Градиент - Gradient

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Январь 2018) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Градиент, представленный синими стрелками, обозначает направление наибольшего изменения скалярной функции. Значения функции представлены в оттенках серого и увеличиваются по значению от белого (низкий) до темного (высокий).

В векторное исчисление, то градиент из скалярный дифференцируемая функция ж из несколько переменных это векторное поле (или же вектор-функция ) ${displaystyle abla f}$ чья ценность в точке ${displaystyle p}$ это вектор^[а] компоненты которого являются частные производные из ${displaystyle f}$ в ${displaystyle p}$.^{[1][2][3][4][5][6][7][8][9]} То есть для ${displaystyle fcolon mathbf {R} ^ {n} o mathbf {R}}$, его градиент ${displaystyle abla fcolon mathbf {R} ^ {n} o mathbf {R} ^ {n}}$ определяется в точке ${displaystyle mathrm {p} = (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ в н-пространственное пространство как вектор:^[b]

${displaystyle abla f (p) = {egin {bmatrix} {frac {partial f} {partial x_ {1}}} (p) vdots {frac {partial f} {partial x_ {n}}} (p) конец {bmatrix}}.}$

В набла символ ${displaystyle abla}$, записывается в виде перевернутого треугольника и произносится как "дель"", обозначает векторный дифференциальный оператор.

Градиент двойственный производная ${displaystyle df}$: значение градиента в точке равно касательный вектор - вектор в каждой точке; в то время как значение производной в точке равно coкасательный вектор - линейная функция от векторов.^[c] Они связаны тем, что скалярное произведение градиента ж в какой-то момент п с другим касательным вектором v равно производная по направлению из ж в п функции по v; то есть, ${displaystyle abla f (p) cdot mathrm {v} = {frac {partial f} {partial mathbf {v}}} (p) = df_ {p} (mathrm {v})}$.

Вектор градиента можно интерпретировать как «направление и скорость наиболее быстрого увеличения». Если градиент функции отличен от нуля в точке п, направление градиента - это направление, в котором функция растет быстрее всего от п, а величина градиента - это скорость увеличения в этом направлении.^{[10][11][12][13][14][15][16]} Кроме того, градиент является нулевым вектором в точке тогда и только тогда, когда это стационарная точка (где производная обращается в нуль). Таким образом, градиент играет фундаментальную роль в теория оптимизации, где он используется для максимизации функции градиентный подъем.

Градиент допускает множественные обобщения на более общие функции на коллекторы; видеть § Обобщения.

Мотивация

Градиент 2D функции ж(Икс, у) = xe^{−(Икс2 + у2)} отображается в виде синих стрелок над псевдоцветным графиком функции.

Рассмотрим комнату, в которой температура задается скалярное поле, Т, поэтому в каждой точке (Икс, у, z) температура Т(Икс, у, z), независимо от времени. В каждой точке комнаты градиент Т в этой точке покажет направление, в котором температура растет быстрее всего, отодвигаясь от (Икс, у, z). Величина градиента определяет, насколько быстро температура повышается в этом направлении.

Рассмотрим поверхность, высота которой над уровнем моря в точке (Икс, у) является ЧАС(Икс, у). Градиент ЧАС в точке - это плоский вектор, указывающий в направлении наискорейшего склона или оценка в таком случае. Крутизна наклона в этой точке определяется величиной вектора градиента.

Градиент также можно использовать для измерения того, как скалярное поле изменяется в других направлениях, а не только в направлении наибольшего изменения, путем измерения скалярное произведение. Предположим, что самый крутой уклон холма составляет 40%. Дорога, идущая прямо в гору, имеет уклон 40%, но дорога, огибающая холм под углом, будет иметь более пологий уклон. Например, если дорога проходит под углом 60 ° к направлению подъема (когда оба направления проецируются на горизонтальную плоскость), то уклон вдоль дороги будет скалярным произведением между вектором градиента и единичный вектор вдоль дороги, а именно в 40% раз больше косинус 60 °, или 20%.

В более общем смысле, если функция высоты холма ЧАС является дифференцируемый, то градиент ЧАС пунктирный с единичный вектор дает наклон холма в направлении вектора, производная по направлению из ЧАС вдоль единичного вектора.

Определение

Градиент функции ж(Икс,у) = - (cos²Икс + cos²у)² изображен как спроектированный векторное поле на нижней плоскости.

Градиент (или векторное поле градиента) скалярной функции ж(Икс₁, Икс₂, Икс₃, ..., Икс_п) обозначается ∇ж или же ∇→ж куда ∇ (набла ) обозначает вектор дифференциальный оператор, дель. Обозначение град ж также обычно используется для представления градиента. Градиент ж определяется как уникальное векторное поле, скалярное произведение которого с любым вектор v в каждой точке Икс является производной по направлению от ж вдоль v. То есть,

${displaystyle {ig (} abla f (x) {ig)} cdot mathbf {v} = D_ {mathbf {v}} f (x).}$

Формально градиент двойной к производной; видеть связь с производной.

Когда функция также зависит от параметра, такого как время, градиент часто относится просто к вектору только его пространственных производных (см. Пространственный градиент ).

Величина и направление вектора градиента равны независимый особого координатное представление.^[17][18]

Декартовы координаты

В трехмерном Декартова система координат с Евклидова метрика, градиент, если он существует, определяется выражением:

${displaystyle abla f = {frac {partial f} {partial x}} mathbf {i} + {frac {partial f} {partial y}} mathbf {j} + {frac {partial f} {partial z}} mathbf { k},}$

куда я, j, k являются стандарт единичные векторы в направлениях Икс, у и z координаты соответственно. Например, градиент функции

${displaystyle f (x, y, z) = 2x + 3y ^ {2} -sin (z)}$

является

${displaystyle abla f = 2mathbf {i} + 6ymathbf {j} -cos (z) mathbf {k}.}$

В некоторых приложениях принято представлять градиент в виде вектор строки или же вектор столбца его компонентов в прямоугольной системе координат; в этой статье принято, что градиент является вектором-столбцом, а производная - вектором-строкой.

Цилиндрические и сферические координаты

В цилиндрические координаты с евклидовой метрикой градиент определяется как:^[19]

${displaystyle abla f (ho, varphi, z) = {frac {partial f} {partial ho}} mathbf {e} _ {ho} + {frac {1} {ho}} {frac {partial f} {partial varphi }} mathbf {e} _ {varphi} + {frac {partial f} {partial z}} mathbf {e} _ {z},}$

куда ρ осевое расстояние, φ азимутальный или азимутальный угол, z - осевая координата, а е_ρ, е_φ и е_z - единичные векторы, указывающие вдоль координатных направлений.

В сферические координаты, градиент определяется как:^[19]

${displaystyle abla f (r, heta, varphi) = {frac {partial f} {partial r}} mathbf {e} _ {r} + {frac {1} {r}} {frac {partial f} {partial heta }} mathbf {e} _ {heta} + {frac {1} {rsin heta}} {frac {partial f} {partial varphi}} mathbf {e} _ {varphi},}$

куда р радиальное расстояние, φ азимутальный угол и θ - полярный угол, а е_р, е_θ и е_φ снова являются локальными единичными векторами, указывающими в направлениях координат (то есть нормализованные ковариантный базис ).

Для градиента в другом ортогональные системы координат, видеть Ортогональные координаты (Дифференциальные операторы в трех измерениях).

Общие координаты

Мы считаем общие координаты, который мы запишем как Икс¹, ..., Икс^я, ..., Икс^п, куда п - количество измерений домена. Здесь верхний индекс относится к позиции в списке координаты или компонента, поэтому Икс² относится ко второму компоненту, а не к количеству Икс в квадрате. Индексная переменная я относится к произвольному элементу Икс^я. С помощью Обозначения Эйнштейна, тогда градиент можно записать как:

${displaystyle abla f = {frac {partial f} {partial x ^ {i}}} g ^ {ij} mathbf {e} _ {j}}$ (Обратите внимание, что его двойной является ${displaystyle mathrm {d} f = {frac {partial f} {partial x ^ {i}}} mathbf {e} ^ {i}}$ ),

куда ${displaystyle mathbf {e} _ {i} = частично mathbf {x} / частично x ^ {i}}$ и ${displaystyle mathbf {e} ^ {i} = mathrm {d} x ^ {i}}$ обратитесь к ненормализованному локальному ковариантные и контравариантные базисы соответственно, ${displaystyle g ^ {ij}}$ это обратный метрический тензор, а соглашение Эйнштейна о суммировании подразумевает суммирование по я и j.

Если координаты ортогональны, мы можем легко выразить градиент (и дифференциал ) в терминах нормализованных базисов, которые мы называем ${displaystyle {hat {mathbf {e}}} _ {i}}$ и ${displaystyle {hat {mathbf {e}}} ^ {i}}$, используя масштабные коэффициенты (также известные как Коэффициенты Ламе ) ${displaystyle h_ {i} = lVert mathbf {e} _ {i} Vert = 1, / lVert mathbf {e} ^ {i}, Vert}$ :

${displaystyle abla f = sum _ {i = 1} ^ {n}, {frac {partial f} {partial x ^ {i}}} {frac {1} {h_ {i}}} mathbf {hat {e} } _ {i}}$ ( и ${displaystyle mathrm {d} f = sum _ {i = 1} ^ {n}, {frac {partial f} {partial x ^ {i}}} {frac {1} {h_ {i}}} mathbf {hat {e}} ^ {i}}$ ),

где нельзя использовать обозначения Эйнштейна, поскольку невозможно избежать повторения более двух индексов. Несмотря на использование верхних и нижних индексов, ${displaystyle mathbf {hat {e}} _ {i}}$, ${displaystyle mathbf {шляпа {e}} ^ {i}}$, и ${displaystyle h_ {i}}$ не являются ни контравариантными, ни ковариантными.

Последнее выражение соответствует приведенным выше выражениям для цилиндрических и сферических координат.

Градиент и производная или дифференциал

Градиент тесно связан с (всего) производная ((общий) дифференциал ) ${displaystyle df}$: они есть транспонировать (двойной ) друг другу. Используя соглашение, что векторы в ${displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ представлены вектор-столбец, и ковекторы (линейные отображения ${displaystyle mathbf {R} ^ {n} o mathbf {R}}$) представлены векторы-строки,^[а] градиент ${displaystyle abla f}$ и производная ${displaystyle df}$ выражаются как вектор-столбец и вектор-строка, соответственно, с одними и теми же компонентами, но транспонированы друг в друга:

${displaystyle abla f (p) = {egin {bmatrix} {frac {partial f} {partial x_ {1}}} (p) vdots {frac {partial f} {partial x_ {n}}} (p) конец {bmatrix}}}$;

${displaystyle df_ {p} = {egin {bmatrix} {frac {partial f} {partial x_ {1}}} (p) cdots {frac {partial f} {partial x_ {n}}} (p) end {bmatrix }}}$.

Хотя у них обоих одинаковые компоненты, они различаются по типу математического объекта, который они представляют: в каждой точке производная представляет собой котангенс вектор, а линейная форма (ковектор ), который выражает, насколько (скалярный) вывод изменяется при заданном бесконечно малом изменении (вектора) ввода, в то время как в каждой точке градиент является касательный вектор, который представляет собой бесконечно малое изменение (вектора) ввода. В символах градиент - это элемент касательного пространства в точке, ${displaystyle abla f (p) в T_ {p} mathbf {R} ^ {n}}$, а производная - это отображение касательного пространства на действительные числа, ${displaystyle df_ {p} двоеточие T_ {p} mathbf {R} ^ {n} o mathbf {R}}$. Касательные пространства в каждой точке ${displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ можно "естественно" идентифицировать^[d] с векторным пространством ${displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ само по себе, и аналогичным образом котангенсное пространство в каждой точке можно естественным образом отождествить с двойное векторное пространство ${displaystyle (mathbf {R} ^ {n}) ^ {*}}$ ковекторов; таким образом, значение градиента в точке можно представить как вектор в исходном ${displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$, а не только как касательный вектор.

Вычислительно, учитывая касательный вектор, вектор может быть умноженный по производной (в виде матриц), что равносильно взятию скалярное произведение с градиентом:

${displaystyle (df_ {p}) (v) = {egin {bmatrix} {frac {partial f} {partial x_ {1}}} (p) cdots {frac {partial f} {partial x_ {n}}} ( p) end {bmatrix}} {egin {bmatrix} v_ {1} vdots v_ {n} end {bmatrix}} = sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {partial f} {partial x_ {частичный x_ { i}}} (p) v_ {i} = {egin {bmatrix} {frac {partial f} {partial x_ {1}}} (p) vdots {frac {partial f} {partial x_ {n}} } (p) end {bmatrix}} cdot {egin {bmatrix} v_ {1} vdots v_ {n} end {bmatrix}} = abla f (p) cdot v}$

Дифференциальная или (внешняя) производная

Наилучшее линейное приближение дифференцируемой функции

${displaystyle fcolon mathbf {R} ^ {n} o mathbf {R}}$

в какой-то момент Икс в р^п это линейная карта из р^п к р который часто обозначается как df_Икс или же Df(Икс) и назвал дифференциал или же (общий) производная из ж в Икс. Функция df, который отображает Икс к df_Икс, называется (общий) дифференциал или же внешняя производная из ж и является примером дифференциальная 1-форма.

Подобно тому, как производная функции одной переменной представляет собой склон из касательная к график функции,^[20] производная по направлению функции нескольких переменных представляет собой наклон касательной гиперплоскость в направлении вектора.

Градиент связан с дифференциалом формулой

${displaystyle (abla f) _ {x} cdot v = df_ {x} (v)}$

для любого v ∈ р^п, куда ${displaystyle cdot}$ это скалярное произведение: получение скалярного произведения вектора с градиентом аналогично получению производной по направлению вдоль вектора.

Если р^п рассматривается как пространство (измерение п) вектор-столбцы (действительных чисел), то можно рассматривать df как вектор-строку с компонентами

${displaystyle left ({frac {partial f} {partial x_ {1}}}, dots, {frac {partial f} {partial x_ {n}}} ight),}$

так что df_Икс(v) дан кем-то матричное умножение. В предположении стандартной евклидовой метрики на р^п, тогда градиент является соответствующим вектором-столбцом, то есть

${displaystyle (abla f) _ {i} = df_ {i} ^ {mathsf {T}}.}$

Линейное приближение к функции

Самый лучший линейное приближение к функции можно выразить через градиент, а не через производную. Градиент а функция ж из евклидова пространства р^п к р в любой момент Икс₀ в р^п характеризует лучшее линейное приближение к ж в Икс₀. Приближение выглядит следующим образом:

${displaystyle f (x) приблизительно f (x_ {0}) + (abla f) _ {x_ {0}} cdot (x-x_ {0})}$

за Икс рядом с Икс₀, куда (∇ж )_Икс0 это градиент ж вычислено в Икс₀, а точка обозначает скалярное произведение на р^п. Это уравнение эквивалентно первым двум членам в многопараметрический ряд Тейлора расширение ж в Икс₀.

Градиент как «производная»

Позволять U быть открытый набор в р^п. Если функция ж : U → р является дифференцируемый, то дифференциал ж является производной (Фреше) от ж. Таким образом ∇ж это функция от U в космос р^п такой, что

${displaystyle lim _ {h o 0} {frac {| f (x + h) -f (x) -abla f (x) cdot h |} {| h |}} = 0,}$

где · - скалярное произведение.

Как следствие, обычные свойства производной сохраняются для градиента, хотя градиент сам по себе не является производной, а скорее двойственен производной:

Линейность

Градиент линейный в том смысле, что если ж и грамм - две действительные функции, дифференцируемые в точке а ∈ р^п, и α и β две константы, то αf + βg дифференцируема в а, и более того

${displaystyle abla left (alpha f + eta gight) (a) = alpha abla f (a) + eta abla g (a).}$

Правило продукта

Если ж и грамм - действительные функции, дифференцируемые в точке а ∈ р^п, то правило продукта утверждает, что продукт фг дифференцируема в а, и

${displaystyle abla (fg) (a) = f (a) abla g (a) + g (a) abla f (a).}$

Правило цепи

Предположим, что ж : А → р является вещественной функцией, определенной на подмножестве А из р^п, и это ж дифференцируема в точке а. Есть две формы цепного правила, применяемого к градиенту. Сначала предположим, что функция грамм это параметрическая кривая; то есть функция грамм : я → р^п отображает подмножество я ⊂ р в р^п. Если грамм дифференцируема в точке c ∈ я такой, что грамм(c) = а, тогда

${displaystyle (fcirc g) '(c) = abla f (a) cdot g' (c),}$

где ∘ - оператор композиции: ( ж ∘ грамм)(Икс) = ж(грамм(Икс)).

В более общем смысле, если вместо этого я ⊂ р^k, то имеет место следующее:

${displaystyle abla (fcirc g) (c) = {ig (} Dg (c) {ig)} ^ {mathsf {T}} {ig (} abla f (a) {ig)},}$

куда (Dg)^Т обозначает транспонирование Матрица якобиана.

Для второй формы цепного правила предположим, что час : я → р является вещественной функцией на подмножестве я из р, и это час дифференцируема в точке ж(а) ∈ я. потом

${displaystyle abla (hcirc f) (a) = h '{ig (} f (a) {ig)} abla f (a).}$

Другие свойства и применения

Наборы уровней

Ровная поверхность, или изоповерхность, - это множество всех точек, в которых некоторая функция имеет заданное значение.

Если ж дифференцируема, то скалярное произведение (∇ж )_Икс ⋅ v градиента в точке Икс с вектором v дает производную по направлению от ж в Икс в направлении v. Отсюда следует, что в этом случае градиент ж является ортогональный к наборы уровней из ж. Например, поверхность уровня в трехмерном пространстве определяется уравнением вида F(Икс, у, z) = c. Градиент F тогда нормальна к поверхности.

В общем, любой встроенный гиперповерхность в римановом многообразии можно вырезать уравнением вида F(п) = 0 такой, что dF нигде не ноль. Градиент F тогда нормальна к гиперповерхности.

Точно так же аффинная алгебраическая гиперповерхность может быть определено уравнением F(Икс₁, ..., Икс_п) = 0, куда F является многочленом. Градиент F равен нулю в особой точке гиперповерхности (это определение особой точки). В неособой точке это ненулевой нормальный вектор.

Консервативные векторные поля и градиентная теорема

Градиент функции называется градиентным полем. (Непрерывное) градиентное поле всегда консервативное векторное поле: это линейный интеграл вдоль любого пути зависит только от конечных точек пути и может быть вычислен с помощью градиентной теоремы (основная теорема исчисления для линейных интегралов). И наоборот, (непрерывное) консервативное векторное поле всегда является градиентом функции.

Обобщения

В Матрица якобиана является обобщением градиента для векторных функций многих переменных и дифференцируемые карты между Евклидовы пространства или, в более общем смысле, коллекторы.^[21][22] Дальнейшее обобщение функции между Банаховы пространства это Производная Фреше.

Градиент вектора

Поскольку полная производная векторного поля равна линейное отображение от векторов к векторам, это тензор количество.

В прямоугольных координатах градиент векторного поля ж = ( ж¹, ж², ж³) определяется:

${displaystyle abla mathbf {f} = g ^ {jk} {frac {partial f ^ {i}} {partial x ^ {j}}} mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {k}, }$

(где Обозначение суммирования Эйнштейна используется и тензорное произведение векторов е_я и е_k это диадический тензор типа (2,0)). В целом, это выражение равно транспонированной матрице Якоби:

${displaystyle {frac {partial f ^ {i}} {partial x ^ {j}}}} = {frac {partial (f ^ {1}, f ^ {2}, f ^ {3})} {partial (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3})}}.}$

В криволинейных координатах или, в более общем смысле, на криволинейном многообразие, градиент включает Символы Кристоффеля:

${displaystyle abla mathbf {f} = g ^ {jk} left ({frac {partial f ^ {i}} {partial x ^ {j}}}} + {Gamma ^ {i}} _ {jl} f ^ {l } ight) mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {k},}$

куда грамм^jk компоненты обратного метрический тензор и е_я - координатные базисные векторы.

Выражаясь более инвариантно, градиент векторного поля ж можно определить Леви-Чивита связь и метрический тензор:^[23]

${displaystyle abla ^ {a} f ^ {b} = g ^ {ac} abla _ {c} f ^ {b},}$

куда ∇_c это связь.

Римановы многообразия

Для любого гладкая функция ж на римановом многообразии (M, грамм), градиент ж векторное поле ∇ж такое, что для любого векторного поля Икс,

${displaystyle g (abla f, X) = частично _ {X} f,}$

то есть,

${displaystyle g_ {x} {ig (} (abla f) _ {x}, X_ {x} {ig)} = (частично _ {X} f) (x),}$

куда грамм_Икс( , ) обозначает внутренний продукт касательных векторов в Икс определяется метрикой грамм и ∂_Икс ж это функция, которая принимает любую точку Икс ∈ M к производной по направлению ж в направлении Икс, оценивается в Икс. Другими словами, в карта координат φ из открытого подмножества M к открытому подмножеству р^п, (∂_Икс ж )(Икс) дан кем-то:

${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} X ^ {j} {ig (} varphi (x) {ig)} {frac {partial} {partial x_ {j}}} (fcirc varphi ^ {- 1 }) {Bigg |} _ {varphi (x)},}$

куда Икс^j обозначает jй компонент Икс в этой координатной таблице.

Итак, локальная форма градиента принимает вид:

${displaystyle abla f = g ^ {ik} {frac {partial f} {partial x ^ {k}}} {extbf {e}} _ {i}.}$

Обобщая случай M = р^п, градиент функции связан с ее внешней производной, поскольку

${displaystyle (partial _ {X} f) (x) = (df) _ {x} (X_ {x}).}$

Точнее градиент ∇ж - векторное поле, ассоциированное с дифференциальной 1-формой df с использованием музыкальный изоморфизм

${displaystyle sharp = sharp ^ {g} двоеточие T ^ {*} M o TM}$

(называемые «точными»), определяемые метрикой грамм. Связь между внешней производной и градиентом функции на р^п является частным случаем этого, когда метрика является плоской метрикой, заданной скалярным произведением.

Смотрите также

• Завиток
• Расхождение
• Четыре градиента
• Матрица Гессе
• Наклон градиента

Примечания

Рекомендации

• Бахман, Дэвид (2007), Демистификация Advanced Calculus, Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, ISBN  978-0-07-148121-2
• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля, Бостон: Компания Houghton Mifflin, ISBN  0-395-14017-X
• Даунинг, Дуглас, доктор философии. (2010), Исчисление Бэррона E-Z, Нью-Йорк: Barron's, ISBN  978-0-7641-4461-5
• Дубровин, Б. А .; Фоменко, А. Т .; Новиков, С. П. (1991). Современная геометрия - методы и приложения: Часть I: Геометрия поверхностей, группы преобразований и поля. Тексты для выпускников по математике (2-е изд.). Springer. ISBN  978-0-387-97663-1.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику, Нью-Джерси: Prentice-Hall, ISBN  0-13-487538-9
• Крейсциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN  0-471-50728-8
• "Энциклопедия науки и технологий Макгроу Хилла". Энциклопедия науки и технологий Макгро-Хилла (10-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. 2007. ISBN  978-0-07-144143-8.
• Мойз, Эдвин Э. (1967), Исчисление: полное, Чтение: Эддисон-Уэсли
• Protter, Murray H .; Морри младший, Чарльз Б. (1970), Вычисление колледжа с аналитической геометрией (2-е изд.), Литература: Эддисон-Уэсли, LCCN  76087042
• Шей, Х. М. (1992). Div, Grad, Curl и все такое (2-е изд.). W. W. Norton. ISBN  0-393-96251-2. OCLC  25048561.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Стокер, Дж. Дж. (1969), Дифференциальная геометрия, Нью-Йорк: Wiley, ISBN  0-471-82825-4
• Своковски, Эрл В .; Олиник, Майкл; Пенс, Деннис; Коул, Джеффри А. (1994), Исчисление (6-е изд.), Бостон: PWS Publishing Company, ISBN  0-534-93624-5

дальнейшее чтение

• Корн, Тереза ​​М .; Корн, Гранино Артур (2000). Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора. Dover Publications. С. 157–160. ISBN  0-486-41147-8. OCLC  43864234.CS1 maint: ref = harv (связь)

внешняя ссылка

• "Градиент". Ханская академия.
• Купцов, Л.П. (2001) [1994], "Градиент", Энциклопедия математики, EMS Press.
• Вайсштейн, Эрик В. "Градиент". MathWorld.