Псевдовыпуклая функция - Pseudoconvex function

В выпуклый анализ и вариационное исчисление, филиалы математика, а псевдовыпуклая функция это функция что ведет себя как выпуклая функция в отношении поиска своего локальные минимумы, но на самом деле не обязательно быть выпуклым. Неформально дифференцируемая функция называется псевдовыпуклой, если она возрастает в любом направлении, в котором она имеет положительное значение. производная по направлению.

Формальное определение

Формально действительнозначная дифференцируемая функция ${ displaystyle f}$ определен на (непустом) выпуклый открытый набор ${ displaystyle X}$ в конечномерном Евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ как говорят псевдовыпуклый если для всех ${ displaystyle x, y in X}$ такой, что ${ Displaystyle набла е (х) cdot (у-х) geq 0}$ , у нас есть ${ Displaystyle f (y) geq f (x)}$ .^[1] Здесь ${ displaystyle nabla f}$ это градиент из ${ displaystyle f}$ , определяется

{ displaystyle nabla f = left ({ frac { partial f} { partial x_ {1}}}, dots, { frac { partial f} { partial x_ {n}}} right ).}

Характеристики

Всякая выпуклая функция псевдовыпуклая, но обратное неверно. Например, функция ƒ(Икс) = Икс + Икс³ псевдовыпуклая, но не выпуклая. Любая псевдовыпуклая функция квазивыпуклый, но обратное неверно, так как функция ƒ(Икс) = Икс³ квазивыпуклый, но не псевдовыпуклый. Псевдовыпуклость представляет интерес прежде всего потому, что точка Икс* - локальный минимум псевдовыпуклой функции ƒ если и только если это стационарная точка из ƒ, то есть градиент из ƒ исчезает в Икс*:

{ Displaystyle набла е (х ^ {*}) = 0.}

^[2]

Обобщение на недифференцируемые функции

Понятие псевдовыпуклости можно обобщить на недифференцируемые функции следующим образом.^[3] Учитывая любую функцию ƒ : Икс → р мы можем определить верхний Производная Дини из ƒ к

{ displaystyle f ^ {+} (x, u) = limsup _ {h to 0 ^ {+}} { frac {f (x + hu) -f (x)} {h}}}

куда ты есть ли единичный вектор. Функция называется псевдовыпуклой, если она возрастает в любом направлении, где верхняя производная Дини положительна. Точнее, это характеризует субдифференциальный ∂ƒ следующее:

Для всех Икс, y ∈ Икс, если существует Икс* ∈ ∂ƒ(Икс) такой, что ${ displaystyle langle x ^ {*}, y-x rangle geq 0 ,,}$ тогда ƒ(Икс) ≤ ƒ(z) для всех z на примыкающем к Икс и y.

Связанные понятия

А псевдовогнутая функция - функция, отрицательная величина которой является псевдовыпуклой. А псевдолинейная функция - это функция, которая одновременно является псевдовыпуклой и псевдовогнутой.^[4] Например, линейно-дробные программы иметь псевдолинейный целевые функции и линейные ограничения неравенства: Эти свойства позволяют решать дробно-линейные задачи с помощью варианта симплексный алгоритм (из Джордж Б. Данциг ).^[5]^[6]^[7] Для векторной функции η существует более общее понятие η-псевдовыпуклости^[8]^[9] и η-псевдолинейность, в которой классические псевдовыпуклость и псевдолинейность относятся к случаю, когда η (x, y) = y - x.

Смотрите также

Примечания

^ Мангасарян 1965
^ Мангасарян 1965
^ Floudas & Pardalos 2001
^ Рапчак 1991
^ Глава пятая: Крейвен, Б. Д. (1988). Дробное программирование. Сигма-серия в прикладной математике. 4. Берлин: Heldermann Verlag. п. 145. ISBN 3-88538-404-3. МИСТЕР 0949209.
^ Крук, Серж; Волкович, Генри (1999). «Псевдолинейное программирование». SIAM Обзор. 41 (4). С. 795–805. Дои:10.1137 / S0036144598335259. JSTOR 2653207. МИСТЕР 1723002.
^ Матис, Фрэнк Х .; Матис, Ленора Джейн (1995). «Алгоритм нелинейного программирования для управления больницей». SIAM Обзор. 37 (2). С. 230–234. Дои:10.1137/1037046. JSTOR 2132826. МИСТЕР 1343214.
^ Ансари, Камрул Хасан; Lalitha, C. S .; Мехта, Моника (2013). Обобщенная выпуклость, негладкие вариационные неравенства и негладкая оптимизация. CRC Press. п. 107. ISBN 9781439868218. Получено 15 июля 2019.
^ Мишра, Шаши К .; Джорджи, Джорджио (2008). Неуклюжесть и оптимизация. Springer Science & Business Media. п. 39. ISBN 9783540785613. Получено 15 июля 2019.