Кэлерово многообразие - Kähler manifold

В математика и особенно дифференциальная геометрия, а Кэлерово многообразие это многообразие с тремя взаимно совместимыми структурами: сложная структура, а Риманова структура, а симплектическая структура. Концепция была впервые изучена Ян Арнольдус Схоутен и Дэвид ван Данциг в 1930 году, а затем введен Эрих Келер в 1933 году. Терминология была исправлена Андре Вайль.

Каждые гладкий; плавный сложный проективное разнообразие является кэлеровым многообразием. Теория Ходжа центральная часть алгебраическая геометрия, доказано с помощью кэлеровой метрики.

Определения

Поскольку кэлеровы многообразия имеют несколько совместимых структур, их можно описывать с разных точек зрения:

Симплектическая точка зрения

Кэлерово многообразие - это симплектическое многообразие (Икс, ω) оснащен интегрируемая почти сложная структура J который совместимый с симплектическая форма ω, что означает, что билинейная форма

${ Displaystyle г (и, v) = омега (и, Jv)}$

на касательное пространство из Икс в каждой точке симметричен и положительно определенный (а значит, и риманова метрика на Икс).^[1]

Комплексная точка зрения

Кэлерово многообразие - это комплексное многообразие Икс с Эрмитова метрика час чья связанный 2-форма ω является закрыто. Более подробно, час дает положительно определенный Эрмитова форма на касательном пространстве TX в каждой точке Икс, а 2-форма ω определяется

${ displaystyle omega (u, v) = operatorname {Re} h (iu, v) = operatorname {Im} h (u, v)}$

для касательных векторов ты и v (где я это комплексное число ${ displaystyle { sqrt {-1}}}$). Для кэлерова многообразия Икс, то Кэлерова форма ω это настоящий закрытый (1,1) -форма. Кэлерово многообразие также можно рассматривать как риманово многообразие с римановой метрикой г определяется

${ displaystyle g (u, v) = operatorname {Re} h (u, v).}$

Эквивалентно кэлерово многообразие Икс это Эрмитово многообразие сложного измерения п так что для каждой точки п из Икс, Существует голоморфный карта координат около п в котором метрика совпадает со стандартной метрикой на C^п заказать 2 рядом п.^[2] То есть, если график принимает п до 0 дюймов C^п, а метрика в этих координатах записывается как час_ab = (∂/∂z_а, ∂/∂z_б), тогда

${ displaystyle h_ {ab} = delta _ {ab} + O ( | z | ^ {2})}$

для всех а, б в {1, ..., п}.

Поскольку 2-форма ω закрыт, он определяет элемент в когомологии де Рама ЧАС²(Икс, р), известный как Kähler класс.

Риманова точка зрения

Кэлерово многообразие - это Риманово многообразие Икс четного измерения 2п чья группа голономии содержится в унитарная группа U (п).^[3] Равно как сложная структура J на касательном пространстве Икс в каждой точке (то есть настоящий линейная карта от TX себе с J² = −1) такие, что J сохраняет метрику г (означающий, что г(Ju, СП) = г(ты, v)) и J сохраняется параллельный транспорт.

Кэлеровский потенциал

А гладкий; плавный действительнозначная функция ρ на комплексном многообразии называется строго плюрисубгармонический если действительная замкнутая (1,1) -форма

${ displaystyle omega = { frac {i} {2}} partial { bar { partial}} rho}$

положительна, т. е. кэлерова форма. Здесь ${ displaystyle partial, { bar { partial}}}$ являются Операторы Dolbeault. Функция ρ называется Кэлеровский потенциал за ω.

И наоборот, сложная версия Лемма Пуанкаре, любая кэлерова метрика может быть описана локально таким образом. То есть, если (Икс, ω) является кэлеровым многообразием, то для каждой точки п в Икс есть район U из п и гладкая вещественнозначная функция ρ на U такой, что ${ displaystyle omega vert _ {U} = (я / 2) partial { bar { partial}} rho}$.^[4] Здесь ρ называется местный кэлерский потенциал за ω. Не существует сопоставимого способа описания общей римановой метрики в терминах одной функции.

Кэлеровы многообразия и минимизаторы объема

Для компактный Кэлерово многообразие Икс, объем закрыто сложный подпространство из Икс определяется его гомология класс. В некотором смысле это означает, что геометрия комплексного подпространства ограничена с точки зрения его топологии. (Для реальных подмногообразий это полностью не работает.) Явно, Формула Виртингера Говорит, что

${ displaystyle mathrm {vol} (Y) = { frac {1} {r!}} int _ {Y} omega ^ {r},}$

где Y является р-мерное замкнутое комплексное подпространство и ω - кэлерова форма.^[5] поскольку ω замкнут, этот интеграл зависит только от класса Y в ЧАС_2р(Икс, р). Эти объемы всегда положительны, что выражает сильную положительность класса Кэлера. ω в ЧАС²(Икс, р) относительно комплексных подпространств. Особенно, ω^п не ноль в ЧАС^2п(Икс, р), для компактного кэлерова многообразия Икс сложного измерения п.

С этим связан тот факт, что каждое замкнутое комплексное подпространство Y компактного кэлерова многообразия Икс это минимальное подмногообразие (вне своего особого множества). Более того: по теории калиброванная геометрия, Y минимизирует объем среди всех (реальных) циклов в одном классе гомологий.

Лапласиан на кэлеровом многообразии

На римановом многообразии размерности N, то Лапласиан на гладком р-forms определяется${ displaystyle Delta _ {d} = dd ^ {*} + d ^ {*} d}$где ${ displaystyle d}$ - внешняя производная и ${ displaystyle d ^ {*} = - (- 1) ^ {Nr} star d star}$, где ${ displaystyle star}$ это Звездный оператор Ходжа. (Эквивалентно, ${ displaystyle d ^ {*}}$ это прилегающий из ${ displaystyle d}$ с уважением к L² внутренний продукт на р-формы с компактным носителем.) Для эрмитова многообразия Икс, ${ displaystyle d}$ и ${ displaystyle d ^ {*}}$ разлагаются как

${ displaystyle d = partial + { bar { partial}}, d ^ {*} = partial ^ {*} + { bar { partial}} ^ {*},}$

и два других лапласиана определены:

${ displaystyle Delta _ { bar { partial}} = { bar { partial}} { bar { partial}} ^ {*} + { bar { partial}} ^ {*} { bar { partial}}, Delta _ { partial} = partial partial ^ {*} + partial ^ {*} partial.}$

Если Икс является кэлеровым, то все эти лапласианы одинаковы с точностью до константы:^[6]

${ displaystyle Delta _ {d} = 2 Delta _ { bar { partial}} = 2 Delta _ { partial}.}$

Из этих тождеств следует, что на кэлеровом многообразии Икс,

${ displaystyle { mathcal {H}} ^ {r} (X) = bigoplus _ {p + q = r} { mathcal {H}} ^ {p, q} (X),}$

где ${ displaystyle { mathcal {H}} ^ {r}}$ это пространство гармонический р-форма на Икс (формы α с Δα = 0) и ${ displaystyle { mathcal {H}} ^ {p, q}}$ пространство гармонических (п,q) -формы. То есть дифференциальная форма ${ displaystyle alpha}$ гармоничен тогда и только тогда, когда каждое из своих (п,q) -компонент является гармоническим.

Далее, для компактного кэлерова многообразия Икс, Теория Ходжа дает интерпретацию описанного выше расщепления, не зависящую от выбора кэлеровой метрики. А именно когомология ЧАС^р(Икс, C) из Икс с комплексными коэффициентами разбивается как прямая сумма определенных когерентные когомологии пучков группы:^[7]

${ displaystyle H ^ {r} (X, mathbf {C}) cong bigoplus _ {p + q = r} H ^ {q} (X, Omega ^ {p}).}$

Группа слева зависит только от Икс как топологическое пространство, а группы справа зависят от Икс как комплексное многообразие. Так это Теорема Ходжа о разложении связывает топологию и комплексную геометрию компактных кэлеровых многообразий.

Позволять ЧАС^п,q(Икс) - комплексное векторное пространство ЧАС^q(Икс, Ω^п), который можно отождествить с пробелом ${ Displaystyle { mathcal {H}} ^ {p, q} (X)}$ гармонических форм относительно данной кэлеровой метрики. В Числа Ходжа из Икс определены час^п,q(Икс) = тусклый_CЧАС^п,q(Икс). Из разложения Ходжа следует разложение Бетти числа компактного кэлерова многообразия Икс с точки зрения его чисел Ходжа:

${ displaystyle b_ {r} = sum _ {p + q = r} h ^ {p, q}.}$

Числа Ходжа компактного кэлерова многообразия удовлетворяют нескольким тождествам. В Симметрия Ходжа час^п,q = час^q,п выполняется, поскольку лапласиан ${ displaystyle Delta _ {d}}$ настоящий оператор, и поэтому ${ displaystyle H ^ {p, q} = { overline {H ^ {q, p}}}}$. Личность час^п,q = час^{п−п,п−q} можно доказать, используя то, что звездный оператор Ходжа дает изоморфизм ${ displaystyle H ^ {p, q} cong { overline {H ^ {n-p, n-q}}}}$. Это также следует из Двойственность Серра.

Топология компактных кэлеровых многообразий

Простое следствие теории Ходжа состоит в том, что каждое нечетное число Бетти б_2а+1 компактного кэлерова многообразия четно в силу симметрии Ходжа. Это неверно для компактных комплексных многообразий в целом, как показывает пример Поверхность хопфа, который диффеоморфный к S¹ × S³ и, следовательно, имеет б₁ = 1.

«Кэлеровский пакет» представляет собой набор дополнительных ограничений на когомологии компактных кэлеровых многообразий, основанных на теории Ходжа. Результаты включают Теорема Лефшеца о гиперплоскости, то жесткая теорема Лефшеца, а Билинейные отношения Ходжа-Римана.^[8] Связанный результат состоит в том, что каждое компактное кэлерово многообразие является формальный в смысле теории рациональной гомотопии.^[9]

Вопрос о том, какие группы могут быть фундаментальные группы компактных кэлеровых многообразий, называемых Группы Кэлера, широко открыта. Теория Ходжа дает много ограничений на возможные кэлеровы группы.^[10] Самым простым ограничением является то, что абелианизация группы Кэлера должно иметь четный ранг, поскольку число Бетти б₁ компактного кэлерова многообразия четно. (Например, целые числа Z не может быть фундаментальной группой компактного кэлерова многообразия.) Расширения теории, такие как неабелева теория Ходжа дадим дополнительные ограничения на то, какие группы могут быть кэлеровыми.

Без условия Келлера ситуация проста: Клиффорд Таубс показал, что каждый конечно представленная группа возникает как фундаментальная группа некоторого компактного комплексного многообразия размерности 3.^[11] (Наоборот, фундаментальная группа любого закрытый коллектор конечно представлен.)

Характеризации комплексных проективных многообразий и компактных кэлеровых многообразий

В Теорема вложения Кодаира характеризует гладкие комплексные проективные многообразия среди всех компактных кэлеровых многообразий. А именно, компактное комплексное многообразие Икс проективен тогда и только тогда, когда существует кэлерова форма ω на Икс чей класс в ЧАС²(Икс, р) находится в образе целочисленной группы когомологий ЧАС²(Икс, Z). (Поскольку положительное кратное кэлеровой формы является кэлеровой формой, это эквивалентно утверждению, что Икс имеет кэлерову форму, класс которой в ЧАС²(Икс, р) в ЧАС²(Икс, Q).) Аналогично, Икс проективно тогда и только тогда, когда существует голоморфное линейное расслоение L на Икс с эрмитовой метрикой, форма кривизны ω которой положительна (поскольку ω тогда является кэлеровой формой, представляющей первую Черн класс из L в ЧАС²(Икс, Z)).

Каждая компактная комплексная кривая проективна, но в комплексной размерности не менее 2 существует множество компактных кэлеровых многообразий, которые не являются проективными; например, большинство компактные комплексные торы не проективны. Можно спросить, можно ли каждое компактное кэлерово многообразие по крайней мере деформировать (путем непрерывного изменения комплексной структуры) до гладкого проективного многообразия. Кунихико Кодайра работает над классификация поверхностей следует, что каждое компактное кэлерово многообразие комплексной размерности 2 действительно может быть деформировано до гладкого проективного многообразия. Клэр Вуазен Однако обнаружила, что это не удается для размерностей не менее 4. Она построила компактное кэлерово многообразие комплексной размерности 4, которое не является даже гомотопический эквивалент любому гладкому комплексному проективному многообразию.^[12]

Можно также попросить характеризовать компактные кэлеровы многообразия среди всех компактных комплексных многообразий. В комплексном измерении 2 Кодаира и Юм-Тонг Сиу показал, что компактная комплексная поверхность имеет кэлерову метрику тогда и только тогда, когда ее первое число Бетти четно.^[13] Таким образом, «кэлер» - это чисто топологическое свойство компактных комплексных поверхностей. Пример Хиронаки показывает, однако, что это не выполняется в размерностях не менее 3. Более подробно, пример представляет собой однопараметрическое семейство гладких компактных комплексных трехмерных многообразий, в которых большинство слоев кэлеровы (и даже проективны), но один слой не является кэлеровым. . Таким образом, компактное кэлерово многообразие может быть диффеоморфно некелеровому комплексному многообразию.

Многообразия Кэлера – Эйнштейна.

Кэлерово многообразие называется Келер – Эйнштейн если он имеет постоянный Кривизна Риччи. Эквивалентно, тензор кривизны Риччи равен постоянной λ, умноженной на метрический тензор, Ric = λg. Ссылка на Эйнштейна взята из общая теория относительности, который утверждает, что в отсутствие массы пространство-время является 4-мерным Лоренцево многообразие с нулевой кривизной Риччи. См. Статью о Многообразия Эйнштейна Больше подробностей.

Хотя кривизна Риччи определена для любого риманова многообразия, она играет особую роль в кэлеровой геометрии: кривизна Риччи кэлерова многообразия Икс можно рассматривать как реальную замкнутую (1,1) -форму, которая представляет c₁(Икс) (первый класс Черна группы касательный пучок ) в ЧАС²(Икс, р). Отсюда следует, что компактное многообразие Кэлера – Эйнштейна Икс должны быть канонический пакет K_Икс либо антиобильные, гомологически тривиальные, либо обильный, в зависимости от того, является ли постоянная Эйнштейна λ положительной, нулевой или отрицательной. Кэлеровы многообразия этих трех типов называются Фано, Калаби-Яу, или с обильным каноническим расслоением (что подразумевает общий тип ) соответственно. По теореме вложения Кодаиры многообразия Фано и многообразия с обильным каноническим расслоением автоматически являются проективными многообразиями.

Шинг-Тунг Яу доказал Гипотеза Калаби: каждое гладкое проективное многообразие с обильным каноническим расслоением имеет метрику Кэлера – Эйнштейна (с постоянной отрицательной кривизной Риччи), а каждое многообразие Калаби – Яу имеет метрику Кэлера – Эйнштейна (с нулевой кривизной Риччи). Эти результаты важны для классификации алгебраических многообразий с такими приложениями, как Неравенство Мияока – Яу для многообразий с обильным каноническим расслоением и разложение Бовиля – Богомолова для многообразий Калаби – Яу.^[14]

Напротив, не каждое гладкое многообразие Фано имеет метрику Кэлера – Эйнштейна (которая имела бы постоянную положительную кривизну Риччи). Однако Сюсюн Чен, Саймон Дональдсон, и Сон Сун доказала, что Яу-Тиан –Гипотеза Дональдсона: гладкое многообразие Фано имеет метрику Кэлера – Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно K-стабильный, чисто алгебро-геометрическое условие.

Голоморфная секционная кривизна

Отклонение риманова многообразия Икс от стандартной метрики на евклидовом пространстве измеряется секционная кривизна, которое является действительным числом, связанным с любой действительной 2-плоскостью в касательном пространстве Икс в момент. Например, секционная кривизна стандартной метрики на CP^п (для п ≥ 2) изменяется от 1/4 до 1. Для эрмитова многообразия (например, кэлерова) величина голоморфная секционная кривизна означает кривизну в разрезе, ограниченную сложными линиями в касательном пространстве. Это ведет себя проще, поскольку CP^п имеет голоморфную секционную кривизну, равную 1. С другой стороны, открытая единица мяч в C^п имеет полный Кэлерова метрика с голоморфной секционной кривизной, равной −1. (С этой метрикой мяч также называют сложное гиперболическое пространство.)

Голоморфная секционная кривизна тесно связана со свойствами Икс как комплексное многообразие. Например, каждое эрмитово многообразие Икс с голоморфной секционной кривизной, ограниченной сверху отрицательной константой, является Кобаяши гиперболический.^[15] Отсюда следует, что всякое голоморфное отображение C → Икс постоянно.

Замечательная особенность комплексной геометрии состоит в том, что голоморфная секционная кривизна убывает на комплексных подмногообразиях.^[16] (То же самое относится и к более общему понятию голоморфной бисекционной кривизны.) Например, каждое комплексное подмногообразие в C^п (с индуцированной метрикой из C^п) имеет голоморфную секционную кривизну ≤ 0.

Примеры

1. Сложный Евклидово пространство C^п со стандартной эрмитовой метрикой является кэлеровым многообразием.
2. Компактный комплексный тор C^п/ Λ (Λ полная решетка ) наследует плоскую метрику от евклидовой метрики на C^п, и поэтому является компактным кэлеровым многообразием.
3. Каждая риманова метрика на ориентированный 2-многообразие кэлерово. (Действительно, его группа голономии содержится в группа ротации SO (2), которая равна унитарной группе U (1).) В частности, ориентированное риманово 2-многообразие каноническим образом является комплексной кривой; это известно как существование изотермические координаты.
4. Существует стандартный выбор метрики Кэлера на сложное проективное пространство CP^п, то Метрика Фубини – Этюд. Одно описание включает унитарная группа U (п + 1), группа линейных автоморфизмов C^п+1 сохраняющие стандартную эрмитову форму. Метрика Фубини – Штуди - единственная риманова метрика на CP^п (с точностью до положительного кратного), инвариантный относительно действия U (п + 1) на CP^п. Одно естественное обобщение CP^п обеспечивается Эрмитовы симметрические пространства компактного типа, например Грассманианы. Естественная кэлерова метрика на эрмитовом симметрическом пространстве компактного типа имеет секционную кривизну ≥ 0.
5. Индуцированная метрика на комплексное подмногообразие кэлерова многообразия кэлерово. В частности, любые Коллектор Штейна (встроенный в C^п) или гладкой проективной алгебраическое многообразие (встроенный в CP^п) является кэлеровым. Это большой класс примеров.
6. Открытый шар B в C^п имеет полную кэлерову метрику, называемую Метрика Бергмана, с голоморфной секционной кривизной, равной −1. Естественное обобщение мяча дает Эрмитовы симметрические пространства некомпактного типа, например Верхнее полупространство Зигеля. Каждое эрмитово симметричное пространство Икс некомпактного типа изоморфна ограниченной области в некоторой C^п, и метрика Бергмана Икс является полной кэлеровой метрикой с секционной кривизной ≤ 0.
7. Каждые K3 поверхность Кэлер (по Сиу).^[13]

Смотрите также

• Почти комплексное многообразие
• Гиперкэлерово многообразие
• Кватернион-Кэлерово многообразие

Примечания

использованная литература

• Аморос, Жауме; Бургер, Марк; Корлетт, Кевин; Кочик, Дитер; Толедо, Доминго (1996), Фундаментальные группы компактных кэлеровых многообразий., Математические обзоры и монографии, 44, Американское математическое общество, Дои:10.1090 / сур / 044, ISBN  978-0-8218-0498-8, Г-Н  1379330
• Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис А.М.; Ван де Вен, Антониус (2004) [1984], Компактные сложные поверхности, Springer, Дои:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN  978-3-540-00832-3, Г-Н  2030225
• Каннас да Силва, Ана (2001), Лекции по симплектической геометрии, Конспект лекций по математике, 1764, Springer, Дои:10.1007/978-3-540-45330-7, ISBN  978-3540421955, Г-Н  1853077
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994) [1978]. Принципы алгебраической геометрии. Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-05059-9. Г-Н  0507725.
• Кэлер, Эрих (1933), "Ùber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik", Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург, 9: 173–186, Дои:10.1007 / BF02940642, JFM  58.0780.02
• Хайбрехтс, Даниэль (2005), Сложная геометрия: введение, Springer, ISBN  978-3-540-21290-4, Г-Н  2093043
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996) [1969], Основы дифференциальной геометрии, 2, Джон Уайли и сыновья, ISBN  978-0-471-15732-8, Г-Н  1393941
• Морояну, Андрей (2007), Лекции по кэлеровой геометрии, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 69, Издательство Кембриджского университета, arXiv:математика / 0402223, Дои:10.1017 / CBO9780511618666, ISBN  978-0-521-68897-0, Г-Н  2325093
• Вуазен, Клэр (2004), «О гомотопических типах компактных кэлеровых и комплексных проективных многообразий», Inventiones Mathematicae, 157 (2): 329–343, arXiv:математика / 0312032, Bibcode:2004ИнМат.157..329В, Дои:10.1007 / s00222-003-0352-1, Г-Н  2076925
• Чжэн, Фанъян (2000), Комплексная дифференциальная геометрия, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-2163-3, Г-Н  1777835

внешние ссылки

• «Кэлерово многообразие», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Морояну, Андрей (2004), Лекции по кэлеровой геометрии (PDF)