В исчисление, то общее правило Лейбница,[1] названный в честь Готфрид Вильгельм Лейбниц, обобщает правило продукта (которое также известно как «правило Лейбница»). В нем говорится, что если и находятся -раз дифференцируемые функции, то продукт это также -раз дифференцируемым и его -я производная определяется выражением
куда это биномиальный коэффициент и обозначает j-я производная от ж (и в частности ).
Правило может быть доказано с помощью правила продукта и математическая индукция.
Вторая производная
Если, например, п = 2, правило дает выражение для второй производной произведения двух функций:
Более двух факторов
Формулу можно обобщить на произведение м дифференцируемые функции ж1,...,жм.
где сумма распространяется на все м-кортежи (k1,...,kм) неотрицательных целых чисел с и
являются полиномиальные коэффициенты. Это похоже на полиномиальная формула из алгебры.
Доказательство
Доказательство общего правила Лейбница проводится по индукции. Позволять и быть -разно дифференцируемые функции. Базовый случай, когда заявляет, что:
Это обычное правило продукта, которое, как известно, верно. Далее предположим, что утверждение верно для фиксированного то есть, что
Потом,
Итак, утверждение верно для и доказательство завершено.
Многопараметрическое исчисление
С мультииндекс обозначение для частные производные функций нескольких переменных правило Лейбница утверждает в более общем виде:
Эту формулу можно использовать для получения формулы, которая вычисляет символ композиции дифференциальных операторов. На самом деле пусть п и Q - дифференциальные операторы (с достаточно много дифференцируемыми коэффициентами) и С р также является дифференциальным оператором, символом р дан кем-то:
Теперь прямое вычисление дает:
Эта формула обычно известна как формула Лейбница. Он используется для определения композиции в пространстве символов, тем самым вызывая кольцевую структуру.
Смотрите также
Рекомендации