Del - Del

Эта статья включает список литературы, связанное чтение или внешние ссылки, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшить эта статья введение более точные цитаты. (Март 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Оператор Del,
представлена
то набла символ

Del, или набла, является оператор используется в математике, в частности в векторное исчисление, как вектор дифференциальный оператор, обычно представленные набла символ ∇. Применительно к функция определено на одномерный домен, он обозначает его стандарт производная как определено в исчисление. Применительно к полю (функции, определенной в многомерной области), он может обозначать градиент (местами самый крутой склон) скалярное поле (или иногда векторное поле, как в Уравнения Навье – Стокса ), расхождение векторного поля или завиток (вращение) векторного поля в зависимости от способа его применения.

Строго говоря, del - это не конкретный оператор, а удобный математическая запись для этих трех операторов, что делает многие уравнения легче писать и запоминать. Символ del можно интерпретировать как вектор частная производная операторов, и его три возможных значения - градиент, дивергенция и завиток - можно формально рассматривать как товар со скаляром, a скалярное произведение, а перекрестное произведение соответственно дель "оператор" с полем. Эти официальные продукты не обязательно ездить с другими операторами или продуктами. Эти три использования, подробно описанные ниже, резюмируются как:

• Градиент: ${ displaystyle operatorname {grad} f = nabla f}$
• Расхождение: ${ displaystyle operatorname {div} { vec {v}} = nabla cdot { vec {v}}}$
• Завиток: ${ displaystyle Operatorname {curl} { vec {v}} = nabla times { vec {v}}}$

Определение

в Декартова система координат р^п с координатами ${ displaystyle (x_ {1}, dots, x_ {n})}$ и стандартная основа ${ displaystyle {{ vec {e}} _ {1}, dots, { vec {e}} _ {n} }}$, del определяется в терминах частная производная операторы как

${ displaystyle nabla = sum _ {i = 1} ^ {n} { vec {e}} _ {i} { partial over partial x_ {i}} = left ({ partial over partial x_ {1}}, ldots, { partial over partial x_ {n}} right)}$

В трехмерный Декартова система координат р³ с координатами ${ Displaystyle (х, у, г)}$ и стандартный базис или единичные векторы осей ${ displaystyle {{ vec {e}} _ {x}, { vec {e}} _ {y}, { vec {e}} _ {z} }}$, del записывается как

${ displaystyle nabla = { vec {e}} _ {x} { partial over partial x} + { vec {e}} _ {y} { partial over partial y} + { vec {e}} _ {z} { partial over partial z} = left ({ partial over partial x}, { partial over partial y}, { partial over partial z }правильно)}$

Del также может быть выражено в других системах координат, см. Например del в цилиндрических и сферических координатах.

Обозначения использования

Del используется как сокращенная форма для упрощения многих длинных математических выражений. Чаще всего используется для упрощения выражений для градиент, расхождение, завиток, производная по направлению, и Лапласиан.

Градиент

Векторная производная от a скалярное поле ${ displaystyle f}$ называется градиент, и его можно представить как:

${ displaystyle operatorname {grad} f = { partial f over partial x} { vec {e}} _ {x} + { partial f over partial y} { vec {e}} _ {y} + { partial f over partial z} { vec {e}} _ {z} = nabla f}$

Он всегда указывает на направление наибольшего увеличения ${ displaystyle f}$, и у него есть величина равняется максимальной скорости роста в данной точке - точно так же, как стандартная производная. В частности, если холм определяется как функция высоты над плоскостью ${ Displaystyle ч (х, у)}$, градиент в заданном месте будет вектором в плоскости xy (визуализируемой в виде стрелки на карте), указывающим в самом крутом направлении. Величина уклона - это величина самого крутого наклона.

В частности, это обозначение является мощным, потому что правило градиентного произведения очень похоже на случай 1d-производной:

${ displaystyle nabla (fg) = f nabla g + g nabla f}$

Однако правила для точечные продукты не оказываются простыми, о чем свидетельствуют:

${ displaystyle nabla ({ vec {u}} cdot { vec {v}}) = ({ vec {u}} cdot nabla) { vec {v}} + ({ vec { v}} cdot nabla) { vec {u}} + { vec {u}} times ( nabla times { vec {v}}) + { vec {v}} times ( набла раз { vec {u}})}$

Расхождение

В расхождение из векторное поле${ displaystyle { vec {v}} (x, y, z) = v_ {x} { vec {e}} _ {x} + v_ {y} { vec {e}} _ {y} + v_ {z} { vec {e}} _ {z}}$ это скаляр функция, которая может быть представлена ​​как:

${ displaystyle operatorname {div} { vec {v}} = { partial v_ {x} over partial x} + { partial v_ {y} over partial y} + { partial v_ {z } over partial z} = nabla cdot { vec {v}}}$

Расхождение - это примерно мера увеличения векторного поля в направлении, которое оно указывает; но точнее, это мера тенденции поля сходиться к точке или отталкиваться от нее.

Сила обозначения del демонстрируется следующим правилом произведения:

${ displaystyle nabla cdot (е { vec {v}}) = ( nabla f) cdot { vec {v}} + f ( nabla cdot { vec {v}})}$

Формула для векторный продукт немного менее интуитивно понятен, потому что этот продукт не коммутативен:

${ displaystyle nabla cdot ({ vec {u}} times { vec {v}}) = ( nabla times { vec {u}}) cdot { vec {v}} - { vec {u}} cdot ( nabla times { vec {v}})}$

Завиток

В завиток векторного поля ${ displaystyle { vec {v}} (x, y, z) = v_ {x} { vec {e}} _ {x} + v_ {y} { vec {e}} _ {y} + v_ {z} { vec {e}} _ {z}}$ это вектор функция, которая может быть представлена ​​как:

${ displaystyle operatorname {curl} { vec {v}} = left ({ partial v_ {z} over partial y} - { partial v_ {y} over partial z} right) { vec {e}} _ {x} + left ({ partial v_ {x} over partial z} - { partial v_ {z} over partial x} right) { vec {e} } _ {y} + left ({ partial v_ {y} over partial x} - { partial v_ {x} over partial y} right) { vec {e}} _ {z} = nabla times { vec {v}}}$

Изгиб в точке пропорционален крутящему моменту на оси, которому подверглась бы крошечная вертушка, если бы она была отцентрирована в этой точке.

Операцию векторного произведения можно представить как псевдо-детерминант:

${ displaystyle nabla times { vec {v}} = left | { begin {matrix} { vec {e}} _ {x} & { vec {e}} _ {y} & { vec {e}} _ {z} [2pt] { frac { partial} { partial x}} & { frac { partial} { partial y}} & { frac { partial} { partial z}} [2pt] v_ {x} & v_ {y} & v_ {z} end {matrix}} right |}$

Снова сила обозначений демонстрируется правилом произведения:

${ displaystyle nabla times (е { vec {v}}) = ( nabla f) times { vec {v}} + f ( nabla times { vec {v}})}$

К сожалению, правило для векторного произведения не оказывается простым:

${ displaystyle nabla times ({ vec {u}} times { vec {v}}) = { vec {u}} , ( nabla cdot { vec {v}}) - { vec {v}} , ( nabla cdot { vec {u}}) + ({ vec {v}} cdot nabla) , { vec {u}} - ({ vec { u}} cdot nabla) , { vec {v}}}$

Производная по направлению

В производная по направлению скалярного поля ${ displaystyle f (x, y, z)}$ в направлении${ displaystyle { vec {a}} (x, y, z) = a_ {x} { vec {e}} _ {x} + a_ {y} { vec {e}} _ {y} + а_ {z} { vec {e}} _ {z}}$ определяется как:

${ displaystyle { vec {a}} cdot operatorname {grad} f = a_ {x} { partial f over partial x} + a_ {y} { partial f over partial y} + a_ {z} { partial f over partial z} = { vec {a}} cdot ( nabla f)}$

Это дает скорость изменения поля ${ displaystyle f}$ в направлении ${ displaystyle { vec {a}}}$. В обозначениях операторов элемент в скобках можно рассматривать как единую связную единицу; динамика жидкостей широко использует это соглашение, называя его конвективная производная - «движущаяся» производная жидкости.

Обратите внимание, что ${ displaystyle ({ vec {a}} cdot nabla)}$ - оператор, переводящий скаляр в скаляр. Его можно расширить для работы с вектором, отдельно работая с каждым из его компонентов.

Лапласиан

В Оператор Лапласа является скалярным оператором, который может применяться как к векторным, так и к скалярным полям; для декартовых систем координат он определяется как:

${ displaystyle Delta = { partial ^ {2} over partial x ^ {2}} + { partial ^ {2} over partial y ^ {2}} + { partial ^ {2} over partial z ^ {2}} = nabla cdot nabla = nabla ^ {2}}$

а определение более общих систем координат дано в векторный лапласиан.

Лапласианство присутствует повсюду в современном мире. математическая физика, появляясь, например, в Уравнение Лапласа, Уравнение Пуассона, то уравнение теплопроводности, то волновое уравнение, а Уравнение Шредингера.

Матрица Гессе

В то время как ${ displaystyle nabla ^ {2}}$ обычно представляет собой Лапласиан иногда ${ displaystyle nabla ^ {2}}$ также представляет Матрица Гессе. Первый относится к внутреннему продукту ${ displaystyle nabla}$, в то время как последний относится к диадическому продукту ${ displaystyle nabla}$:

${ Displaystyle набла ^ {2} = набла cdot набла ^ {T}}$.

Так ли ${ displaystyle nabla ^ {2}}$ относится к матрице лапласа или гессе, в зависимости от контекста.

Тензорная производная

Del также может применяться к векторному полю, в результате чего тензор. В тензорная производная векторного поля ${ displaystyle { vec {v}}}$ (в трех измерениях) представляет собой 9-членный тензор второго ранга, то есть матрицу 3 × 3, но может быть обозначен просто как ${ displaystyle nabla otimes { vec {v}}}$, где ${ displaystyle otimes}$ представляет диадический продукт. Эта величина эквивалентна транспонированию Матрица якобиана векторного поля относительно пространства. Тогда дивергенцию векторного поля можно выразить как след этой матрицы.

Для небольшого смещения ${ displaystyle delta { vec {r}}}$, изменение векторного поля определяется выражением:

${ displaystyle delta { vec {v}} = ( nabla otimes { vec {v}}) ^ {T} cdot delta { vec {r}}}$

Правила продукта

Для векторное исчисление:

${ Displaystyle { begin {align} nabla (fg) & = f nabla g + g nabla f nabla ({ vec {u}} cdot { vec {v}}) & = { vec {u}} times ( nabla times { vec {v}}) + { vec {v}} times ( nabla times { vec {u}}) + ({ vec { u}} cdot nabla) { vec {v}} + ({ vec {v}} cdot nabla) { vec {u}} nabla cdot (f { vec {v} }) & = f ( nabla cdot { vec {v}}) + { vec {v}} cdot ( nabla f) nabla cdot ({ vec {u}} times { vec {v}}) & = { vec {v}} cdot ( nabla times { vec {u}}) - { vec {u}} cdot ( nabla times { vec { v}}) nabla times (f { vec {v}}) & = ( nabla f) times { vec {v}} + f ( nabla times { vec {v}} ) nabla times ({ vec {u}} times { vec {v}}) & = { vec {u}} , ( nabla cdot { vec {v}}) - { vec {v}} , ( nabla cdot { vec {u}}) + ({ vec {v}} cdot nabla) , { vec {u}} - ({ vec {u}} cdot nabla) , { vec {v}} конец {выровнено}}}$

Для матричное исчисление (для которого ${ displaystyle { vec {u}} cdot { vec {v}}}$ можно написать ${ displaystyle { vec {u}} ^ { text {T}} { vec {v}}}$):

${ displaystyle { begin {align} left ( mathbf {A} nabla right) ^ { text {T}} { vec {u}} & = nabla ^ { text {T}} left ( mathbf {A} ^ { text {T}} { vec {u}} right) - left ( nabla ^ { text {T}} mathbf {A} ^ { text {T }} right) { vec {u}} end {align}}}$

Другое интересное отношение (см., Например, Уравнения Эйлера ) следующее, где ${ displaystyle { vec {u}} otimes { vec {v}}}$ это внешний продукт тензор:

${ displaystyle { begin {align} nabla cdot ({ vec {u}} otimes { vec {v}}) = ( nabla cdot { vec {u}}) { vec {v }} + ({ vec {u}} cdot nabla) { vec {v}} end {align}}}$

Вторые производные

Диаграмма DCG: простая диаграмма, отображающая все правила, относящиеся ко вторым производным. D, C, G, L и CC обозначают дивергенцию, локон, градиент, лапласиан и локон локона соответственно. Стрелки указывают на наличие вторых производных. Синий кружок посередине представляет завиток завитка, тогда как два других красных круга (пунктир) означают, что DD и GG не существуют.

Когда del работает со скаляром или вектором, возвращается либо скаляр, либо вектор. Из-за разнообразия векторных произведений (скаляр, точка, крест) одно применение del уже приводит к трем основным производным: градиент (скалярное произведение), дивергенция (скалярное произведение) и curl (перекрестное произведение). Применение этих трех видов производных снова друг к другу дает пять возможных вторых производных для скалярного поля ж или векторное поле v; использование скаляра Лапласиан и векторный лапласиан дает еще два:

${ displaystyle { begin {align} OperatorName {div} ( Operatorname {grad} f) & = nabla cdot ( nabla f) operatorname {curl} ( operatorname {grad} f) & = nabla times ( nabla f) Delta f & = nabla ^ {2} f operatorname {grad} ( operatorname {div} { vec {v}}) & = nabla ( nabla cdot { vec {v}}) operatorname {div} ( operatorname {curl} { vec {v}}) & = nabla cdot ( nabla times { vec {v}}) operatorname {curl} ( operatorname {curl} { vec {v}}) & = nabla times ( nabla times { vec {v}}) Delta { vec {v} } & = nabla ^ {2} { vec {v}} end {выровнено}}}$

Они представляют интерес главным образом потому, что не всегда уникальны или независимы друг от друга. Пока функции хорошо воспитанный^{[требуется разъяснение ]}, два из них всегда равны нулю:

${ displaystyle { begin {align} operatorname {curl} ( operatorname {grad} f) & = nabla times ( nabla f) = 0 operatorname {div} ( operatorname {curl} { vec {v}}) & = nabla cdot nabla times { vec {v}} = 0 end {выравнивается}}}$

Два из них всегда равны:

${ displaystyle operatorname {div} ( operatorname {grad} f) = nabla cdot ( nabla f) = nabla ^ {2} f = Delta f}$

Остальные 3 производные вектора связаны уравнением:

${ displaystyle nabla times left ( nabla times { vec {v}} right) = nabla ( nabla cdot { vec {v}}) - nabla ^ {2} { vec {v}}}$

И один из них может быть даже выражен тензорным произведением, если функции выполнены правильно:

${ displaystyle nabla ( nabla cdot { vec {v}}) = nabla cdot ( nabla otimes { vec {v}})}$

Меры предосторожности

Большинство вышеперечисленных векторных свойств (за исключением тех, которые явно зависят от дифференциальных свойств del - например, правила произведения) полагаются только на перестановку символов и обязательно должны выполняться, если символ del заменяется любым другим вектором. Это часть значения, которое необходимо получить при обозначении этого оператора в виде вектора.

Хотя часто можно заменить del вектором и получить векторную идентичность, сделав эти идентичности мнемоническими, обратное не обязательно надежно, потому что дель вообще не ездит на работу.

Контрпример, основанный на том, что Дель не смог поехать на работу:

${ Displaystyle { begin {выровнено} ({ vec {u}} cdot { vec {v}}) f & Equiv ({ vec {v}} cdot { vec {u}}) f ( nabla cdot { vec {v}}) f & = left ({ frac { partial v_ {x}} { partial x}} + { frac { partial v_ {y}} { partial y}} + { frac { partial v_ {z}} { partial z}} right) f = { frac { partial v_ {x}} { partial x}} f + { frac { частичный v_ {y}} { partial y}} f + { frac { partial v_ {z}} { partial z}} f ({ vec {v}} cdot nabla) f & = left (v_ {x} { frac { partial} { partial x}} + v_ {y} { frac { partial} { partial y}} + v_ {z} { frac { partial} { partial z}} right) f = v_ {x} { frac { partial f} { partial x}} + v_ {y} { frac { partial f} { partial y}} + v_ {z } { frac { partial f} { partial z}} Rightarrow ( nabla cdot { vec {v}}) f & neq ({ vec {v}} cdot nabla) f конец {выровнено}}}$

Контрпример, основанный на дифференциальных свойствах Дела:

${ Displaystyle { begin {align} ( nabla x) times ( nabla y) & = left ({ vec {e}} _ {x} { frac { partial x} { partial x} } + { vec {e}} _ {y} { frac { partial x} { partial y}} + { vec {e}} _ {z} { frac { partial x} { partial z}} right) times left ({ vec {e}} _ {x} { frac { partial y} { partial x}} + { vec {e}} _ {y} { frac { partial y} { partial y}} + { vec {e}} _ {z} { frac { partial y} { partial z}} right) & = ({ vec { e}} _ {x} cdot 1 + { vec {e}} _ {y} cdot 0 + { vec {e}} _ {z} cdot 0) times ({ vec {e} } _ {x} cdot 0 + { vec {e}} _ {y} cdot 1 + { vec {e}} _ {z} cdot 0) & = { vec {e}} _ {x} times { vec {e}} _ {y} & = { vec {e}} _ {z} ({ vec {u}} x) times ({ vec {u}} y) & = xy ({ vec {u}} times { vec {u}}) & = xy { vec {0}} & = { vec {0}} конец {выровнено}}}$

Центральным в этих различиях является тот факт, что del - это не просто вектор; это векторный оператор. В то время как вектор - это объект, имеющий как величину, так и направление, del не имеет ни величины, ни направления, пока не будет работать с функцией.

По этой причине тождества с участием del должны быть получены с осторожностью, используя как векторные тождества, так и дифференциация идентичности, такие как правило продукта.

Смотрите также

• Del в цилиндрических и сферических координатах
• Обозначения для дифференцирования
• Тождества векторного исчисления
• Уравнения Максвелла
• Уравнения Навье – Стокса
• Таблица математических символов
• Оператор Quabla

использованная литература

• Уиллард Гиббс & Эдвин Бидвелл Уилсон (1901) Векторный анализ, Издательство Йельского университета, 1960: Dover Publications.
• Шей, Х. М. (1997). Div, Grad, Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению. Нью-Йорк: Нортон. ISBN  0-393-96997-5.
• Миллер, Джефф. «Раннее использование символов исчисления».
• Арнольд Ноймайер (26 января 1998 г.). Клив Молер (ред.). "История Наблы". Дайджест НС, том 98, выпуск 03. netlib.org.

внешние ссылки

• Обзор неправильного использования ∇ в векторном анализе (1994) Тай, Чен