Уравнение Пуассона - Википедия - Poissons equation

Симеон Дени Пуассон

Уравнение Пуассона является эллиптическое уравнение в частных производных широкого применения в теоретическая физика. Например, решением уравнения Пуассона является потенциальное поле, вызванное заданным электрическим зарядом или распределением плотности массы; зная потенциальное поле, можно вычислить электростатическое или гравитационное (силовое) поле. Это обобщение Уравнение Лапласа, что также часто встречается в физике. Уравнение названо в честь французского математика и физика. Симеон Дени Пуассон.^[1]^[2]

Постановка уравнения

Уравнение Пуассона имеет вид

{ displaystyle Delta varphi = f}

куда ${ displaystyle Delta}$ это Оператор Лапласа, и ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle varphi}$ находятся настоящий или же сложный -значен функции на многообразие. Обычно, ${ displaystyle f}$ дан и ${ displaystyle varphi}$ ищется. Когда коллектор Евклидово пространство, оператор Лапласа часто обозначается как ∇² и поэтому уравнение Пуассона часто записывается как

{ displaystyle nabla ^ {2} varphi = f.}

В трехмерном Декартовы координаты, он принимает вид

{ displaystyle left ({ frac { partial ^ {2}} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2}} { partial y ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2}} { partial z ^ {2}}} right) varphi (x, y, z) = f (x, y, z).}

Когда ${ displaystyle f = 0}$ тождественно получаем Уравнение Лапласа.

Уравнение Пуассона можно решить с помощью Функция Грина:

{ displaystyle varphi ( mathbf {r}) = - iiint { frac {f ( mathbf {r} ')} {4 pi | mathbf {r} - mathbf {r}' |}} , mathrm {d} ^ {3} ! r ',}

где интеграл ведется по всему пространству. Общее изложение функции Грина для уравнения Пуассона дается в статье о экранированное уравнение Пуассона. Существуют различные методы численного решения, такие как метод релаксации, итерационный алгоритм.

Ньютоновская гравитация

В случае гравитационного поля грамм из-за притягивающего массивного объекта плотности ρ, Закон Гаусса для гравитации в дифференциальной форме может быть использован для получения соответствующего уравнения Пуассона для гравитации,

{ displaystyle nabla cdot mathbf {g} = -4 pi G rho ~.}

Поскольку гравитационное поле консервативно (и безвихревый ), его можно выразить через скалярный потенциал Φ,

{ displaystyle mathbf {g} = - nabla phi ~.}

Подставляя в закон Гаусса

{ Displaystyle набла cdot (- набла фи) = - 4 пи г ро}

дает Уравнение Пуассона для гравитации,

{ displaystyle { nabla} ^ {2} phi = 4 pi G rho.}

Если плотность массы равна нулю, уравнение Пуассона сводится к уравнению Лапласа. В соответствующая функция Грина можно использовать для расчета потенциала на расстоянии $р$ из центральной точечной массы $м$ (т.е. фундаментальное решение ). В третьем измерении потенциал равен

{ displaystyle phi (r) = { dfrac {-Gm} {r}}.}

что эквивалентно Закон всемирного тяготения Ньютона.

Электростатика

Один из краеугольных камней электростатика ставит и решает задачи, описываемые уравнением Пуассона. Решение уравнения Пуассона сводится к нахождению электрический потенциал $φ$ для данного обвинять распределение ${ displaystyle rho _ {f}}$ .

Математические детали уравнения Пуассона в электростатике следующие (SI единицы используются, а не Гауссовы единицы, которые также часто используются в электромагнетизм ).

Начиная с Закон Гаусса за электричество (также один из Уравнения Максвелла ) в дифференциальной форме имеем

{ displaystyle mathbf { nabla} cdot mathbf {D} = rho _ {f}}

куда ${ displaystyle mathbf { nabla} cdot}$ это оператор дивергенции, D = электрическое поле смещения, и ρ_ж = свободный заряд объем плотность (с описанием предъявленных извне обвинений).

Предполагая, что среда линейная, изотропная и однородная (см. плотность поляризации ) имеем конститутивное уравнение,

{ Displaystyle mathbf {D} = varepsilon mathbf {E}}

куда $ε$ = диэлектрическая проницаемость среды и E = электрическое поле.

Подставляя это в закон Гаусса и принимая $ε$ пространственно постоянна в интересующей области дает

{ displaystyle mathbf { nabla} cdot mathbf {E} = { frac { rho} { varepsilon}} ~.}

куда ${ displaystyle { rho}}$ - полная объемная плотность заряда. В электростатическом поле мы предполагаем, что магнитное поле отсутствует (следующий аргумент справедлив и при наличии постоянного магнитного поля). Тогда у нас есть это

{ Displaystyle набла раз mathbf {E} = 0,}

где ∇ × - оператор curl и $т$ самое время. Это уравнение означает, что мы можем записать электрическое поле как градиент скалярной функции $φ$ (называемый электрическим потенциалом), поскольку ротор любого градиента равен нулю. Таким образом, мы можем написать,

{ displaystyle mathbf {E} = - nabla varphi,}

где знак минус введен так, чтобы $φ$ определяется как потенциальная энергия на единицу заряда.

Вывести уравнение Пуассона в этих условиях несложно. Подставляя градиент потенциала для электрического поля,

{ displaystyle nabla cdot mathbf {E} = nabla cdot (- nabla varphi) = - { nabla} ^ {2} varphi = { frac { rho} { varepsilon}}, }

непосредственно производит Уравнение Пуассона для электростатики, которая

{ displaystyle { nabla} ^ {2} varphi = - { frac { rho} { varepsilon}}.}

Решение уравнения Пуассона для потенциала требует знания распределения плотности заряда. Если плотность заряда равна нулю, то Уравнение Лапласа полученные результаты. Если плотность заряда соответствует Распределение Больцмана, то Уравнение Пуассона-Больцмана полученные результаты. Уравнение Пуассона – Больцмана играет роль в развитии Теория Дебая – Хюккеля разбавленных растворов электролитов.

Используя функцию Грина, потенциал на расстоянии $р$ от центральной точки заряда $Q$ (то есть: фундаментальное решение):

{ displaystyle varphi (r) = { dfrac {Q} {4 pi varepsilon r}}.}

который Закон электростатики Кулона. (По историческим причинам и в отличие от модели гравитации выше, ${ displaystyle 4 pi}$ фактор появляется здесь, а не в законе Гаусса.)

Приведенное выше обсуждение предполагает, что магнитное поле не изменяется во времени. То же уравнение Пуассона возникает, даже если оно меняется во времени, пока Кулоновский калибр используется. В этом более общем контексте вычисления $φ$ уже недостаточно для расчета E, поскольку E также зависит от магнитный векторный потенциал А, которые необходимо вычислить независимо. Видеть Уравнение Максвелла в потенциальной формулировке для получения дополнительной информации $φ$ и А в уравнениях Максвелла и как в этом случае получается уравнение Пуассона.

Потенциал гауссовой плотности заряда

Если есть статический сферически-симметричный Гауссовский плотность заряда

{ displaystyle rho _ {f} (r) = { frac {Q} { sigma ^ {3} { sqrt {2 pi}} ^ {3}}} , e ^ {- r ^ { 2} / (2 sigma ^ {2})},}

куда $Q$ - полный заряд, то решение $φ$ ( $р$ ) уравнения Пуассона,

{ displaystyle { nabla} ^ {2} varphi = - { rho _ {f} over varepsilon}}

,

дан кем-то

{ displaystyle varphi (r) = {1 over 4 pi varepsilon} { frac {Q} {r}} , { mbox {erf}} left ({ frac {r} {{ sqrt {2}} sigma}} right)}

где erf ( $Икс$ ) это функция ошибки.

Это решение можно проверить явно, вычислив ∇² $φ$ .

Обратите внимание, что для $р$ намного больше, чем $σ$ функция erf приближается к единице, а потенциал $φ$ ( $р$ ) приближается к точечный заряд потенциал

{ displaystyle varphi приблизительно {1 over 4 pi varepsilon} {Q over r}}

,

как и следовало ожидать. Более того, функция erf очень быстро приближается к 1 по мере увеличения аргумента; на практике для $р$ > 3 $σ$ относительная погрешность меньше одной тысячи.

Реконструкция поверхности

Реконструкция поверхности - это обратная задача. Цель состоит в том, чтобы в цифровом виде восстановить гладкую поверхность по большому количеству точек. п_я (а облако точек ), где каждая точка также несет оценку локального нормальная поверхность п_я.^[3] Уравнение Пуассона можно использовать для решения этой проблемы с помощью метода, называемого реконструкцией поверхности Пуассона.^[4]

Цель этой техники - реконструировать неявная функция ж значение которого равно нулю в точках п_я и градиент которого в точках п_я равен нормальным векторам п_я. Набор (п_я, п_я) таким образом моделируется как непрерывный вектор поле V. Неявная функция ж найден интеграция векторное поле V. Поскольку не каждое векторное поле является градиент функции, проблема может иметь или не иметь решения: необходимое и достаточное условие для гладкого векторного поля V быть градиентом функции ж это то завиток из V должен быть тождественно нулевым. В случае, если это условие трудно наложить, можно выполнить наименьших квадратов подходит, чтобы минимизировать разницу между V и градиент ж.

Чтобы эффективно применить уравнение Пуассона к задаче восстановления поверхности, необходимо найти хорошую дискретизацию векторного поля V. Основной подход - связать данные с сеткой конечных разностей. Для функции, оцениваемой в узлах такой сетки, ее градиент может быть представлен как оцененный на шахматных сетках, то есть на сетках, узлы которых лежат между узлами исходной сетки. Удобно определить три сетки, расположенные в шахматном порядке, каждая из которых смещена в одном и только в одном направлении, соответствующем компонентам нормальных данных. На каждой шахматной сетке мы выполняем [трилинейную интерполяцию] на множестве точек. Затем веса интерполяции используются для распределения величины соответствующего компонента п_я на узлы конкретной шахматной ячейки сетки, содержащей п_я. Каждан с соавторами предлагают более точный метод дискретизации с использованием адаптивной конечно-разностной сетки, то есть ячейки сетки меньше (сетка более мелко разделена) там, где больше точек данных.^[4] Предлагают реализовать эту технику с помощью адаптивного октодерево.

Динамика жидкостей

Для несжимаемого Уравнения Навье – Стокса, предоставленный:

{ displaystyle { begin {align} { partial { bf {v}} over { partial t}} + { bf {v}} cdot nabla { bf {v}} & = - { 1 over { rho}} nabla p + nu Delta { bf {v}} + { bf {g}} nabla cdot { bf {v}} & = 0 end {выровнено }}}

Уравнение для поля давления ${ displaystyle p}$ является примером нелинейного уравнения Пуассона:

{ displaystyle { begin {align} Delta p & = - rho nabla cdot ({ bf {v}} cdot nabla { bf {v}}) & = - rho ( nabla { bf {v}}) ^ {T}: nabla { bf {v}} Equiv - rho | nabla { bf {v}} | _ {F} ^ {2} end {выровнено}}}

куда ${ Displaystyle | cdot | _ {F}}$ это Норма Фробениуса.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными. Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2.
Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.). Нью-Йорк: В. А. Бенджамин. ISBN 0-8053-7002-1.
Полянин, Андрей Д. (2002). Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых. Бока-Ратон (Флорида): Chapman & Hall / CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.

внешняя ссылка

«Уравнение Пуассона», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Уравнение Пуассона в EqWorld: мир математических уравнений
Уравнение Пуассона на PlanetMath.

[1] Джексон, Джулия А .; Mehl, James P .; Нойендорф, Клаус К. Э., ред. (2005), Глоссарий геологии, Американский геологический институт, Springer, стр. 503, г. ISBN 9780922152766

[2] Пуассон (1823 г.). "Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement" [Воспоминания о теории магнетизма в движении]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France (На французском). 6: 441–570.Из п. 463: "Donc, d'après ce qui précède, nous aurons enfin:
${ displaystyle { frac {{ partial ^ {2}} V} { partial x ^ {2}}} + { frac {{ partial ^ {2}} V} { partial y ^ {2} }} + { frac {{ partial ^ {2}} V} { partial z ^ {2}}} = 0, = - 2k pi, = - 4k pi,}$
selon que le point M sera situé en dehors, à la surface ou en dedans du volume que l'on considère ». (Таким образом, согласно тому, что было сказано выше, мы, наконец, будем иметь:
${ displaystyle { frac {{ partial ^ {2}} V} { partial x ^ {2}}} + { frac {{ partial ^ {2}} V} { partial y ^ {2} }} + { frac {{ partial ^ {2}} V} { partial z ^ {2}}} = 0, = - 2k pi, = - 4k pi,}$
в зависимости от того, находится ли точка M снаружи, на поверхности или внутри рассматриваемого объема.) V определяется (стр. 462) как:
${ displaystyle V = iiint { frac {k '} { rho}} , dx' , dy ', dz'}$
где в случае электростатики интеграл проводится по объему заряженного тела, координаты точек, находящихся внутри или в объеме заряженного тела, обозначаются как ${ Displaystyle (х ', y', z ')}$ , ${ displaystyle k '}$ заданная функция ${ Displaystyle (х ', у,' г ')}$ и в электростатике, ${ displaystyle k '}$ будет мерой плотности заряда, а ${ displaystyle rho}$ определяется как длина радиуса, простирающегося от точки M до точки, лежащей внутри или на заряженном теле. Координаты точки M обозначим через ${ Displaystyle (х, у, г)}$ и ${ displaystyle k}$ обозначает значение ${ displaystyle k '}$ (плотность заряда) при М.

[3] Калакли, Фатих; Таубин, Габриэль (2011). «Реконструкция гладкой подписанной дистанционной поверхности» (PDF). Тихоокеанская Графика. 30 (7).

[Kazhdan06-4] а ^б Каждан, Михаил; Болито, Мэтью; Хоппе, Хьюз (2006). «Реконструкция пуассоновской поверхности». Материалы четвертого симпозиума Eurographics по обработке геометрии (SGP '06). Еврографическая ассоциация, Aire-la-Ville, Швейцария. С. 61–70. ISBN 3-905673-36-3.

[1]

[2]

[3]

[4]