Формулировка фазового пространства - Phase-space formulation

Часть серии на
Квантовая механика
${ Displaystyle я HBAR { гидроразрыва { partial} { partial t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  (отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Candlin Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Goudsmit Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика

В фазовая формулировка квантовая механика размещает позиция и импульс переменные на равных, в фазовое пространство. Напротив, Картина Шредингера использует позицию или же импульсные представления (см. также положение и импульсное пространство ). Две ключевые особенности формулировки фазового пространства заключаются в том, что квантовое состояние описывается распределение квазивероятностей (вместо волновая функция, вектор состояния, или же матрица плотности ), а операторное умножение заменяется на звездный продукт.

Теория была полностью разработана Хильбранд Греневольд в 1946 г. защитил кандидатскую диссертацию,^[1] и независимо Джо Мойал,^[2] каждое из них основано на более ранних идеях Герман Вейль^[3] и Юджин Вигнер.^[4]

Главное преимущество формулировки фазового пространства состоит в том, что она делает квантовую механику похожей на Гамильтонова механика насколько это возможно, избегая операторного формализма, тем самым «освобождая» квантование от «бремени» Гильбертово пространство ".^[5] Эта формулировка является статистической по своей природе и предлагает логические связи между квантовой механикой и классической статистической механикой, позволяя естественное сравнение между ними (см. классический предел ). Квантовая механика в фазовом пространстве часто отдается предпочтение в определенных квантовая оптика приложения (см. оптическое фазовое пространство ) или при изучении декогеренция и ряд специализированных технических проблем, хотя в остальном формализм менее часто используется в практических ситуациях.^[6]

Концептуальные идеи, лежащие в основе развития квантовой механики в фазовом пространстве, разветвились на математические ответвления, такие как деформационно-квантование Концевича (см. Формула квантования Концевича ) и некоммутативная геометрия.

Распределение в фазовом пространстве

Распределение в фазовом пространстве ж(Икс, п) квантового состояния является распределением квазивероятностей. В формулировке фазового пространства распределение фазового пространства можно рассматривать как фундаментальное, примитивное описание квантовой системы без какой-либо ссылки на волновые функции или матрицы плотности.^[7]

Существует несколько различных способов представления распределения, и все они взаимосвязаны.^[8][9] Наиболее примечательным является Представление Вигнера, W(Икс, п), обнаружил первым.^[4] Другие представления (примерно в порядке убывания распространенности в литературе) включают Глаубер – Сударшан П,^[10][11] Хусими Кью,^[12] Представления Кирквуда – Рихачека, Мехты, Ривье и Борна – Жордана.^[13][14] Эти альтернативы наиболее полезны, когда гамильтониан принимает конкретную форму, например нормальный порядок для P-представления Глаубера – Сударшана. Поскольку представление Вигнера является наиболее распространенным, эта статья обычно придерживается его, если не указано иное.

Распределение в фазовом пространстве обладает свойствами, близкими к плотности вероятности в 2п-мерное фазовое пространство. Например, это ценный, в отличие от обычно комплексной волновой функции. Мы можем понять вероятность нахождения в пределах позиционного интервала, например, интегрировав функцию Вигнера по всем импульсам и по позиционному интервалу:

${ displaystyle operatorname {P} [a leq X leq b] = int _ {a} ^ {b} int _ {- infty} ^ { infty} W (x, p) , dp , dx.}$

Если Â(Икс, п) - оператор, представляющий наблюдаемое, он может быть отображен в фазовое пространство как А(Икс, п) сквозь Преобразование Вигнера. Наоборот, этот оператор может быть восстановлен Преобразование Вейля.

Среднее значение наблюдаемой относительно распределения в фазовом пространстве равно^[2][15]

${ displaystyle langle { hat {A}} rangle = int A (x, p) W (x, p) , dp , dx.}$

Однако следует предостеречь: несмотря на внешнее сходство, W(Икс, п) не настоящий совместное распределение вероятностей, потому что регионы под ним не представляют взаимоисключающие состояния, как требуется в третья аксиома теории вероятностей. Более того, он может вообще принимать отрицательные значения даже для чистых состояний, за единственным исключением (необязательно сжатый ) когерентные состояния, в нарушение первая аксиома.

Доказано, что области с таким отрицательным значением являются «маленькими»: они не могут распространяться на компактные области размером более нескольких час, а значит, исчезнут в классический предел. Они защищены принцип неопределенности, что не позволяет точной локализации в областях фазового пространства меньше, чем час, и, таким образом, делает такие «отрицательные вероятности» менее парадоксальными. Если левую часть уравнения следует интерпретировать как математическое ожидание в гильбертовом пространстве по отношению к оператору, то в контексте квантовая оптика это уравнение известно как теорема оптической эквивалентности. (Подробнее о свойствах и интерпретации функции Вигнера см. основная статья.)

Альтернативный подход к квантовой механике с фазовым пространством направлен на определение волновой функции (а не просто плотности квазивероятностей) на фазовом пространстве, обычно с помощью Преобразование Сегала – Баргмана. Чтобы быть совместимым с принципом неопределенности, волновая функция фазового пространства не может быть произвольной функцией, иначе она может быть локализована в сколь угодно малой области фазового пространства. Скорее преобразование Сегала – Баргманна представляет собой голоморфная функция из ${ displaystyle x + ip}$. С волновой функцией фазового пространства связана плотность квазивероятностей; это Представление Хусими Q волновой функции положения.

Звездный продукт

Фундаментальный некоммутативный бинарный оператор в формулировке фазового пространства, заменяющий стандартное операторное умножение, - это оператор звездный продукт, представленный символом ★.^[1] Каждое представление распределения фазового пространства имеет разные характерный звездный продукт. Для конкретности мы ограничим это обсуждение звездным произведением, относящимся к представлению Вигнера-Вейля.

Для удобства записи введем понятие левая и правая производные. Для пары функций ж и грамм, левая и правая производные определяются как

${ displaystyle { begin {align} f { overleftarrow { partial}} _ {x} g & = { frac { partial f} { partial x}} cdot g [5pt] f { overrightarrow { partial}} _ {x} g & = f cdot { frac { partial g} { partial x}}. end {align}}}$

В дифференциальное определение звездного продукта

${ displaystyle f star g = f , exp { left ({ frac {i hbar} {2}} left ({ overleftarrow { partial}} _ {x} { overrightarrow { partial) }} _ {p} - { overleftarrow { partial}} _ {p} { overrightarrow { partial}} _ {x} right) right)} , g}$

где аргумент экспоненциальной функции можно интерпретировать как степенной ряд. Дополнительные дифференциальные соотношения позволяют записать это в терминах изменения аргументов ж и грамм:

${ displaystyle { begin {align} (е звезда g) (x, p) & = f left (x + { tfrac {i hbar} {2}} { overrightarrow { partial}} _ {p }, p - { tfrac {i hbar} {2}} { overrightarrow { partial}} _ {x} right) cdot g (x, p) & = f (x, p) cdot g left (x - { tfrac {i hbar} {2}} { overleftarrow { partial}} _ {p}, p + { tfrac {i hbar} {2}} { overleftarrow { partial}} _ {x} right) & = f left (x + { tfrac {i hbar} {2}} { overrightarrow { partial}} _ {p}, p right) cdot g left (x - { tfrac {i hbar} {2}} { overleftarrow { partial}} _ {p}, p right) & = f left (x, p - { tfrac {i hbar} {2}} { overrightarrow { partial}} _ {x} right) cdot g left (x, p + { tfrac {i hbar} {2}} { overleftarrow { partial}} _ {x} right). end {align}}}$

Также можно определить ★-произведение в интегральной форме свертки,^[16] в основном через преобразование Фурье:

${ Displaystyle (е звезда г) (х, р) = { гидроразрыва {1} { pi ^ {2} hbar ^ {2}}} , int f (х + х ', р + р ') , g (x + x' ', p + p' ') , exp { left ({ tfrac {2i} { hbar}} (x'p' '- x''p') right)} , dx'dp'dx''dp '' ~.}$

(Так, например,^[7] Гауссианцы составляют гиперболически,

${ displaystyle exp left (- {a} (x ^ {2} + p ^ {2}) right) ~ star ~ exp left (- {b} (x ^ {2} + p ^ {2}) right) = {1 over 1+ hbar ^ {2} ab} exp left (- {a + b over 1+ hbar ^ {2} ab} (x ^ {2} + p ^ {2}) right),}$

или же

${ displaystyle delta (x) ~ star ~ delta (p) = {2 over h} exp left (2i {xp over hbar} right),}$

так далее.)

Энергия собственное состояние дистрибутивы известны как звездные государства, ★-роды, функции звезд, или же ★-генфункции, а связанные с ним энергии известны как stargenvalues или же ★-genvalues. Они решаются аналогично не зависящей от времени Уравнение Шредингера, посредством ★-гензначное уравнение,^[17][18]

${ Displaystyle H звезда W = E cdot W,}$

куда ЧАС представляет собой гамильтониан, простую функцию фазового пространства, чаще всего идентичную классическому гамильтониану.

Временная эволюция

В эволюция во времени распределения фазового пространства задается квантовой модификацией Поток Лиувилля.^[2][9][19] Эта формула является результатом применения Преобразование Вигнера к версии матрицы плотности квантовое уравнение Лиувилля, то уравнение фон Неймана.

В любом представлении распределения фазового пространства с соответствующим звездным произведением это

${ displaystyle { frac { partial f} { partial t}} = - { frac {1} {i hbar}} left (f star H-H star f right),}$

или, в частности, для функции Вигнера

${ displaystyle { frac { partial W} { partial t}} = - { {W, H } } = - { frac {2} { hbar}} W sin left ({ { frac { hbar} {2}} ({ overset { leftarrow} { partial _ {x}}} { overset { rightarrow} { partial _ {p}}} - { overset { leftarrow} { partial _ {p}}} { overset { rightarrow} { partial _ {x}}})} right) H = - {W, H } + O ( hbar ^ { 2}),}$

где Кронштейн Мойял, преобразование Вигнера квантового коммутатора, а {,} - классический Скобка Пуассона.^[2]

Это дает краткую иллюстрацию принцип соответствия: это уравнение явно сводится к классическому уравнению Лиувилля в пределе час → 0. Однако в квантовом расширении потока плотность точек в фазовом пространстве не сохраняется; жидкость вероятности кажется "диффузной" и сжимаемой.^[2] Поэтому концепция квантовой траектории здесь является деликатным вопросом.^[20] Посмотрите фильм о потенциале Морзе ниже, чтобы оценить нелокальность квантового фазового потока.

N.B. Учитывая ограничения, налагаемые принципом неопределенности на локализацию, Нильс Бор решительно отрицал физическое существование таких траекторий в микроскопическом масштабе. С помощью формальных траекторий в фазовом пространстве проблема временной эволюции функции Вигнера может быть строго решена с использованием метода интегралов по путям^[21] и метод квантовых характеристик,^[22] хотя в обоих случаях есть серьезные практические препятствия.

Примеры

Простой гармонический осциллятор

Распределение квазивероятностей Вигнера F_п(ты) для простого гармонического осциллятора с а) п = 0, б) п = 1, и c) п = 5.

Гамильтониан простого гармонического осциллятора в одном пространственном измерении в представлении Вигнера-Вейля имеет вид

${ displaystyle H = { frac {1} {2}} m omega ^ {2} x ^ {2} + { frac {p ^ {2}} {2m}}.}$

В ★-genvalue уравнение для статический Затем функция Вигнера читает

${ displaystyle { begin {align} H star W = {} & left ({ frac {1} {2}} m omega ^ {2} x ^ {2} + { frac {p ^ { 2}} {2m}} right) star W [4pt] = {} & left ({ frac {1} {2}} m omega ^ {2} left (x + { frac { i hbar} {2}} { stackrel { rightarrow} { partial}} _ {p} right) ^ {2} + { frac {1} {2m}} left (p - { frac {i hbar} {2}} { stackrel { rightarrow} { partial}} _ {x} right) ^ {2} right) ~ W [4pt] = {} & left ({ frac {1} {2}} m omega ^ {2} left (x ^ {2} - { frac { hbar ^ {2}} {4}} { stackrel { rightarrow} { partial }} _ {p} ^ {2} right) + { frac {1} {2m}} left (p ^ {2} - { frac { hbar ^ {2}} {4}} { stackrel { rightarrow} { partial}} _ {x} ^ {2} right) right) ~ W [4pt] & {} + { frac {i hbar} {2}} left ( m omega ^ {2} x { stackrel { rightarrow} { partial}} _ {p} - { frac {p} {m}} { stackrel { rightarrow} { partial}} _ {x } right) ~ W [4pt] = {} & E cdot W. end {align}}}$

Временная эволюция комбинированной функции Вигнера основного и первого возбужденного состояний для простого гармонического осциллятора. Обратите внимание на жесткое движение в фазовом пространстве, соответствующее обычным колебаниям в координатном пространстве.

Функция Вигнера для основного состояния гармонического осциллятора, смещенного из начала фазового пространства, т.е. когерентное состояние. Обратите внимание на жесткое вращение, идентичное классическому движению: это особенность SHO, иллюстрирующая принцип соответствия. С сайта общей педагогики.^[23]

(Щелкните, чтобы оживить.)

Рассмотрим сначала мнимую часть ★-гензначное уравнение,

${ displaystyle { frac { hbar} {2}} left (m omega ^ {2} x { stackrel { rightarrow} { partial _ {p}}} - { frac {p} {m }} { stackrel { rightarrow} { partial _ {x}}} right) cdot W = 0}$

Это означает, что можно написать ★-genstates как функции одного аргумента,

${ displaystyle W (x, p) = F left ({ frac {1} {2}} m omega ^ {2} x ^ {2} + { frac {p ^ {2}} {2m}) } right) Equiv F (u).}$

При такой замене переменных можно записать действительную часть ★-женовое уравнение в виде модифицированного уравнения Лагерра (не Уравнение Эрмита!), в решении которой участвует Полиномы Лагерра в качестве^[18]

${ displaystyle F_ {n} (u) = { frac {(-1) ^ {n}} { pi hbar}} L_ {n} left (4 { frac {u} { hbar omega }} right) e ^ {- 2u / hbar omega} ~,}$

представленный Groenewold в его статье,^[1] с ассоциированным ★-genvalues

${ displaystyle E_ {n} = hbar omega left (n + { frac {1} {2}} right) ~.}$

Для гармонического осциллятора эволюция произвольного распределения Вигнера во времени проста. Начальный W(Икс,п; т = 0) = F(ты) эволюционирует в соответствии с приведенным выше уравнением эволюции, управляемым гамильтонианом осциллятора, заданным просто жестко вращающийся в фазовом пространстве,^[1]

${ Displaystyle W (Икс, п; T) = W (м омега х соз омега т-р грех омега т, ~ р соз омега т + омега мкс грех омега т; 0) ~.}$

Обычно "выпуклость" (или когерентное состояние) энергии E ≫ ħω может представлять макроскопическую величину и выглядеть как классический объект, равномерно вращающийся в фазовом пространстве, простой механический осциллятор (см. анимированные рисунки). Интеграция по всем фазам (стартовые позиции в т = 0) таких объектов, непрерывный «частокол», дает не зависящую от времени конфигурацию, аналогичную приведенной выше статической ★-городы F(ты), интуитивно понятная визуализация классический предел для систем большого действия.^[6]

Угловой момент свободной частицы

Предположим, что частица изначально находится в минимально неопределенном Гауссово состояние, с ожидаемыми значениями положения и импульса, сосредоточенными в начале координат в фазовом пространстве. Функция Вигнера для такого состояния свободно распространяется:

${ displaystyle W ( mathbf {x}, mathbf {p}; t) = { frac {1} {( pi hbar) ^ {3}}} exp { left (- alpha ^ { 2} r ^ {2} - { frac {p ^ {2}} { alpha ^ {2} hbar ^ {2}}} left (1+ left ({ frac {t} { tau }} right) ^ {2} right) + { frac {2t} { hbar tau}} mathbf {x} cdot mathbf {p} right)} ~,}$

куда α - параметр, описывающий начальную ширину гауссианы, а τ = м/α²час.

Первоначально положение и импульсы не коррелированы. Таким образом, в трехмерном пространстве мы ожидаем, что векторы положения и импульса будут в два раза чаще быть перпендикулярными друг другу, чем параллельными.

Однако положение и импульс становятся все более коррелированными по мере развития состояния, потому что части распределения, расположенные дальше от начала координат, требуют большего импульса для достижения: асимптотически,

${ displaystyle W longrightarrow { frac {1} {( pi hbar) ^ {3}}} exp left [- alpha ^ {2} left ( mathbf {x} - { frac { mathbf {p} t} {m}} right) ^ {2} right] ,.}$

(Этот родственник "выдавливание" отражает распространение бесплатных волновой пакет в координатном пространстве.)

В самом деле, можно показать, что кинетическая энергия частицы становится только асимптотически радиальной в соответствии со стандартным квантово-механическим представлением о ненулевом угловом моменте основного состояния, определяющем независимость от ориентации:^[24]

${ displaystyle K _ { text {rad}} = { frac { alpha ^ {2} hbar ^ {2}} {2m}} left ({ frac {3} {2}} - { frac {1} {1+ (т / тау) ^ {2}}} right)}$

${ displaystyle K _ { text {ang}} = { frac { alpha ^ {2} hbar ^ {2}} {2m}} { frac {1} {1+ (t / tau) ^ { 2}}} ~.}$

Потенциал Морзе

В Потенциал Морзе используется для аппроксимации колебательной структуры двухатомной молекулы.

Воспроизвести медиа

В Функция Вигнера временная эволюция Потенциал Морзе U(Икс) = 20(1 − е^{−0.16Икс})² в атомные единицы (а.е.). Сплошные линии представляют набор уровней из Гамильтониан ЧАС(Икс, п) = п²/2 + U(Икс).

Квантовое туннелирование

Туннелирование это отличительный квантовый эффект, когда квантовая частица, не имея достаточной энергии, чтобы лететь над ней, все же проходит через барьер. Этого эффекта нет в классической механике.

Воспроизвести медиа

В Функция Вигнера за туннелирование через потенциальный барьер U(Икс) = 8е^{−0.25Икс2} в атомные единицы (а.е.). Сплошные линии представляют набор уровней из Гамильтониан ЧАС(Икс, п) = п²/2 + U(Икс).

Четвертый потенциал

Воспроизвести медиа

В Функция Вигнера эволюция во времени для потенциала U(Икс) = 0.1Икс⁴ в атомные единицы (а.е.). Сплошные линии представляют набор уровней из Гамильтониан ЧАС(Икс, п) = п²/2 + U(Икс).

Шредингер состояние кошки

Функция Вигнера двух интерферирующих когерентных состояний, эволюционирующих через гамильтониан ШО. Соответствующие проекции импульса и координат нанесены справа и под графиком в фазовом пространстве.

Рекомендации