Квантово-механическое уравнение движения заряженных частиц в магнитном поле
Часть серии на |
Квантовая механика |
---|
![{displaystyle ihbar {frac {partial} {partial t}} | psi (t) angle = {hat {H}} | psi (t) angle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de8741a7d26ae98689c7b3339e97dfafea9fd26) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В квантовая механика, то Уравнение Паули или же Уравнение Шредингера – Паули формулировка Уравнение Шредингера за спин-½ частиц, который учитывает взаимодействие частиц вращение с внешним электромагнитное поле. Это не-релятивистский предел Уравнение Дирака и может использоваться там, где частицы движутся со скоростью намного меньшей, чем скорость света, так что релятивистскими эффектами можно пренебречь. Его сформулировал Вольфганг Паули в 1927 г.[1]
Уравнение
Для частицы массы
и электрический заряд
, в электромагнитное поле описанный магнитный векторный потенциал
и электрический скалярный потенциал
, уравнение Паули гласит:
Уравнение Паули (Общее)![left [{frac {1} {2m}} ({oldsymbol {sigma}} cdot (mathbf {p} -qmathbf {A})) ^ {2} + qphi ight] | psi angle = ihbar {frac {partial} { частичный t}} | угол psi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b97be7f078f83329986564d12a5100cbe0e0c45)
Здесь
являются Операторы Паули собраны в вектор для удобства, и
это оператор импульса. Состояние системы,
(написано в Обозначение Дирака ), можно рассматривать как двухкомпонентную спинор волновая функция, или вектор столбца (после выбора основы):
.
В Гамильтонов оператор является матрицей 2 × 2 из-за Операторы Паули.
![{displaystyle {hat {H}} = {frac {1} {2m}} left [{oldsymbol {sigma}} cdot (mathbf {p} -qmathbf {A}) ight] ^ {2} + qphi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f17d46c9359b0b12b8a41cfe7e10f4c66ffec1)
Замена в Уравнение Шредингера дает уравнение Паули. Этот гамильтониан похож на классический гамильтониан для заряженной частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем. Видеть Сила Лоренца для подробностей этого классического случая. В кинетическая энергия термин для свободной частицы в отсутствие электромагнитного поля просто
куда
это кинетический импульс, а в присутствии электромагнитного поля - минимальное сцепление
, где сейчас
это кинетический импульс и
это канонический импульс.
Операторы Паули могут быть удалены из члена кинетической энергии с помощью Векторная идентичность Паули:
![({oldsymbol {sigma}} cdot mathbf {a}) ({oldsymbol {sigma}} cdot mathbf {b}) = mathbf {a} cdot mathbf {b} + i {oldsymbol {sigma}} cdot left (mathbf {a } imes mathbf {b} ight)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94202beb9c3f2a582f5b2d5123cb2d5063884004)
Отметим, что в отличие от вектора дифференциальный оператор
имеет ненулевое перекрестное произведение с самим собой. Это можно увидеть, рассматривая перекрестное произведение, примененное к скалярной функции
:
![{displaystyle left [left (mathbf {p} -qmathbf {A} ight) imes left (mathbf {p} -qmathbf {A} ight) ight] psi = -qleft [mathbf {p} imes left (mathbf {A} psi) ight) + mathbf {A} imes left (mathbf {p} psi ight) ight] = iqhbar left [abla imes left (mathbf {A} psi ight) + mathbf {A} imes left (abla psi ight) ight] = iqhbar left [psi left (abla imes mathbf {A} ight) -mathbf {A} imes left (abla psi ight) + mathbf {A} imes left (abla psi ight) ight] = iqhbar mathbf {B} psi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37b7dbd67934305d11b6dd4dab0ff4f4779cba1)
куда
- магнитное поле.
Для полного уравнения Паули тогда получаем[2]
Уравнение Паули (стандартная форма)![{hat {H}} | psi angle = left [{frac {1} {2m}} left [left (mathbf {p} -qmathbf {A} ight) ^ {2} -qhbar {oldsymbol {sigma}} cdot mathbf {B} ight] + qphi ight] | угол psi = ihbar {frac {partial} {partial t}} | угол psi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e121486f04ef534167c7888248c61f9e287e3fc1)
Слабые магнитные поля
В случае постоянного и однородного магнитного поля можно разложить
используя симметричную калибровку
, куда
это оператор позиции. Мы получаем
![{displaystyle (mathbf {p} -qmathbf {A}) ^ {2} = | mathbf {p} | ^ {2} -q (mathbf {r} imes mathbf {p}) cdot mathbf {B} + {frac { 1} {4}} q ^ {2} left (| mathbf {B} | ^ {2} | mathbf {r} | ^ {2} - | mathbf {B} cdot mathbf {r} | ^ {2} ight ) приблизительно mathbf {p} ^ {2} -qmathbf {L} cdot mathbf {B} ,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a75a35417d9db238e9b14a139a863354ccfe4d)
куда
это частица угловой момент и мы пренебрегли членами в квадрате магнитного поля
. Следовательно, получаем
Уравнение Паули (слабые магнитные поля)![{displaystyle left [{frac {1} {2m}} left [left (| mathbf {p} | ^ {2} -q (mathbf {L} + 2mathbf {S}) cdot mathbf {B} ight) ight)] + qphi ight] | psi angle = ihbar {frac {partial} {partial t}} | psi angle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7274742b48a42373f1e3264ecfa83a45a2f0455)
куда
это вращение частицы. Фактор 2 перед вращением известен как дираковский грамм-фактор. Срок в
, имеет вид
которое является обычным взаимодействием между магнитным моментом
и магнитное поле, как в Эффект Зеемана.
Для электрона заряда
в изотропном постоянном магнитном поле можно дополнительно уменьшить уравнение, используя полный угловой момент
и Теорема Вигнера-Эккарта. Таким образом, мы находим
![{displaystyle left [{frac {| mathbf {p} | ^ {2}} {2m}} + mu _ {m {B}} g_ {J} m_ {j} | mathbf {B} | -ephi ight] | угол psi = ihbar {frac {partial} {partial t}} | psi angle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9a836b77a34cdd0d7f1d86904b017d5f17eb5c)
куда
это Магнетон Бора и
это магнитное квантовое число относится к
. Период, термин
известен как G-фактор Ланде, и здесь
[а]
куда
это орбитальное квантовое число относится к
и
полное орбитальное квантовое число, связанное с
.
Из уравнения Дирака
Уравнение Паули - это нерелятивистский предел Уравнение Дирака, релятивистское квантовое уравнение движения для частиц со спином 1/2.[3]
Вывод
Уравнение Дирака можно записать как:
,
куда
и
двухкомпонентные спинор, образуя биспинор.
Используя следующий анзац:
,
с двумя новыми спинорами
, уравнение принимает вид
.
В нерелятивистском пределе
а кинетическая и электростатическая энергии малы по сравнению с энергией покоя
.
Таким образом
![{displaystyle chi приблизительно {frac {{oldsymbol {sigma}} cdot {oldsymbol {Pi}}, psi} {2, mc}} ,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7d4d9f950d73e56290e1c9274bc21ce326dd29)
Подставляя в верхнюю компоненту уравнения Дирака, находим уравнение Паули (общий вид):
![{displaystyle mathrm {i}, hbar, partial _ {t}, psi = left [{frac {({oldsymbol {sigma}} cdot {oldsymbol {Pi}}) ^ {2}} {2, m}} + q , phi ight] psi.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9f2c51f553d8a346f79749229cd0f067f9fb3f)
Муфта Паули
Уравнение Паули выводится следующим образом: минимальное сцепление, что обеспечивает грамм-фактор грамм= 2. Большинство элементарных частиц имеют аномальные грамм-факторы, отличные от 2. В домене релятивистский квантовая теория поля, определяется неминимальная связь, иногда называемая связью Паули, чтобы добавить аномальный фактор
![{displaystyle p_ {mu} o p_ {mu} -qA_ {mu} + asigma _ {mu u} F ^ {mu u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595c41ff0097fea27028f383ab15ce9a42d99506)
куда
это четырехимпульсный оператор
если электромагнитный четырехпотенциальный,
это аномальный магнитный дипольный момент,
является электромагнитный тензор, и
- спиновые лоренцевы матрицы и коммутатор гамма-матрицы
.[4][5] В контексте нерелятивистской квантовой механики вместо работы с уравнением Шредингера связь Паули эквивалентна использованию уравнения Паули (или постулированию Zeeman Energy ) для любого грамм-фактор.
Смотрите также
- ^ Используемая здесь формула предназначена для частицы со спином 1/2, с грамм-фактор
и орбитальный грамм-фактор
.
Рекомендации
Книги
|
---|
Фон | |
---|
Основы | |
---|
Математика | |
---|
Интерпретации | |
---|
Эксперименты | |
---|
Наука | |
---|
Технологии | |
---|
Расширения | |
---|
Связанный | |
---|
Категория Физический портал Википроект по физике Commons
|