Преобразование Вигнера – Вейля - Wigner–Weyl transform

В квантовая механика, то Преобразование Вигнера – Вейля или же Преобразование Вейля – Вигнера (после Герман Вейль и Юджин Вигнер ) - обратимое отображение между функциями в квантовой формулировка фазового пространства и Гильбертово пространство операторы в Картина Шредингера.

Часто отображение функций на фазовом пространстве в операторы называют Преобразование Вейля или же Квантование Вейля, в то время как обратное отображение от операторов к функциям на фазовом пространстве называется Преобразование Вигнера. Это отображение было первоначально разработано Германом Вейлем в 1927 году в попытке симметризовать отображение классический функции фазового пространства для операторов, процедура, известная как Квантование Вейля.^[1] Теперь понятно, что квантование Вейля не удовлетворяет всем свойствам, которые требуются для квантования, и поэтому иногда дает нефизические ответы. С другой стороны, некоторые из замечательных свойств, описанных ниже, предполагают, что, если кто-то ищет единую согласованную процедуру квантования, отображающую функции на классическом фазовом пространстве в операторы, квантование Вейля - лучший вариант. (Теорема Гроенвольда говорит, что никакая такая карта не может обладать всеми идеальными свойствами.)

Несмотря на это, преобразование Вейля – Вигнера представляет собой четко определенное интегральное преобразование между фазовым пространством и представлениями операторов и дает представление о работе квантовой механики. Самое главное, что Квази-вероятностное распределение Вигнера есть преобразование Вигнера квантовой матрица плотности, и, наоборот, матрица плотности - это преобразование Вейля функции Вигнера. В отличие от первоначальных намерений Вейля по поиску последовательной схемы квантования, эта карта просто сводится к изменению представления в рамках квантовой механики; нет необходимости связывать «классические» с «квантовыми» величинами. Например, функция фазового пространства может явно зависеть от постоянной Планка ħ, как это происходит в некоторых известных случаях, связанных с угловым моментом. Это обратимое изменение представления затем позволяет выразить квантовую механику в фазовом пространстве, как это было оценено в 1940-х годах Хильбранд Дж. Гроенвольд^[2] и Хосе Энрике Мойаль.^[3]^[4]

Определение квантования Вейля общей наблюдаемой

Следующее объясняет преобразование Вейля на простейшем двумерном евклидовом фазовом пространстве. Пусть координаты на фазовом пространстве равны $(д, р)$ , и разреши $ж$ - функция, определенная всюду на фазовом пространстве. Далее фиксируем операторы п и Q удовлетворение канонические коммутационные соотношения, такие как обычные операторы положения и импульса в представлении Шредингера. Мы предполагаем, что экспоненциальные операторы ${displaystyle e ^ {iaQ}}$ и ${displaystyle e ^ {ibP}}$ представляют собой неприводимое представление Вейлевские отношения, таким образом Теорема Стоуна – фон Неймана (гарантирующее единственность канонических коммутационных соотношений).

Основная формула

В Преобразование Вейля (или же Квантование Вейля) функции $ж$ задается следующим оператором в гильбертовом пространстве,

${displaystyle Phi [f] = {frac {1} {(2pi) ^ {2}}} iint !!! iint f (q, p) left (e ^ {i (a (Qq) + b (Pp)) } ight) {ext {d}} q, {ext {d}} p, {ext {d}} a, {ext {d}} b.}$

На протяжении, ${displaystyle hbar}$ это приведенная постоянная Планка.

Поучительно выполнить п и q сначала интегралы в приведенной выше формуле, что дает эффект вычисления обычного преобразования Фурье ${displaystyle {ilde {f}}}$ функции ${displaystyle f}$ , оставив оператора ${displaystyle e ^ {i (aQ + bP)}}$ . В этом случае преобразование Вейля можно записать как^[5]

{displaystyle Phi [f] = {frac {1} {(2pi) ^ {2}}} iint {ilde {f}} (a, b) e ^ {iaQ + ibP}, da, db}

.

Поэтому мы можем думать о отображении Вейля следующим образом: мы берем обычное преобразование Фурье функции ${displaystyle f (p, q)}$ , но затем, применяя формулу обращения Фурье, мы подставляем квантовые операторы ${displaystyle P}$ и ${displaystyle Q}$ для исходных классических переменных ${displaystyle p}$ и ${displaystyle q}$ , получив «квантовую версию ${displaystyle f}$ ."

Менее симметричная форма, но удобная для приложений, следующая:

{displaystyle Phi [f] = {frac {2} {(2pi hbar) ^ {3/2}}} iint !!! iint !! dqdpd {ilde {x}} d {ilde {p}} ~ e ^ { {frac {i} {hbar}} ({ilde {x}} {ilde {p}} - 2 ({ilde {p}} - p) ({ilde {x}} - q))} ~ f (q , p) ~ | {ilde {x}} угол langle {ilde {p}} |.}

В позиционном представлении

Тогда отображение Вейля также может быть выражено через матричные элементы интегрального ядра этого оператора:^[6]

{displaystyle langle x | Phi [f] | yangle = int _ {- infty} ^ {infty} {{ext {d}} p over h} ~ e ^ {ip (xy) / hbar} ~ fleft ({x + y больше 2}, pight).}

Обратная карта

Обратным вышеупомянутому отображению Вейля является Карта Вигнера, который принимает оператор $Φ$ вернуться к исходной функции ядра фазового пространства $ж$ ,

${displaystyle f (q, p) = 2int _ {- infty} ^ {infty} {ext {d}} y ~ e ^ {- 2ipy / hbar} ~ langle q + y | Phi [f] | q-yangle. }$

Если заменить ${displaystyle Phi [f]}$ в приведенном выше выражении с произвольным оператором результирующая функция $ж$ может зависеть от постоянной Планка $час$ , и может хорошо описывать квантово-механические процессы при условии, что он правильно скомпонован через звездный продукт, ниже.^[7]В свою очередь, карта Вейля карты Вигнера резюмируется Формула Греневольда,^[8]

{displaystyle Phi [f] = hiint, da, db ~ e ^ {iaQ + ibP} имя оператора {Tr} (e ^ {- iaQ-ibP} Phi).}

Квантование Вейля полиномиальных наблюдаемых

Хотя приведенные выше формулы дают хорошее представление о квантовании Вейля очень общей наблюдаемой на фазовом пространстве, они не очень удобны для вычислений на простых наблюдаемых, таких как те, которые являются полиномами от ${displaystyle q}$ и ${displaystyle p}$ . В следующих разделах мы увидим, что на таких полиномах квантование Вейля представляет собой полностью симметричный порядок некоммутирующих операторов ${displaystyle Q}$ и ${displaystyle P}$ Например, отображение Вигнера квантового оператора квадрата углового момента L² не просто классический квадрат углового момента, но также содержит член смещения $-3 час 2 /2$ , который объясняет ненулевой угловой момент основного состояния Орбита Бора.

Характеристики

Квантование Вейля многочленов

Действие квантования Вейля на полиномиальные функции от ${displaystyle q}$ и ${displaystyle p}$ полностью определяется следующей симметричной формулой:^[9]

{displaystyle (aq + bp) ^ {n} longmapsto (aQ + bP) ^ {n}}

для всех комплексных чисел ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ . Из этой формулы нетрудно показать, что квантование Вейля на функции вида ${displaystyle q ^ {k} p ^ {l}}$ дает среднее значение всех возможных порядков ${displaystyle k}$ факторы ${displaystyle Q}$ и ${displaystyle l}$ факторы ${displaystyle P}$ . Например, у нас есть

{displaystyle 6p ^ {2} q ^ {2} ~~ longmapsto ~~ P ^ {2} Q ^ {2} + Q ^ {2} P ^ {2} + PQPQ + PQ ^ {2} P + QPQP + QP ^ {2} Q.}

Хотя этот результат концептуально естественен, он неудобен для вычислений, когда ${displaystyle k}$ и ${displaystyle l}$ большие. В таких случаях мы можем использовать вместо этого формулу Маккоя^[10]

{displaystyle p ^ {m} q ^ {n} ~~ longmapsto ~~ {1 over 2 ^ {n}} sum _ {r = 0} ^ {n} {n choose r} Q ^ {r} P ^ { m} Q ^ {nr} = {1 больше 2 ^ {m}} сумма _ {s = 0} ^ {m} {m выберите s} P ^ {s} Q ^ {n} P ^ {ms}.}

Это выражение дает явно другой ответ для случая ${displaystyle p ^ {2} q ^ {2}}$ из полностью симметричного выражения выше. Однако здесь нет противоречия, поскольку канонические коммутационные соотношения допускают более одного выражения для одного и того же оператора. (Читателю может показаться поучительным использовать коммутационные соотношения для переписывания полностью симметричной формулы для случая ${displaystyle p ^ {2} q ^ {2}}$ с точки зрения операторов ${displaystyle P ^ {2} Q ^ {2}}$ , ${displaystyle QP ^ {2} Q}$ , и ${displaystyle Q ^ {2} P ^ {2}}$ и проверим первое выражение в формуле Маккоя с помощью ${displaystyle m = n = 2}$ .)

Широко распространено мнение, что квантование Вейля, среди всех схем квантования, максимально приближено к отображению скобки Пуассона на классической стороне на коммутатор на квантовой стороне. (Точное соответствие невозможно, в свете Теорема Гроенвольда.) Например,^[11]

Теорема: Если

{displaystyle f (q, p)}

является многочленом степени не выше 2 и

{displaystyle g (q, p)}

- произвольный многочлен, то имеем

{displaystyle Phi ({f, g}) = {frac {1} {ihbar}} [Phi (f), Phi (g)]}

.

Квантование по Вейлю общих функций

Если $ж$ это функция с действительным знаком, то его изображение карты Вейля $Φ [ж]$ является самосопряженный.
Если $ж$ является элементом Пространство Шварца, тогда $Φ [ж]$ является класс трассировки.
В более общем смысле, $Φ [ж]$ является плотно определенным неограниченный оператор.
Карта $Φ [ж]$ взаимно однозначно на пространстве Шварца (как подпространство квадратично интегрируемых функций).

Квантование деформации

Интуитивно деформация математического объекта - это семейство однотипных объектов, зависящих от некоторого параметра (ов). Здесь он предоставляет правила того, как деформировать «классическую» коммутативную алгебру наблюдаемых в квантовую некоммутативную алгебру наблюдаемых.

Основная установка в теории деформации - начать с алгебраической структуры (скажем, Алгебра Ли ) и спросите: существует ли один или несколько семейств параметров похожий структуры, такие, что для начального значения параметра (ов) один имеет ту же структуру (алгебру Ли), с которой был начат? (Самой старой иллюстрацией этого может быть осознание Эратосфен в древнем мире плоская Земля могла деформироваться до сферической Земли с параметром деформации 1 /р_⊕.) Например, можно определить некоммутативный тор как квантование деформации через ★-продукт для неявного обращения ко всем тонкостям сходимости (обычно не затрагиваемым при формальном квантовании деформации). Поскольку алгебра функций в пространстве определяет геометрию этого пространства, изучение звездного произведения приводит к изучению некоммутативная геометрия деформация этого пространства.

В контексте приведенного выше примера с плоским фазовым пространством звездное произведение (Мойял продукт, фактически представленный Groenewold в 1946 году), ★_час, пары функций в $ж 1, ж 2 \in C \infty (ℜ 2)$ , определяется

{displaystyle Phi [f_ {1} star f_ {2}] = Phi [f_ {1}] Phi [f_ {2}].,}

Звездное произведение, вообще говоря, не коммутативно, а переходит в обычное коммутативное произведение функций в пределе $час \to 0$ . Таким образом, говорят, что он определяет деформация коммутативной алгебры $C \infty (ℜ 2)$ .

Для приведенного выше примера карты Вейля ★-продукт может быть написан в терминах Скобка Пуассона в качестве

{displaystyle f_ {1} star f_ {2} = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {1} {n!}} left ({frac {ihbar} {2}} ight) ^ {n} Pi ^ {n} (f_ {1}, f_ {2}).}

Здесь Π - Бивектор Пуассона, оператор, определенный таким образом, что его мощности равны

{displaystyle Pi ^ {0} (f_ {1}, f_ {2}) = f_ {1} f_ {2}}

и

{displaystyle Pi ^ {1} (f_ {1}, f_ {2}) = {f_ {1}, f_ {2}} = {frac {partial f_ {1}} {partial q}} {frac {partial f_ {2}} {partial p}} - {frac {partial f_ {1}} {partial p}} {frac {partial f_ {2}} {partial q}} ~,}

куда {ж₁, ж₂} это Скобка Пуассона. В более общем смысле,

{displaystyle Pi ^ {n} (f_ {1}, f_ {2}) = sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n choose k} left ({frac {partial ^ {k}} {partial p ^ {k}}} {frac {partial ^ {nk}} {partial q ^ {nk}}} f_ {1} ight) осталось много времени ({frac {partial ^ {nk}} { частичный p ^ {nk}}} {frac {partial ^ {k}} {частичный q ^ {k}}} f_ {2} ight)}

куда ${displaystyle {n выбрать k}}$ это биномиальный коэффициент.

Так, например,^[8] Гауссианцы составляют гиперболически,

{displaystyle exp left (- {a} (q ^ {2} + p ^ {2}) ight) ~ star ~ exp left (- {b} (q ^ {2} + p ^ {2}) ight) = {1 больше 1 + hbar ^ {2} ab} exp left (- {a + b over 1 + hbar ^ {2} ab} (q ^ {2} + p ^ {2}) ight),}

или же

{displaystyle delta (q) ~ star ~ delta (p) = {2 over h} exp left (2i {qp over hbar} ight),}

Эти формулы основаны на координатах, в которых Бивектор Пуассона постоянна (плоские скобки Пуассона). Для общей формулы на произвольных Пуассоновы многообразия, ср. то Формула квантования Концевича.

Антисимметризация этого ★-продукт дает Кронштейн Мойял, собственная квантовая деформация Скобка Пуассона, и изоморф фазового пространства (преобразование Вигнера) квантовой коммутатор в более обычной формулировке квантовой механики в гильбертовом пространстве. Таким образом, он является краеугольным камнем динамических уравнений наблюдаемых в этой формулировке фазового пространства.

Получается полный формулировка фазового пространства квантовой механики, полностью эквивалентно представлению оператора в гильбертовом пространстве, с умножениями звезды, изоморфно распараллеливающими операторные умножения.^[8]

Значения ожидания при квантовании в фазовом пространстве получаются изоморфно отслеживанию наблюдаемых операторов $Φ$ с матрицей плотности в гильбертовом пространстве: они получаются интегралами по фазовому пространству наблюдаемых, таких как приведенный выше $ж$ с Квази-вероятностное распределение Вигнера эффективно служащая мерой.

Таким образом, выражая квантовую механику в фазовом пространстве (та же область, что и для классической механики), указанное выше отображение Вейля облегчает признание квантовой механики как деформация (обобщение, ср. принцип соответствия ) классической механики с параметром деформации $час / S$ . (Другие известные деформации в физике включают деформацию классической ньютоновской механики в релятивистскую механику с параметром деформации v / c; или деформация ньютоновской гравитации в общую теорию относительности с параметром деформации радиус Шварцшильда / характеристический размер. Наоборот, групповое сокращение приводит к недеформированным теориям исчезающего параметра -классические пределы.)

Классические выражения, наблюдаемые и операции (например, скобки Пуассона) модифицируются $час$ -зависимые квантовые поправки, поскольку обычное коммутативное умножение, применяемое в классической механике, обобщается на некоммутативное звездное умножение характеризует квантовую механику и лежит в основе ее принципа неопределенности.

Несмотря на свое название, квантование деформации не является успешным схема квантования, а именно метод создания квантовой теории из классической. Это просто изменение представления от гильбертова пространства к фазовому пространству.

Обобщения

В более общем плане квантование Вейля изучается в случаях, когда фазовое пространство является симплектическое многообразие, или, возможно, Пуассоново многообразие. Связанные структуры включают Группы Пуассона – Ли и Алгебры Каца – Муди.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Дело, Уильям Б. (октябрь 2008 г.). «Функции Вигнера и преобразования Вейля для пешеходов». Американский журнал физики. 76 (10): 937–946. Bibcode:2008AmJPh..76..937C. Дои:10.1119/1.2957889. (В разделах с I по IV этой статьи дается обзор Преобразование Вигнера – Вейля, то Распределение квазивероятностей Вигнера, то формулировка фазового пространства квантовой механики и на примере квантовый гармонический осциллятор.)
«Квантование Вейля», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Вейль, Х. (1927). "Quantenmechanik und Gruppentheorie". Zeitschrift für Physik. 46 (1–2): 1–46. Bibcode:1927ZPhy ... 46 .... 1Вт. Дои:10.1007 / BF02055756. S2CID 121036548.

[2] Groenewold, H. J. (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica. 12 (7): 405–446. Bibcode:1946Phy .... 12..405G. Дои:10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4.

[3] Moyal, J.E .; Бартлетт, М. С. (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества. 45 (1): 99–124. Bibcode:1949PCPS ... 45 ... 99M. Дои:10.1017 / S0305004100000487.

[4] Curtright, T. L .; Захос, К. К. (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона. 1: 37–46. arXiv:1104.5269. Дои:10.1142 / S2251158X12000069. S2CID 119230734.

[5] Зал 2013 Раздел 13.3

[6] Зал 2013 Определение 13.7.

[7] Кубо Р. (1964). "Вигнеровское представление квантовых операторов и его приложения к электронам в магнитном поле". Журнал Физического общества Японии. 19 (11): 2127–2139. Bibcode:1964JPSJ ... 19,2127K. Дои:10.1143 / JPSJ.19.2127.

[Zachos-8] а ^б ^c Curtright, T. L .; Fairlie, D. B .; Захос, К. К. (2014). Краткий трактат по квантовой механике в фазовом пространстве. Всемирный научный. ISBN 9789814520430.

[9] Зал 2013 Предложение 13.3.

[10] Маккой, Нил (1932). «О функции в квантовой механике, которая соответствует заданной функции в классической механике», Proc Nat Acad Sci USA 19 674, онлайн .

[11] Зал 2013 Предложение 13.11.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]