Теорема Хирцебруха о сигнатуре - Hirzebruch signature theorem

В дифференциальная топология, площадь математика, то Теорема Хирцебруха о сигнатуре^[1] (иногда называемая теоремой об индексе Хирцебруха) Фридрих Хирцебрух результат 1954 г., выражающий подпись гладкого компактного ориентированного многообразия линейной комбинацией Понтрягина числа называется L-род Это было использовано при доказательстве Теорема Хирцебруха – Римана – Роха..

Формулировка теоремы

L-род - это род мультипликативной последовательности многочленов связанный с характеристическим степенным рядом

${displaystyle {x over anh (x)} = sum _ {kgeq 0} {{2 ^ {2k} B_ {2k} over (2k)!} x ^ {2k}} = 1+ {x ^ {2} over 3} - {x ^ {4} более 45} + cdots.}$

Первые два из полученных L-полиномов:

• ${displaystyle L_ {1} = {гидроразрыв {1} {3}} p_ {1}}$
• ${displaystyle L_ {2} = {frac {1} {45}} (7p_ {2} -p_ {1} ^ {2})}$

Принимая за ${displaystyle p_ {i}}$ классы Понтрягина ${displaystyle p_ {i} (M)}$ касательного пучка 4п размерное гладкое компактное и ориентированное многообразие M получается L-классы М. Хирцебрух показал, что n-й L-класс M, вычисляемый на фундаментальный класс М, ${displaystyle [M]}$, равно ${displaystyle sigma (M)}$, подпись M (т.е. подпись формы пересечения на 2п-я группа когомологий M):

${displaystyle sigma (M) = langle L_ {n} (p_ {1} (M), dots, p_ {n} (M)), [M] angle.}$

Схема доказательства теоремы о сигнатуре

Рене Том ранее доказал, что подпись дается некоторой линейной комбинацией Понтрягина числа, и Хирцебрух нашел точную формулу этой линейной комбинации, введя понятие рода мультипликативной последовательности.

Поскольку рациональный кольцо ориентированных кобордизмов ${displaystyle Omega _ {*} ^ {ext {SO}} otimes mathbb {Q}}$ равно

${displaystyle Omega _ {*} ^ {ext {SO}} иногда mathbb {Q} = mathbb {Q} [mathbb {P} ^ {2} (mathbb {C}), mathbb {P} ^ {4} (mathbb {C}), ldots],}$

алгебра полиномов, порожденная классами ориентированных кобордизмов ${displaystyle [mathbb {P} ^ {2i} (mathbb {C})]}$ четного измерения комплексные проективные пространства, достаточно убедиться, что

${displaystyle sigma (mathbb {P} ^ {2i}) = 1 = langle L_ {i} (p_ {1} (mathbb {P} ^ {2i}), ldots, p_ {n} (mathbb {P} ^ { 2i})), [mathbb {P} ^ {2i}] angle}$

для всех я.

Обобщения

Теорема о сигнатуре является частным случаем Теорема Атьи – Зингера об индексе для оператор подписи. Аналитический индекс оператора сигнатуры равен сигнатуре многообразия, а его топологический индекс - это L-род многообразия. По теореме об индексе Атьи – Зингера они равны.

Рекомендации

• Ф. Хирцебрух, Сигнатурная теорема. Воспоминания и отдых. Перспективы в математике, Анналы математических исследований, Band 70, 1971, S. 3–31.
• Милнор Джон В.; Сташефф, Джеймс Д. (1974). Характерные классы. Анналы математических исследований. Принстон, Нью-Джерси; Токио: Princeton University Press / University of Tokyo Press. ISBN  0-691-08122-0.