Плюрисубгармоническая функция - Википедия - Plurisubharmonic function

В математика, плюрисубгармонический функции (иногда сокращенно psh, пожалуйста, или же плюшевый функции) образуют важный класс функции используется в комплексный анализ. На Кэлерово многообразие, плюрисубгармонические функции образуют подмножество субгармонические функции. Однако, в отличие от субгармонических функций (которые определены на Риманово многообразие ) плюрисубгармонические функции могут быть определены в полной общности на сложные аналитические пространства.

Формальное определение

А функция

{ Displaystyle е двоеточие G к { mathbb {R}} чашка {- infty },}

с домен ${ Displaystyle G подмножество { mathbb {C}} ^ {п}}$ называется плюрисубгармонический если это верхний полунепрерывный, и для каждого сложный линия

{ displaystyle {a + bz mid z in { mathbb {C}} } subset { mathbb {C}} ^ {n}}

с

{ displaystyle a, b in { mathbb {C}} ^ {n}}

функция ${ displaystyle z mapsto f (a + bz)}$ это субгармоническая функция на съемочной площадке

{ displaystyle {z in { mathbb {C}} mid a + bz in G }.}

В полная общность, понятие можно определить на произвольной комплексное многообразие или даже Комплексное аналитическое пространство ${ displaystyle X}$ следующее. An полунепрерывная верхняя функция

{ displaystyle f двоеточие X to { mathbb {R}} cup {- infty }}

называется плюрисубгармоническим тогда и только тогда, когда для любого голоморфное отображение ${ displaystyle varphi двоеточие Delta to X}$ функция

{ displaystyle f circ varphi двоеточие Delta to { mathbb {R}} cup {- infty }}

является субгармоника, куда ${ displaystyle Delta subset { mathbb {C}}}$ обозначает единичный диск.

Дифференцируемые плюрисубгармонические функции

Если ${ displaystyle f}$ относится к классу (дифференцируемости) ${ displaystyle C ^ {2}}$ , тогда ${ displaystyle f}$ плюрисубгармонична тогда и только тогда, когда эрмитова матрица ${ displaystyle L_ {f} = ( lambda _ {ij})}$ , называемая матрицей Леви, а также

{ displaystyle lambda _ {ij} = { frac { partial ^ {2} f} { partial z_ {i} partial { bar {z}} _ {j}}}}

является положительно полуопределенный.

Эквивалентно ${ displaystyle C ^ {2}}$ -функция ж плюрисубгармоничен тогда и только тогда, когда ${ displaystyle { sqrt {-1}} partial { bar { partial}} f}$ это положительная (1,1) -форма.

Примеры

Связь с кэлеровым многообразием: О n-мерном комплексном евклидовом пространстве ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ , ${ Displaystyle f (z) = | z | ^ {2}}$ является плюрисубгармоническим. Фактически, ${ displaystyle { sqrt {-1}} partial { overline { partial}} f}$ соответствует стандарту Кэлерова форма на ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ до постоянных кратных. В более общем смысле, если ${ displaystyle g}$ удовлетворяет

{ displaystyle { sqrt {-1}} partial { overline { partial}} g = omega}

для некоторой кэлеровой формы ${ displaystyle omega}$ , тогда ${ displaystyle g}$ является плюрисубгармоническим, что называется кэлеровым потенциалом.

Отношение к дельте Дирака: О одномерном комплексном евклидовом пространстве ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$ , ${ Displaystyle и (г) = журнал (г)}$ является плюрисубгармоническим. Если ${ displaystyle f}$ это C^∞-класс с функцией компактная опора, тогда Интегральная формула Коши говорит

{ displaystyle f (0) = - { frac { sqrt {-1}} {2 pi}} int _ {D} { frac { partial f} { partial { bar {z}} }} { frac {dzd { bar {z}}} {z}}}

который можно изменить на

{ displaystyle { frac { sqrt {-1}} { pi}} partial { overline { partial}} log | z | = dd ^ {c} log | z |}

.

Это не что иное, как Мера Дирака в начале координат 0.

Больше примеров

Если ${ displaystyle f}$ является аналитической функцией на открытом множестве, то ${ displaystyle log | f |}$ плюрисубгармонична на этом открытом множестве.
Выпуклые функции плюрисубгармоничны
Если ${ displaystyle Omega}$ является областью голоморфности, то ${ displaystyle - log (dist (z, Omega ^ {c}))}$ плюрисубгармонический
Гармонические функции не обязательно являются плюрисубгармоническими

История

Плюрисубгармонические функции были определены в 1942 г.Киёси Ока ^[1] и Пьер Лелонг.^[2]

Характеристики

Набор плюрисубгармонических функций образует выпуклый конус в векторное пространство полунепрерывных функций, т.е.

если ${ displaystyle f}$ является плюрисубгармонической функцией и ${ displaystyle c> 0}$ положительное действительное число, то функция ${ displaystyle c cdot f}$ плюрисубгармоничен,
если ${ displaystyle f_ {1}}$ и ${ displaystyle f_ {2}}$ плюрисубгармонические функции, то сумма ${ displaystyle f_ {1} + f_ {2}}$ является плюрисубгармонической функцией.

Плюрисубгармоничность - это местная собственность, т.е. функция плюрисубгармонична тогда и только тогда, когда она плюрисубгармонична в окрестности каждой точки.
Если ${ displaystyle f}$ плюрисубгармоничен и ${ displaystyle phi: mathbb {R} to mathbb {R}}$ монотонно возрастающая выпуклая функция, то ${ displaystyle phi circ f}$ является плюрисубгармоническим.
Если ${ displaystyle f_ {1}}$ и ${ displaystyle f_ {2}}$ плюрисубгармонические функции, то функция ${ Displaystyle е (х): = макс (f_ {1} (x), f_ {2} (x))}$ является плюрисубгармоническим.
Если ${ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, dots}$ представляет собой монотонно убывающую последовательность плюрисубгармонических функций

тогда ${ displaystyle f (x): = lim _ {n to infty} f_ {n} (x)}$ является плюрисубгармоническим.

Каждую непрерывную плюрисубгармоническую функцию можно получить как предел монотонно убывающей последовательности гладких плюрисубгармонических функций. Причем эту последовательность можно выбрать равномерно сходящейся.^[3]
Неравенство в обычном полунепрерывность условие выполняется как равенство, т.е. если ${ displaystyle f}$ плюрисубгармоничен, то

{ Displaystyle limsup _ {х к х_ {0}} е (х) = е (х_ {0})}

(видеть ограничивать высшее и ограничивать низшее для определения лим суп).

Плюрисубгармонические функции: субгармоника, для любого Кэлерова метрика.
Следовательно, плюрисубгармонические функции удовлетворяют условию принцип максимума, т.е. если ${ displaystyle f}$ плюрисубгармоничен на связаны открытый домен ${ displaystyle D}$ и

{ Displaystyle sup _ {х в D} е (х) = е (х_ {0})}

в какой-то момент ${ displaystyle x_ {0} in D}$ тогда ${ displaystyle f}$ постоянно.

Приложения

В комплексный анализ, плюрисубгармонические функции используются для описания псевдовыпуклые домены, области голоморфности и Многообразия Штейна.

Ока теорема

Основным геометрическим приложением теории плюрисубгармонических функций является знаменитая теорема, доказанная Киёси Ока в 1942 г.^[1]

Непрерывная функция ${ displaystyle f: ; M mapsto { mathbb {R}}}$ называется исчерпывающий если прообраз ${ displaystyle f ^ {- 1} (] - infty, c])}$ компактна для всех ${ displaystyle c in { mathbb {R}}}$ . Плюрисубгармоническая функция ж называется сильно плюрисубгармоническийесли форма ${ displaystyle { sqrt {-1}} ( partial { bar { partial}} f- omega)}$ является положительный, для некоторых Кэлерова форма ${ displaystyle omega}$ на M.

Теорема Оки: Позволять M - комплексное многообразие, допускающее гладкую исчерпывающую сильно плюрисубгармоническую функцию. M является Stein. И наоборот, любоеМногообразие Штейна допускает такую функцию.

внешняя ссылка

«Плюрисубгармоническая функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

Примечания

^ ^а ^б К. Ока, Домены псевдовыпуклые, Tohoku Math. Дж. 49 (1942), 15–52.
^ П. Лелонг, Определение des fonctions plurisousharmoniques, C. R. Acd. Sci. Париж 215 (1942), 398–400.
^ Р. Э. Грин и Х. Ву, ${ Displaystyle C ^ { infty}}$ -аппроксимации выпуклых, субгармонических и плюрисубгармонических функций, Анна. Научный. Ec. Норма. Как дела. 12 (1979), 47–84.

[oka-1] а ^б К. Ока, Домены псевдовыпуклые, Tohoku Math. Дж. 49 (1942), 15–52.

[2] П. Лелонг, Определение des fonctions plurisousharmoniques, C. R. Acd. Sci. Париж 215 (1942), 398–400.

[3] Р. Э. Грин и Х. Ву, ${ Displaystyle C ^ { infty}}$ -аппроксимации выпуклых, субгармонических и плюрисубгармонических функций, Анна. Научный. Ec. Норма. Как дела. 12 (1979), 47–84.

[1]

[2]

[3]