Майкл Атья - Michael Atiyah

Эта статья слишком полагается на Рекомендации к основные источники. Пожалуйста, улучшите это, добавив вторичные или третичные источники. (Январь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

сэр Майкл Атья ОМ ФРС FRSE FMedSci FAA FREng
Майкл Атья в 2007 году
Родившийся	Майкл Фрэнсис Атья (1929-04-22)22 апреля 1929 г. Hampstead, Лондон, Англия
Умер	11 января 2019 г.(2019-01-11) (89 лет) Эдинбург, Шотландия
Национальность	Британская, ливанская[1]
Образование	Колледж Виктории, Александрия Манчестерская гимназия Тринити-колледж, Кембридж (Бакалавр, доктор философии)
Известен	Теорема Атьи – Зингера об индексе Теорема Атьи – Сигала о пополнении K-теория
Награды	Приз Бервика (1961) Медаль Филдса (1966) Королевская медаль (1968) Медаль Де Моргана (1980) Медаль Копли (1988) Премия Абеля (2004)
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Оксфордский университет - Новый колледж, Оксфорд и Колледж Святой Екатерины, Оксфорд Институт перспективных исследований Университет Лестера Эдинбургский университет Пембрук-колледж, Кембридж
Тезис	Некоторые приложения топологических методов в алгебраической геометрии  (1955)
Докторант	В. В. Д. Ходж[2][3]
Докторанты	Саймон Дональдсон К. Дэвид Элворти Найджел Хитчин[4] Лиза Джеффри Фрэнсис Кирван Питер Кронхаймер Рут Лоуренс Джордж Люстиг Ян Р. Портеус Грэм Сигал Дэвид О. Толл[3]
Другие известные студенты	Эдвард Виттен

Сэр Майкл Фрэнсис Атья ОМ ФРС FRSE FMedSci FAA FREng^[5] (/əˈтяə/; 22 апреля 1929 - 11 января 2019) был британско-ливанский математик специализируясь на геометрия.^[6]

Атия вырос в Судан и Египет но большую часть своей академической жизни провел в Соединенном Королевстве в Оксфордский университет и Кембриджский университет и в США на Институт перспективных исследований.^[7] Он был президентом Королевское общество (1990–1995), директор-учредитель Институт Исаака Ньютона (1990–1996), магистр Тринити-колледж, Кембридж (1990–1997), канцлер Университет Лестера (1995–2005) и президент Королевское общество Эдинбурга (2005–2008). С 1997 года до своей смерти он был почетным профессором Эдинбургский университет.^[8]

Математические соавторы Атьи включали Рауль Ботт, Фридрих Хирцебрух^[9] и Исадор Сингер, и его ученики включали Грэм Сигал, Найджел Хитчин и Саймон Дональдсон. Вместе с Хирцебрухом он заложил основы топологическая K-теория, важный инструмент в алгебраическая топология, который, неформально говоря, описывает способы скручивания пространств. Его самый известный результат - Теорема Атьи – Зингера об индексе, был доказан Зингером в 1963 г. и используется при подсчете количества независимых решений дифференциальные уравнения. Некоторые из его недавних работ были вдохновлены теоретической физикой, в частности инстантоны и монополи, которые вносят некоторые тонкие исправления в квантовая теория поля. Он был награжден Медаль Филдса в 1966 г. и Премия Абеля в 2004 г.

ранняя жизнь и образование

Великий суд из Тринити-колледж, Кембридж, где Атия был студентом, а затем Мастер

Атия родился 22 апреля 1929 г. в г. Hampstead, Лондон, Англия, сын Жана (урожденная Левенс) и Эдвард Атия.^[10] Его мать была шотландкой, а отец - ливанцем. Православная христианская. У него было два брата, Патрик (умерший) и Джо, а также сестра Сельма (умерла).^[11] Атия ходил в начальную школу при епархиальной школе в г. Хартум, Судан (1934–1941) и в среднюю школу в Виктория Колледж в Каир и Александрия (1941–1945); школу также посещали Европейское дворянство вытеснен Вторая мировая война и некоторые будущие лидеры арабских стран.^[12] Он вернулся в Англию и Манчестерская гимназия за его HSC учеба (1945–1947) и национальная служба с Королевские инженеры-электрики и механики (1947–1949). Его студент и аспирант учеба проходила в Тринити-колледж, Кембридж (1949–1955).^[13] Он был докторская студент Уильям В. Д. Ходж^[3] и получил докторскую степень в 1955 году за диссертацию на тему Некоторые приложения топологических методов в алгебраической геометрии.^[2][3]

Во время своего пребывания в Кембридже он был президентом Архимеды.^[14]

Карьера и исследования

В Институт перспективных исследований в Принстоне, где Атья был профессором с 1969 по 1972 год.

1955–1956 учебный год Атия провел в Институт перспективных исследований, Принстон, затем вернулся в Кембриджский университет, где он был научным сотрудником и ассистентом лектор (1957–1958), затем университет лектор и учебник парень в Пембрук-колледж, Кембридж (1958–1961). В 1961 году он переехал в Оксфордский университет, где он был читатель и профессорский сотрудник Колледж Святой Екатерины (1961–1963).^[13] Он стал Савильский профессор геометрии и профессор Новый колледж, Оксфорд, с 1963 по 1969 год. Он занимал трехлетнюю должность профессора в Институте перспективных исследований в г. Принстон после чего он вернулся в Оксфорд в качестве Королевское общество Профессор-исследователь и профессор Колледжа Святой Екатерины. Он был президентом Лондонское математическое общество с 1974 по 1976 гг.^[13]

Атия был президентом Пагуошские конференции по науке и мировым делам с 1997 по 2002 гг.^[16] Он также внес свой вклад в создание Межакадемическая панель по международным вопросам, Ассоциация европейских академий (ALLEA) и Европейское математическое общество (EMS).^[17]

В Соединенном Королевстве он участвовал в создании Институт математических наук Исаака Ньютона в Кембридже и был его первым директором (1990–1996). Он был Президент Королевского общества (1990–1995), Магистр Тринити-колледжа, Кембридж (1990–1997),^[16] Канцлер из Университет Лестера (1995–2005),^[16] и президент Королевское общество Эдинбурга (2005–2008).^[18] С 1997 г. до своей смерти в 2019 г. он был почетным профессором кафедры Эдинбургский университет. Он был попечителем Фонд Джеймса Клерка Максвелла.^{[нужна цитата ]}

Сотрудничество

Старый Математический институт (ныне Департамент статистики) в г. Оксфорд, где Атья руководил многими своими учениками

Атья сотрудничал со многими математиками. Его три основных сотрудничества были с Рауль Ботт на Теорема Атьи – Ботта о неподвижной точке и многие другие темы, с Исадор М. Сингер на Теорема Атьи – Зингера об индексе, и с Фридрих Хирцебрух по топологической K-теории,^[19] всех, кого он встретил в Институт перспективных исследований в Принстоне в 1955 году.^[20] Среди его других сотрудников; Дж. Фрэнк Адамс (Инвариант Хопфа проблема), Юрген Берндт (проективные плоскости), Роджер Белявски (проблема Берри – Роббинса), Ховард Доннелли (L-функции ), Владимир Георгиевич Дринфельд (инстантоны), Йохана Л. Дюпона (особенности векторные поля ), Ларс Гординг (гиперболические дифференциальные уравнения ), Найджел Дж. Хитчин (монополи), Уильям В. Д. Ходж (Интегралы второго рода), Майкл Хопкинс (K-теория), Лиза Джеффри (топологические лагранжианы), Джон Д. С. Джонс (теория Янга – Миллса), Хуан Малдасена (М-теория), Юрий Иванович Манин (инстантоны), Ник С. Мэнтон (Скирмионы), Виджай К. Патоди (спектральная асимметрия), А. Н. Прессли (выпуклость), Элмер Рис (векторные пучки), Вильфрид Шмид (представления дискретной серии), Грэм Сигал (эквивариантная K-теория), Александр Шапиро^[21] (Алгебры Клиффорда), Л. Смит (гомотопические группы сфер), Пол Сатклифф (многогранники), Дэвид О. Толл (лямбда-кольца), Джон А. Тодд (Многообразия Штифеля ), Джумрун Вафа (М-теория), Ричард С. Уорд (инстантоны) и Эдвард Виттен (М-теория, топологические квантовые теории поля).^[22]

Его более поздние исследования теории калибровочного поля, особенно Ян – Миллс теория, стимулировала важные взаимодействия между геометрия и физика, особенно в работе Эдварда Виттена.^[23]

Среди учеников Атьи были Питер Браам 1987 г.,Саймон Дональдсон 1983,К. Дэвид Элворти 1967, Говард Феган 1977, Эрик Грюнвальд 1977,Найджел Хитчин 1972, Лиза Джеффри, 1991,Фрэнсис Кирван 1984,Питер Кронхаймер 1986,Рут Лоуренс 1989,Джордж Люстиг 1971,Джек Морава 1968, Майкл Мюррей 1983, Питер Ньюстед 1966,Ян Р. Портеус 1961,Джон Роу 1985, Брайан Сандерсон 1963,Рольф Шварценбергер 1960, Грэм Сигал 1967, Дэвид Толл 1966 и Грэм Уайт 1982.^[3]

Другие современные математики, оказавшие влияние на Атью, включают: Роджер Пенроуз, Ларс Хёрмандер, Ален Конн и Жан-Мишель Бисмут.^[25] Атья сказал, что математиком, которым он больше всего восхищался, был Герман Вейль,^[26] и что его любимые математики до 20 века были Бернхард Риманн и Уильям Роуэн Гамильтон.^[27]

Семь томов собрания статей Атьи включают большую часть его работ, за исключением его учебника коммутативной алгебры;^[28] первые пять томов разделены по тематике, а шестой и седьмой - по датам.

Алгебраическая геометрия (1952–1958)

А витая кубическая кривая, тема первой статьи Атьи

Ранние работы Атьи по алгебраической геометрии (и некоторые общие работы) перепечатаны в первом томе его собрания сочинений.^[29]

Будучи студентом, Атья интересовался классической проективной геометрией и написал свою первую статью: краткую заметку о витые кубики.^[30] Он начал исследования под В. В. Д. Ходж и выиграл Приз Смита за 1954 год за теоретико-пучковый подход к линейчатые поверхности,^[31] что побудило Атью продолжать заниматься математикой, а не переключаться на другие его интересы - архитектуру и археологию.^[32]Его докторская диссертация с Ходжем была посвящена теоретико-пучковому подходу к Соломон Лефшец разработал теорию интегралов второго рода на алгебраических многообразиях и привел к приглашению на год посетить Институт перспективных исследований в Принстоне.^[33] В Принстоне он засекретил векторные пучки на эллиптическая кривая (расширение Александр Гротендик классификация векторных расслоений на кривой рода 0), показывая, что любое векторное расслоение является суммой (по существу уникальных) неразложимых векторных расслоений,^[34] а затем показать, что пространство неразложимых векторных расслоений заданной степени и положительной размерности можно отождествить с эллиптической кривой.^[35] Он также изучал двойные точки на поверхностях,^[36] давая первый пример плюхнуться, специальное бирациональное преобразование 3-кратный который позже широко использовался в Шигефуми Мори работает над минимальные модели для 3-кратной.^[37] Провал Атьи также можно использовать, чтобы показать, что универсальное отмеченное семейство K3 поверхности является нехаусдорфовый.^[38]

Теория К (1959–1974)

А Лента Мебиуса является простейшим нетривиальным примером векторный набор.

Работы Атьи по K-теории, в том числе его книга по K-теории^[39] перепечатаны во 2 томе его собрания сочинений.^[40]

Простейшим нетривиальным примером векторного расслоения является Лента Мебиуса (на фото справа): полоска бумаги с изгибом, которая представляет собой векторное расслоение ранга 1 над кругом (рассматриваемый круг является центральной линией ленты Мёбиуса). K-теория - это инструмент для работы с многомерными аналогами этого примера или, другими словами, для описания многомерных скручиваний: элементы K-группы пространства представлены векторными расслоениями над ним, поэтому лента Мёбиуса представляет собой элемент K-группы круга.^[41]

Топологический K-теория был обнаружен Атьей и Фридрих Хирцебрух^[42] которые были вдохновлены доказательством Гротендика Теорема Гротендика – Римана – Роха. и работа Ботта над теорема периодичности. В этой статье обсуждалась только нулевая K-группа; вскоре они распространили его на K-группы всех степеней,^[43] давая первый (нетривиальный) пример обобщенная теория когомологий.

Несколько результатов показали, что недавно представленная K-теория была в некотором смысле более мощной, чем обычная теория когомологий. Атья и Тодд^[44] использовал K-теорию для улучшения нижних оценок, найденных с помощью обычных когомологий Борелем и Серром для Число Джеймса, описывающий, когда карта из сложного Коллектор Штифеля к сфере имеет поперечное сечение. (Адамс и Грант-Уокер позже показал, что переплет, найденный Атьей и Тоддом, был наилучшим из возможных.) Атия и Хирцебрух^[45] использовали K-теорию для объяснения некоторых отношений между Операции Стинрода и Тодд классы это Хирцебрух заметил несколько лет назад. Оригинальное решение Инвариант Хопфа одна проблема операции Дж. Ф. Адамса были очень длинными и сложными, в них использовались операции вторичных когомологий. Атья показал, как основные операции в K-теории могут быть использованы для получения краткого решения, занимающего всего несколько строк, и в совместной работе с Адамсом^[46] также доказаны аналоги результата при нечетных простых числах.

Майкл Атия и Фридрих Хирцебрух (справа), создатели K-теория

В Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха связывает обычные когомологии пространства с его обобщенной теорией когомологий.^[43] (Атья и Хирцебрух использовали случай K-теории, но их метод работает для всех теорий когомологий).

Атия показал^[47] что для конечной группы грамм, то K-теория своего классификация пространства, BG, изоморфна завершение своего кольцо персонажа:

${displaystyle K (BG) cong R (G) ^ {клин}.}$

В том же году^[48] они доказали результат для грамм любой компактный связаны Группа Ли. Хотя вскоре результат можно было распространить на все компактные группы Ли за счет включения результатов Грэм Сигал диссертация,^[49] это расширение было сложным. Однако более простое и общее доказательство было получено путем введения эквивариантная K-теория, т.е. классы эквивалентности грамм-векторных расслоений над компактным грамм-Космос Икс.^[50] Было показано, что при подходящих условиях завершение эквивариантной K-теории Икс является изоморфный к обычной K-теории пространства, ${displaystyle X_ {G}}$, который расслоился над BG с волокном Икс:

${displaystyle K_ {G} (X) ^ {wedge} cong K (X_ {G}).}$

Исходный результат затем следовал, взяв Икс быть точкой: левая часть сведена к завершению R (G) и право на К (BG). Видеть Теорема Атьи – Сигала о пополнении Больше подробностей.

Он определил новые обобщенные теории гомологии и когомологий, названные бордизмом и кобордизм, и указал, что многие глубокие результаты о кобордизме многообразий, полученные Рене Том, К. Т. К. Уолл, а другие могут быть естественно переинтерпретированы как утверждения об этих теориях когомологий.^[51] Некоторые из этих теорий когомологий, в частности комплексный кобордизм, оказались одними из самых мощных известных теорий когомологий.

Он представил^[53] то J-группа J(Икс) конечного комплекса Икс, определяемую как группу стабильных классов послойной гомотопической эквивалентности связки сфер; позже это было подробно изучено Дж. Ф. Адамс в серии статей, ведущих к Гипотеза Адамса.

Вместе с Хирцебрухом он расширил Теорема Гротендика – Римана – Роха. до комплексных аналитических вложений,^[53] и в соответствующей статье^[54] они показали, что Гипотеза Ходжа для интегральных когомологий неверно. Гипотеза Ходжа для рациональных когомологий по состоянию на 2008 г. является большой нерешенной проблемой.^[55]

В Теорема периодичности Ботта была центральной темой в работе Атьи по K-теории, и он неоднократно возвращался к ней, несколько раз переделывая доказательство, чтобы лучше понять его. Вместе с Боттом он разработал элементарное доказательство,^[56] и дал другую версию этого в своей книге.^[57] С Боттом и Шапиро он проанализировал связь периодичности Ботта с периодичностью Алгебры Клиффорда;^[58] хотя в этой статье не было доказательства теоремы о периодичности, вскоре после этого Р. Вуд нашел аналогичное доказательство. Он нашел доказательство нескольких обобщений, используя эллиптические операторы;^[59] в этом новом доказательстве использовалась идея, которую он использовал, чтобы дать особенно короткое и простое доказательство первоначальной теоремы Ботта о периодичности.^[60]

Теория индекса (1963–1984)

Исадор Сингер (в 1977 г.), который работал с Атьей над теорией индекса

Работа Атьи по теории индекса переиздана в 3 и 4 томах его собрания сочинений.^[61][62]

Индекс дифференциального оператора тесно связан с числом независимых решений (точнее, это разности чисел независимых решений дифференциального оператора и сопряженного к нему). В математике есть много сложных и фундаментальных проблем, которые легко можно свести к задаче нахождения числа независимых решений некоторого дифференциального оператора, поэтому, если у кого-то есть какие-то средства нахождения индекса дифференциального оператора, эти проблемы часто можно решить. Это то, что делает теорема Атьи – Зингера об индексе: она дает формулу для индекса некоторых дифференциальных операторов в терминах топологических инвариантов, которые выглядят довольно сложными, но на практике обычно легко вычисляются.^{[нужна цитата ]}

Несколько глубоких теорем, таких как Теорема Хирцебруха – Римана – Роха., являются частными случаями теоремы Атьи – Зингера об индексе. Фактически теорема об индексе дала более сильный результат, поскольку ее доказательство применялось ко всем компактным комплексным многообразиям, в то время как доказательство Хирцебруха работало только для проективных многообразий. Появилось также много новых приложений: типичным является вычисление размерностей пространств модулей инстантонов. Теорема об индексе также может выполняться «в обратном порядке»: индекс, очевидно, является целым числом, поэтому формула для него также должна давать целое число, которое иногда дает тонкие условия целостности для инвариантов многообразий. Типичный пример этого: Теорема Рохлина, что следует из теоремы об индексе.^{[нужна цитата ]}

Проблема индекса для эллиптические дифференциальные операторы был поставлен в 1959 году Гельфанд.^[64] Он заметил гомотопическую инвариантность индекса и попросил формулу для него с помощью топологические инварианты. Некоторые из мотивирующих примеров включали Теорема Римана – Роха и его обобщение Теорема Хирцебруха – Римана – Роха., а Теорема Хирцебруха о сигнатуре. Hirzebruch и Борель доказал целостность Â род спинового многообразия, и Атья предположил, что эту целостность можно было бы объяснить, если бы она была индексом Оператор Дирака (который был заново открыт Атьей и Сингером в 1961 году).

Первым заявлением о теореме Атьи – Зингера была их статья 1963 года.^[65] Доказательство, представленное в этом объявлении, было вдохновлено доказательством Хирцебруха Теорема Хирцебруха – Римана – Роха. и никогда не публиковался ими, хотя описан в книге Пале.^[66] Их первое опубликованное доказательство^[67] было больше похоже на доказательство Гротендика Теорема Гротендика – Римана – Роха., заменив кобордизм теория первого доказательства с K-теория, и они использовали этот подход, чтобы дать доказательства различных обобщений в серии статей с 1968 по 1971 год.

Вместо одного эллиптического оператора можно рассматривать семейство эллиптических операторов, параметризованных некоторым пространством Y. В этом случае индекс является элементом K-теории Y, а не целое число.^[68] Если операторы в семействе действительны, то индекс лежит в вещественной K-теории Y. Это дает немного дополнительной информации, поскольку карта из реальной K-теории Y к комплексной K теория не всегда инъективна.^[69]

Бывшая ученица Атии Грэм Сигал (в 1982 г.), который работал с Атьей над эквивариантной K-теорией

В лице Ботта Атия нашел аналог Формула фиксированной точки Лефшеца для эллиптических операторов, задавая число Лефшеца эндоморфизма эллиптический комплекс через сумму по неподвижным точкам эндоморфизма.^[70] В качестве частных случаев их формула включала Формула характера Вейля, и несколько новых результатов об эллиптических кривых с комплексным умножением, некоторым из которых первоначально не поверили эксперты.^[71]Атья и Сигал объединили эту теорему о неподвижной точке с теоремой об индексе следующим образом. групповое действие группы грамм на компактном многообразии Икс, коммутируя с эллиптическим оператором, то обычную K-теорию в теореме об индексе можно заменить на эквивариантная K-теория.Для тривиальных групп грамм это дает теорему об индексе, и для конечной группы грамм действуя с изолированными неподвижными точками, он дает теорему Атьи – Ботта о неподвижной точке. В общем, он дает индекс как сумму по подмногообразиям с неподвижной точкой группы грамм.^[72]

Атья^[73] решил проблему, заданную самостоятельно Хёрмандер и Гельфанд о том, определяют ли комплексные степени аналитических функций распределения. Атия использовал Хиронака на разрешение особенностей ответить утвердительно. Гениальное и простое решение было найдено примерно в то же время Дж. Бернштейн, и обсуждался Атьей.^[74]

В качестве приложения эквивариантной теоремы об индексе Атья и Хирцебрух показали, что многообразия с эффективными действиями окружности имеют исчезающие Â-род.^[75] (Лихнерович показал, что если у многообразия есть метрика положительной скалярной кривизны, то Â-род обращается в нуль.)

С Элмер Рис, Атья изучал проблему связи топологических и голоморфных векторных расслоений на проективном пространстве. Они решили простейший неизвестный случай, показав, что все векторные расслоения ранга 2 над проективным 3-пространством имеют голоморфную структуру.^[76] Хоррокс ранее нашел несколько нетривиальных примеров таких векторных расслоений, которые позже были использованы Атьей в его исследовании инстантонов на 4-сфере.

Рауль Ботт, который работал с Атьей над формулами с фиксированной точкой и несколькими другими темами.

Атия, Ботт и Виджай К. Патоди^[77] дал новое доказательство теоремы об индексе, используя уравнение теплопроводности.

Если многообразие может иметь границу, то должны быть наложены некоторые ограничения на область определения эллиптического оператора, чтобы гарантировать конечный индекс. Эти условия могут быть локальными (например, требовать, чтобы разделы в области обращались в нуль на границе) или более сложными глобальными условиями (например, требовать, чтобы разделы в области решали какое-то дифференциальное уравнение). Локальный случай был разработан Атьей и Боттом, но они показали, что многие интересные операторы (например, оператор подписи ) не допускают локальных граничных условий. Чтобы справиться с этими операторами, Атья, Патоди и Зингер ввели глобальные граничные условия, эквивалентные присоединению цилиндра к многообразию вдоль границы, а затем ограничили область теми секциями, которые интегрируются с квадратом вдоль цилиндра, а также ввели Эта инвариант Атьи – Патоди – Сингера. Это привело к серии работ по спектральной асимметрии,^[78] которые впоследствии неожиданно были использованы в теоретической физике, в частности, в работах Виттена по аномалиям.

Лакуны, обсуждаемые Петровским, Атьей, Боттом и Гордингом, подобны пространствам между ударными волнами сверхзвукового объекта.

Фундаментальные решения линейных гиперболические уравнения в частных производных часто есть Петровские лакуны: регионы, куда они исчезают одинаково. Они были изучены в 1945 г. Петровский И.Г., которые нашли топологические условия, описывающие, какие области были лакунами. В сотрудничестве с Боттом и Ларс Гординг, Атия написал три статьи, обновляющие и обобщающие работу Петровского.^[79]

Атья^[80] показал, как распространить теорему об индексе на некоторые некомпактные многообразия, на которых действует дискретная группа с компактным фактором.Ядро эллиптического оператора в этом случае в общем случае является бесконечномерным, но можно получить конечный индекс, используя размерность модуля над алгебра фон Неймана; этот индекс, как правило, реальный, а не целочисленный. Эта версия называется L² теорема об индексе, и использовался Атьей и Шмидом^[81] дать геометрическую конструкцию, используя квадратично интегрируемые гармонические спиноры, Хариш-Чандры представления дискретных серий из полупростые группы Ли. В ходе этой работы было найдено более элементарное доказательство основной теоремы Хариш-Чандры о локальной интегрируемости характеров групп Ли.^[82]

Вместе с Х. Доннелли и И. Зингером он распространил формулу Хирцебруха (связывающую дефект сигнатуры в каспах модулярных поверхностей Гильберта со значениями L-функций) с вещественных квадратичных полей на все вполне вещественные поля.^[83]

Калибровочная теория (1977–1985)

Слева два соседних монополя одинаковой полярности отталкиваются друг от друга, а справа два соседних монополя противоположной полярности образуют диполь. Это абелевы монополи; неабелевы, изученные Атьей, более сложны.

Многие из его работ по калибровочной теории и смежным темам перепечатаны в томе 5 его собрания работ.^[84] Общей темой этих работ является изучение пространств модулей решений некоторых нелинейные уравнения в частных производных, в частности уравнения для инстантонов и монополей. Это часто связано с нахождением тонкого соответствия между решениями двух, казалось бы, совершенно разных уравнений. Ранним примером этого, который неоднократно использовал Атия, является Преобразование Пенроуза, который иногда может преобразовывать решения нелинейного уравнения над некоторым вещественным многообразием в решения некоторых линейных голоморфных уравнений над другим комплексным многообразием.

В серии статей с несколькими авторами Атья классифицировал все инстантоны в 4-мерном евклидовом пространстве. Более удобно классифицировать инстантоны на сфере, поскольку она компактна, и это по существу эквивалентно классификации инстантонов на евклидовом пространстве, поскольку это конформно эквивалентно сфере, а уравнения для инстантонов конформно инвариантны. С Хитчином и Сингером^[85] он вычислил размерность пространства модулей неприводимых самодвойственных связностей (инстантонов) для любого главного расслоения над компактным 4-мерным римановым многообразием ( Теорема Атьи – Хитчина – Зингера ). Например, размерность пространства SU₂ инстантоны ранга k> 0 равно 8k−3. Для этого они использовали теорему Атьи – Зингера об индексе для вычисления размерности касательного пространства пространства модулей в точке; касательное пространство - это, по сути, пространство решений эллиптического дифференциального оператора, заданного линеаризацией нелинейных уравнений Янга – Миллса. Эти пространства модулей позже были использованы Дональдсоном для построения его инварианты 4-многообразий.Атья и Уорд использовали соответствие Пенроуза, чтобы свести классификацию всех инстантонов на 4-сфере к задаче алгебраической геометрии.^[86] Вместе с Хитчином он использовал идеи Хоррокса для решения этой проблемы, давая Строительство ADHM всех инстантонов на сфере; Манин и Дринфельд одновременно обнаружили одну и ту же конструкцию, что привело к совместной работе всех четырех авторов.^[87] Атья переформулировал эту конструкцию, используя кватернионы и написал в книге неторопливый отчет об этой классификации инстантонов на евклидовом пространстве.^[88]

Работа Атьи о пространствах модулей инстантонов была использована в работе Дональдсона по Теория Дональдсона. Дональдсон показал, что пространство модулей инстантонов (степени 1) над компактным односвязным 4-х коллекторный с положительно определенной формой пересечения может быть компактифицирована, чтобы дать кобордизм между многообразием и суммой копий комплексного проективного пространства. Из этого он вывел, что форма пересечения должна быть суммой одномерных, что привело к нескольким впечатляющим приложениям к гладким 4-многообразиям, таким как существование неэквивалентных гладкие конструкции на 4-мерном евклидовом пространстве. Дональдсон продолжал использовать другие пространства модулей, изученные Атьей, для определения Инварианты Дональдсона, который произвел революцию в изучении гладких 4-многообразий и показал, что они более тонкие, чем гладкие многообразия в любой другой размерности, а также сильно отличаются от топологических 4-многообразий. Атья описал некоторые из этих результатов в своем обзоре.^[90]

Функции Грина для линейных дифференциальных уравнений в частных производных часто можно найти с помощью преобразование Фурье превратить это в алгебраическую задачу. Атья использовал нелинейную версию этой идеи.^[91] Он использовал преобразование Пенроуза, чтобы преобразовать функцию Грина конформно-инвариантного лапласиана в комплексный аналитический объект, который оказался, по сути, диагональным вложением твисторного пространства Пенроуза в его квадрат. Это позволило ему найти явную формулу для конформно инвариантной функции Грина на 4-многообразии.

В своей статье с Джонсом^[92] он изучал топологию пространства модулей инстантонов SU (2) над 4-сферой. Они показали, что естественное отображение этого пространства модулей в пространство всех связностей индуцирует эпиморфизмы группы гомологии в определенном диапазоне измерений, и предположил, что он может индуцировать изоморфизмы групп гомологии в том же диапазоне измерений. Это стало известно как Гипотеза Атьи – Джонса, и позже было доказано несколькими математиками.^[93]

Тяжелее и М. С. Нарасимхан описал когомологии пространства модулей из стабильные векторные расслоения над Римановы поверхности путем подсчета количества точек пространств модулей над конечными полями, а затем с помощью гипотез Вейля для восстановления когомологий над комплексными числами.^[94]Атья и Р. Ботт использовал Теория Морса и Уравнения Янга – Миллса через Риманова поверхность воспроизвести и расширить результаты Хардера и Нарасимхана.^[95]

Старый результат из-за Schur и Хорн утверждает, что набор возможных диагональных векторов эрмитовой матрицы с заданными собственными значениями является выпуклой оболочкой всех перестановок собственных значений. Атья доказал обобщение этого, применимое ко всем компактным симплектические многообразия под действием тора, показывая, что образ многообразия при отображении момента представляет собой выпуклый многогранник,^[96] и с Прессли дал родственное обобщение на бесконечномерные группы петель.^[97]

Дуистермаат и Хекман нашли поразительную формулу, заявив, что продвижение вперед Мера Лиувилля из карта моментов для тора действие дается в точности приближением стационарной фазы (которое, в общем, является просто асимптотическим разложением, а не точным). Атья и Ботт^[98] показал, что это можно вывести из более общей формулы эквивариантные когомологии, что явилось следствием хорошо известных теоремы локализации. Атия показал^[99] что карта моментов была тесно связана с геометрическая теория инвариантов, и эта идея была позже развита его учеником Ф. Кирван. Виттен вскоре после применения Формула Дуистермаата – Хекмана для петлевых пространств и показал, что это формально дало теорему Атьи – Зингера об индексе для оператора Дирака; об этой идее рассказал Атья.^[100]

С Хитчином он работал магнитные монополи, и изучили их рассеяние, используя идею Ник Мэнтон.^[101] Его книга^[102] совместно с Хитчином дает подробное описание своей работы над магнитными монополями. Основная тема книги - исследование пространства модулей магнитных монополей; это имеет естественную риманову метрику, и ключевым моментом является то, что эта метрика является полной и Hyperkähler. Затем метрика используется для изучения рассеяния двух монополей, используя предположение Н. Мантона о том, что геодезический поток в пространстве модулей представляет собой низкоэнергетическое приближение к рассеянию. Например, они показывают, что лобовое столкновение между двумя монополями приводит к рассеянию под углом 90 градусов, причем направление рассеяния зависит от относительных фаз двух монополей. Он также изучал монополи на гиперболическом пространстве.^[103]

Атия показал^[104] что инстантоны в 4 измерениях можно отождествить с инстантонами в 2 измерениях, с которыми гораздо проще обращаться. Конечно, здесь есть загвоздка: при переходе от четырехмерного к двумерному структурная группа калибровочной теории превращается из конечномерной группы в бесконечномерную петлевую группу. Это дает еще один пример, когда пространства модулей решений двух явно не связанных между собой нелинейных уравнений в частных производных оказываются по существу одинаковыми.

Атья и Сингер обнаружили, что аномалии в квантовой теории поля можно интерпретировать в терминах теории индекса оператора Дирака;^[105] эта идея впоследствии стала широко использоваться физиками.

Поздняя работа (1986–2019)

Эдвард Виттен, чьи работы над инвариантами многообразий и топологические квантовые теории поля находился под влиянием Атии

Многие статьи в 6 томе^[106] из его собраний сочинений - обзоры, некрологи и общие беседы. Впоследствии Атия продолжал публиковать, в том числе несколько обзоров, популярную книгу,^[107] и еще один документ с Сегал по скрученной K-теории.

Одна бумага^[108] подробное исследование Функция Дедекинда эта с точки зрения топологии и теоремы об индексе.

Некоторые из его работ примерно того времени посвящены изучению связи между квантовой теорией поля, узлами и теорией Дональдсона. Он представил концепцию топологическая квантовая теория поля, вдохновленный работой Виттена и определением конформной теории поля Сигалом.^[109] Его книга^[110] описывает новый инварианты узлов найден Воан Джонс и Эдвард Виттен с точки зрения топологические квантовые теории поля, и его статья с Л. Джеффри^[111] объясняет лагранжиан Виттена, давая Инварианты Дональдсона.

Он учился скирмионы с Ником Мэнтоном,^[112] установление связи с магнитными монополями и инстантоны, и выдвигает гипотезу о структуре пространства модулей двух скирмионов как некоего подфактора комплексного проективного 3-пространства.

Несколько статей^[113] были вдохновлены вопросом о Джонатан Роббинс (называется Проблема Берри – Роббинса ), который спросил, есть ли карта из конфигурационного пространства п точки в 3-пространстве на многообразие флагов унитарной группы. Атья дал утвердительный ответ на этот вопрос, но счел его решение слишком вычислительным и изучил гипотезу, которая дала бы более естественное решение. Он также связал вопрос с Уравнение Нама, и представил Гипотеза Атьи о конфигурациях.

С Хуан Малдасена и Джумрун Вафа,^[115] и Э. Виттен^[116] он описал динамику М-теория на многообразия с G₂ голономия. Похоже, что в этих статьях Атья впервые работал с исключительными группами Ли.

В своих бумагах с М. Хопкинс^[117] и Г. Сигал^[118] он вернулся к своему прежнему интересу к K-теории, описав некоторые извращенные формы K-теории с приложениями в теоретической физике.

В октябре 2016 года он заявил^[119] краткое доказательство отсутствия сложные конструкции на 6-й сфере. Его доказательство, как и многие его предшественники, считается математическим сообществом ошибочным даже после того, как доказательство было переписано в исправленной форме.^[120][121]

В сентябре 2018 г. Форум лауреатов Гейдельберга, он потребовал простого доказательства Гипотеза Римана, один из 7 задач, связанных с Премией тысячелетия по математике. Проблема остается нерешенной по состоянию на 2020 год.^[122][123]

Библиография

Книги

В этом подразделе перечислены все книги, написанные Атьей; в нем опущены несколько книг, которые он редактировал.

Избранные статьи

Награды и награды

Помещения Королевское общество, где Атия был президентом с 1990 по 1995 год.

В 1966 году, когда ему было тридцать семь лет, он был удостоен награды Медаль Филдса,^[124] за его работу по развитию K-теории, обобщенное Теорема Лефшеца о неподвижной точке и теорему Атьи-Зингера, за которую он также выиграл Премия Абеля совместно с Исадор Сингер в 2004 г.^[125]Среди других полученных им призов - Королевская медаль из Королевское общество в 1968 г.,^[126] то Медаль Де Моргана из Лондонское математическое общество в 1980 г. Приз Антонио Фельтринелли от Accademia Nazionale dei Lincei в 1981 г. Международная премия короля Фейсала в области науки в 1987 г.^[127] то Медаль Копли Королевского общества в 1988 г.,^[128] то Медаль Бенджамина Франклина за выдающиеся достижения в области науки из Американское философское общество в 1993 г.^[129] медаль со дня рождения Джавахарлала Неру Индийская национальная академия наук в 1993 г.^[130] то Президентская медаль от Институт Физики в 2008,^[131] то Grande Médaille из Французская Академия Наук в 2010^[132] и великий офицер Французский Почетный легион в 2011.^[133]

Он был избран иностранным членом Национальная Академия Наук, то Американская академия искусств и наук (1969),^[134] то Академия наук, то Академия Леопольдина, то Шведская королевская академия, то Королевская ирландская академия, то Королевское общество Эдинбурга, то Американское философское общество, то Индийская национальная академия наук, то Китайская академия наук, то Австралийская академия наук, то Российская Академия Наук, то Украинская академия наук, то Грузинская Академия Наук, то Академия наук Венесуэлы, то Норвежская академия наук и литературы, то Королевская испанская академия наук, то Accademia dei Lincei и Московское математическое общество.^[13][16] В 2012 году он стал сотрудником Американское математическое общество.^[135] Он также был назначен Почетным Парень^[5] из Королевская инженерная академия^[5] в 1993 г.

Атия был удостоен почетных степеней университетов Бирмингема, Бонна, Чикаго, Кембриджа, Дублина, Дарема, Эдинбурга, Эссекса, Гента, Хельсинки, Ливана, Лестера, Лондона, Мексики, Монреаля, Оксфорда, Рединга, Саламанки, Сент-Эндрюса, Сассекса. , Уэльс, Уорик, Американский университет Бейрута, Брауновский университет, Карлов университет в Праге, Гарвардский университет, Университет Хериот-Ватт, Гонконг (Китайский университет), Кильский университет, Королевский университет (Канада), Открытый университет, Университет Ватерлоо , Университет Уилфрида Лорье, Технический университет Каталонии и UMIST.^{[13][16][136][137]}

Атью сделали Рыцарь-холостяк в 1983 г.^[13] и стал членом Орден за заслуги в 1992 г.^[16]

Здание Майкла Атьи^[139] на Университет Лестера и кафедра математических наук Майкла Атья^[140] на Американский университет Бейрута были названы его именем.

Личная жизнь

Атия женился на Лили Браун 30 июля 1955 года, от которой у него было трое сыновей, Джон, Дэвид и Робин. Старший сын Атии, Джон, умер 24 июня 2002 г. во время прогулки по городу. Пиренеи с женой Май-Лис. Лили Атия умерла 13 марта 2018 года в возрасте 90 лет.^[6][11][13]

Сэр Майкл Атия умер 11 января 2019 года в возрасте 89 лет.^[141][142]

Рекомендации

Источники

внешняя ссылка

• Майкл Атия рассказывает историю своей жизни в Сеть историй
• Празднование 80-летия Майкла Атьи в Эдинбурге, 20-24 апреля 2009 г.
• Математические потомки Майкла Атьи
• "Сэр Майкл Атья о математике, физике и веселье", superstringtheory.com, Официальный веб-сайт теории суперструн], получено 14 августа 2008
• Атья, Майкл, Красота в математике (видео, 3 мин. 14 сек.), получено 14 августа 2008
• Атья, Майкл, Природа космоса (Онлайн-лекция), получено 14 августа 2008
• Батра, Амба (8 ноября 2003 г.), Гуру математики с мечтой Эйнштейна предпочитает мел мышке. (Интервью с Атьей.), Лента новостей Дели, заархивировано оригинал 8 февраля 2009 г., получено 14 августа 2008
• Майкл Атья на Проект "Математическая генеалогия"
• Халим, Хала (1998), «Майкл Атия: Евклид и Виктория», Еженедельник Аль-Ахрам он-лайн (391), заархивировано оригинал 16 августа 2004 г., получено 26 августа 2008
• Мик, Джеймс (21 апреля 2004 г.), "Интервью с Майклом Атьей", Хранитель, Лондон, получено 14 августа 2008
• Сэр Майкл Атия FRS, Институт Исаака Ньютона, получено 14 августа 2008
• «Атия и Зингер получают премию Абеля 2004 года» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 51 (6): 650–651, 2006, получено 14 августа 2008
• Рауссен, Мартин; Скау, Кристиан (24 мая 2004 г.), Интервью с Майклом Атьей и Айседором Сингером, получено 14 августа 2008
• Фотографии Майкла Фрэнсиса Атья, Фото коллекция Обервольфах, получено 14 августа 2008
• Уэйд, Майк (21 апреля 2009 г.), Математика и бомба: сэр Майкл Атья, 80 лет, Лондон: Timesonline, получено 12 мая 2010
• Список работ Майкла Атьи из Celebratio Mathematica
• Конн, Ален; Кунейхер, Джозеф (2019). «Сэр Майкл Атия, рыцарь-математик: дань уважения Майклу Атье, вдохновителю и другу». Уведомления Американского математического общества. 66 (10): 1660–1685. arXiv:1910.07851. Bibcode:2019arXiv191007851C. Дои:10.1090 / noti1981. S2CID  204743755.