Комплексное проективное пространство - Complex projective space

В Сфера Римана, одномерное комплексное проективное пространство, т.е. сложная проективная линия.

В математика, сложное проективное пространство это проективное пространство в отношении области сложные числа. По аналогии, тогда как точки реальное проективное пространство обозначить линии через начало реального Евклидово пространство точки комплексного проективного пространства маркируют сложный линии, проходящие через начало сложного евклидова пространства (см. ниже для интуитивно понятного счета). Формально сложное проективное пространство - это пространство сложных линий, проходящих через начало координат (п+1) -мерный комплекс векторное пространство. Пространство по-разному обозначается как п(C^п+1), п_п(C) или же CP^п. Когда п = 1, комплексное проективное пространство CP¹ это Сфера Римана, и когда п = 2, CP² это комплексная проективная плоскость (см. там более элементарное обсуждение).

Комплексное проективное пространство было впервые введено фон Штаудт (1860) как пример того, что тогда называлось "геометрией положения", понятие, изначально возникшее из-за Лазар Карно, типа синтетическая геометрия это включало также другие проективные геометрии. Впоследствии на рубеже ХХ века стало ясно, что Итальянская школа алгебраической геометрии что комплексные проективные пространства были наиболее естественными областями для рассмотрения решений многочлен уравнения - алгебраические многообразия (Граттан-Гиннесс 2005 С. 445–446). В наше время как топология и геометрия сложного проективного пространства хорошо изучены и тесно связаны с геометрией сфера. Действительно, в определенном смысле (2п+1) -сферу можно рассматривать как семейство окружностей, параметризованное CP^п: это Расслоение Хопфа. Комплексное проективное пространство несет (Kähler ) метрика, называется Метрика Фубини – Этюд, с точки зрения которого это Эрмитово симметричное пространство ранга 1.

Комплексное проективное пространство имеет множество приложений как в математике, так и в квантовая физика. В алгебраическая геометрия, комплексное проективное пространство - это дом проективные многообразия, хорошо воспитанный класс алгебраические многообразия. В топологии комплексное проективное пространство играет важную роль как классификация пространства для сложных линейные пакеты: семейства сложных линий, параметризованных другим пространством. В этом контексте бесконечное объединение проективных пространств (прямой предел ), обозначенный CP^∞, является классифицирующим пространством К (Z, 2). В квантовой физике волновая функция связано с чистое состояние квантово-механической системы является амплитуда вероятности, что означает, что оно имеет единичную норму и несущественную общую фазу: то есть волновая функция чистого состояния, естественно, является точкой в проективное гильбертово пространство государственного пространства.

Вступление

Параллельные прямые на плоскости пересекаются в точках точка схода в линии на бесконечности.

Понятие проективной плоскости возникает из идеи перспективы в геометрии и искусстве: иногда полезно включить в евклидову плоскость дополнительную «воображаемую» линию, которая представляет горизонт, который может увидеть художник, рисующий плоскость. Следуя каждому направлению от начала координат, на горизонте есть разные точки, поэтому горизонт можно рассматривать как набор всех направлений от начала координат. Евклидова плоскость вместе с ее горизонтом называется реальная проективная плоскость, а горизонт иногда называют линия на бесконечности. По той же конструкции проективные пространства можно рассматривать в более высоких измерениях. Например, реальное проективное 3-пространство - это евклидово пространство вместе с самолет в бесконечности который представляет горизонт, который увидит художник (который обязательно должен жить в четырех измерениях).

Эти реальные проективные пространства можно построить несколько более строго следующим образом. Здесь пусть р^п+1 обозначить реальное координатное пространство из п+1 к размеру, и рассматривайте пейзаж, который нужно нарисовать, как гиперплоскость в этом пространстве. Предположим, что глаз художника является источником р^п+1. Затем вдоль каждой линии, проходящей через его глаз, есть точка пейзажа или точка на его горизонте. Таким образом, реальное проективное пространство - это пространство прямых, проходящих через начало координат в р^п+1. Без привязки к координатам это пространство линий, проходящих через начало координат в (п+1) -мерный реальный векторное пространство.

Чтобы описать сложное проективное пространство аналогичным образом, требуется обобщение идеи вектора, линии и направления. Представьте себе, что художник стоит не в реальном евклидовом пространстве, а в сложном евклидовом пространстве. C^п+1 (который имеет реальное измерение 2п+2) и пейзаж сложный гиперплоскость (реальной размерности 2п). В отличие от реального евклидова пространства, в сложном случае есть направления, в которые может смотреть художник, которые не видят пейзаж (потому что он не имеет достаточно высокого измерения). Однако в сложном пространстве есть дополнительная «фаза», связанная с направлениями через точку, и, регулируя эту фазу, художник может гарантировать, что он обычно видит пейзаж. Таким образом, «горизонт» - это пространство направлений, но такое, что два направления считаются «одинаковыми», если они отличаются только фазой. Тогда сложное проективное пространство - это пейзаж (C^п) с прикрепленным горизонтом «на бесконечности». Как и в реальном случае, комплексное проективное пространство - это пространство направлений через начало координат. C^п+1, где два направления считаются одинаковыми, если они различаются фазой.

Строительство

Комплексное проективное пространство - это комплексное многообразие это может быть описано п + 1 комплексные координаты как

{ displaystyle Z = (Z_ {1}, Z_ {2}, ldots, Z_ {n + 1}) in mathbb {C} ^ {n + 1}, qquad (Z_ {1}, Z_ { 2}, ldots, Z_ {n + 1}) neq (0,0, ldots, 0)}

где идентифицируются кортежи, различающиеся общим масштабированием:

{ Displaystyle (Z_ {1}, Z_ {2}, ldots, Z_ {n + 1}) Equiv ( lambda Z_ {1}, lambda Z_ {2}, ldots, lambda Z_ {n + 1}); quad lambda in mathbb {C}, qquad lambda neq 0.}

То есть это однородные координаты в традиционном смысле проективная геометрия. Набор точек CP^п покрыт патчами ${ displaystyle U_ {i} = {Z mid Z_ {i} neq 0 }}$ . В U_я, можно определить систему координат следующим образом:

{ Displaystyle Z_ {1} = Z_ {1} / Z_ {i}, quad z_ {2} = Z_ {2} / Z_ {i}, quad dots, quad z_ {i-1} = Z_ {i-1} / Z_ {i}, quad z_ {i} = Z_ {i + 1} / Z_ {i}, quad dots, quad z_ {n} = Z_ {n + 1} / Z_ {я}.}

Координатные переходы между двумя разными такими диаграммами U_я и U_j находятся голоморфные функции (на самом деле они дробно-линейные преобразования ). Таким образом CP^п несет структуру комплексное многообразие сложного измерения п, и a fortiori структура настоящего дифференцируемое многообразие реального измерения 2п.

Можно также рассматривать CP^п как частное блока 2п + 1 сфера в C^п+1 под действием U (1):

CP^п = S^2п+1/ U (1).

Это потому, что каждая строка в C^п+1 пересекает единичную сферу в круг. Сначала проецируя на единичную сферу, а затем отождествляя естественное действие U (1), получаем CP^п. За п = 1 эта конструкция дает классический Набор хопфа ${ Displaystyle S ^ {3} к S ^ {2}}$ . С этой точки зрения дифференцируемая структура на CP^п индуцируется из S^2п+1, являясь фактором последнего по компактной группе, которая действует должным образом.

Топология

Топология CP^п определяется индуктивно следующим образом: разложение клеток. Позволять ЧАС фиксированная гиперплоскость, проходящая через начало координат в C^п+1. Под картой проекции C^п+1\{0} → CP^п, ЧАС переходит в подпространство, гомеоморфное CP^п−1. Дополнение образа ЧАС в CP^п гомеоморфен C^п. Таким образом CP^п возникает при присоединении 2п-ячейка в CP^п−1:

{ displaystyle mathbf {CP} ^ {n} = mathbf {CP} ^ {n-1} cup mathbf {C} ^ {n}.}

В качестве альтернативы, если 2п-ячейка рассматривается вместо этого как открытый единичный шар в C^п, то присоединяющее отображение является расслоением Хопфа границы. Аналогичное индуктивное клеточное разложение верно для всех проективных пространств; видеть (Бесс 1978 ).

Топология точек

Комплексное проективное пространство компактный и связаны, являясь фактором компактного связного пространства.

Гомотопические группы

Из пучка волокон

{ Displaystyle S ^ {1} hookrightarrow S ^ {2n + 1} twoheadrightarrow mathbf {CP} ^ {n}}

или более наводящим на размышления

{ Displaystyle U (1) hookrightarrow S ^ {2n + 1} twoheadrightarrow mathbf {CP} ^ {n}}

CP^п является односвязный. Более того, по длинная точная гомотопическая последовательность, вторая гомотопическая группа π₂(CP^п) ≅ Z, и все высшие гомотопические группы согласуются с группами S^2п+1: π_k(CP^п) ≅ π_k(S^2п+1) для всех k > 2.

Гомология

В целом алгебраическая топология из CP^п основан на ранге группы гомологии равен нулю в нечетных размерах; также ЧАС_2я(CP^п, Z) является бесконечный циклический за я = От 0 до п. Следовательно Бетти числа пробег

1, 0, 1, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ...

То есть 0 в нечетных измерениях, 1 в четных измерениях до 2n. В Эйлерова характеристика из CP^п следовательно является п + 1. Автор Двойственность Пуанкаре то же самое и в рядах группы когомологий. В случае когомологий можно пойти дальше и отождествить градуированное кольцо структура, для чашка продукта; генератор ЧАС²(CP^п, Z) - это класс, связанный с гиперплоскость, и это кольцевой генератор, так что кольцо изоморфно

Z[Т]/(Т^п+1),

с Т генератор степени два. Это также означает, что Номер Ходжа час^я,я = 1, а все остальные равны нулю. Видеть (Бесс 1978 ).

K-теория

Из индукции и Периодичность Ботта который

{ Displaystyle К _ { mathbf {C}} ^ {*} ( mathbf {CP} ^ {n}) = K _ { mathbf {C}} ^ {0} ( mathbf {CP} ^ {n}) = mathbf {Z} [H] / (H-1) ^ {n + 1}.}.

В касательный пучок удовлетворяет

{ Displaystyle Т mathbf {CP} ^ {n} oplus vartheta ^ {1} = H ^ { oplus n + 1},}

куда ${ displaystyle vartheta ^ {1}}$ обозначает тривиальное линейное расслоение. Отсюда Классы Черна и характеристические числа можно рассчитать.

Классификация пространства

Есть место CP^∞ что в некотором смысле индуктивный предел из CP^п в качестве п → ∞. это BU (1), то классификация пространства из U (1), в смысле теория гомотопии, и таким образом классифицирует сложные линейные пакеты; эквивалентно это составляет первую Черн класс. См., Например, (Ботт и Ту 1982 ) и (Милнор и Сташев 1974 ). Космос CP^∞ также то же самое, что и бесконечномерное проективная унитарная группа; см. эту статью для дополнительных свойств и обсуждения.

Дифференциальная геометрия

Естественная метрика на CP^п это Метрика Фубини – Этюд, а его голоморфная группа изометрий - это проективная унитарная группа ПУ (п+1), где стабилизатор точки

{ displaystyle mathrm {P} (1 times mathrm {U} (n)) cong mathrm {PU} (n).}

Это Эрмитово симметричное пространство (Кобаяши и Номидзу 1996 ), представленное как смежное пространство

{ Displaystyle U (n + 1) / (U (1) times U (n)) cong SU (n + 1) / S (U (1) times U (n)).}

Геодезическая симметрия в точке п унитарное преобразование, фиксирующее п и является отрицательной единицей на ортогональном дополнении прямой, представленной п.

Геодезические

Через любые две точки п, q в сложном проективном пространстве проходит единственный сложный линия (а CP¹). А большой круг этой сложной строки, содержащей п и q это геодезический для метрики Фубини – Штуди. В частности, все геодезические замкнуты (они круги) и все имеют одинаковую длину. (Это всегда верно для римановых глобально симметричных пространств ранга 1.)

В вырезать место любой точки п равен гиперплоскости CP^п−1. Это также множество неподвижных точек геодезической симметрии в п (меньше п сам). Видеть (Бесс 1978 ).

Защемление кривизны в разрезе

Она имеет секционная кривизна от 1/4 до 1, и является самым круглым многообразием, не являющимся сферой (или покрытым сферой): Теорема о 1/4 сжатой сфере, любое полное односвязное риманово многообразие кривизны строго между 1/4 и 1 диффеоморфно сфере. Комплексное проективное пространство показывает, что 1/4 точна. Наоборот, если полное односвязное риманово многообразие имеет секционную кривизну на отрезке [1 / 4,1], то оно либо диффеоморфно сфере, либо изометрично комплексному проективному пространству, кватернионное проективное пространство, или иначе Самолет Кэли F₄/ Отжим (9); видеть (Брендл-Шен 2008 ).

Структура спина

Нечетномерным проективным пространствам можно дать спиновая структура, четномерные - не могут.

Алгебраическая геометрия

Комплексное проективное пространство - это частный случай Грассманиан, и является однородное пространство для различных Группы Ли. Это Кэлерово многообразие несущий Метрика Фубини – Этюд, что существенно определяется свойствами симметрии. Он также играет центральную роль в алгебраическая геометрия; к Теорема Чоу, любое компактное комплексное подмногообразие в CP^п является множеством нулей конечного числа многочленов и, следовательно, является проективным алгебраическое многообразие. Видеть (Гриффитс и Харрис 1994 )

Топология Зарисского

В алгебраическая геометрия, сложное проективное пространство может быть оснащено другой топологией, известной как Топология Зарисского (Хартсхорн 1971, §II.2). Позволять S = C[Z₀,...,Z_п] обозначить коммутативное кольцо многочленов от (п+1) переменные Z₀,...,Z_п. Это кольцо оцененный по суммарной степени каждого многочлена:

{ displaystyle S = bigoplus _ {n = 0} ^ { infty} S_ {n}.}

Определите подмножество CP^п быть закрыто если это набор одновременных решений набора однородных многочленов. Объявление дополнений замкнутых множеств открытыми, это определяет топологию (топологию Зарисского) на CP^п.

Структура как схема

Еще одна конструкция CP^п (и его топология Зарисского) возможна. Позволять S₊ ⊂ S быть идеальный натянутые на однородные полиномы положительной степени:

{ displaystyle bigoplus _ {n> 0} S_ {n}.}

Определять Проект S быть набором всех однородный главные идеалы в S которые не содержат S₊. Вызвать подмножество Proj S закрыто, если оно имеет форму

{ Displaystyle V (I) = {p in operatorname {Proj} S mid p supseteq I }}

для некоторого идеала я в S. Дополнения этих замкнутых множеств определяют топологию на Proj S. Кольцо S, к локализация в идеале, определяет пучок из местные кольца на Proj S. Космический проект Sвместе со своей топологией и пучком локальных колец является схема. Подмножество замкнутых точек Proj S гомеоморфен CP^п с топологией Зарисского. Локальные участки пучка отождествляются с рациональные функции нулевой степени на CP^п.

Пакеты линий

Все линейные расслоения на комплексном проективном пространстве можно получить с помощью следующей конструкции. Функция ж : C^п+1\{0} → C называется однородный степени k если

{ Displaystyle е ( лямбда г) = лямбда ^ {к} е (г)}

для всех λ ∈ C\{0} и z ∈ C^п+1\{0}. В более общем плане это определение имеет смысл в шишки в C^п+1\{0}. Множество V ⊂ C^п+1\{0} называется конусом, если всякий раз v ∈ V, тогда λv ∈ V для всех λ ∈ C\{0}; то есть подмножество является конусом, если оно содержит комплексную прямую, проходящую через каждую из своих точек. Если U ⊂ CP^п - открытое множество (либо в аналитической топологии, либо в Топология Зарисского ), позволять V ⊂ C^п+1\{0} быть конусом U: прообраз U под проекцией C^п+1\{0} → CP^п. Наконец, для каждого целого числа k, позволять О(k)(U) - множество функций, однородных степени k в V. Это определяет пучок участков некоторого линейного пучка, обозначаемого О(k).

В частном случае k = −1, связка О(−1) называется пучок тавтологических линий. Это эквивалентно определяется как подгруппа продукта

{ displaystyle mathbf {C} ^ {n + 1} times mathbf {CP} ^ {n} to mathbf {CP} ^ {n}}

чье волокно над L ∈ CP^п это набор

{ Displaystyle {(х, L) середина х в L }.}

Эти линейные пакеты также могут быть описаны на языке делители. Позволять ЧАС = CP^п−1 - заданная комплексная гиперплоскость в CP^п. Пространство мероморфные функции на CP^п с одним простым шестом ЧАС (и больше нигде) является одномерным пространством, обозначаемым О(ЧАС) и назвал пучок гиперплоскостей. Двойственное расслоение обозначается О(−ЧАС), а k^th тензорная степень О(ЧАС) обозначается О(kH). Это пучок, порожденный голоморфными кратными мероморфной функции с полюсом порядка k вдоль ЧАС. Оказывается, что

{ Displaystyle О (кН) конг О (к).}

Действительно, если L(z) = 0 является линейной определяющей функцией для ЧАС, тогда L^−k является мероморфным участком О(k), и локально другие разделы О(k) кратны этому разделу.

С ЧАС¹(CP^п,Z) = 0, линия группируется на CP^п классифицируются с точностью до изоморфизма по их Классы Черна, которые являются целыми числами: они лежат в ЧАС²(CP^п,Z) = Z. Фактически, первые классы Черна комплексного проективного пространства порождаются при Двойственность Пуанкаре классом гомологии, ассоциированным с гиперплоскостью ЧАС. Линейный комплект О(kH) имеет класс Черна k. Следовательно, всякое голоморфное линейное расслоение на CP^п тензорная степень О(ЧАС) или же О(−ЧАС). Другими словами, Группа Пикард из CP^п порождается как абелева группа классом гиперплоскостей [ЧАС] (Хартсхорн 1977 ).