Представление дискретной серии - Discrete series representation

В математика, а представление дискретной серии неприводимый унитарное представительство локально компактного топологическая группа грамм это субпредставительство левых регулярное представительство из грамм на L² (грамм). в Планшерель мера, такие представления имеют положительную меру. Название происходит от того факта, что это именно те представления, которые дискретно возникают в разложении регулярного представления.

Характеристики

Если грамм является унимодулярный, неприводимое унитарное представление ρ грамм входит в дискретную серию тогда и только тогда, когда одна (а значит, и все) матричный коэффициент

{displaystyle langle ho (g) cdot v, wangle,}

с v, ш ненулевые векторы интегрируемый с квадратом на грамм, относительно Мера Хаара.

Когда грамм унимодулярно, представление дискретной серии имеет формальную размерность d, со свойством, что

{displaystyle dint langle ho (g) cdot v, wangle {overline {langle ho (g) cdot x, yangle}} dg = langle v, xangle {overline {langle w, yangle}}}

за v, ш, Икс, у в представлении. Когда грамм компактно, это совпадает с размерностью, когда мера Хаара на грамм нормализовано так, чтобы грамм имеет меру 1.

Полупростые группы

Хариш-Чандра (1965, 1966 ) классифицировал представления дискретной серии связных полупростые группы грамм. В частности, такая группа имеет представления дискретной серии тогда и только тогда, когда она имеет тот же ранг, что и группа максимальная компактная подгруппа K. Другими словами, максимальный тор Т в K должен быть Подгруппа Картана в грамм. (Этот результат требовал, чтобы центр из грамм конечна, что исключает такие группы, как односвязное покрытие SL (2,р).) Это относится, в частности, к специальные линейные группы; из них только SL (2,р) имеет дискретный ряд (для этого см. теория представлений SL (2,р) ).

Классификация Хариш-Чандры представлений дискретной серии полупростой связной группы Ли дается следующим образом. Если L это весовая решетка максимального тора Т, подрешетка Это куда т является алгеброй Ли Т, то для каждого вектора существует представление дискретной серии v из

L + ρ,

где ρ - Вектор Вейля из грамм, который не ортогонален ни одному корню грамм. Таким образом происходит любое представление дискретной серии. Два таких вектора v соответствуют одному и тому же представлению дискретной серии тогда и только тогда, когда они сопряжены относительно Группа Вейля W_K максимальной компактной подгруппы K. Если мы исправим основная камера для группы Вейля K, то представление дискретной серии находится в соответствии 1: 1 с векторами L + ρ в этой камере Вейля, которые не ортогональны ни одному корню грамм. Бесконечно малый характер представления старшего веса задается формулой v (мод. группа Вейля W_грамм из грамм) под Переписка Хариш-Чандры идентификация бесконечно малых символов грамм с точками

т ⊗ C/W_грамм.

Таким образом, для каждого представления дискретной серии существует ровно

|W_грамм|/|W_K|

представления дискретных серий с одинаковым инфинитезимальным характером.

Хариш-Чандра доказал аналог этих представлений Формула характера Вейля. В случае, когда грамм не компактно, представления имеют бесконечную размерность, а понятие персонаж поэтому более тонко определить, поскольку это Распределение Шварца (представлен локально интегрируемой функцией) с особенностями.

Характер задан на максимальном торе Т к

{displaystyle (-1) ^ {frac {dim (G) -dim (K)} {2}} {sum _ {win W_ {K}} det (w) e ^ {w (v)} over prod _ { (v, alpha)> 0} left (e ^ {frac {alpha} {2}} - e ^ {- {frac {alpha} {2}}} ight)}}

Когда грамм компактно, это сводится к формуле характера Вейля, с v = λ + ρ за λ старший вес неприводимого представления (где произведение берется по корням α, имеющим положительное внутреннее произведение с вектором v).

Теорема регулярности Хариш-Чандры следует, что характер представления дискретной серии является локально интегрируемой функцией на группе.

Предел представлений дискретной серии

Точки v в классе L + ρ ортогональные корням грамм не соответствуют представлениям дискретных серий, но не ортогональны корням K связаны с некоторыми неприводимыми представлениями, называемыми предел представлений дискретной серии. Такое представление существует для каждой пары (v,C) куда v вектор L + ρ ортогонален некоторому корню из грамм но не ортогонален какому-либо корню K соответствует стене C, и C это камера Вейля грамм содержащий v. (В случае представлений дискретной серией имеется только одна камера Вейля, содержащая v поэтому нет необходимости включать его явно.) Две пары (v,C) дают тот же предел представления дискретных рядов тогда и только тогда, когда они сопряжены относительно группы Вейля K. Как и для представлений дискретных серий v дает бесконечно малый характер. Есть не более |W_грамм|/|W_K| предел представлений дискретных серий с любым заданным инфинитезимальным характером.

Предел представлений дискретных серий закаленные представления, что примерно означает, что они просто не могут быть представлениями дискретной серии.

Конструкции дискретной серии

Первоначальная конструкция дискретного ряда Хариш-Чандра была не очень ясной. Позднее несколько авторов нашли более явные реализации дискретного ряда.

Нарасимхан и Окамото (1970) построено большинство представлений дискретных серий в случае, когда симметричное пространство грамм эрмитский.
Партасарати (1972) построили многие представления дискретных серий для произвольных грамм.
Ленглендс (1966) предположил, и Шмид (1976) доказано, геометрический аналог Теорема Бореля – Ботта – Вейля., для дискретной серии, используя L² когомология вместо когерентных когомологий пучков, используемых в компактном случае.
Приложение теорема об индексе, Атья и Шмид (1977) построил все представления дискретных серий в пространствах гармонические спиноры. В отличие от большинства предыдущих построений представлений, работа Атьи и Шмида не использовала результаты существования Хариш-Чандры в своих доказательствах.
Представления дискретных серий также могут быть построены с помощью когомологическая параболическая индукция с помощью Функторы Цукермана.

Смотрите также

внешняя ссылка

Гаррет, Пол (2004), Некоторые факты о дискретных сериях (голоморфных, кватернионных) (PDF)