Общее правило Лейбница - General Leibniz rule

В исчисление, то общее правило Лейбница,[1] названный в честь Готфрид Вильгельм Лейбниц, обобщает правило продукта (которое также известно как «правило Лейбница»). В нем говорится, что если и находятся -раз дифференцируемые функции, то продукт это также -раз дифференцируемым и его -я производная определяется выражением

куда это биномиальный коэффициент и обозначает j-я производная от ж (и в частности ).

Правило может быть доказано с помощью правила продукта и математическая индукция.

Вторая производная

Если, например, п = 2, правило дает выражение для второй производной произведения двух функций:

Более двух факторов

Формулу можно обобщить на произведение м дифференцируемые функции ж1,...,жм.

где сумма распространяется на все м-кортежи (k1,...,kм) неотрицательных целых чисел с и

являются полиномиальные коэффициенты. Это похоже на полиномиальная формула из алгебры.

Доказательство

Доказательство общего правила Лейбница проводится по индукции. Позволять и быть -разно дифференцируемые функции. Базовый случай, когда заявляет, что:

Это обычное правило продукта, которое, как известно, верно. Далее предположим, что утверждение верно для фиксированного то есть, что

Потом,

Итак, утверждение верно для и доказательство завершено.

Многопараметрическое исчисление

С мультииндекс обозначение для частные производные функций нескольких переменных правило Лейбница утверждает в более общем виде:

Эту формулу можно использовать для получения формулы, которая вычисляет символ композиции дифференциальных операторов. На самом деле пусть п и Q - дифференциальные операторы (с достаточно много дифференцируемыми коэффициентами) и С р также является дифференциальным оператором, символом р дан кем-то:

Теперь прямое вычисление дает:

Эта формула обычно известна как формула Лейбница. Он используется для определения композиции в пространстве символов, тем самым вызывая кольцевую структуру.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Олвер, Питер Дж. (2000). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Springer. С. 318–319.