S-матрица, который сам можно найти с помощью метода диаграмм Фейнмана.^[1]:102-115

Диаграммы Фейнмана, лишенные «петель», называются древовидными диаграммами, которые описывают процессы взаимодействия низшего порядка; те, которые содержат п петли называются п-контурные диаграммы, которые описывают вклады более высокого порядка или радиационные поправки во взаимодействие.^[20]:44 Линии, конечные точки которых являются вершинами, можно рассматривать как распространение виртуальные частицы.^[1]:31

Ренормализация

Правила Фейнмана можно использовать для непосредственной оценки древовидных диаграмм. Однако наивное вычисление петлевых диаграмм, подобных показанной выше, приведет к расходящимся интегралам импульса, что, кажется, подразумевает, что почти все члены в пертурбативном разложении бесконечны. В перенормировка Процедура - это систематический процесс удаления таких бесконечностей.

Параметры, входящие в лагранжиан, такие как масса м и константа связи λ, не имеют физического смысла - м, λ, а напряженность поля ϕ не являются экспериментально измеряемыми величинами и упоминаются здесь как голая масса, голая константа связи и голое поле соответственно. Физическая масса и константа связи измеряются в некотором процессе взаимодействия и обычно отличаются от исходных величин. При вычислении физических величин из этого процесса взаимодействия можно ограничить область расходящихся интегралов импульса, чтобы она была ниже некоторого порогового значения импульса. Λ, получить выражения для физических величин, а затем перейти к пределу Λ → ∞. Это пример регуляризация, класс методов для обработки расхождений в QFT, с Λ будучи регулятором.

Подход, проиллюстрированный выше, называется чистой теорией возмущений, поскольку в расчетах используются только голые величины, такие как масса и константа связи. Другой подход, называемый перенормированной теорией возмущений, заключается в использовании физически значимых величин с самого начала. В случае ϕ⁴ теории, сначала переопределяется напряженность поля:

${ Displaystyle phi = Z ^ {1/2} phi _ {r},}$

куда ϕ это голое поле, ϕ_р - перенормированное поле, а Z - постоянная, которую предстоит определить. Плотность лагранжиана становится:

${ displaystyle { mathcal {L}} = { frac {1} {2}} ( partial _ { mu} phi _ {r}) ( partial ^ { mu} phi _ {r} ) - { frac {1} {2}} m_ {r} ^ {2} phi _ {r} ^ {2} - { frac { lambda _ {r}} {4!}} phi _ {r} ^ {4} + { frac {1} {2}} delta _ {Z} ( partial _ { mu} phi _ {r}) ( partial ^ { mu} phi _ {r}) - { frac {1} {2}} delta _ {m} phi _ {r} ^ {2} - { frac { delta _ { lambda}} {4!}} фи _ {г} ^ {4},}$

куда м_р и λ_р - экспериментально измеряемая перенормированная масса и константа связи соответственно, и

${ displaystyle delta _ {Z} = Z-1, quad delta _ {m} = m ^ {2} Z-m_ {r} ^ {2}, quad delta _ { lambda} = лямбда Z ^ {2} - lambda _ {r}}$

- константы, которые предстоит определить. Первые три члена - это ϕ⁴ Плотность лагранжиана записана в терминах перенормированных величин, а последние три члена называются «контрчлены». Поскольку лагранжиан теперь содержит больше членов, диаграммы Фейнмана должны включать дополнительные элементы, каждый со своими собственными правилами Фейнмана. Процедура описана следующим образом. Сначала выберите схему регуляризации (такую ​​как введенная выше регуляризация с отсечкой или размерная регуляризация ); позвонить в регулятор Λ. Вычислить диаграммы Фейнмана, в которых расходящиеся члены будут зависеть от Λ. Затем определим δ_Z, δ_м, и δ_λ такие, что диаграммы Фейнмана для контрчленов будут точно сокращать расходящиеся члены в нормальных диаграммах Фейнмана, когда предел Λ → ∞ взят. Таким образом получаются значимые конечные величины.^[1]:323-326

Исключить все бесконечности можно только для получения конечного результата в перенормируемых теориях, тогда как в неперенормируемых теориях бесконечности нельзя удалить путем переопределения небольшого числа параметров. В Стандартная модель элементарных частиц - это перенормируемая КТП,^{[1]:719–727} пока квантовая гравитация неперенормируема.^{[1]:798[20]:421}

Группа перенормировки

В ренормализационная группа, разработан Кеннет Уилсон, представляет собой математический аппарат, используемый для изучения изменений физических параметров (коэффициентов в лагранжиане), когда система рассматривается в различных масштабах.^[1]:393 То, как каждый параметр изменяется в зависимости от масштаба, описывается его β функция.^[1]:417 Корреляционные функции, лежащие в основе количественных физических предсказаний, изменяются с масштабом в соответствии с Уравнение Каллана – Симанзика.^[1]:410-411

Например, константа связи в QED, а именно элементарный заряд е, имеет следующие β функция:

${ displaystyle beta (e) Equiv { frac {1} { Lambda}} { frac {de} {d Lambda}} = { frac {e ^ {3}} {12 pi ^ { 2}}} + O (e ^ {5}),}$

куда Λ - шкала энергии, в которой измеряется е выполняется. Этот дифференциальное уравнение означает, что наблюдаемый элементарный заряд увеличивается с увеличением масштаба.^[23] Перенормированная константа связи, которая изменяется в зависимости от масштаба энергии, также называется бегущей константой связи.^[1]:420

Константа связи грамм в квантовая хромодинамика, неабелева калибровочная теория, основанная на группе симметрий SU (3), имеет следующие β функция:

${ displaystyle beta (g) Equiv { frac {1} { Lambda}} { frac {dg} {d Lambda}} = { frac {g ^ {3}} {16 pi ^ { 2}}} left (-11 + { frac {2} {3}} N_ {f} right) + O (g ^ {5}),}$

куда N_ж это количество кварк ароматы. В случае, когда N_ж ≤ 16 (Стандартная модель имеет N_ж = 6) константа связи грамм уменьшается с увеличением шкалы энергии. Следовательно, хотя сильное взаимодействие является сильным при низких энергиях, оно становится очень слабым при взаимодействиях при высоких энергиях, явление, известное как асимптотическая свобода.^[1]:531

Конформные теории поля (CFT) - это специальные QFT, допускающие конформная симметрия. Они нечувствительны к изменениям масштаба, так как все их константы связи равны нулю. β функция. (Однако обратное неверно - исчезновение всех β функций не означает конформной симметрии теории.)^[24] Примеры включают теория струн^[14] и N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса.^[25]

Согласно картине Уилсона, каждый QFT принципиально сопровождается отключением энергии. Λ, т.е. что теория больше не справедлива при энергиях выше, чем Λ, и все степени свободы над шкалой Λ следует опустить. Например, граница может быть инверсией атомного расстояния в системе конденсированной материи, а в физике элементарных частиц она может быть связана с фундаментальной «зернистостью» пространства-времени, вызванной квантовыми флуктуациями в гравитации. Граница границ теорий взаимодействия частиц лежит далеко за пределами текущих экспериментов. Даже если теория была бы очень сложной в этом масштабе, до тех пор, пока ее связи достаточно слабы, ее следует описывать при низких энергиях перенормируемым эффективная теория поля.^[1]:402-403 Разница между перенормируемыми и неперенормируемыми теориями состоит в том, что первые нечувствительны к деталям при высоких энергиях, тогда как вторые зависят от них.^[8]:2 Согласно этой точке зрения, неперенормируемые теории следует рассматривать как низкоэнергетические эффективные теории более фундаментальной теории. Невозможность удаления отсечки Λ из расчетов в такой теории просто указывает, что новые физические явления появляются в масштабах выше Λ, где нужна новая теория.^[20]:156

Другие теории

Процедуры квантования и перенормировки, описанные в предыдущих разделах, выполняются для свободной теории и ϕ⁴ теория действительного скалярного поля. Аналогичный процесс можно проделать и для других типов полей, включая сложный скалярное поле, векторное поле, а Поле Дирака, а также другие типы взаимодействий, в том числе электромагнитное взаимодействие и Юкава взаимодействие.

В качестве примера, квантовая электродинамика содержит поле Дирака ψ представляющий электрон поле и векторное поле А^μ представляющий электромагнитное поле (фотон поле). (Несмотря на свое название, квантовое электромагнитное «поле» на самом деле соответствует классическому электромагнитный четырехпотенциальный, а не классические электрические и магнитные поля.) Полная плотность лагранжиана КЭД равна:

${ displaystyle { mathcal {L}} = { bar { psi}} (я gamma ^ { mu} partial _ { mu} -m) psi - { frac {1} {4} } F _ { mu nu} F ^ { mu nu} -e { bar { psi}} gamma ^ { mu} psi A _ { mu},}$

куда γ^μ находятся Матрицы Дирака, ${ displaystyle { bar { psi}} = psi ^ { dagger} gamma ^ {0}}$, и ${ displaystyle F _ { mu nu} = partial _ { mu} A _ { nu} - partial _ { nu} A _ { mu}}$ это напряженность электромагнитного поля. Параметрами в этой теории являются (затравочная) масса электрона м и (голый) элементарный заряд е. Первое и второе слагаемые в плотности лагранжиана соответствуют свободному полю Дирака и свободному векторному полю соответственно. Последний член описывает взаимодействие между электронным и фотонным полями, которое рассматривается как возмущение свободных теорий.^[1]:78

Выше показан пример трехуровневой диаграммы Фейнмана в QED. Он описывает аннигилизацию электрона и позитрона, создавая вне оболочки фотон, а затем распадается на новую пару электрона и позитрона. Время бежит слева направо. Стрелки, указывающие вперед во времени, представляют собой распространение позитронов, а стрелки, указывающие назад во времени, представляют собой распространение электронов. Волнистая линия представляет собой распространение фотона. Каждая вершина в диаграммах КЭД Фейнмана должна иметь входящую и исходящую фермионную (позитронную / электронную) ветвь, а также фотонную ветвь.

Калибровочная симметрия

Если следующее преобразование полей выполняется в каждой точке пространства-времени Икс (локальное преобразование), то лагранжиан КЭД остается неизменным или инвариантным:

${ Displaystyle psi (x) к е ^ {я альфа (x)} psi (x), quad A _ { mu} (x) to A _ { mu} (x) + ie ^ { -1} e ^ {- i alpha (x)} partial _ { mu} e ^ {i alpha (x)},}$

куда α(Икс) является любой функцией координат пространства-времени. Если лагранжиан теории (точнее, действие ) инвариантно относительно некоторого локального преобразования, то преобразование называется калибровочная симметрия теории.^{[1]:482–483} Калибровочные симметрии образуют группа в каждой точке пространства-времени. В случае КЭД последовательное применение двух различных преобразований локальной симметрии ${ Displaystyle е ^ {я альфа (х)}}$ и ${ Displaystyle е ^ {я альфа '(х)}}$ это еще одно преобразование симметрии ${ Displaystyle е ^ {я [ альфа (х) + альфа '(х)]}}$. Для любого α(Икс), ${ Displaystyle е ^ {я альфа (х)}}$ является элементом U (1) группы, поэтому говорят, что QED имеет U (1) калибровочная симметрия.^[1]:496 Фотонное поле А_μ можно назвать U (1) калибровочный бозон.

U (1) является Абелева группа, что означает, что результат будет одинаковым независимо от порядка, в котором применяются его элементы. QFT также могут быть построены на неабелевы группы, порождая неабелевы калибровочные теории (также известные как теории Янга – Миллса).^[1]:489 Квантовая хромодинамика, описывающая сильное взаимодействие, является неабелевой калибровочной теорией с SU (3) калибровочная симметрия. Он содержит три поля Дирака ψ^я, я = 1,2,3 представляющий кварк поля, а также восемь векторных полей А^{а, μ}, а = 1,...,8 представляющий глюон поля, которые являются SU (3) калибровочные бозоны.^[1]:547 Плотность лагранжиана КХД равна:^[1]:490-491

${ displaystyle { mathcal {L}} = i { bar { psi}} ^ {i} gamma ^ { mu} (D _ { mu}) ^ {ij} psi ^ {j} - { frac {1} {4}} F _ { mu nu} ^ {a} F ^ {a, mu nu} -m { bar { psi}} ^ {i} psi ^ {i} ,}$

куда D_μ калибр ковариантная производная:

${ displaystyle D _ { mu} = partial _ { mu} -igA _ { mu} ^ {a} t ^ {a},}$

куда грамм - константа связи, т^а восемь генераторы из SU (3) в фундаментальное представление (3×3 матрицы),

${ Displaystyle F _ { mu nu} ^ {a} = partial _ { mu} A _ { nu} ^ {a} - partial _ { nu} A _ { mu} ^ {a} + gf ^ {abc} A _ { mu} ^ {b} A _ { nu} ^ {c},}$

и ж^abc являются структурные константы из SU (3). Повторные индексы я,j,а неявно суммируются по следующим обозначениям Эйнштейна. Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразования:

${ Displaystyle psi ^ {i} (x) к U ^ {ij} (x) psi ^ {j} (x), quad A _ { mu} ^ {a} (x) t ^ {a } to U (x) left [A _ { mu} ^ {a} (x) t ^ {a} + ig ^ {- 1} partial _ { mu} right] U ^ { dagger} (Икс),}$

куда U(Икс) является элементом SU (3) в каждой точке пространства-времени Икс:

${ Displaystyle U (x) = e ^ {я альфа (x) ^ {a} t ^ {a}}.}$

Предыдущее обсуждение симметрий находится на уровне лагранжиана. Другими словами, это «классические» симметрии. После квантования некоторые теории больше не будут демонстрировать свою классическую симметрию - явление, называемое аномалия. Например, в формулировке интеграла по путям, несмотря на инвариантность плотности лагранжиана ${ Displaystyle { mathcal {L}} [ phi, partial _ { mu} phi]}$ при некотором локальном преобразовании полей мера ${ Displaystyle int { mathcal {D}} phi}$ интеграла по путям могут измениться.^[20]:243 Чтобы теория, описывающая природу, была непротиворечивой, она не должна содержать никаких аномалий в своей калибровочной симметрии. Стандартная модель элементарных частиц - это калибровочная теория, основанная на группе СУ (3) × СУ (2) × U (1), в котором все аномалии в точности отменяются.^[1]:705-707

Теоретическая основа общая теория относительности, то принцип эквивалентности, может также пониматься как форма калибровочной симметрии, превращая общую теорию относительности в калибровочную теорию, основанную на Группа Лоренца.^[26]

Теорема Нётер утверждает, что каждая непрерывная симметрия, т.е. параметр в преобразовании симметрии является непрерывным, а не дискретным, приводит к соответствующему закон сохранения.^{[1]:17-18[20]:73} Например, U (1) симметрия КЭД подразумевает сохранение заряда.^[27]

Калибровочные преобразования не связывают отдельные квантовые состояния. Скорее, он связывает два эквивалентных математических описания одного и того же квантового состояния. Например, фотонное поле А^μ, быть четырехвекторный, имеет четыре кажущиеся степени свободы, но реальное состояние фотона описывается двумя его степенями свободы, соответствующими поляризация. Остальные две степени свободы называются «избыточными» - очевидно, разные способы написания А^μ могут быть связаны друг с другом калибровочным преобразованием и фактически описывать одно и то же состояние фотонного поля. В этом смысле калибровочная инвариантность - это не «настоящая» симметрия, а отражение «избыточности» выбранного математического описания.^[20]:168

Чтобы учесть калибровочную избыточность в формулировке интеграла по путям, необходимо выполнить так называемый Фаддеев – Попов крепление датчика процедура. В неабелевых калибровочных теориях такая процедура вводит новые поля, называемые «призраками». Частицы, соответствующие призрачным полям, называются призрачными частицами, которые не могут быть обнаружены извне.^[1]:512-515 Более строгое обобщение процедуры Фаддеева – Попова дается формулой BRST квантование.^[1]:517

Спонтанное нарушение симметрии

Спонтанное нарушение симметрии представляет собой механизм нарушения симметрии лагранжиана описываемой им системой.^[1]:347

Чтобы проиллюстрировать механизм, рассмотрим линейный сигма модель содержащий N вещественные скалярные поля, описываемые плотностью лагранжиана:

${ Displaystyle { mathcal {L}} = { гидроразрыва {1} {2}} ( partial _ { mu} phi ^ {i}) ( partial ^ { mu} phi ^ {i} ) + { frac {1} {2}} mu ^ {2} phi ^ {i} phi ^ {i} - { frac { lambda} {4}} ( phi ^ {i} фи ^ {я}) ^ {2},}$

куда μ и λ реальные параметры. Теория допускает O (N) глобальная симметрия:

${ displaystyle phi ^ {i} to R ^ {ij} phi ^ {j}, quad R in mathrm {O} (N).}$

Самым низким энергетическим состоянием (основное состояние или вакуумное состояние) классической теории является любое однородное поле. ϕ₀ удовлетворение

${ displaystyle phi _ {0} ^ {i} phi _ {0} ^ {i} = { frac { mu ^ {2}} { lambda}}.}$

Без ограничения общности, пусть основное состояние находится в N-я направление:

${ displaystyle phi _ {0} ^ {i} = left (0, cdots, 0, { frac { mu} { sqrt { lambda}}} right).}$

Оригинал N поля можно переписать как:

${ Displaystyle фи ^ {я} (х) = влево ( пи ^ {1} (х), cdots, пи ^ {N-1} (х), { гидроразрыва { му} { sqrt { lambda}}} + sigma (x) right),}$

и исходная плотность лагранжиана как:

${ Displaystyle { mathcal {L}} = { гидроразрыва {1} {2}} ( partial _ { mu} pi ^ {k}) ( partial ^ { mu} pi ^ {k} ) + { frac {1} {2}} ( partial _ { mu} sigma) ( partial ^ { mu} sigma) - { frac {1} {2}} (2 mu ^ {2}) sigma ^ {2} - { sqrt { lambda}} mu sigma ^ {3} - { sqrt { lambda}} mu pi ^ {k} pi ^ {k} sigma - { frac { lambda} {2}} pi ^ {k} pi ^ {k} sigma ^ {2} - { frac { lambda} {4}} ( pi ^ {k } pi ^ {k}) ^ {2},}$

куда k = 1,...,N-1. Оригинал O (N) глобальная симметрия больше не проявляется, остается только подгруппа O (N-1). Большая симметрия перед спонтанным нарушением симметрии называется «скрытой» или спонтанно нарушенной.^[1]:349-350

Теорема Голдстоуна утверждает, что при спонтанном нарушении симметрии каждая нарушенная непрерывная глобальная симметрия приводит к безмассовому полю, называемому бозоном Голдстоуна. В приведенном выше примере O (N) имеет N(N-1)/2 непрерывные симметрии (размерность ее Алгебра Ли ), пока O (N-1) имеет (N-1)(N-2)/2. Количество нарушенных симметрий - это их разность, N-1, что соответствует N-1 безмассовые поля π^k.^[1]:351

С другой стороны, когда калибровочная (в отличие от глобальной) симметрия спонтанно нарушается, образующийся бозон Голдстоуна «съедается» соответствующим калибровочным бозоном, становясь дополнительной степенью свободы для калибровочного бозона. Теорема об эквивалентности бозонов Голдстоуна утверждает, что при высокой энергии амплитуда излучения или поглощения продольно поляризованного массивного калибровочного бозона становится равной амплитуде излучения или поглощения бозона Голдстоуна, который был съеден калибровочным бозоном.^[1]:743-744

В QFT ферромагнетизм, спонтанное нарушение симметрии может объяснить выравнивание магнитные диполи при низких температурах.^[20]:199 В Стандартной модели элементарных частиц W- и Z-бозоны, которые в противном случае были бы безмассовыми в результате калибровочной симметрии, приобретают массу за счет спонтанного нарушения симметрии бозон Хиггса, процесс, называемый Механизм Хиггса.^[1]:690

Суперсимметрия

Все экспериментально известные симметрии в природе связаны бозоны бозонам и фермионы фермионам. Теоретики выдвинули гипотезу о существовании симметрии, называемой суперсимметрия, связывающая бозоны и фермионы.^{[1]:795[20]:443}

Стандартная модель подчиняется Симметрия Пуанкаре, генераторами которого являются пространство-время переводы п^μ и Преобразования Лоренца J_μν.^[28]:58–60 Помимо этих генераторов суперсимметрия в (3 + 1) -мерностях включает в себя дополнительные генераторы Q_α, называется наддув, которые сами трансформируются как Фермионы Вейля.^{[1]:795[20]:444} Группа симметрии, порожденная всеми этими генераторами, известна как группа супер-Пуанкаре. В общем, может быть более одного набора генераторов суперсимметрии, Q_α^я, я = 1, ..., N, которые порождают соответствующие N = 1 суперсимметрия, N = 2 суперсимметрия и т. д.^{[1]:795[20]:450} Суперсимметрия также может быть построена в других измерениях,^[29] особенно в размерах (1 + 1) для его применения в теория суперструн.^[30]

Лагранжиан суперсимметричной теории должен быть инвариантным относительно действия супергруппы Пуанкаре.^[20]:448 Примеры таких теорий включают: Минимальная суперсимметричная стандартная модель (MSSM), N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса,^[20]:450 и теория суперструн. В суперсимметричной теории каждый фермион имеет бозонный суперпартнер наоборот.^[20]:444

Если суперсимметрия превращается в локальную симметрию, то полученная калибровочная теория является расширением общей теории относительности, называемой супергравитация.^[31]

Суперсимметрия - потенциальное решение многих текущих проблем физики. Например, проблема иерархии Стандартной модели - почему масса бозона Хиггса не исправлена ​​радиационно (при перенормировке) до очень высокого масштаба, такого как большой единый масштаб или Планковский масштаб - можно решить, связав Поле Хиггса и его суперпартнер, Хиггсино. Радиационные поправки, обусловленные петлями бозона Хиггса в диаграммах Фейнмана, компенсируются соответствующими петлями Хиггсино. Суперсимметрия также предлагает ответы на великое объединение всех калибровочных констант связи в Стандартной модели, а также на природу темная материя.^{[1]:796-797[32]}

Тем не менее, по состоянию на 2018 г.^{[Обновить]}, эксперименты еще не предоставили доказательств существования суперсимметричных частиц. Если суперсимметрия была истинной симметрией природы, то это должна быть нарушенная симметрия, а энергия нарушения симметрии должна быть выше, чем достижимая в современных экспериментах.^{[1]:797[20]:443}

Другое время

В ϕ⁴ теория, КЭД, КХД, а также вся Стандартная модель предполагают (3 + 1) -мерную Пространство Минковского (3 пространственных и 1 временное измерение) как фон, на котором определены квантовые поля. Однако QFT априори не налагает ограничений ни на количество измерений, ни на геометрию пространства-времени.

В физика конденсированного состояния, QFT используется для описания (2 + 1) -мерные электронные газы.^[33] В физика высоких энергий, теория струн является разновидностью (1 + 1) -мерной КТП,^[20]:452[14] пока Теория Калуцы – Клейна использует гравитацию в дополнительные размеры для создания калибровочных теорий в более низких измерениях.^[20]:428-429

В пространстве Минковского квартира метрика η_μν используется, чтобы поднимать и опускать пространственно-временные индексы в лагранжиане, например

${ Displaystyle A _ { mu} A ^ { mu} = eta _ { mu nu} A ^ { mu} A ^ { nu}, quad partial _ { mu} phi partial ^ { mu} phi = eta ^ { mu nu} partial _ { mu} phi partial _ { nu} phi,}$

куда η^μν инверсия η_μν удовлетворение η^μρη^ρν = δ^μ_ν. За КТП в искривленном пространстве-времени с другой стороны, общая метрика (например, Метрика Шварцшильда описывая черная дыра ) используется:

${ Displaystyle A _ { mu} A ^ { mu} = g _ { mu nu} A ^ { mu} A ^ { nu}, quad partial _ { mu} phi partial ^ { mu} phi = g ^ { mu nu} partial _ { mu} phi partial _ { nu} phi,}$

куда грамм^μν является инверсией грамм_μν. Для реального скалярного поля плотность лагранжиана на общем пространственно-временном фоне равна

${ displaystyle { mathcal {L}} = { sqrt {| g |}} left ({ frac {1} {2}} g ^ { mu nu} nabla _ { mu} phi nabla _ { nu} phi - { frac {1} {2}} m ^ {2} phi ^ {2} right),}$

куда грамм = det (грамм_μν), и ∇_μ обозначает ковариантная производная.^[34] Лагранжиан QFT, а следовательно, и результаты его расчетов и физические предсказания, зависят от геометрии пространственно-временного фона.

Топологическая квантовая теория поля

Корреляционные функции и физические предсказания QFT зависят от метрики пространства-времени. грамм_μν. Для специального класса QFT, называемого топологические квантовые теории поля (TQFT), все корреляционные функции не зависят от непрерывных изменений в метрике пространства-времени.^[35]:36 QFT в искривленном пространстве-времени обычно изменяются в соответствии с геометрия (локальная структура) пространственно-временного фона, в то время как TQFT инвариантны относительно пространства-времени диффеоморфизмы но чувствительны к топология (глобальная структура) пространства-времени. Это означает, что все результаты расчетов TQFT топологические инварианты лежащего в основе пространства-времени. Теория Черна – Саймонса является примером TQFT и использовался для построения моделей квантовой гравитации.^[36] Приложения TQFT включают дробный квантовый эффект Холла и топологические квантовые компьютеры.^[37]:1–5 Траектория мировой линии фракционированных частиц (известная как анйоны ) может образовывать конфигурацию связи в пространстве-времени,^[38] который связывает статистику плетения анионов в физике с инвариантами связей в математике. Топологические квантовые теории поля (ТКТП), применимые к передовым исследованиям топологических квантовых материй, включают калибровочные теории Черна-Саймонса-Виттена в пространственно-временных измерениях 2 + 1, другие новые экзотические ТКТП в пространственно-временных измерениях 3 + 1 и за их пределами.^[39]

Пертурбативные и непертурбативные методы

С помощью теория возмущений, общий эффект малого члена взаимодействия можно аппроксимировать порядок за порядком разложением в ряд по числу виртуальные частицы участие во взаимодействии. Каждый член в расширении можно понимать как один из возможных способов взаимодействия (физических) частиц друг с другом через виртуальные частицы, визуально выраженный с помощью Диаграмма Фейнмана. В электромагнитная сила между двумя электронами в КЭД представляется (в первом порядке теории возмущений) распространением виртуального фотона. Аналогичным образом W- и Z-бозоны несут слабое взаимодействие, а глюоны несут сильное взаимодействие. Интерпретация взаимодействия как суммы промежуточных состояний, включающих обмен различными виртуальными частицами, имеет смысл только в рамках теории возмущений. Напротив, непертурбативные методы в КТП рассматривают взаимодействующий лагранжиан как единое целое без какого-либо разложения в ряд. Вместо частиц, несущих взаимодействия, эти методы породили такие концепции, как Монополь 'т Хофта – Полякова, доменная стена, флюсовая трубка, и Немедленное включение.^[8] Примеры QFT, которые полностью решаются непертурбативно, включают минимальные модели из конформная теория поля^[40] и Модель Тирринга.^[41]

Математическая строгость

Несмотря на огромный успех в физике элементарных частиц и физике конденсированного состояния, самой КТП не хватает формальной математической основы. Например, согласно Теорема Хаага, не существует четко определенного картинка взаимодействия для QFT, откуда следует, что теория возмущений QFT, лежащего в основе всей Диаграмма Фейнмана метод, в корне не определен.^[42]

Тем не мение, пертурбативный Квантовая теория поля, которая требует, чтобы величины были вычислимы только как формальный степенной ряд без каких-либо требований сходимости, может быть подвергнута строгой математической обработке. Особенно, Кевин Костелло монография Перенормировка и теория эффективного поля^[43] обеспечивает строгую формулировку пертурбативной перенормировки, которая объединяет оба подхода теории эффективного поля Каданов, Уилсон, и Полчинский вместе с Баталин-Вилковиский подход к квантованию калибровочных теорий. Кроме того, пертурбативные методы интегралов по путям, обычно понимаемые как формальные вычислительные методы, вдохновленные конечномерной теорией интегрирования,^[44] можно дать разумную математическую интерпретацию из их конечномерных аналогов.^[45]

С 1950-х годов^[46] физики-теоретики и математики попытались организовать все КТП в набор аксиомы, чтобы математически строго установить существование конкретных моделей релятивистской КТП и изучить их свойства. Это направление обучения называется конструктивная квантовая теория поля, подполе математическая физика,^[47]:2 что привело к таким результатам, как CPT теорема, спин-статистическая теорема, и Теорема Голдстоуна.^[46]

По сравнению с обычным QFT, топологическая квантовая теория поля и конформная теория поля лучше поддерживаются математически - оба могут быть классифицированы в рамках представления из кобордизмы.^[48]

Алгебраическая квантовая теория поля это другой подход к аксиоматизации КТП, в котором фундаментальными объектами являются локальные операторы и алгебраические отношения между ними. Аксиоматические системы, следующие этому подходу, включают: Аксиомы Вайтмана и Аксиомы Хаага-Кастлера.^[47]:2-3 Один из способов построения теорий, удовлетворяющих аксиомам Вайтмана, - использовать Аксиомы Остервальдера – Шрадера, которые дают необходимые и достаточные условия для получения теории реального времени из мнимое время теория аналитическое продолжение (Вращение фитиля ).^[47]:10

Существование Янга – Миллса и разрыв масс, один из Задачи Премии тысячелетия, касается четко определенного существования Теории Янга – Миллса как изложено вышеупомянутыми аксиомами. Полная постановка задачи выглядит следующим образом.^[49]

Докажи это для любого компактный просто группа датчиков грамм, нетривиальная квантовая теория Янга – Миллса существует на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ и имеет разрыв в массах Δ> 0. Существование включает установление аксиоматических свойств, по крайней мере, столь же сильных, как те, которые цитируются в Стритер и Вайтман (1964) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFStreaterWightman1964 (помощь), Остервальдер и Шрадер (1973) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFOsterwalderSchrader1973 (помощь) и Остервальдер и Шрадер (1975) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFOsterwalderSchrader1975 (помощь).

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

Обычные читатели

• Пайс, А. (1994) [1986]. Внутренняя связь: материи и сил в физическом мире (переиздание ред.). Оксфорд, Нью-Йорк, Торонто: Oxford University Press. ISBN  978-0198519973.
• Швебер, С.С. (1994). QED и люди, которые сделали это: Дайсон, Фейнман, Швингер и Томонага. Princeton University Press. ISBN  9780691033273.
• Фейнман, Р. (2001) [1964]. Характер физического закона. MIT Press. ISBN  978-0-262-56003-0.
• Фейнман, Р.П. (2006) [1985]. QED: странная теория света и материи. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-12575-6.
• Гриббин, Дж. (1998). Q означает квантовая физика элементарных частиц от А до Я. Вайденфельд и Николсон. ISBN  978-0-297-81752-9.

Вступительные тексты

• МакМахон, Д. (2008). Квантовая теория поля. Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-154382-8.
• Боголюбов, Н.; Ширков, Д. (1982). Квантовые поля. Бенджамин Каммингс. ISBN  978-0-8053-0983-6.
• Frampton, P.H. (2000). Теории калибровочного поля. Границы в физике (2-е изд.). Wiley.
• Greiner, W .; Мюллер, Б. (2000). Калибровочная теория слабых взаимодействий. Springer. ISBN  978-3-540-67672-0.
• Itzykson, C .; Зубер, Ж.-Б. (1980). Квантовая теория поля. Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-032071-0.
• Кейн, Г. (1987). Современная физика элементарных частиц. Группа Персей. ISBN  978-0-201-11749-3.
• Кляйнерт, Х.; Шульте-Фролинде, Верена (2001). Критические свойства φ⁴-Теории. Всемирный научный. ISBN  978-981-02-4658-7.
• Кляйнерт, Х. (2008). Многозначные поля в конденсированных средах, электродинамике и гравитации (PDF). World Scientific. ISBN  978-981-279-170-2.
• Лаудон, Р. (1983). Квантовая теория света. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-851155-7.
• Mandl, F .; Шоу, Г. (1993). Квантовая теория поля. Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-94186-6.
• Райдер, Л. Х. (1985). Квантовая теория поля. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-33859-2.
• Шварц, доктор медицины (2014). Квантовая теория поля и стандартная модель. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1107034730. Архивировано из оригинал на 2018-03-22. Получено 2020-05-13.
• Ynduráin, F.J. (1996). Релятивистская квантовая механика и введение в теорию поля. Релятивистская квантовая механика и введение в теорию поля (1-е изд.). Springer. Bibcode:1996rqmi.book ..... Г. Дои:10.1007/978-3-642-61057-8. ISBN  978-3-540-60453-2.
• Грейнер, В.; Рейнхардт, Дж. (1996). Квантование поля. Springer. ISBN  978-3-540-59179-5.
• Пескин, М.; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Westview Press. ISBN  978-0-201-50397-5.
• Шарф, Гюнтер (2014) [1989]. Конечная квантовая электродинамика: причинный подход (третье изд.). Dover Publications. ISBN  978-0486492735.
• Средницки, М. (2007). Квантовая теория поля. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521-8644-97.
• Тонг, Дэвид (2015). «Лекции по квантовой теории поля». Получено 2016-02-09.
• Зи, Энтони (2010). Квантовая теория поля в двух словах (2-е изд.). Princeton University Press. ISBN  978-0691140346.

Расширенные тексты

• Браун, Лоуэлл С. (1994). Квантовая теория поля. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-46946-3.
• Боголюбов, Н .; Логунов, А.А.; Оксак, А.И .; Тодоров, И. (1990). Общие принципы квантовой теории поля. Kluwer Academic Publishers. ISBN  978-0-7923-0540-8.
• Вайнберг, С. (1995). Квантовая теория полей. 1. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521550017.

внешняя ссылка

• «Квантовая теория поля», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Стэнфордская энциклопедия философии: "Квантовая теория поля "Мейнард Кульман.
• Сигел, Уоррен, 2005. Поля. arXiv:hep-th / 9912205.
• Квантовая теория поля П. Дж. Малдерс