Квантовое исчисление - Quantum calculus

Квантовое исчислениеиногда называют исчисление без ограничений, эквивалентно традиционному исчисление бесконечно малых без понятия пределы. Он определяет «q-исчисление» и «h-исчисление», где h якобы означает Постоянная Планка пока q означает квант. Эти два параметра связаны формулой

{ Displaystyle д = е ^ {ih} = е ^ {2 пи я hbar} ,}

куда ${ displaystyle scriptstyle hbar = { frac {h} {2 pi}} ,}$ это приведенная постоянная Планка.

Дифференциация

В q-исчислении и h-исчислении дифференциалы функций определяются как

{ Displaystyle d_ {q} (е (х)) = е (qx) -f (х) ,}

и

{ Displaystyle d_ {ч} (е (х)) = е (х + ч) -f (х) ,}

соответственно. Производные функций тогда определяются как дроби q-производная

{ Displaystyle D_ {q} (е (х)) = { гидроразрыва {d_ {q} (f (x))} {d_ {q} (x)}} = { frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}}

и по

{ Displaystyle D_ {h} (е (х)) = { гидроразрыва {d_ {h} (f (x))} {d_ {h} (x)}} = { frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

в предел, когда h стремится к 0, или, что то же самое, когда q стремится к 1, эти выражения принимают форму производной классического исчисления.

Интеграция

q-интеграл

Функция F(Икс) является q-первообразной от ж(Икс) если D_qF(Икс) = ж(Икс). Q-первообразная (или q-интеграл) обозначается через ${ Displaystyle int е (х) , d_ {q} х}$ и выражение для F(Икс) находится по формуле ${ Displaystyle int е (х) , d_ {q} х = (1-q) сумма _ {j = 0} ^ { infty} xq ^ {j} f (xq ^ {j})}$ который называется Интеграл Джексона из ж(Икс). За 0 < q < 1, ряд сходится к функции F(Икс) на интервале (0,А] если |ж(Икс)Икс^α| ограничена на интервале (0,А] для некоторых 0 ≤ α < 1.

Q-интеграл есть Интеграл Римана – Стилтьеса. по отношению к ступенчатая функция имея бесконечно много точек увеличения в точках q^j, с прыжком в точку q^j существование q^j. Если мы назовем эту ступенчатую функцию грамм_q(т) тогда dg_q(т) = d_qт.^[1]

h-интеграл

Функция F(Икс) является h-первообразной от ж(Икс) если D_часF(Икс) = ж(Икс). H-первообразная (или h-интеграл) обозначается через ${ Displaystyle int е (х) , d_ {ч} х}$ . Если а и б отличаются на целое число, кратное час то определенный интеграл ${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , d_ {h} x}$ дается Сумма Римана из ж(Икс) на интервале [а,б] разбит на подынтервалы ширинойчас.

Пример

Производная функции ${ Displaystyle х ^ {п}}$ (для некоторого положительного целого числа ${ displaystyle n}$ ) в классическом исчислении есть ${ displaystyle nx ^ {n-1}}$ . Соответствующие выражения в q-исчислении и h-исчислении:

{ displaystyle D_ {q} (x ^ {n}) = { frac {q ^ {n} -1} {q-1}} x ^ {n-1} = [n] _ {q} x ^ {n-1}}

с q-скобка

{ displaystyle [n] _ {q} = { frac {q ^ {n} -1} {q-1}}}

и

{ displaystyle D_ {h} (x ^ {n}) = nx ^ {n-1} + { frac {n (n-1)} {2}} hx ^ {n-2} + cdots + h ^ {п-1}}

соответственно. Выражение ${ Displaystyle [п] _ {д} х ^ {п-1}}$ является тогда аналогом q-исчисления простого правила степеней для положительных целых степеней. В этом смысле функция ${ Displaystyle х ^ {п}}$ все еще отлично в q-исчислении, но скорее неправильно в h-исчислении - аналог h-исчисления ${ Displaystyle х ^ {п}}$ вместо этого падающий факториал, ${ displaystyle (x) _ {n}: = x (x-1) cdots (x-n + 1).}$ Можно пойти дальше и развить, например, эквивалентные понятия Расширение Тейлора и так далее, и даже прийти к аналогам q-исчисления для всех обычных функций, которые вы хотели бы иметь, например, аналога для синус функция, q-производная которой является подходящим аналогом для косинус.

История

H-исчисление - это просто исчисление конечных разностей, которые были изучены Джордж Буль и другие, и оказался полезным в ряде областей, среди которых комбинаторика и механика жидкости. Q-исчисление, в некотором смысле восходящее к Леонард Эйлер и Карл Густав Якоби, только недавно начинает видеть больше полезности в квантовая механика, имеющий тесную связь с соотношениями коммутативности и Алгебра Ли.