Уравнение Липпмана – Швингера - Википедия - Lippmann–Schwinger equation

Часть серии на
Квантовая механика
${ Displaystyle я HBAR { гидроразрыва { partial} { partial t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  (отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Candlin Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Goudsmit Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика

В Уравнение Липпмана – Швингера (названный в честь Бернард Липпманн и Джулиан Швингер^[1]) - одно из наиболее часто используемых уравнений для описания столкновений частиц, или, точнее, рассеяние - в квантовая механика. Он может использоваться при рассеянии молекул, атомов, нейтронов, фотонов или любых других частиц и важен в основном в атомная, молекулярная и оптическая физика, ядерная физика и физика элементарных частиц, но и для задач сейсмического рассеяния в геофизика. Он связывает рассеянную волновую функцию с взаимодействием, вызывающим рассеяние (потенциал рассеяния), и, следовательно, позволяет рассчитать соответствующие экспериментальные параметры (амплитуда рассеяния и поперечные сечения ).

Наиболее фундаментальным уравнением для описания любого квантового явления, включая рассеяние, является уравнение Уравнение Шредингера. В физических проблемах это дифференциальное уравнение необходимо решить с вводом дополнительного набора начальных и / или граничные условия для конкретной изучаемой физической системы. Уравнение Липпмана – Швингера эквивалентно уравнению Шредингера плюс типичные граничные условия для задач рассеяния. Для включения граничных условий уравнение Липпмана – Швингера должно быть записано в виде интегральное уравнение.^[2] Для задач рассеяния уравнение Липпмана – Швингера часто оказывается более удобным, чем исходное уравнение Шредингера.

Общая форма уравнения Липпмана – Швингера (на самом деле, ниже показаны два уравнения, одно для ${ Displaystyle + ,}$ знак и другие для ${ displaystyle - ,}$ знак):^[3]

${ displaystyle | psi ^ {( pm)} rangle = | phi rangle + { frac {1} {E-H_ {0} pm i epsilon}} V | psi ^ {( pm)} rangle. ,}$

Потенциальная энергия ${ Displaystyle V ,}$ описывает взаимодействие двух сталкивающихся систем. В Гамильтониан ${ displaystyle H_ {0} ,}$ описывает ситуацию, в которой две системы бесконечно далеки друг от друга и не взаимодействуют. Его собственные функции находятся ${ displaystyle | phi rangle ,}$ и это собственные значения это энергии ${ Displaystyle E ,}$. Ну наконец то, ${ displaystyle i epsilon ,}$ представляет собой математический аппарат, необходимый для вычисления интегралов, необходимых для решения уравнения. Это следствие причинной связи, гарантирующее, что рассеянные волны состоят только из выходящих волн. Это делается строго принцип предельного поглощения.

использование

Уравнение Липпмана – Швингера полезно в очень большом количестве ситуаций, связанных с рассеянием двух тел. Для трех или более сталкивающихся тел это не работает из-за математических ограничений; Уравнения Фаддеева может использоваться вместо этого.^[4] Однако есть приближения, которые могут уменьшить проблема многих тел к набору проблемы двух тел во множестве случаев. Например, в столкновении электронов и молекул могут быть задействованы десятки или сотни частиц. Но феномен можно свести к задаче двух тел, описав все потенциалы частиц, составляющих молекулу, вместе с псевдопотенциал.^[5] В этих случаях можно использовать уравнения Липпмана – Швингера. Конечно, основной мотивацией этих подходов является также возможность выполнять вычисления с гораздо меньшими вычислительными затратами.

Вывод

Будем считать, что Гамильтониан можно записать как

${ displaystyle H = H_ {0} + V}$

куда ЧАС₀ - свободный гамильтониан (или, в более общем смысле, гамильтониан с известными собственными векторами). Например, в нерелятивистской квантовой механике ЧАС₀ может быть

${ displaystyle H_ {0} = { frac {p ^ {2}} {2m}}}$.

Интуитивно V - энергия взаимодействия системы. Пусть будет собственное состояние из ЧАС₀:

${ Displaystyle H_ {0} | phi rangle = E | phi rangle}$.

Теперь, если мы добавим взаимодействие ${ displaystyle V}$ в смесь, уравнение Шредингера читается как

${ displaystyle left (H_ {0} + V right) | psi rangle = E | psi rangle}$.

Теперь рассмотрим Теорема Геллмана – Фейнмана, что требует, чтобы собственные значения энергии гамильтониана непрерывно изменялись с непрерывным изменением гамильтониана. Поэтому мы желаем ${ displaystyle | psi rangle to | phi rangle}$ в качестве ${ displaystyle V to 0}$. Наивным решением этого уравнения было бы

${ displaystyle | psi rangle = | phi rangle + { frac {1} {E-H_ {0}}} V | psi rangle}$.

где обозначение 1/А обозначает обратный из А. тем не мение E − ЧАС₀ является единственное число поскольку E является собственным значением ЧАС₀. Как описано ниже, эту сингулярность можно устранить двумя способами, сделав знаменатель немного сложнее, чтобы дать себе немного места для маневра. [1]:

${ displaystyle | psi ^ {( pm)} rangle = | phi rangle + { frac {1} {E-H_ {0} pm i epsilon}} V | psi ^ {( pm)} rangle}$.

Путем вставки полного набора состояний свободных частиц

${ displaystyle | psi ^ {( pm)} rangle = | phi rangle + int d beta { frac {| phi _ { beta} rangle} {E-E _ { beta} pm i epsilon}} langle phi _ { beta} | V | psi ^ {( pm)} rangle, quad H_ {0} | phi _ { beta} rangle = E_ { beta} | phi _ { beta} rangle}$,

уравнение Шредингера превращается в интегральное уравнение. "В" (+) и "вне" (−) предполагается, что состояния образуют базы также в далеком прошлом и далеком будущем, соответственно, имея вид состояний свободных частиц, но являясь собственными функциями полного гамильтониана. Таким образом, присвоив им индекс, уравнение принимает вид

${ displaystyle | psi _ { alpha} ^ {( pm)} rangle = | phi _ { alpha} rangle + int d beta { frac {T _ { beta alpha} ^ { ( pm)} | phi _ { beta} rangle} {E _ { alpha} -E _ { beta} pm i epsilon}}, quad T _ { beta alpha} ^ {( pm )} = langle phi _ { beta} | V | psi _ { alpha} ^ {( pm)} rangle}$.

Методы решения

С математической точки зрения уравнение Липпмана – Швингера в координатном представлении является интегральное уравнение типа Фредгольма. Это может быть решено дискретизация. Поскольку он эквивалентен дифференциальному, не зависящему от времени Уравнение Шредингера при соответствующих граничных условиях ее также можно решить численными методами для дифференциальных уравнений. В случае сферически-симметричного потенциала ${ displaystyle V}$ это обычно решается частичный волновой анализ. Для высоких энергий и / или слабого потенциала это также может быть решено пертурбативно с помощью Родился сериал. Метод, удобный также в случае физики многих тел, например при описании атомных, ядерных или молекулярных столкновений, - это метод R-матрица из Вигнер и Эйзенбуд. Другой класс методов основан на сепарабельном разложении потенциала или оператора Грина типа метод непрерывных дробей Горачека и Сасакавы. Очень важный класс методов основан на вариационных принципах, например Метод Швингера-Ланцоша сочетая вариационный принцип Швингер с Алгоритм Ланцоша.

Интерпретация состояний in и out

Парадигма S-матрицы

в S-матрица формулировка физика элементарных частиц, первым из которых был Джон Арчибальд Уиллер среди прочего,^[6] все физические процессы моделируются в соответствии со следующей парадигмой.^[7]

Один начинается с невзаимодействующего многочастичного состояния в далеком прошлом. Отсутствие взаимодействия не означает, что все силы отключены, в этом случае, например, протоны развалится, а скорее то, что существует свободное от взаимодействия Гамильтониан ЧАС₀, для которых связанные состояния имеют тот же спектр уровней энергии, что и реальный гамильтониан ЧАС. Это начальное состояние называется в состоянии. Интуитивно он состоит из элементарных частиц или связанных состояний, которые достаточно хорошо разделены, так что их взаимодействие друг с другом не учитывается.

Идея состоит в том, что любой физический процесс, который человек пытается изучить, можно смоделировать как рассеяние процесс этих хорошо разделенных связанных состояний. Этот процесс описывается полным гамильтонианом ЧАС, но как только все закончится, все новые элементарные частицы и новые связанные состояния снова разделяются, и обнаруживается новое невзаимодействующее состояние, называемое вне государства. S-матрица более симметрична с точки зрения теории относительности, чем гамильтониан, потому что для ее определения не требуется выбор временных интервалов.

Эта парадигма позволяет вычислить вероятности всех процессов, которые мы наблюдали за 70 лет экспериментов на коллайдерах частиц, с поразительной точностью. Но многие интересные физические явления явно не вписываются в эту парадигму. Например, если кто-то хочет рассмотреть динамику внутри нейтронной звезды, иногда он хочет знать больше, чем то, во что она в конечном итоге распадется. Другими словами, могут быть интересны измерения, не относящиеся к асимптотическому будущему. Иногда асимптотическое прошлое или будущее даже недоступно. Например, вполне возможно, что не было прошлого до Большой взрыв.

В 1960-х годах парадигма S-матрицы была возведена многими физиками в ранг фундаментального закона природы. В Теория S-матрицы, было указано, что любая величина, которую можно измерить, должна быть найдена в S-матрице для некоторого процесса. Эта идея была вдохновлена ​​физической интерпретацией, которую методы S-матрицы могут дать Диаграммы Фейнмана ограничено массовая оболочка, и привел к созданию модели двойного резонанса. Но это было очень спорным, так как он отрицает действительность квантовая теория поля на основе локальных полей и гамильтонианов.

Связь с Липпманном – Швингером

Интуитивно слегка деформированные собственные функции ${ displaystyle psi ^ {( pm)}}$ полного гамильтониана ЧАС являются состояниями входа и выхода. В ${ displaystyle phi}$ невзаимодействующие состояния, напоминающие в и из состояния в бесконечном прошлом и бесконечном будущем.

Создание волновых пакетов

Эта интуитивная картина не совсем верна, потому что ${ displaystyle psi ^ {( pm)}}$ является собственной функцией гамильтониана и поэтому в разное время отличается только фазой. Таким образом, в частности, физическое состояние не развивается и поэтому не может стать невзаимодействующим. Эту проблему легко обойти, собрав ${ displaystyle psi ^ {( pm)}}$ и ${ displaystyle phi}$ в волновые пакеты с некоторым распределением ${ displaystyle g (E)}$ энергии ${ displaystyle E}$ в характерном масштабе ${ displaystyle Delta E}$. В принцип неопределенности теперь позволяет взаимодействиям асимптотических состояний происходить в масштабе времени ${ displaystyle hbar / Delta E}$ и, в частности, больше не исключено, что взаимодействия могут прекратиться за пределами этого интервала. Следующий аргумент предполагает, что это действительно так.

Подставляя уравнения Липпмана – Швингера в определения

${ Displaystyle psi _ {g} ^ {( pm)} (t) = int dE , e ^ {- iEt} g (E) psi ^ {( pm)}}$

и

${ Displaystyle phi _ {g} (t) = int dE , e ^ {- iEt} g (E) phi}$

волновых пакетов мы видим, что в данный момент времени разница между ${ Displaystyle psi _ {g} (т)}$ и ${ Displaystyle phi _ {g} (т)}$ волновых пакетов задается интегралом по энергии E.

Контурный интеграл

Этот интеграл можно оценить, задав волновую функцию по комплексному E самолет и закрытие E контур с помощью полукруга, на котором исчезают волновые функции. Затем можно вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя Интегральная теорема Коши, как сумму вычетов на различных полюсах. Докажем теперь, что вычеты ${ displaystyle psi ^ {( pm)}}$ подходить к тем из ${ displaystyle phi}$ вовремя ${ Displaystyle т rightarrow mp infty}$ и поэтому соответствующие волновые пакеты равны на бесконечности во времени.

Фактически, в очень позитивные времена т то ${ displaystyle e ^ {- iEt}}$ фактор в Картина Шредингера состояние заставляет замкнуть контур на нижней полуплоскости. Полюс в ${ displaystyle ( phi, V psi ^ { pm})}$ из уравнения Липпмана-Швингера отражает временную неопределенность взаимодействия, а в весовой функции волновых пакетов отражает продолжительность взаимодействия. Обе эти разновидности полюсов возникают при конечных мнимых энергиях и поэтому подавляются на очень больших временах. Полюс разности энергий в знаменателе находится в верхней полуплоскости в случае ${ displaystyle psi ^ {-}}$, поэтому не лежит внутри интегрального контура и не вносит вклад в ${ displaystyle psi ^ {-}}$ интеграл. Остаток равен ${ displaystyle phi}$ волновой пакет. Таким образом, в очень поздние времена ${ displaystyle psi ^ {-} = phi}$, определяя ${ displaystyle psi ^ {-}}$ как асимптотическая невзаимодействующая из государственный.

Аналогичным образом можно интегрировать волновой пакет, соответствующий ${ displaystyle psi ^ {+}}$ в очень плохие времена. В этом случае контур необходимо замкнуть по верхней полуплоскости, которая, следовательно, не попадает в энергетический полюс ${ displaystyle psi ^ {+}}$, который находится в нижней полуплоскости. Затем обнаруживается, что ${ displaystyle psi ^ {+}}$и ${ displaystyle phi}$ волновые пакеты равны в асимптотическом прошлом, отождествляя ${ displaystyle psi ^ {+}}$ как асимптотическая невзаимодействующая в государственный.

Комплексный знаменатель Липпмана – Швингера

Это отождествление ${ displaystyle psi}$как асимптотические состояния является оправданием ${ displaystyle pm epsilon}$ в знаменателе уравнений Липпмана – Швингера.

Формула для S-матрицы

В S-матрица S определяется как внутренний продукт

${ Displaystyle S_ {ab} = ( psi _ {a} ^ {-}, psi _ {b} ^ {+})}$

из ай и бth Картинка Гейзенберга асимптотические состояния. Можно получить формулу, связывающую S-матрица потенциала V используя описанную выше стратегию контурного интеграла, но на этот раз поменяв роли ${ displaystyle psi ^ {+}}$ и ${ displaystyle psi ^ {-}}$. В результате контур действительно принимает полюс энергии. Это может быть связано с ${ displaystyle phi}$если использовать S-матрицу, чтобы поменять местами два ${ displaystyle psi}$с. Определение коэффициентов ${ displaystyle phi}$по обе стороны уравнения находится искомая формула, связывающая S к потенциалу

${ displaystyle S_ {ab} = delta (ab) -2i pi delta (E_ {a} -E_ {b}) ( phi _ {a}, V psi _ {b} ^ {+}) .}$

в Борновское приближение, соответствующий первому порядку теория возмущений, один заменяет последний ${ displaystyle psi ^ {+}}$ с соответствующей собственной функцией ${ displaystyle phi}$ свободного гамильтониана ЧАС₀, уступая

${ displaystyle S_ {ab} = delta (a-b) -2i pi delta (E_ {a} -E_ {b}) ( phi _ {a}, V phi _ {b}) ,}$

который полностью выражает S-матрицу через V и свободные гамильтоновы собственные функции.

Эти формулы, в свою очередь, могут использоваться для расчета скорости реакции процесса. ${ displaystyle b rightarrow a}$, что равно ${ displaystyle | S_ {ab} - delta _ {ab} | ^ {2}. ,}$

Гомогенизация

При использовании функции Грина уравнение Липпмана – Швингера имеет аналоги в теории гомогенизации (например, механика, проводимость, диэлектрическая проницаемость).

Смотрите также

• Уравнение Бете – Солпитера

Рекомендации

Библиография

• Иоахайн, К. Дж. (1983). Квантовая теория столкновений. Северная Голландия. ISBN  978-0-7204-0294-0.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Сакураи, Дж. Дж. (1994). Современная квантовая механика. Эддисон Уэсли. ISBN  978-0-201-53929-5.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Вайнберг, С. (2002) [1995]. Фонды. Квантовая теория полей. 1. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55001-7.CS1 maint: ref = harv (связь)

Оригинальные публикации

• Липпманн, Б.А.; Швингер, Дж. (1950). "Вариационные принципы процессов рассеяния. I". Phys. Rev. Lett. 79 (3): 469–480. Bibcode:1950PhRv ... 79..469L. Дои:10.1103 / PhysRev.79.469.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Уиллер, Дж. А. (1937). «О математическом описании легких ядер методом резонансной групповой структуры». Phys. Rev. 52 (11): 1107–1122. Bibcode:1937PhRv ... 52.1107W. Дои:10.1103 / PhysRev.52.1107.CS1 maint: ref = harv (связь)