Основное состояние - Википедия - Ground state

Уровни энергии для электрон в атом: основное состояние и возбужденные состояния. После поглощения энергия электрон может Прыгать из основного состояния в возбужденное состояние с более высокой энергией.

В основное состояние из квантово-механический система самая низкая -энергия государственный; энергия основного состояния известна как энергия нулевой точки системы. An возбужденное состояние любое состояние с энергией, большей, чем основное состояние. В квантовая теория поля, основное состояние обычно называют состояние вакуума или вакуум.

Если существует более одного основного состояния, они называются выродиться. Многие системы имеют вырожденные основные состояния. Вырождение происходит всякий раз, когда существует унитарный оператор который действует нетривиально на основном состоянии и ездит на работу с Гамильтониан системы.

Согласно третий закон термодинамики, система на абсолютный ноль температура существует в основном состоянии; таким образом, его энтропия определяется вырожденностью основного состояния. Многие системы, например идеальный кристаллическая решетка, имеют уникальное основное состояние и, следовательно, имеют нулевую энтропию при абсолютном нуле. Также возможно, что наивысшее возбужденное состояние имеет абсолютный ноль температура для систем, показывающих отрицательная температура.

Отсутствие узлов в одномерном

В одном измерении основное состояние Уравнение Шредингера можно доказать, что нет узлы.^[1]

Вывод

Рассмотрим среднюю энергию состояния с узлом в $Икс$ = 0; т.е. $ψ (0)$ = 0. Средняя энергия в этом состоянии была бы

{ Displaystyle langle psi | H | psi rangle = int dx , left (- { frac { hbar ^ {2}} {2m}} psi ^ {*} { frac {d ^ {2} psi} {dx ^ {2}}} + V (x) | psi (x) | ^ {2} right),}

куда $V (Икс)$ это потенциал.

С интеграция по частям: ${ displaystyle int _ {a} ^ {b} psi ^ {*} { frac {d ^ {2} psi} {dx ^ {2}}} dx , = left [ psi ^ { *} { frac {d psi} {dx}} right] _ {a} ^ {b} - int _ {a} ^ {b} { frac {d psi ^ {*}} {dx }} { frac {d psi} {dx}} dx , = left [ psi ^ {*} { frac {d psi} {dx}} right] _ {a} ^ {b} - int _ {a} ^ {b} left | { frac {d psi} {dx}} right | ^ {2} dx ,}$

Следовательно, в случае, если ${ displaystyle left [ psi ^ {*} { frac {d psi} {dx}} right] _ {- infty} ^ { infty} = lim _ {b to infty} psi ^ {*} (b) { frac {d psi} {dx}} (b) - lim _ {a to - infty} psi ^ {*} (a) { frac {d psi} {dx}} (а)}$ равно нуль, получается: ${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} int _ {- infty} ^ { infty} psi ^ {*} { frac {d ^ {2} psi} {dx ^ {2}}} dx , = { frac { hbar ^ {2}} {2m}} int _ {- infty} ^ { infty} left | { frac {d psi } {dx}} right | ^ {2} dx ,}$

Теперь рассмотрим небольшой интервал вокруг ${ displaystyle x = 0}$ ; т.е. ${ Displaystyle х в [- epsilon, epsilon]}$ . Возьмем новую (деформированную) волновую функцию $ψ' (Икс)$ быть определенным как ${ Displaystyle psi '(x) = psi (x)}$ , за ${ Displaystyle х <- epsilon}$ ; и ${ Displaystyle psi '(x) = - psi (x)}$ , за ${ displaystyle x> epsilon}$ ; и постоянный для ${ Displaystyle х в [- epsilon, epsilon]}$ . Если ${ displaystyle epsilon}$ достаточно мала, это всегда можно сделать, так что $ψ' (Икс)$ непрерывно.

Предполагая ${ Displaystyle psi (х) приблизительно -cx}$ вокруг ${ displaystyle x = 0}$ можно написать

{ displaystyle psi '(x) = N { begin {case} | psi (x) |, & | x |> epsilon, c epsilon, & | x | leq epsilon, end {случаи}}}

куда ${ displaystyle N = { frac {1} { sqrt {1 + { frac {4} {3}} | c | ^ {2} epsilon ^ {3}}}}}$ это норма.

Обратите внимание, что плотности кинетической энергии ${ displaystyle { frac { hbar ^ {2}} {2m}} left | { frac {d psi '} {dx}} right | ^ {2} <{ frac { hbar ^ { 2}} {2m}} left | { frac {d psi} {dx}} right | ^ {2}}$ везде из-за нормализации. Что еще более важно, средняя кинетическая энергия снижается на ${ Displaystyle О ( эпсилон)}$ деформацией к $ψ'$ .

Теперь рассмотрим потенциальную энергию. Для определенности выберем ${ Displaystyle V (х) geq 0}$ . Тогда ясно, что вне интервала ${ Displaystyle х в [- epsilon, epsilon]}$ , плотность потенциальной энергии меньше для $ψ'$ потому что ${ displaystyle | psi '| <| psi |}$ там.

С другой стороны, в интервале ${ Displaystyle х в [- epsilon, epsilon]}$ у нас есть

{ displaystyle {V _ { text {avg}} ^ { epsilon}} '= int _ {- epsilon} ^ { epsilon} dx , V (x) | psi' | ^ {2} = { frac { epsilon ^ {2} | c | ^ {2}} {1 + { frac {4} {3}} | c | ^ {2} epsilon ^ {3}}} int _ { - epsilon} ^ { epsilon} dx , V (x) simeq 2 epsilon ^ {3} | c | ^ {2} V (0) + cdots,}

что по порядку ${ displaystyle epsilon ^ {3}}$ .

Однако вклад в потенциальную энергию от этой области для состояния $ψ$ с узлом

{ displaystyle V _ { text {avg}} ^ { epsilon} = int _ {- epsilon} ^ { epsilon} dx , V (x) | psi | ^ {2} = | c | ^ {2} int _ {- epsilon} ^ { epsilon} dx , x ^ {2} V (x) simeq { frac {2} {3}} epsilon ^ {3} | c | ^ {2} V (0) + cdots,}

ниже, но все того же более низкого порядка ${ Displaystyle О ( эпсилон ^ {3})}$ что касается деформированного состояния $ψ'$ , и субдоминирует с понижением средней кинетической энергии, поэтому потенциальная энергия не изменяется до порядка ${ displaystyle epsilon ^ {2}}$ , если мы деформируем состояние ${ displaystyle psi}$ с узлом в состояние $ψ'$ без узла, и изменение можно игнорировать.

Таким образом, мы можем удалить все узлы и уменьшить энергию на ${ Displaystyle О ( эпсилон)}$ , откуда следует, что $ψ'$ не может быть основным состоянием. Таким образом, волновая функция основного состояния не может иметь узла. Это завершает доказательство. (Средняя энергия может быть дополнительно снижена за счет устранения волнистости до вариационного абсолютного минимума.)

Последствия

Поскольку основное состояние не имеет узлов, оно пространственно невырожденный, т.е. нет двух стационарные квантовые состояния с собственное значение энергии основного состояния (назовем его ${ displaystyle E_ {g}}$ ) и то же состояние вращения и, следовательно, будут отличаться только в их позиционном пространстве волновые функции.^[1]

Рассуждения идут противоречие: Ибо если бы основное состояние было вырожденным, то было бы два ортонормированных^[2] стационарные состояния ${ displaystyle left | psi _ {1} right rangle}$ и ${ displaystyle left | psi _ {2} right rangle}$ - позже представленные их комплекснозначными волновыми функциями пространственного положения ${ displaystyle psi _ {1} (x, t) = psi _ {1} (x, 0) cdot e ^ {- iE_ {g} t / hbar}}$ и ${ displaystyle psi _ {2} (x, t) = psi _ {2} (x, 0) cdot e ^ {- iE_ {g} t / hbar}}$ - и любые суперпозиция ${ Displaystyle left | psi _ {3} right rangle: = c_ {1} left | psi _ {1} right rangle + c_ {2} left | psi _ {2} право rangle}$ с комплексными числами ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$ выполнение условия ${ Displaystyle | c_ {1} | ^ {2} + | c_ {2} | ^ {2} = 1}$ также было бы таким состоянием, т.е. имел бы такое же собственное значение энергии ${ displaystyle E_ {g}}$ и такое же спин-состояние.

Теперь позвольте ${ displaystyle x_ {0}}$ - некоторая случайная точка (где определены обе волновые функции) и устанавливается:

{ displaystyle c_ {1} = { frac { psi _ {2} (x_ {0}, 0)} {a}} ,}

и

{ displaystyle c_ {2} = { frac {- psi _ {1} (x_ {0}, 0)} {a}} ,}

с

{ displaystyle a = { sqrt {| psi _ {1} (x_ {0}, 0) | ^ {2} + | psi _ {2} (x_ {0}, 0) | ^ {2} }}> 0 ,}

(согласно посылке нет узлов)

Следовательно, пространственная волновая функция ${ displaystyle left | psi _ {3} right rangle}$ является ${ Displaystyle psi _ {3} (x, t) = c_ {1} psi _ {1} (x, t) + c_ {2} psi _ {2} (x, t) = { frac {1} {a}} left ( psi _ {2} (x_ {0}, 0) cdot psi _ {1} (x, 0) - psi _ {1} (x_ {0}, 0) cdot psi _ {2} (x, 0) right) cdot e ^ {- iE_ {g} t / hbar}}$

Следовательно ${ Displaystyle psi _ {3} (x_ {0}, t) = { frac {1} {a}} left ( psi _ {2} (x_ {0}, 0) cdot psi _ {1} (x_ {0}, 0) - psi _ {1} (x_ {0}, 0) cdot psi _ {2} (x_ {0}, 0) right) cdot e ^ { -iE_ {g} t / hbar} = 0 ,}$ для всех ${ displaystyle t}$

Но ${ displaystyle left langle psi _ {3} | psi _ {3} right rangle = | c_ {1} | ^ {2} + | c_ {2} | ^ {2} = 1}$ т.е. ${ displaystyle x_ {0}}$ является узел волновой функции основного состояния, и это противоречит предположению, что эта волновая функция не может иметь узла.

Обратите внимание, что основное состояние могло быть вырожденным из-за различных спиновые состояния подобно ${ displaystyle left | uparrow right rangle}$ и ${ displaystyle left | downarrow right rangle}$ имея одну и ту же волновую функцию пространственного положения: любая суперпозиция этих состояний создаст состояние смешанного спина, но оставит пространственную часть (как общий фактор обоих) неизменной.

Примеры

Начальные волновые функции для первых четырех состояний одномерной частицы в ящике

В волновая функция основного состояния частица в одномерном ящике это полупериод синусоидальная волна, которая стремится к нулю на двух краях колодца. Энергия частицы определяется выражением ${ displaystyle { frac {ч ^ {2} п ^ {2}} {8 мл ^ {2}}}}$ , куда час это Постоянная Планка, м - масса частицы, п это энергетическое состояние (п = 1 соответствует энергии основного состояния), а L ширина колодца.
Волновая функция основного состояния атома водорода представляет собой сферически-симметричное распределение с центром ядро, которая является наибольшей в центре и уменьшает экспоненциально на больших расстояниях. В электрон скорее всего находится на расстоянии от ядра, равном Радиус Бора. Эта функция известна как 1s атомная орбиталь. Для водорода (H) электрон в основном состоянии имеет энергию −13,6 эВ, относительно порог ионизации. Другими словами, 13,6 эВ - это энергия, необходимая для того, чтобы электрон больше не был граница к атому.
Точное определение одного второй из время с 1997 г. 9192631770 периоды излучения, соответствующие переходу между двумя сверхтонкий уровни основного состояния цезий -133 атом в состоянии покоя при температуре 0 К.^[3]

Примечания

^ ^а ^б См., Например, Коэн, М. (1956). «Приложение A: Доказательство невырожденности основного состояния» (PDF). Энергетический спектр возбуждений в жидком гелии (Кандидат наук.). Калифорнийский технологический институт. Опубликовано как Feynman, R.P .; Коэн, Майкл (1956). «Энергетический спектр возбуждений в жидком гелии». (PDF). Физический обзор. 102 (5): 1189. Bibcode:1956ПхРв..102.1189Ф. Дои:10.1103 / PhysRev.102.1189.
^ т.е. ${ displaystyle left langle psi _ {1} | psi _ {2} right rangle = delta _ {ij}}$
^ «Единица времени (секунда)». Брошюра SI. Международное бюро мер и весов. Получено 2013-12-22.

Библиография

Фейнман, Ричард; Лейтон, Роберт; Пески, Мэтью (1965). "уровни энергии см. в разделе 2-5, а для атома водорода 19". Лекции Фейнмана по физике. 3.

[Cohen-1] а ^б См., Например, Коэн, М. (1956). «Приложение A: Доказательство невырожденности основного состояния» (PDF). Энергетический спектр возбуждений в жидком гелии (Кандидат наук.). Калифорнийский технологический институт. Опубликовано как Feynman, R.P .; Коэн, Майкл (1956). «Энергетический спектр возбуждений в жидком гелии». (PDF). Физический обзор. 102 (5): 1189. Bibcode:1956ПхРв..102.1189Ф. Дои:10.1103 / PhysRev.102.1189.

[2] т.е. ${ displaystyle left langle psi _ {1} | psi _ {2} right rangle = delta _ {ij}}$

[3] «Единица времени (секунда)». Брошюра SI. Международное бюро мер и весов. Получено 2013-12-22.

[1]

[2]

[3]