Представление осциллятора - Oscillator representation

В математика, то представление осциллятора является проективным унитарное представительство из симплектическая группа, впервые исследованный Ирвинг Сигал, Дэвид Шейл, и Андре Вайль. Естественное расширение представления приводит к полугруппа из операторы сжатия, представленный как полугруппа осцилляторов к Роджер Хоу в 1988 г. Полугруппа ранее изучалась другими математиками и физиками, в первую очередь Феликс Березин в 1960-е гг. Самый простой пример в одном измерении дается СУ (1,1). Он действует как Преобразования Мебиуса на расширенном комплексная плоскость, оставив единичный круг инвариантный. В этом случае представление осциллятора является унитарным представлением двойная крышка группы SU (1,1), а полугруппа осцилляторов соответствует представлению сжимающими операторами полугруппы в SL (2,C) соответствующий Преобразования Мебиуса которые принимают единичный диск в себя.

Операторы сжатия, определенные только с точностью до знака, имеют ядра которые Гауссовы функции. На бесконечно малый уровне полугруппа описывается конусом в Алгебра Ли SU (1,1), которое можно отождествить с световой конус. Та же самая структура распространяется на симплектическая группа в высших измерениях, включая его аналог в бесконечных измерениях. Эта статья подробно объясняет теорию SU (1,1) и резюмирует, как ее можно расширить.

Исторический обзор

Математическая формулировка квантовая механика к Вернер Гейзенберг и Эрвин Шредингер изначально был с точки зрения неограниченный самосопряженные операторы на Гильбертово пространство. Фундаментальные операторы, соответствующие положению и импульсу, удовлетворяют правилу Гейзенберга коммутационные отношения. Квадратичные многочлены от этих операторов, в которые входят гармонический осциллятор, также замкнуты относительно взятия коммутаторов.

Большое количество теория операторов был разработан в 1920-х и 1930-х годах, чтобы обеспечить прочную основу квантовой механики. Часть теории была сформулирована в терминах унитарные группы операторов, в основном за счет вклада Герман Вейль, Маршалл Стоун и Джон фон Нейман. В свою очередь, эти результаты в математической физике были включены в математический анализ, начиная с лекций 1933 г. Норберт Винер, кто использовал тепловое ядро для гармонического осциллятора, чтобы получить свойства преобразование Фурье.

Единственность коммутационных соотношений Гейзенберга, сформулированных в Теорема Стоуна – фон Неймана, позже интерпретировался в теория представлений групп, в частности теория индуцированные представления по инициативе Джордж Макки. Квадратичные операторы понимались в терминах проективное унитарное представление группы SU (1,1) и ее Алгебра Ли. Ирвинг Сигал и Дэвид Шейл обобщил эту конструкцию на симплектическая группа в конечных и бесконечных измерениях - в физике это часто называют бозонное квантование: он построен как симметрическая алгебра бесконечномерного пространства. Сигал и Шейл также рассмотрели случай фермионное квантование, которая строится как внешняя алгебра бесконечномерного гильбертова пространства. В частном случае конформная теория поля в 1 + 1 измерениях две версии становятся эквивалентными благодаря так называемому «бозон-фермионному соответствию». Это применимо не только к анализу, где существуют унитарные операторы между бозонными и фермионными гильбертовыми пространствами, но и к математической теории алгебры вершинных операторов. Вершинные операторы сами изначально возникли в конце 1960-х гг. в теоретическая физика, особенно в теория струн.

Андре Вайль позже расширил конструкцию до p-адические группы Ли, показывая, как идеи могут быть применены в теория чисел, в частности, дать теоретико-групповое объяснение тета-функции и квадратичная взаимность. Несколько физиков и математиков обнаружили, что операторы теплового ядра, соответствующие гармоническому осциллятору, связаны с комплексирование из SU (1,1): это была не вся SL (2,C), но вместо этого комплексная полугруппа, определяемая естественным геометрическим условием. Теория представлений этой полугруппы и ее обобщений в конечных и бесконечных измерениях имеет приложения как в математике, так и в теоретической физике.^[1]

Полугруппы в SL (2, C)

Группа:

${ displaystyle G = operatorname {SU} (1,1) = left { left. { begin {pmatrix} alpha & beta { overline { beta}} & { overline { alpha}} end {pmatrix}} right || alpha | ^ {2} - | beta | ^ {2} = 1 right },}$

является подгруппой грамм_c = SL (2,C), группа комплексных матриц 2 × 2 с определителем 1. Если грамм₁ = SL (2,р) тогда

${ displaystyle G = CG_ {1} C ^ {- 1}, qquad C = { begin {pmatrix} 1 & i i & 1 end {pmatrix}}.}$

Это следует из того, что соответствующее преобразование Мёбиуса является Преобразование Кэли который несет верхняя полуплоскость на единичный диск, а реальная прямая на единичный круг.

Группа SL (2,р) порождается как абстрактная группа

${ displaystyle J = { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}}}$

и подгруппа нижнетреугольных матриц

${ displaystyle left { left. { begin {pmatrix} a & 0 b & a ^ {- 1} end {pmatrix}} right | a, b in mathbf {R}, a> 0 right }.}$

Действительно, орбита вектора

${ displaystyle v = { begin {pmatrix} 0 1 end {pmatrix}}}$

под подгруппой, порожденной этими матрицами, нетрудно видеть все р² и стабилизатор из v в грамм₁ лежит внутри этой подгруппы.

Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ SU (1,1) состоит из матриц

${ displaystyle { begin {pmatrix} ix & w { overline {w}} & - ix end {pmatrix}}, quad x in mathbf {R}.}$

Период 2 автоморфизм σ из грамм_c

${ displaystyle sigma (g) = M { overline {g}} M ^ {- 1},}$

с

${ displaystyle M = { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}},}$

имеет подгруппу фиксированной точки грамм поскольку

${ displaystyle sigma { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} { overline {d}} & { overline {c}} { overline {b }} & { overline {a}} end {pmatrix}}.}$

Аналогичным образом эта же формула определяет автоморфизм периода два σ алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {c}}$ из грамм_c, комплексные матрицы с нулевым следом. Стандартная основа ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {c}}$ над C дан кем-то

${ displaystyle L_ {0} = { begin {pmatrix} {1 over 2} & 0 0 & - {1 over 2} end {pmatrix}}, quad L _ {- 1} = { begin { pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}}, quad L_ {1} = { begin {pmatrix} 0 & 0 - 1 & 0 end {pmatrix}}.}$

Таким образом, при −1 ≤ м, п ≤ 1

${ displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (m-n) L_ {m + n}.}$

Существует прямая сумма разложение

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {c} = { mathfrak {g}} oplus i { mathfrak {g}},}$

куда ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ является +1 собственным подпространством σ и ${ Displaystyle я { mathfrak {g}}}$ собственное подпространство –1.

Матрицы Икс в ${ Displaystyle я { mathfrak {g}}}$ иметь форму

${ displaystyle X = { begin {pmatrix} x & w - { overline {w}} & - x end {pmatrix}}.}$

Обратите внимание, что

${ displaystyle - det X = x ^ {2} - | w | ^ {2}.}$

Конус C в ${ Displaystyle я { mathfrak {g}}}$ определяется двумя условиями. Первый ${ Displaystyle Det X <0.}$ По определению это условие сохраняется при спряжение к грамм. С грамм связан, он оставляет два компонента с Икс > 0 и Икс <0 инвариант. Второе условие: ${ displaystyle x <0.}$

Группа грамм^c действует преобразованиями Мёбиуса на расширенной комплексной плоскости. Подгруппа грамм действует как автоморфизмы единичного круга D. Полугруппа ЧАС из грамм^c, впервые рассмотрено Ольшанский (1981), можно определить геометрическим условием:

${ displaystyle g ({ overline {D}}) subset D.}$

Полугруппа может быть явно описана в терминах конуса C:^[2]

${ Displaystyle Н = г CDOT ехр (С) = ехр (С) CDOT G.}$

Фактически матрица Икс может быть сопряжен элементом грамм к матрице

${ displaystyle Y = { begin {pmatrix} -y & 0 0 & y end {pmatrix}}}$

с

${ displaystyle y = { sqrt {x ^ {2} - | w | ^ {2}}}> 0.}$

Поскольку преобразование Мёбиуса, соответствующее exp Y отправляет z к е^−2уz, то правая часть лежит в полугруппе. И наоборот, если грамм лежит в ЧАС он переносит закрытый единичный диск на меньший закрытый диск внутри себя. Спряжение элементом грамм, меньший диск можно принять за центр 0. Но тогда для подходящего у, элемент ${ displaystyle e ^ {- Y} g}$ несет D на себя так лежит в грамм.

Аналогичный аргумент показывает, что закрытие ЧАС, также полугруппа, задается формулой

${ displaystyle { overline {H}} = {g in operatorname {SL} (2, mathbf {C}) | gD substeq D } = G cdot exp { overline {C}} = exp { overline {C}} cdot G.}$

Из приведенного выше утверждения о сопряженности следует, что

${ displaystyle H = GA _ {+} G,}$

куда

${ displaystyle A _ {+} = left { left. { begin {pmatrix} e ^ {- y} & 0 0 & e ^ {y} end {pmatrix}} right | y> 0 right }.}$

Если

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} in H}$

тогда

${ displaystyle { begin {pmatrix} { overline {a}} & { overline {b}} { overline {c}} & { overline {d}} end {pmatrix}}, quad { begin {pmatrix} a & -c - b & d end {pmatrix}} in H,}$

так как последний получается транспонированием и сопряжением диагональной матрицей с элементами ± 1. Следовательно ЧАС также содержит

${ displaystyle { begin {pmatrix} { overline {a}} & - { overline {c}} - { overline {b}} & { overline {d}} end {pmatrix}}. }$

что дает обратную матрицу, если исходная матрица лежит в SU (1,1).

Дальнейший результат о сопряженности следует из того, что каждый элемент ЧАС должен исправить точку в D, которое сопряжением с элементом грамм можно принять равным 0. Тогда элемент из ЧАС имеет форму

${ displaystyle M = { begin {pmatrix} a & 0 b & a ^ {- 1} end {pmatrix}}, qquad | a | <1 quad { text {and}} quad | b | <| а | ^ {- 1} - | а |.}$

Набор таких нижнетреугольных матриц образует подполугруппу ЧАС₀ из ЧАС.

С

${ displaystyle M { begin {pmatrix} x & 0 0 & x ^ {- 1} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} x & 0 ba ^ {- 1} (xx ^ {- 1}) & x ^ {- 1} end {pmatrix}} M,}$

каждая матрица в ЧАС₀ сопряжена диагональной матрице матрицей M в ЧАС₀.

Аналогично каждая однопараметрическая полугруппа S(т) в ЧАС исправляет ту же точку в D так сопряжен элементом грамм однопараметрической полугруппе в ЧАС₀.

Отсюда следует, что существует матрица M в ЧАС₀ такой, что

${ displaystyle MS (t) = S_ {0} (t) M,}$

с S₀(т) диагональ. Аналогично существует матрица N в ЧАС₀ такой, что

${ Displaystyle S (т) N = NS_ {0} (т),}$

Полугруппа ЧАС₀ порождает подгруппу L комплексных нижнетреугольных матриц с определителем 1 (заданным приведенной выше формулой с а ≠ 0). Его алгебра Ли состоит из матриц вида

${ displaystyle Z = { begin {pmatrix} z ​​& 0 w & -z end {pmatrix}}.}$

В частности, однопараметрическая полугруппа exp tZ лежит в ЧАС₀ для всех т > 0 тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle Re Z <0}$ и ${ Displaystyle | Re Z |> { tfrac {1} {2}} | ш |.}$

Это следует из критерия ЧАС или прямо из формулы

${ Displaystyle ехр Z = { begin {pmatrix} e ^ {z} & 0 f (z) w & e ^ {- z} end {pmatrix}}, qquad f (z) = { sinh z над z}.}$

Известно, что экспоненциальное отображение не является сюръективный в этом случае, даже если это сюръективно для всей группы L. Это следует потому, что операция возведения в квадрат не сюръективна в ЧАС. В самом деле, поскольку квадрат элемента фиксирует 0, только если исходный элемент фиксирует 0, достаточно доказать это в ЧАС₀. Возьмем α с | α | <1 и

${ displaystyle left | alpha + alpha ^ {- 1} right | <| alpha | + | alpha ^ {- 1} |.}$

Если а = α² и

${ Displaystyle Ь = (1- дельта) (| а | ^ {- 1} - | а |),}$

с

${ Displaystyle (1- дельта) ^ {2} = {| альфа + альфа ^ {- 1} | over | alpha | + | alpha ^ {- 1} |},}$

тогда матрица

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & 0 b & a ^ {- 1} end {pmatrix}}}$

не имеет квадратного корня в ЧАС₀. Для квадратного корня будет вид

${ displaystyle { begin {pmatrix} alpha & 0 beta & alpha ^ {- 1} end {pmatrix}}.}$

С другой стороны,

${ displaystyle | beta | = {b over | alpha + alpha ^ {- 1} |} = {| alpha | ^ {- 1} - | alpha | over 1- delta}> | alpha | ^ {- 1} - | alpha |.}$

Замкнутая полугруппа ${ displaystyle { overline {H}}}$ является максимальный в SL (2,C): любая большая полугруппа должна быть всей SL (2,C).^{[3][4][5][6][7]}

Используя вычисления, мотивированные теоретической физикой, Феррара и др. (1973) представил полугруппу ${ displaystyle H}$, определяемый набором неравенств. Без идентификации ${ displaystyle H}$ как полугруппа сжатия они установили максимальность ${ displaystyle { overline {H}}}$. Используя определение как полугруппу сжатия, максимальность сводится к проверке того, что происходит при добавлении нового дробного преобразования ${ displaystyle g}$ к ${ displaystyle { overline {H}}}$. Идея доказательства зависит от положения двух дисков. ${ displaystyle g (D)}$ и ${ displaystyle D}$. В ключевых случаях либо один диск содержит другой, либо они не пересекаются. В простейших случаях ${ displaystyle g}$ является инверсией масштабного преобразования или ${ displaystyle g (z) = - 1 / z}$. В любом случае ${ displaystyle g}$ и ${ displaystyle H}$ порождают открытую окрестность 1 и, следовательно, всю SL (2, C)

Потом Лоусон (1998) дал другой более прямой способ доказать максимальность, сначала показав, что существует грамм в S отправка D на диск D^c, |z| > 1. Ведь если ${ Displaystyle х в S setminus { overline {H}},}$ то есть маленький диск D₁ в D такой, что xD₁ лежит в D^c. Тогда для некоторых час в ЧАС, D₁ = HD. по аналогии yxD₁ = D^c для некоторых у в ЧАС. Так грамм = yxh лежит в S и отправляет D на D^c. Следует, что грамм² фиксирует блок диска D поэтому лежит в SU (1,1). Так грамм⁻¹ лежит в S. Если т лежит в ЧАС тогда tgD содержит gD. Следовательно ${ displaystyle g ^ {- 1} t ^ {- 1} g in { overline {H}}.}$ Так т⁻¹ лежит в S и поэтому S содержит открытую окрестность 1. Следовательно S = SL (2,C).

Точно такой же аргумент работает для преобразований Мёбиуса на р^п и открытая полугруппа, взявшая замкнутую единичную сферу ||Икс|| ≤ 1 в открытую единичную сферу ||Икс|| <1. Замыкание является максимальной собственной полугруппой в группе всех преобразований Мёбиуса. Когда п = 1, замыкание соответствует преобразованиям Мёбиуса вещественной прямой, переводящим отрезок [–1,1] в себя.^[8]

Полугруппа ЧАС и его закрытие имеют дополнительную структуру, унаследованную от грамм, а именно инверсию на грамм распространяется на антиавтоморфизм из ЧАС и его закрытие, которое фиксирует элементы в exp C и его закрытие. За

${ displaystyle g = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}},}$

антиавтоморфизм дается формулой

${ displaystyle g ^ {+} = { begin {pmatrix} { overline {a}} & - { overline {c}} - { overline {b}} & { overline {d}} конец {pmatrix}}}$

и продолжается до антиавтоморфизма SL (2,C).

Аналогично антиавтоморфизм

${ displaystyle g ^ { dagger} = { begin {pmatrix} { overline {d}} & - { overline {b}} - { overline {c}} & { overline {a}} end {pmatrix}}}$

листья грамм₁ инвариантен и фиксирует элементы в exp C₁ и его замыкание, поэтому он обладает аналогичными свойствами для полугруппы в грамм₁.

Коммутационные соотношения Гейзенберга и Вейля

Позволять ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ быть пространством Функции Шварца на р. Он плотный в Гильбертово пространство L²(р) из квадратично интегрируемые функции на р. Следуя терминологии квантовая механика, оператор "импульса" п и оператор "позиции" Q определены на ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ к

${ displaystyle Pf (x) = if '(x), qquad Qf (x) = xf (x).}$

Там операторы удовлетворяют Коммутационное соотношение Гейзенберга

${ displaystyle PQ-QP = iI.}$

Обе п и Q являются самосопряженными для внутреннего продукта на ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ унаследовано от L²(р).

Две однопараметрические унитарные группы U(s) и V(т) можно определить на ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ и L²(р) к

${ Displaystyle U (s) f (x) = f (x-s), qquad V (t) f (x) = e ^ {ixt} f (x).}$

По определению

${ displaystyle {d over ds} U (s) f = iPU (s) f, qquad {d over dt} V (t) f = iQV (t) f}$

за ${ displaystyle f in { mathcal {S}}}$, так что формально

${ Displaystyle U (s) = e ^ {iPs}, qquad V (t) = e ^ {iQt}.}$

Из определения следует, что группы с одним параметром U и V удовлетворить Коммутационное соотношение Вейля

${ Displaystyle U (s) V (t) = e ^ {- ist} V (t) U (s).}$

Реализация U и V на L²(р) называется Представление Шредингера.

преобразование Фурье

В преобразование Фурье определяется на ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ к^[9]

${ displaystyle { widehat {f}} ( xi) = {1 over { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} f (x) e ^ {- ix xi} , dx.}$

Он определяет непрерывную карту ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ в себя из-за своей естественной топологии.

Контурная интеграция показывает, что функция

${ displaystyle H_ {0} (x) = {e ^ {- x ^ {2} / 2} over { sqrt {2 pi}}}}$

- собственное преобразование Фурье.

С другой стороны, интегрируя по частям или дифференцируя под интегралом,

${ displaystyle { widehat {Pf}} = - Q { widehat {f}}, qquad { widehat {Qf}} = P { widehat {f}}.}$

Отсюда следует, что оператор на ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ определяется

${ Displaystyle Tf (х) = { widehat { widehat {f}}} (- х)}$

ездит с обоими Q (и п). С другой стороны,

${ displaystyle TH_ {0} = H_ {0}}$

и с тех пор

${ Displaystyle г (х) = {е (х) -f (а) Н_ {0} (х) / Н_ {0} (а) над х-а}}$

лежит в ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$, следует, что

${ Displaystyle Т (х-а) г | _ {х = а} = (х-а) Tg | _ {х = а} = 0}$

и поэтому

${ displaystyle Tf (a) = f (a).}$

Отсюда следует Формула обращения Фурье:

${ Displaystyle е (х) = {1 над { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} { widehat {f}} ( xi) e ^ {ix xi} , d xi}$

и показывает, что преобразование Фурье является изоморфизмом ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ на себя.

По теореме Фубини

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) { widehat {g}} (x) , dx = {1 over { sqrt {2 pi}}} iint f (x) g ( xi) e ^ {- ix xi} , dxd xi = int _ {- infty} ^ { infty} { widehat {f}} ( xi) g ( xi) , d xi.}$

В сочетании с формулой обращения это означает, что преобразование Фурье сохраняет внутреннее произведение

${ displaystyle left ({ widehat {f}}, { widehat {g}} right) = (f, g)}$

так определяет изометрию ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ на себя.

По плотности он продолжается до унитарного оператора на L²(р), как утверждает Теорема Планшереля.

Теорема Стоуна – фон Неймана

Предполагать U(s) и V(т) - однопараметрические унитарные группы в гильбертовом пространстве ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ удовлетворяющие коммутационным соотношениям Вейля

${ Displaystyle U (s) V (t) = e ^ {- ist} V (t) U (s).}$

За ${ Displaystyle F (s, t) in { mathcal {S}} ( mathbf {R} times mathbf {R}),}$ позволять^[10][11]

${ displaystyle F ^ { vee} (x, y) = {1 over { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} F (t, y) e ^ {-itx} , dt}$

и определим ограниченный оператор на ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ к

${ Displaystyle T (F) = iint F ^ { vee} (x, x + y) U (x) V (y) , dxdy.}$

потом

${ Displaystyle { begin {выровнен} T (F) T (G) & = T (F star G) T (F) ^ {*} & = T (F ^ {*}) end {выровнен }}}$

куда

${ Displaystyle { begin {align} (F star G) (x, y) & = int F (x, z) G (z, y) , dz F ^ {*} (x, y ) & = { overline {F (y, x)}} end {align}}}$

Операторы Т(F) иметь важное свойство невырожденности: линейная оболочка всех векторов Т(F) ξ плотно в ${ displaystyle { mathcal {H}}}$.

Действительно, если fds и gdt определяют вероятностные меры с компактным носителем, то размытые операторы

${ Displaystyle U (е) = int U (s) f (s) , ds, qquad V (g) = int V (t) g (t) , dt}$

удовлетворить

${ Displaystyle | U (е) |, | V (g) | Leq 1}$

и сходятся в сильная операторная топология к тождественному оператору, если носители мер уменьшаются до 0.

С U(ж)V(грамм) имеет вид Т(F) следует невырожденность.

Когда ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ представление Шредингера на L²(р), Оператор Т(F) дан кем-то

${ Displaystyle T (F) f (x) = int F (x, y) f (y) , dy.}$

Из этой формулы следует, что U и V совместно действуют неприводимо на представление Шредингера, поскольку это верно для операторов, задаваемых ядрами, которые являются функциями Шварца.

Обратно дано представление коммутационных соотношений Вейля на ${ displaystyle { mathcal {H}}}$, оно порождает невырожденное представление * -алгебры ядерных операторов. Но все такие представления лежат на ортогональной прямой сумме копий L²(р) с действием для каждой копии, как указано выше. Это прямое обобщение того элементарного факта, что представления N × N матрицы лежат на прямых суммах стандартного представления на C^N. Доказательство с использованием матричные блоки одинаково хорошо работает в бесконечных измерениях.

Однопараметрические унитарные группы U и V оставляем каждую компоненту инвариантной, вызывая стандартное действие на представление Шредингера.

В частности, это подразумевает Теорема Стоуна – фон Неймана: представление Шредингера - это единственное неприводимое представление коммутационных соотношений Вейля в гильбертовом пространстве.

Осцилляторное представление SL (2, R)

Данный U и V удовлетворяющие коммутационным соотношениям Вейля, определим

${ Displaystyle W (x, y) = e ^ { frac {ixy} {2}} U (x) V (y).}$

потом

${ Displaystyle W (x_ {1}, y_ {1}) W (x_ {2}, y_ {2}) = e ^ {i (x_ {1} y_ {2} -y_ {1} x_ {2} )} W (x_ {1} + x_ {2}, y_ {1} + y_ {2}),}$

так что W определяет проективное унитарное представление р² с коциклом, заданным

${ displaystyle omega (z_ {1}, z_ {2}) = e ^ {iB (z_ {1}, z_ {2})},}$

куда ${ displaystyle z = x + iy = (x, y)}$ и B это симплектическая форма на р² данный

${ Displaystyle B (z_ {1}, z_ {2}) = x_ {1} y_ {2} -y_ {1} x_ {2} = Im z_ {1} { overline {z_ {2}}} .}$

По теореме Стоуна – фон Неймана этому коциклу соответствует единственное неприводимое представление.

Отсюда следует, что если грамм является автоморфизмом р² сохранение формы B, т.е. элемент SL (2,р), то существует унитарное π (грамм) на L²(р), удовлетворяющие ковариационному соотношению

${ Displaystyle pi (g) W (z) pi (g) ^ {*} = W (g (z)).}$

К Лемма Шура унитарный π (грамм) единственно с точностью до умножения на скаляр ζ с | ζ | = 1, так что π определяет проективное унитарное представление SL (2,р).

Это можно установить непосредственно, используя только неприводимость представления Шредингера. Неприводимость была прямым следствием того, что операторы

${ Displaystyle iint К (Икс, Y) U (Икс) V (Y) , dxdy,}$

с K функции Шварца точно соответствуют операторам, заданным ядрами с функциями Шварца.

Они плотны в пространстве Операторы Гильберта – Шмидта, который, поскольку содержит операторы конечного ранга, действует неприводимо.

Существование π можно доказать, используя только неприводимость представления Шредингера. Операторы уникальны до знака с

${ Displaystyle пи (gh) = pm pi (g) pi (h),}$

так что 2-коцикл проективного представления SL (2,р) принимает значения ± 1.

Фактически группа SL (2,р) порождается матрицами вида

${ displaystyle g_ {1} = { begin {pmatrix} a & 0 0 & a ^ {- 1} end {pmatrix}}, , , g_ {2} = { begin {pmatrix} 1 & 0 b & 1 конец {pmatrix}}, , , g_ {3} = { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}},}$

и можно непосредственно проверить, что следующие операторы удовлетворяют указанным выше ковариационным соотношениям:

${ displaystyle pi (g_ {1}) f (x) = pm a ^ {- { frac {1} {2}}} f (a ^ {- 1} x), , , pi (g_ {2}) f (x) = pm e ^ {- ibx ^ {2}} f (x), , , pi (g_ {3}) f (x) = pm e ^ { frac {i pi} {8}} { widehat {f}} (x).}$

Генераторы грамм_я удовлетворить следующие Отношения Брюа, которые однозначно задают группу SL (2,р):^[12]

${ displaystyle g_ {3} ^ {2} = g_ {1} (- 1), , , g_ {3} g_ {1} (a) g_ {3} ^ {- 1} = g_ {1} (a ^ {- 1}), , , g_ {1} (a) g_ {2} (b) g_ {1} (a) ^ {- 1} = g_ {2} (a ^ {- 2 } б), , , g_ {1} (a) = g_ {3} g_ {2} (a ^ {- 1}) g_ {3} g_ {2} (a) g_ {3} g_ {2 } (a ^ {- 1}).}$

Прямым вычислением можно проверить, что этим соотношениям с точностью до знака удовлетворяют соответствующие операторы, что устанавливает, что коцикл принимает значения ± 1.

Существует более концептуальное объяснение, использующее явное построение метаплектическая группа как двойное покрытие SL (2,р).^[13] SL (2,р) действует преобразованиями Мёбиуса на верхняя полуплоскость ЧАС. Более того, если

${ displaystyle g = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}},}$

тогда

${ displaystyle {dg (z) over dz} = {1 over (cz + d) ^ {2}}.}$

Функция

${ Displaystyle м (г, z) = cz + d}$

удовлетворяет соотношению 1-коцикла

${ Displaystyle m (gh, z) = m (g, hz) m (h, z).}$

Для каждого грамм, функция м(грамм,z) не обращается в нуль на ЧАС и поэтому имеет два возможных голоморфных квадратных корня. В метаплектическая группа определяется как группа

${ displaystyle operatorname {Mp} (2, mathbf {R}) = {(g, G) | G (z) ^ {2} = m (g, z) }.}$

По определению это двойное покрытие SL (2,р) и связан. Умножение дается

${ Displaystyle (г, г) cdot (ч, Н) = (г, К),}$

куда

${ Displaystyle К (z) = G (hz) H (z).}$

Таким образом, для элемента грамм метаплектической группы существует однозначно определенная функция м(грамм,z)^1/2 удовлетворяющие соотношению 1-коцикла.

Если ${ displaystyle Im z> 0}$, тогда

${ displaystyle f_ {z} (x) = e ^ {izx ^ {2} / 2}}$

лежит в L² и называется когерентное состояние.

Эти функции лежат на одной орбите SL (2,р) создано

${ displaystyle f_ {i} (x) = e ^ {- { frac {x ^ {2}} {2}}},}$

поскольку для грамм в SL (2,р)

${ displaystyle pi ((g ^ {t}) ^ {- 1}) f_ {z} (x) = pm m (g, z) ^ {- 1/2} f_ {gz} (x). }$

В частности, если грамм лежит в Mp (2,р) тогда

${ displaystyle pi ((g ^ {t}) ^ {- 1}) f_ {z} (x) = m (g, z) ^ {- 1/2} f_ {gz} (x).}$

Действительно, если это верно для грамм и час, это справедливо и для их продукта. С другой стороны, формулу легко проверить, если грамм^т имеет форму грамм_я а это генераторы.

Это определяет обычное унитарное представление метаплектической группы.

Элемент (1, –1) действует как умножение на –1 на L²(р), откуда следует, что коцикл на SL (2,р) принимает только значения ± 1.

Индекс Маслова

Как объяснено в Лев и Вернь (1980), 2-коцикл на SL (2,р) связанная с метаплектическим представлением, принимающая значения ± 1, определяется Индекс Маслова.

Учитывая три ненулевых вектора ты, v, ш в самолете их Индекс Маслова ${ Displaystyle тау (и, в, ш)}$ определяется как подпись из квадратичная форма на р³ определяется

${ Displaystyle Q (a, b, c) = abB (u, v) + bcB (v, w) + caB (w, u).}$

Свойства индекса Маслова:

• это зависит от одномерных подпространств, натянутых на векторы
• он инвариантен относительно SL (2,р)
• он чередуется в своих аргументах, т.е. его знак меняется, если два аргумента меняются местами
• он обращается в нуль, если два из подпространств совпадают
• принимает значения –1, 0 и +1: если ты и v удовлетворить B(ты,v) = 1 и ш = au + bv, то индекс Маслова равен нулю, если ab = 0 и в противном случае равно минусу знак ab
• ${ displaystyle displaystyle { tau (v, w, z) - tau (u, w, z) + tau (u, v, z) - tau (u, v, w) = 0}}$

Выбор ненулевого вектора ты₀, следует, что функция

${ displaystyle Omega (g, h) = exp - { pi i over 4} tau (u_ {0}, gu_ {0}, ghu_ {0})}$

определяет 2-коцикл на SL (2,р) со значениями в корнях восьмой степени из единицы.

Модификация 2-коцикла может использоваться для определения 2-коцикла со значениями в ± 1, связанного с метаплектическим коциклом.^[14]

Фактически, учитывая ненулевые векторы ты, v в плоскости определим ж(ты,v) быть

• я раз знак B(ты,v) если ты и v не пропорциональны
• знак λ, если ты = λv.

Если

${ displaystyle b (g) = f (u_ {0}, gu_ {0}),}$

тогда

${ displaystyle Omega (g, h) ^ {2} = b (gh) b (g) ^ {- 1} b (h) ^ {- 1}.}$

Представители π (грамм) в метаплектическом представлении можно выбрать так, чтобы

${ displaystyle pi (gh) = omega (g, h) pi (g) pi (h)}$

где 2-коцикл ω задается формулой

${ displaystyle omega (g, h) = Omega (g, h) beta (gh) ^ {- 1} beta (g) beta (h),}$

с

${ displaystyle beta (g) ^ {2} = b (g).}$

Голоморфное пространство Фока

Голоморфное пространство Фока (также известный как Пространство Сегала – Баргмана.) определяется как векторное пространство ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ голоморфных функций ж(z) на C с

${ displaystyle {1 over pi} iint _ { mathbf {C}} | f (z) | ^ {2} e ^ {- | z | ^ {2}} , dxdy}$

конечно. Он имеет внутренний продукт

${ displaystyle (f_ {1}, f_ {2}) = {1 over pi} iint _ { mathbf {C}} f_ {1} (z) { overline {f_ {2} (z) }} e ^ {- | z | ^ {2}} , dxdy.}$

${ displaystyle { mathcal {F}}}$ это Гильбертово пространство с ортонормированным базисом

${ displaystyle e_ {n} (z) = {z ^ {n} over { sqrt {n!}}}, quad n geq 0.}$

Более того, разложение голоморфной функции в степенной ряд по ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ дает свое расширение по этому основанию.^[15] Таким образом, для z в C

${ Displaystyle | е (г) | = влево | сумма _ {п geq 0} а_ {п} г ^ {п} вправо | Leq | е | е ^ {| г | ^ {2 } / 2},}$

так что оценка на z дает непрерывный линейный функционал на ${ displaystyle { mathcal {F}}.}$ Фактически

${ Displaystyle е (а) = (е, E_ {а})}$

куда^[16]

${ displaystyle E_ {a} (z) = sum _ {n geq 0} {(E_ {a}, e_ {n}) z ^ {n} over { sqrt {n!}}} = sum _ {n geq 0} {z ^ {n} { overline {a}} ^ {n} over n!} = e ^ {z { overline {a}}}.}$

Так, в частности ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ это воспроизводящее ядро ​​гильбертова пространства.

За ж в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ и z в C определять

${ displaystyle W _ { mathcal {F}} (z) f (w) = e ^ {- | z | ^ {2} / 2} e ^ {w { overline {z}}} f (wz). }$

потом

${ Displaystyle W _ { mathcal {F}} (z_ {1}) W _ { mathcal {F}} (z_ {2}) = e ^ {- я Im z_ {1} { overline {z_ {2} }}}} W _ { mathcal {F}} (z_ {1} + z_ {2}),}$

таким образом, это дает унитарное представление коммутационных соотношений Вейля.^[17] Сейчас же

${ displaystyle W _ { mathcal {F}} (a) E_ {0} = e ^ {- | a | ^ {2} / 2} E_ {a}.}$

Отсюда следует, что представление ${ Displaystyle W _ { mathcal {F}}}$ неприводимо.

Действительно, любая функция, ортогональная всем E_а должны обращаться в нуль, так что их линейная оболочка плотна в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$.

Если п ортогональный проектор, коммутирующий с W(z), позволять ж = PE₀. потом

${ displaystyle f (z) = (PE_ {0}, E_ {z}) = e ^ {| z | ^ {2}} (PE_ {0}, W _ { mathcal {F}} (z) E_ { 0}) = (PE _ {- z}, E_ {0}) = { overline {f (-z)}}.}$

Единственная голоморфная функция, удовлетворяющая этому условию, - это постоянная функция. Так

${ displaystyle PE_ {0} = lambda E_ {0},}$

с λ = 0 или 1. Поскольку E₀ циклично, то п = 0 или я.

Посредством Теорема Стоуна – фон Неймана есть унитарный оператор ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ из L²(р) на ${ displaystyle { mathcal {F}}}$, уникальное с точностью до умножения на скаляр, переплетающее два представления коммутационных соотношений Вейля. К Лемма Шура и Строительство Гельфанда – Наймарка, матричный коэффициент любого вектора определяет вектор с точностью до скалярного кратного. Поскольку матричные коэффициенты F = E₀ и ж = ЧАС₀ равны, то унитарные ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ однозначно определяется свойствами

${ Displaystyle W _ { mathcal {F}} (а) { mathcal {U}} = { mathcal {U}} W (а)}$

и

${ displaystyle { mathcal {U}} H_ {0} = E_ {0}.}$

Следовательно, для ж в L²(р)

${ displaystyle { mathcal {U}} f (z) = ({ mathcal {U}} f, E_ {z}) = (f, { mathcal {U}} ^ {*} E_ {z}) = e ^ {- | z | ^ {2}} (f, { mathcal {U}} ^ {*} W _ { mathcal {F}} (z) E_ {0}) = e ^ {- | z | ^ {2}} (W (-z) f, H_ {0}),}$

так что

${ displaystyle { mathcal {U}} f (z) = {1 over { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- (x ^ { 2} + y ^ {2})} e ^ {- 2ixy} f (t + x) e ^ {- t ^ {2} / 2} , dt = {1 over { sqrt {2 pi} }} int _ {- infty} ^ { infty} B (z, t) f (t) , dt,}$

куда

${ Displaystyle B (z, t) = exp [-z ^ {2} -t ^ {2} / 2 + zt].}$

Оператор ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ называется Преобразование Сегала – Баргмана^[18] и B называется Ядро Баргмана.^[19]

Примыкающий к ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ дается формулой:

${ displaystyle { mathcal {U}} ^ {*} F (t) = {1 over pi} iint _ { mathbf {C}} B ({ overline {z}}, t) F ( z) , dxdy.}$

Модель Фока

Действие SU (1,1) на голоморфном пространстве Фока описывалось формулой Баргманн (1970) и Ициксон (1967).

Метаплектическое двойное покрытие SU (1,1) можно явно построить в виде пар (грамм, γ) с

${ displaystyle g = { begin {pmatrix} alpha & beta { overline { beta}} & { overline { alpha}} end {pmatrix}}}$

и

${ displaystyle gamma ^ {2} = alpha.}$

Если грамм = грамм₁грамм₂, тогда

${ displaystyle gamma = gamma _ {1} gamma _ {2} left (1 + { beta _ {1} { overline { beta _ {2}}} over alpha _ {1} alpha _ {2}} right) ^ {1/2},}$

используя разложение в степенной ряд (1 + z)^1/2 для |z| < 1.

Метаплектическое представление - это унитарное представление π (грамм, γ) этой группы, удовлетворяющей ковариационным соотношениям

${ displaystyle pi (g, gamma) W _ { mathcal {F}} (z) pi (g, gamma) ^ {*} = W _ { mathcal {F}} (g cdot z), }$

куда

${ displaystyle g cdot z = alpha z + beta { overline {z}}.}$

С ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ это воспроизводящее ядро ​​гильбертова пространства, любой ограниченный оператор Т на нем соответствует ядру, заданному степенным рядом двух его аргументов. Фактически, если

${ displaystyle K_ {T} (a, b) = (TE _ { overline {b}}, E_ {a}),}$

и F в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$, тогда

${ displaystyle TF (a) = (TF, E_ {a}) = (F, T ^ {*} E_ {a}) = { frac {1} { pi}} iint _ { mathbf {C }} F (z) { overline {(T ^ {*} E_ {a}, E_ {z})}} e ^ {- | z | ^ {2}} , dxdy = { frac {1} { pi}} iint _ { mathbf {C}} K_ {T} (a, { overline {z}}) F (z) e ^ {- | z | ^ {2}} , dxdy. }$

Из ковариационных соотношений и аналитичности ядра следует, что для S = π (грамм, γ),

${ Displaystyle K_ {S} (a, z) = C cdot exp , {1 over 2 alpha} ({ overline { beta}} z ^ {2} + 2az- beta a ^ { 2})}$

для некоторой постоянной C. Прямой расчет показывает, что

${ displaystyle C = gamma ^ {- 1}}$

приводит к обычному изображению двойного покрытия.^[20]

Когерентные состояния снова можно определить как орбиту E₀ под метаплектической группой.

За ш комплекс, набор

${ displaystyle F_ {w} (z) = e ^ {wz ^ {2} / 2}.}$

потом ${ displaystyle F_ {w} in { mathcal {F}}}$ тогда и только тогда, когда |ш| <1. В частности F₀ = 1 = E₀. Более того,

${ displaystyle pi (g, gamma) F_ {w} = ({ overline { alpha}} + { overline { beta}} w) ^ {- { frac {1} {2}}} F_ {gw} = { frac {1} { overline { gamma}}} left (1 + {{ overline { beta}} over { overline { alpha}}} w right) ^ {-1/2} F_ {gw},}$

куда

${ displaystyle gw = { alpha w + beta over { overline { beta}} w + { overline { alpha}}}.}$

Аналогично функции zF_ш роды ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ и образуют орбиту метаплектической группы:

${ displaystyle pi (g, gamma) [zF_ {w}] (z) = ({ overline { alpha}} + { overline { beta}} w) ^ {- 3/2} zF_ { gw} (z).}$

С (F_ш, E₀) = 1 матричный коэффициент функции E₀ = 1 определяется выражением^[21]

${ displaystyle ( pi (g, gamma) 1,1) = gamma ^ {- 1}.}$

Модель диска

Проективное представление SL (2,р) на L²(р) или на ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ распадаются как прямая сумма двух неприводимых представлений, соответствующих четным и нечетным функциям Икс или же z. Эти два представления могут быть реализованы в гильбертовых пространствах голоморфных функций в единичном круге; или, используя преобразование Кэли, в верхней полуплоскости.^[22][23]

Четные функции соответствуют голоморфным функциям F₊ для которого

${ Displaystyle {1 более 2 pi} iint | F _ {+} (z) | ^ {2} (1- | z | ^ {2}) ^ {- 1/2} , dxdy + {2 над pi} iint | F '_ {+} (z) | ^ {2} (1- | z | ^ {2}) ^ { frac {1} {2}} , dxdy}$

конечно; а нечетные функции - к голоморфным функциям F_– для которого

${ Displaystyle {1 более 2 pi} iint | F _ {-} (z) | ^ {2} (1- | z | ^ {2}) ^ {- 1/2} , dxdy}$

конечно. Поляризованные формы этих выражений определяют внутренние продукты.

Действие метаплектической группы задается формулой

${ displaystyle { begin {align} pi _ { pm} (g ^ {- 1}) F _ { pm} (z) & = left ({ overline { beta}} z + { overline { alpha}} right) ^ {- 1 pm { frac {1} {2}}} F _ { pm} (gz) & = left (- { overline { beta}} z + alpha right) ^ {- 1 pm { frac {1} {2}}} F _ { pm} left ({{ overline { alpha}} z- beta over - { overline { beta}} z + alpha} right) && g = { begin {pmatrix} alpha & beta { overline { beta}} & { overline { alpha}} end {pmatrix}} end {выровнено}}}$

Неприводимость этих представлений устанавливается стандартным образом.^[24] Каждое представление распадается как прямая сумма одномерных собственных подпространств группы вращений, каждое из которых порождается C^∞ вектор для всей группы. Отсюда следует, что любое замкнутое инвариантное подпространство порождается алгебраической прямой суммой содержащихся в нем собственных подпространств, и эта сумма инвариантна относительно инфинитезимального действия алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. С другой стороны, это действие неприводимо.

Изоморфизм с четными и нечетными функциями в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ можно доказать с помощью Строительство Гельфанда – Наймарка поскольку матричные коэффициенты, связанные с 1 и z в соответствующих представлениях пропорциональны. Ициксон (1967) дал другой метод, начиная с карт

${ Displaystyle U _ {+} (F) (w) = { frac {1} { pi}} iint _ { mathbf {C}} F (z) e ^ {{ frac {1} {2 }} w { overline {z}} ^ {2}} e ^ {- | z | ^ {2}} , dxdy,}$

${ Displaystyle U _ {-} (F) (w) = { frac {1} { pi}} iint _ { mathbf {C}} F (z) { overline {z}} e ^ {{ frac {1} {2}} w { overline {z}} ^ {2}} e ^ {- | z | ^ {2}} , dxdy,}$

от четной и нечетной частей до функций на единичном диске. Эти карты переплетают действия описанной выше метаплектической группы и посылают z^п в несколько ш^п. При условии, что U_± должен быть унитарным, определяет внутренние произведения функций на диске, которые можно выразить в форме выше.^[25]

Хотя в этих представлениях оператор L₀ имеет положительный спектр - свойство, которое отличает голоморфный представления дискретных серий группы SU (1,1) - представления не лежат в дискретной серии метаплектической группы. В самом деле, Кашивара и Вернь (1978) отметил, что матричные коэффициенты не интегрируемы с квадратом, хотя их третья степень есть.^[26]

Гармонический осциллятор и функции Эрмита

Рассмотрим следующее подпространство в L²(р):

${ Displaystyle { mathcal {H}} = left {f in L ^ {2} ( mathbf {R}) left | f (x) = p (x) e ^ {- { frac { x ^ {2}} {2}}}, p (x) in mathbf {R} [x] right. right }.}$

Операторы

${ displaystyle { begin {align} X & = Q-iP = {d over dx} + x Y & = Q + iP = - {d over dx} + x end {align}}}$

действовать на ${ displaystyle { mathcal {H}}.}$ Икс называется оператор аннигиляции и Y то оператор создания. Они удовлетворяют

${ displaystyle { begin {align} X & = Y ^ {*} XY & = D + I && D = - {d ^ {2} over dx ^ {2}} + x ^ {2} XY-YX & = 2I XY ^ {n} -Y ^ {n} X & = 2nY ^ {n-1} && { text {по индукции}} end {выровнено}}}$

Определите функции

${ displaystyle F_ {n} (x) = Y ^ {n} e ^ {- { frac {x ^ {2}} {2}}}}$

Мы утверждаем, что они являются собственными функциями гармонического осциллятора, D. Чтобы доказать это, воспользуемся коммутационными соотношениями выше:

${ displaystyle { begin {align} DF_ {n} & = DY ^ {n} F_ {0} & = (XY-I) Y ^ {n} F_ {0} & = left (XY ^ {n + 1} -Y ^ {n} right) F_ {0} & = left ( left ((2n + 2) Y ^ {n} + Y ^ {n + 1} X right ) -Y ^ {n} right) F_ {0} & = left ((2n + 1) Y ^ {n} + Y ^ {n + 1} X right) F_ {0} & = (2n + 1) Y ^ {n} F_ {0} + Y ^ {n + 1} XF_ {0} & = (2n + 1) F_ {n} && XF_ {0} = 0 end {выровнено }}}$