Псевдовыпуклость - Pseudoconvexity

В математика, точнее в теории функций несколько сложных переменных, а псевдовыпуклый набор это особый вид открытый набор в п-мерное сложное пространство C^п. Псевдовыпуклые множества важны, поскольку они позволяют классифицировать области голоморфности.

Позволять

${ Displaystyle G подмножество { mathbb {C}} ^ {п}}$

быть доменом, то есть открыто связаны подмножество. Один говорит, что ${ displaystyle G}$ является псевдовыпуклый (или же Hartogs псевдовыпуклый), если существует непрерывный плюрисубгармоническая функция ${ displaystyle varphi}$ на ${ displaystyle G}$ такой, что набор

${ displaystyle {z in G mid varphi (z)$

это относительно компактный подмножество ${ displaystyle G}$ для всех действительные числа ${ displaystyle x.}$ Другими словами, домен является псевдовыпуклым, если ${ displaystyle G}$ имеет непрерывный плюрисубгармонический функция истощения. Каждые (геометрически) выпуклый набор псевдовыпуклый.

Когда ${ displaystyle G}$ имеет ${ displaystyle C ^ {2}}$ (дважды непрерывно дифференцируемый ) граница, это понятие совпадает с понятием псевдовыпуклости Леви, с которым легче работать. В частности, с ${ displaystyle C ^ {2}}$ граница, можно показать, что ${ displaystyle G}$ имеет определяющую функцию; то есть, что существует ${ Displaystyle rho: mathbb {C} ^ {n} to mathbb {R}}$ который ${ displaystyle C ^ {2}}$ так что ${ Displaystyle G = { rho <0 }}$, и ${ displaystyle partial G = { rho = 0 }}$. Сейчас же, ${ displaystyle G}$ псевдовыпукло тогда и только тогда, когда для каждого ${ displaystyle p in partial G}$ и ${ displaystyle w}$ в комплексном касательном пространстве в точке p, т. е.

${ displaystyle nabla rho (p) w = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial rho (p)} { partial z_ {j}}} w_ {j} = 0}$, у нас есть

${ Displaystyle sum _ {я, j = 1} ^ {n} { frac { partial ^ {2} rho (p)} { partial z_ {i} partial { bar {z_ {j} }}}} w_ {i} { bar {w_ {j}}} geq 0.}$

Если ${ displaystyle G}$ не имеет ${ displaystyle C ^ {2}}$ граница, следующий результат аппроксимации может оказаться полезным.

Предложение 1 Если ${ displaystyle G}$ псевдовыпуклый, то существуют ограниченный, сильно псевдовыпуклые домены Леви ${ displaystyle G_ {k} subset G}$ с ${ Displaystyle C ^ { infty}}$ (гладкий ) границы, относительно компактные в ${ displaystyle G}$, так что

${ displaystyle G = bigcup _ {k = 1} ^ { infty} G_ {k}.}$

Это потому, что как только у нас есть ${ displaystyle varphi}$ как и в определении, мы действительно можем найти C^∞ функция истощения.

Дело п = 1

В одном комплексном измерении каждая открытая область является псевдовыпуклой. Таким образом, концепция псевдовыпуклости более полезна для измерений больше единицы.

Смотрите также

• Голоморфно выпуклая оболочка
• Многообразие Штейна
• Аналитический многогранник
• Эухенио Элиа Леви

Рекомендации

• Ларс Хёрмандер, Введение в комплексный анализ нескольких переменных, Северная Голландия, 1990 г. (ISBN  0-444-88446-7).
• Стивен Г. Кранц. Теория функций нескольких комплексных переменных, AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 1992.

В этой статье использованы материалы из Pseudoconvex о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

внешняя ссылка

• Range, Р. Майкл (февраль 2012 г.), "ЧТО ТАКОЕ ... псевдовыпуклый домен?" (PDF), Уведомления Американского математического общества, 59 (2): 301–303, Дои:10.1090 / noti798
• «Псевдовыпуклые и псевдовогнутые», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]