Неявная функция - Implicit function

В математика, неявное уравнение это связь формы р(Икс₁,…, Икс_п) = 0, куда р это функция нескольких переменных (часто многочлен ). Например, неявное уравнение единичный круг является Икс² + у² − 1 = 0.

An неявная функция это функция который неявно определяется неявным уравнением путем связывания одной из переменных ( ценить ) с другими ( аргументы ).^{[1]:204–206} Таким образом, неявная функция для у в контексте единичный круг неявно определяется Икс² + ж(Икс)² − 1 = 0. Это неявное уравнение определяет ж как функция Икс только если −1 ≤ Икс ≤ 1 и рассматриваются только неотрицательные (или неположительные) значения для значений функции.

В теорема о неявной функции предоставляет условия, при которых некоторые виды отношений определяют неявную функцию, а именно отношения, определенные как индикаторная функция из нулевой набор некоторых непрерывно дифференцируемый многомерный функция.

Примеры

Обратные функции

Распространенным типом неявной функции является обратная функция. Не все функции имеют уникальную обратную функцию. Если грамм является функцией Икс который имеет единственный обратный, то обратная функция грамм, называется грамм⁻¹, является единственной функцией, дающей решение уравнения

${ Displaystyle у = г (х)}$

за Икс с точки зрения у. Тогда это решение можно записать как

${ Displaystyle х = г ^ {- 1} (у) ,.}$

Определение грамм⁻¹ как противоположность грамм неявное определение. Для некоторых функций грамм, грамм⁻¹(у) можно явно записать как выражение в закрытой форме - например, если грамм(Икс) = 2Икс − 1, тогда грамм⁻¹(у) = 1/2(у + 1). Однако часто это невозможно или только путем введения новых обозначений (как в журнал продукта пример ниже).

Интуитивно обратная функция получается из грамм поменяв местами зависимые и независимые переменные.

Пример. В журнал продукта неявная функция, дающая решение для Икс уравнения у − xe^Икс = 0.

Алгебраические функции

An алгебраическая функция - функция, удовлетворяющая полиномиальному уравнению, коэффициенты которого сами являются полиномами. Например, алгебраическая функция от одной переменной Икс дает решение для у уравнения

${ displaystyle a_ {n} (x) y ^ {n} + a_ {n-1} (x) y ^ {n-1} + cdots + a_ {0} (x) = 0 ,,}$

где коэффициенты а_я(Икс) являются полиномиальными функциями от Икс. Эта алгебраическая функция может быть записана как правая часть решения уравнения у = ж(Икс). Написано вот так, ж это многозначный неявная функция.

Алгебраические функции играют важную роль в математический анализ и алгебраическая геометрия. Простой пример алгебраической функции дается левой частью уравнения единичной окружности:

${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0 ,.}$

Решение для у дает явное решение:

${ displaystyle y = pm { sqrt {1-x ^ {2}}} ,.}$

Но даже без указания этого явного решения, можно назвать неявное решение уравнения единичной окружности как у = ж(Икс), куда ж - многозначная неявная функция.

Хотя явные решения могут быть найдены для уравнений, которые квадратичный, кубический, и квартика в у, то же самое в общем случае неверно для квинтик и уравнения более высокой степени, такие как

${ displaystyle y ^ {5} + 2y ^ {4} -7y ^ {3} + 3y ^ {2} -6y-x = 0 ,.}$

Тем не менее, еще можно ссылаться на неявное решение у = ж(Икс) с участием многозначной неявной функции ж.

Предостережения

Не каждое уравнение р(Икс, у) = 0 подразумевает график однозначной функции, одним из ярких примеров является уравнение круга. Другой пример - неявная функция, заданная Икс − C(у) = 0 куда C это кубический многочлен имеющий "горб" на его графике. Таким образом, чтобы неявная функция была истинный (однозначная) функция может потребоваться использовать только часть графика. Неявная функция иногда может быть успешно определена как истинная функция только после «увеличения» некоторой части Икс-оси и «срезание» некоторых нежелательных функциональных ветвей. Тогда уравнение, выражающее у как неявную функцию других переменных можно записать.

Определяющее уравнение р(Икс, у) = 0 также могут быть другие патологии. Например, уравнение Икс = 0 не подразумевает функцию ж(Икс) предоставление решений для у вообще; это вертикальная линия. Чтобы избежать подобной проблемы, часто накладываются различные ограничения на допустимые типы уравнений или на домен. В теорема о неявной функции обеспечивает единообразный способ лечения такого рода патологий.

Неявное дифференцирование

В исчисление, метод называется неявное дифференцирование использует Правило цепи чтобы различать неявно определенные функции.

Чтобы различать неявную функцию у(Икс), определяемый уравнением р(Икс, у) = 0, как правило, невозможно решить это явно для у а затем дифференцировать. Вместо этого можно полностью дифференцировать р(Икс, у) = 0 относительно Икс и у а затем решить полученное линейное уравнение относительно dy/dx чтобы явно получить производную в терминах Икс и у. Даже когда можно явно решить исходное уравнение, формула, полученная в результате полного дифференцирования, в целом намного проще и удобнее в использовании.

Примеры

Пример 1. Учитывать

${ Displaystyle у + х + 5 = 0 ,.}$

Это уравнение легко решить для у, давая

${ Displaystyle у = -x-5 ,,}$

где правая часть - явный вид функции у(Икс). Тогда дифференциация дает dy/dx = −1.

В качестве альтернативы можно полностью дифференцировать исходное уравнение:

${ displaystyle { begin {align} { frac {dy} {dx}} + { frac {dx} {dx}} + { frac {d} {dx}} (5) & = 0 ,; [6px] { frac {dy} {dx}} + 1 + 0 & = 0 ,. End {align}}}$

Решение для dy/dx дает

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = - 1 ,,}$

тот же ответ, что и полученный ранее.

Пример 2. Примером неявной функции, для которой неявное дифференцирование проще, чем использование явного дифференцирования, является функция у(Икс) определяется уравнением

${ Displaystyle х ^ {4} + 2y ^ {2} = 8 ,.}$

Чтобы дифференцировать это явно относительно Икс, сначала нужно получить

${ displaystyle y (x) = pm { sqrt { frac {8-x ^ {4}} {2}}} ,,}$

а затем дифференцируйте эту функцию. Это создает две производные: одну для у ≥ 0 и еще один для у < 0.

Неявно дифференцировать исходное уравнение существенно проще:

${ displaystyle 4x ^ {3} + 4y { frac {dy} {dx}} = 0 ,,}$

давая

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = { frac {-4x ^ {3}} {4y}} = - { frac {x ^ {3}} {y}} ,.}$

Пример 3. Часто трудно или невозможно решить явно для у, и неявное дифференцирование - единственный возможный метод дифференцирования. Примером может служить уравнение

${ Displaystyle у ^ {5} -y = х ,.}$

Невозможно алгебраически выразить у явно как функция Икс, и поэтому нельзя найти dy/dx явным дифференцированием. Используя неявный метод, dy/dx можно получить, дифференцируя уравнение, чтобы получить

${ displaystyle 5y ^ {4} { frac {dy} {dx}} - { frac {dy} {dx}} = { frac {dx} {dx}} ,,}$

куда dx/dx = 1. Факторинг dy/dx показывает, что

${ displaystyle left (5y ^ {4} -1 right) { frac {dy} {dx}} = 1 ,,}$

что дает результат

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = { frac {1} {5y ^ {4} -1}} ,,}$

который определен для

${ displaystyle y neq pm { frac {1} { sqrt [{4}] {5}}} quad { text {and}} quad y neq pm { frac {i} { sqrt [{4}] {5}}} ,.}$

Общая формула для производной неявной функции

Если р(Икс, у) = 0, производная неявной функции у(Икс) дан кем-то^[2]:§11.5

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = - { frac {, { frac { partial R} { partial x}} ,} { frac { partial R} { partial y }}} = - { frac {R_ {x}} {R_ {y}}} ,,}$

куда р_Икс и р_у указать частные производные из р относительно Икс и у.

Приведенная выше формула исходит из использования обобщенное цепное правило получить полная производная - в отношении Икс - с обеих сторон р(Икс, у) = 0:

${ displaystyle { frac { partial R} { partial x}} { frac {dx} {dx}} + { frac { partial R} { partial y}} { frac {dy} {dx }} = 0 ,,}$

следовательно

${ displaystyle { frac { partial R} { partial x}} + { frac { partial R} { partial y}} { frac {dy} {dx}} = 0 ,,}$

который, когда решен для dy/dx, дает выражение выше.

Теорема о неявной функции

Единичный круг можно неявно определить как набор точек (Икс, у) удовлетворение Икс² + у² = 1. Вокруг точки А, у можно выразить как неявную функцию у(Икс). (В отличие от многих случаев, здесь эту функцию можно сделать явной как грамм₁(Икс) = √1 − Икс².) Такой функции не существует около точки B, где касательное пространство вертикальный.

Позволять р(Икс, у) быть дифференцируемая функция двух переменных, и (а, б) быть парой действительные числа такой, что р(а, б) = 0. Если ∂р/∂у ≠ 0, тогда р(Икс, у) = 0 определяет неявную функцию, дифференцируемую в некоторых достаточно малых район из (а, б); другими словами, существует дифференцируемая функция ж которая определена и дифференцируема в некоторой окрестности а, так что р(Икс, ж(Икс)) = 0 за Икс в этом районе.

Условие ∂р/∂у ≠ 0 Значит это (а, б) это обычная точка из неявная кривая неявного уравнения р(Икс, у) = 0 где касательная не вертикальный.

Говоря менее техническим языком, неявные функции существуют и могут быть дифференцированы, если кривая имеет не вертикальную касательную.^[2]:§11.5

В алгебраической геометрии

Рассмотрим связь формы р(Икс₁,…, Икс_п) = 0, куда р является многочленом от нескольких переменных. Набор значений переменных, удовлетворяющих этому соотношению, называется неявная кривая если п = 2 и неявная поверхность если п = 3. Неявные уравнения являются основой алгебраическая геометрия, основным предметом изучения которого являются одновременные решения нескольких неявных уравнений, левые части которых являются полиномами. Эти множества одновременных решений называются аффинные алгебраические множества.

В дифференциальных уравнениях

Решения дифференциальных уравнений обычно выражаются неявной функцией.^[3]

Приложения в экономике

Предельная ставка замещения

В экономика, когда уровень установлен р(Икс, у) = 0 является кривая безразличия для количества Икс и у потреблены два товара, абсолютная величина неявной производной dy/dx интерпретируется как предельная ставка замещения из двух товаров: сколько еще у нужно получить, чтобы быть безразличным к потере одной единицыИкс.

Предельная ставка технического замещения

Аналогичным образом иногда устанавливается уровень р(L, K) является изокванта отображение различных комбинаций используемых количеств L труда и K из физический капитал каждая из которых привела бы к производству одного и того же заданного количества продукции. В этом случае модуль неявной производной dK/дл интерпретируется как предельная ставка технического замещения между двумя факторами производства: насколько больше капитала должна использовать фирма для производства того же объема продукции с использованием одной единицы труда меньше.

Оптимизация

Часто в экономическая теория, некоторые функции, такие как вспомогательная функция или выгода функция должна быть максимизирована относительно вектора выбора Икс даже несмотря на то, что целевая функция не была ограничена какой-либо конкретной функциональной формой. В теорема о неявной функции гарантирует, что условия первого порядка оптимизации определяют неявную функцию для каждого элемента оптимального вектора Икс* вектора выбора Икс. Когда прибыль максимизируется, обычно результирующими неявными функциями являются спрос на рабочую силу функция и функции снабжения различных товаров. Когда полезность максимизируется, обычно результирующими неявными функциями являются предложение рабочей силы функция и функции спроса для различных товаров.

Более того, влияние проблемы параметры на Икс* - частные производные неявной функции - могут быть выражены как общие производные системы условий первого порядка, найденной с помощью полная дифференциация.

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Бинмор, К. (1983). «Неявные функции». Исчисление. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 198–211. ISBN  0-521-28952-1.
• Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Бостон: Макгроу-Хилл. стр.223–228. ISBN  0-07-054235-X.
• Саймон, Карл П .; Блюм, Лоуренс (1994). «Неявные функции и их производные». Математика для экономистов. Нью-Йорк: У. В. Нортон. С. 334–371. ISBN  0-393-95733-0.

внешняя ссылка

• "Неявная дифференциация, что здесь происходит?". 3Синий 1Коричневый. Сущность исчисления. 3 мая 2017 г. - через YouTube.