Дробное исчисление - Fractional calculus

Дробное исчисление это филиал математический анализ который изучает несколько различных возможностей определения настоящий номер полномочия или комплексное число полномочия оператор дифференцирования D

${ Displaystyle Df (x) = { frac {d} {dx}} f (x) ,,}$

и оператора интеграции J ^{[Примечание 1]}

${ Displaystyle Jf (x) = int _ {0} ^ {x} f (s) , ds ,,}$

и разработка исчисление для таких операторов, обобщающих классический.

В этом контексте термин полномочия относится к итеративному применению линейного оператора D к функции ж, то есть неоднократно составление D с собой, как в ${ Displaystyle D ^ {n} (е) = ( underbrace {D circ D circ D circ cdots D} _ {n}) (f) = underbrace {D (D (D cdots} _ {n} (f)}$.

Например, можно попросить содержательную интерпретацию

${ displaystyle { sqrt {D}} = D ^ { frac {1} {2}}}$

как аналог функциональный квадратный корень для дифференциации оператор, то есть выражение для некоторого линейного оператора, который при применении дважды к любой функции будет иметь тот же эффект, что и дифференциация. В более общем плане можно взглянуть на вопрос об определении линейный функционал

${ displaystyle D ^ {a}}$

для каждого реального числа а таким образом, что когда а занимает целое число ценить п ∈ ℤ, совпадает с обычным п-кратная дифференциация D если п > 0, и с −n-я степень J когда п < 0.

Одна из мотиваций введения и изучения такого рода расширений оператора дифференцирования D это то наборы полномочий оператора { D^а | а ∈ ℝ} определены таким образом непрерывный полугруппы с параметром а, из которых оригинал дискретный полугруппа { D^п | п ∈ ℤ} для целого числа п это счетный подгруппа: поскольку непрерывные полугруппы имеют хорошо развитую математическую теорию, они могут быть применены к другим разделам математики.

Дробные дифференциальные уравнения, также известные как экстраординарные дифференциальные уравнения,^[1] являются обобщением дифференциальные уравнения с помощью дробного исчисления.

Исторические заметки

В Прикладная математика и математический анализ, а дробная производная является производной любого произвольного порядка, действительного или комплексного. Его первое появление в письме, написанном Гийом де л'Опиталь к Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1695 г.^[2] Примерно в то же время Лейбниц написал одному из братьев Бернулли, описывая сходство между биномиальной теоремой и правилом Лейбница для дробной производной произведения двух функций.^{[нужна цитата ]} Дробное исчисление было введено в один из Нильс Хенрик Абель Ранние статьи^[3] где могут быть найдены все элементы: идея интегрирования и дифференцирования дробного порядка, взаимно обратная связь между ними, понимание того, что дифференцирование и интегрирование дробного порядка могут рассматриваться как одна и та же обобщенная операция, и даже единое обозначение для дифференцирования и интеграция произвольного реального порядка.^[4]Самостоятельно основы предмета были заложены Liouville в статье 1832 г.^[5]В самоучка Оливер Хевисайд представил практическое использование дробно-дифференциальные операторы в анализе линий электропередачи около 1890 года.^[6] Теория и приложения дробного исчисления значительно расширились за 19 лет.^th и 20^th столетий, и многочисленные участники дали определения дробных производных и интегралов.^[7]

Природа дробной производной

В а-я производная функции ж (Икс) в какой-то момент Икс это местная собственность только тогда, когда а целое число; это не относится к нецелым производным по степени. Другими словами, нецелая дробная производная функции ж (Икс) в х = а зависит от всех значений ждаже те, кто далеко от а. Следовательно, ожидается, что операция дробной производной включает в себя некоторого рода граничные условия, включая информацию о функции ниже.^[8]

Дробная производная функции по порядку а часто теперь определяется с помощью Фурье или же Меллин интегральные преобразования.

Эвристика

Возникает вполне естественный вопрос: существует ли линейный оператор ЧАС, или полупроизводная, такая, что

${ Displaystyle H ^ {2} f (x) = Df (x) = { dfrac {d} {dx}} f (x) = f '(x) ,.}$

Оказывается, такой оператор есть, да и вообще для любого а > 0, существует оператор п такой, что

${ displaystyle left (P ^ {a} f right) (x) = f '(x),}$

или, другими словами, определение d^пу/dx^п можно распространить на все реальные значения п.

Позволять ж (Икс) быть функцией, определенной для Икс > 0. Составим определенный интеграл от 0 до Икс. Назовите это

${ displaystyle (Jf) (x) = int _ {0} ^ {x} f (t) , dt ,.}$

Повторение этого процесса дает

${ displaystyle left (J ^ {2} f right) (x) = int _ {0} ^ {x} (Jf) (t) , dt = int _ {0} ^ {x} left ( int _ {0} ^ {t} f (s) , ds right) , dt ,,}$

и это можно продлить произвольно.

В Формула Коши для повторного интегрирования, а именно

${ displaystyle left (J ^ {n} f right) (x) = { frac {1} {(n-1)!}} int _ {0} ^ {x} left (xt right ) ^ {п-1} f (t) , dt ,,}$

ведет к простому обобщению для реальных п.

С использованием гамма-функция Устранение дискретности факториальной функции дает нам естественного кандидата для дробных приложений интегрального оператора.

${ displaystyle left (J ^ { alpha} f right) (x) = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} int _ {0} ^ {x} left (xt справа) ^ { alpha -1} f (t) , dt ,.}$

На самом деле это четко определенный оператор.

Несложно показать, что J оператор удовлетворяет

${ Displaystyle влево (J ^ { альфа} вправо) влево (J ^ { бета} е вправо) (х) = влево (J ^ { бета} вправо) влево (J ^ { alpha} f right) (x) = left (J ^ { alpha + beta} f right) (x) = { frac {1} { Gamma ( alpha + beta)}} int _ {0} ^ {x} left (xt right) ^ { alpha + beta -1} f (t) , dt ,.}$

Доказательство

${ Displaystyle { begin {align} left (J ^ { alpha} right) left (J ^ { beta} f right) (x) & = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} int _ {0} ^ {x} (xt) ^ { alpha -1} left (J ^ { beta} f right) (t) , dt & = { frac {1} { Gamma ( alpha) Gamma ( beta)}} int _ {0} ^ {x} int _ {0} ^ {t} left (xt right) ^ { alpha - 1} left (ts right) ^ { beta -1} f (s) , ds , dt & = { frac {1} { Gamma ( alpha) Gamma ( beta)} } int _ {0} ^ {x} f (s) left ( int _ {s} ^ {x} left (xt right) ^ { alpha -1} left (ts right) ^ { beta -1} , dt right) , ds end {align}}}$ где на последнем шаге мы поменяли порядок интегрирования и вытащили ж (s) фактор из т интеграция. Изменение переменных на р определяется т = s + (Икс − s)р, ${ displaystyle left (J ^ { alpha} right) left (J ^ { beta} f right) (x) = { frac {1} { Gamma ( alpha) Gamma ( beta )}} int _ {0} ^ {x} left (xs right) ^ { alpha + beta -1} f (s) left ( int _ {0} ^ {1} left ( 1-r right) ^ { alpha -1} r ^ { beta -1} , dr right) , ds}$ Внутренний интеграл - это бета-функция которое удовлетворяет следующему свойству: ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} left (1-r right) ^ { alpha -1} r ^ { beta -1} , dr = B ( alpha, beta) = { frac { Gamma ( alpha) , Gamma ( beta)} { Gamma ( alpha + beta)}}}$ Подставляя обратно в уравнение ${ displaystyle left (J ^ { alpha} right) left (J ^ { beta} f right) (x) = { frac {1} { Gamma ( alpha + beta)}} int _ {0} ^ {x} left (xs right) ^ { alpha + beta -1} f (s) , ds = left (J ^ { alpha + beta} f right )(Икс)}$ Меняя местами α и β показывает, что порядок, в котором J не имеет значения и завершает доказательство.

Это отношение называется полугрупповым свойством дробного разный интегральный операторы. К сожалению, сопоставимый процесс для производного оператора D значительно сложнее, но можно показать, что D ни то, ни другое коммутативный ни добавка в целом.^[9]

Дробная производная основной степенной функции

Полупроизводная (фиолетовая кривая) функции ж (Икс) = Икс (синяя кривая) вместе с первой производной (красная кривая).

Анимация показывает, что оператор производной колеблется между первообразный (α = −1: у = 1/2Икс²) и производной (α = +1: у = 1) простых степенная функция у = Икс непрерывно.

Предположим, что ж (Икс) это одночлен формы

${ Displaystyle е (х) = х ^ {к} ,.}$

Первая производная как обычно

${ displaystyle f '(x) = { frac {d} {dx}} f (x) = kx ^ {k-1} ,.}$

Повторение этого дает более общий результат:

${ displaystyle { frac {d ^ {a}} {dx ^ {a}}} x ^ {k} = { dfrac {k!} {(k-a)!}} x ^ {k-a} ,,}$

Который после замены факториалы с гамма-функция, приводит нас к

${ displaystyle { frac {d ^ {a}} {dx ^ {a}}} x ^ {k} = { dfrac { Gamma (k + 1)} { Gamma (k-a + 1)} } x ^ {ka}, qquad k geq 0}$

За k = 1 и а = 1/2, получаем полупроизводную функции Икс в качестве

${ displaystyle { frac {d ^ { frac {1} {2}}} {dx ^ { frac {1} {2}}}} x = { frac { Gamma (1 + 1)} { Gamma left (1 - { frac {1} {2}} + 1 right)}} x ^ {1 - { frac {1} {2}}} = { frac { Gamma (2) } { Gamma left ({ frac {3} {2}} right)}} x ^ { frac {1} {2}} = { frac {1} { frac { sqrt { pi }} {2}}} x ^ { frac {1} {2}}.}$

Чтобы продемонстрировать, что это на самом деле «полупроизводная» (где ЧАС²ж (Икс) = Df (Икс)), повторяем процесс, чтобы получить:

${ displaystyle { dfrac {d ^ { frac {1} {2}}} {dx ^ { frac {1} {2}}}} { dfrac {2x ^ { frac {1} {2} }} { sqrt { pi}}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} { dfrac { Gamma (1 + { frac {1} {2}})} { Гамма ({ frac {1} {2}} - { frac {1} {2}} + 1)}} x ^ {{ frac {1} {2}} - { frac {1} {2 }}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} { frac { Gamma left ({ frac {3} {2}} right)} { Gamma (1)}} x ^ {0} = { frac {2 { frac { sqrt { pi}} {2}} x ^ {0}} { sqrt { pi}}} = 1 ,,}$

(потому что ${ textstyle Gamma left ({ frac {3} {2}} right) = { frac { sqrt { pi}} {2}}}$ и Γ (1) = 1), что действительно является ожидаемым результатом

${ displaystyle left ({ frac {d ^ { frac {1} {2}}} {dx ^ { frac {1} {2}}}}} { frac {d ^ { frac {1}) {2}}} {dx ^ { frac {1} {2}}}} right) x = { frac {d} {dx}} x = 1 ,.}$

Для отрицательной целой степени k гамма-функция не определена, и мы должны использовать следующее соотношение:^[10]

${ displaystyle { frac {d ^ {a}} {dx ^ {a}}} x ^ {- k} = left (-1 right) ^ {a} { dfrac { Gamma (k + a )} { Gamma (k)}} x ^ {- (k + a)} quad { text {for}} k geq 0}$

Это расширение вышеупомянутого дифференциального оператора не обязательно должно ограничиваться только действительными степенями. Например, (1 + я)-я производная от (1 − я)-я производная дает вторую производную. Также установка отрицательных значений для а дает интегралы.

Для общей функции ж (Икс) и 0 < α < 1, полная дробная производная есть

${ displaystyle D ^ { alpha} е (х) = { frac {1} { Gamma (1- alpha)}} { frac {d} {dx}} int _ {0} ^ {x } { frac {f (t)} { left (xt right) ^ { alpha}}} , dt}$

Для произвольных α, поскольку гамма-функция не определена для аргументов, действительная часть которых является отрицательным целым числом, а мнимая часть равна нулю, необходимо применить дробную производную после выполнения целочисленной производной. Например,

${ Displaystyle D ^ { frac {3} {2}} f (x) = D ^ { frac {1} {2}} D ^ {1} f (x) = D ^ { frac {1} {2}} { frac {d} {dx}} f (x)}$

Преобразование Лапласа

Мы также можем ответить на этот вопрос через Преобразование Лапласа. Знаю это

${ Displaystyle { mathcal {L}} left {Jf right } (s) = { mathcal {L}} left { int _ {0} ^ {t} f ( tau) , d tau right } (s) = { frac {1} {s}} { bigl (} { mathcal {L}} left {f right } { bigr)} (s )}$

и

${ displaystyle { mathcal {L}} left {J ^ {2} f right } = { frac {1} {s}} { bigl (} { mathcal {L}} left {Jf right } { bigr)} (s) = { frac {1} {s ^ {2}}} { bigl (} { mathcal {L}} left {f right } { bigr)} (s)}$

и так далее, мы утверждаем

${ Displaystyle J ^ { alpha} е = { mathcal {L}} ^ {- 1} left {s ^ {- alpha} { bigl (} { mathcal {L}} {f } { bigr)} (s) right }}$.

Например,

${ Displaystyle J ^ { alpha} (t ^ {k}) = { mathcal {L}} ^ {- 1} left {{ frac { Gamma (k + 1)} {s ^ { альфа + k + 1}}} right } = { frac { Gamma (k + 1)} { Gamma ( alpha + k + 1)}} t ^ { alpha + k}}$

как и ожидалось. Действительно, учитывая свертка правило

${ Displaystyle { mathcal {L}} {е * г } = { bigl (} { mathcal {L}} {е } { bigr)} { bigl (} { mathcal {L }} {g } { bigr)}}$

и сокращение п(Икс) = Икс^{α − 1} для ясности мы находим, что

${ Displaystyle { begin {align} left (J ^ { alpha} f right) (t) & = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} { mathcal {L}} ^ {-1} left {{ bigl (} { mathcal {L}} {p } { bigr)} { bigl (} { mathcal {L}} {f } { bigr )} right } & = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} (p * f) & = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} int _ {0} ^ {t} p (t- tau) f ( tau) , d tau & = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} int _ {0 } ^ {t} left (t- tau right) ^ { alpha -1} f ( tau) , d tau конец {выровнено}}}$

это то, что Коши дал нам выше.

Преобразования Лапласа "работают" с относительно небольшим количеством функций, но они находятся часто используется для решения дробных дифференциальных уравнений.

Дробные интегралы

Дробный интеграл Римана – Лиувилля

Классическая форма дробного исчисления дается формулой Интеграл Римана – Лиувилля, что, по сути, и было описано выше. Теория для периодические функции (поэтому включение "граничного условия" повторения после периода) является Интеграл Вейля. Он определен на Ряд Фурье, и требует, чтобы постоянный коэффициент Фурье обратился в нуль (таким образом, он применяется к функциям на единичный круг интегралы которой равны нулю). Интеграл Римана-Лиувилля существует в двух формах: верхней и нижней. Учитывая интервал [а,б], интегралы определяются как

${ displaystyle _ {a} D_ {t} ^ {- alpha} f (t) = {} _ {a} I_ {t} ^ { alpha} f (t) = { frac {1} { Гамма ( alpha)}} int _ {a} ^ {t} left (t- tau right) ^ { alpha -1} f ( tau) , d tau}$

${ displaystyle _ {t} D_ {b} ^ {- alpha} f (t) = {} _ {t} I_ {b} ^ { alpha} f (t) = { frac {1} { Гамма ( alpha)}} int _ {t} ^ {b} left ( tau -t right) ^ { alpha -1} f ( tau) , d tau}$

Если первое верно для т > а и последнее верно для т < б.^[11]

В отличие от Производная Грюнвальда – Летникова начинается с производной вместо интеграла.

Дробный интеграл Адамара

В Дробный интеграл Адамара вводится Жак Адамар^[12] и определяется следующей формулой,

${ displaystyle _ {a} mathbf {D} _ {t} ^ {- alpha} f (t) = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} int _ {a} ^ { t} left ( log { frac {t} { tau}} right) ^ { alpha -1} f ( tau) { frac {d tau} { tau}}, qquad t > а ,.}$

Дробный интеграл Атанганы – Балеану

Недавно, используя обобщенную функцию Миттаг-Леффлера, Атангана и Балеану предложили новую формулировку дробной производной с нелокальным и невырожденным ядром. Интеграл определяется как:

${ displaystyle _ {a} ^ {AB} D_ {t} ^ {- alpha} f (t) = _ {a} ^ {AB} I_ {t} ^ { alpha} f (t) = { гидроразрыва {1- alpha} {AB ( alpha)}} f (t) + { frac { alpha} {AB ( alpha) Gamma ( alpha)}} int _ {a} ^ {t } left (t- tau right) ^ { alpha -1} f ( tau) , d tau,}$

куда AB(α) функция нормализации такая, что AB(0) = AB(1) = 1.^[13]

Дробные производные

В отличие от классических производных Ньютона, дробная производная определяется через дробный интеграл.

Дробные производные гауссиана, непрерывно интерполирующий между функцией и ее первой производной.

Дробная производная Римана – Лиувилля

Соответствующая производная вычисляется с использованием правила Лагранжа для дифференциальных операторов. Вычисление ппроизводная порядка по интегралу порядка (п − α), то α получена производная по порядку. Важно отметить, что п это наименьшее целое число больше, чем α ( то есть, п = ⌈α⌉). Подобно определениям интеграла Римана-Лиувилля, производная имеет верхний и нижний варианты.^[14]

${ displaystyle _ {a} D_ {t} ^ { alpha} f (t) = { frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} {} _ {a} D_ {t} ^ {- (n- alpha)} f (t) = { frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} {} _ {a} I_ {t} ^ {n- alpha} f (t)}$

${ displaystyle _ {t} D_ {b} ^ { alpha} f (t) = { frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} {} _ {t} D_ {b} ^ {- (n- alpha)} f (t) = { frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} {} _ {t} I_ {b} ^ {n- alpha} f (t)}$

Дробная производная Капуто

Другой вариант вычисления дробных производных - дробная производная Капуто. Он был представлен Микеле Капуто в его статье 1967 года.^[15] В отличие от дробной производной Римана-Лиувилля, при решении дифференциальных уравнений с использованием определения Капуто нет необходимости определять начальные условия дробного порядка. Определение Капуто проиллюстрировано следующим образом, где снова п = ⌈α⌉:

${ displaystyle {} ^ {C} D_ {t} ^ { alpha} f (t) = { frac {1} { Gamma (n- alpha)}} int _ {0} ^ {t} { frac {f ^ {(n)} ( tau) , d tau} { left (t- tau right) ^ { alpha + 1-n}}}.}.}$

Существует дробная производная Капуто, определяемая как:

${ displaystyle {} D ^ { nu} f (t) = { frac {1} { Gamma (n- nu)}} int _ {0} ^ {t} (tu) ^ {(n - nu -1)} f ^ {(n)} (u) du qquad (n-1) < nu$

который имеет преимущество, равное нулю, когда ж (т) постоянна, и ее преобразование Лапласа выражается через начальные значения функции и ее производной. Кроме того, существует дробная производная Капуто распределенного порядка, определяемая как

${ displaystyle {} _ {a} ^ {b} D ^ { nu} f (t) = int _ {a} ^ {b} phi ( nu) left [D ^ {( nu) } f (t) right] , d nu = int _ {a} ^ {b} left [{ frac { phi ( nu)} { Gamma (1- nu)}} int _ {0} ^ {t} left (tu right) ^ {- nu} f '(u) , du right] , d nu}$

куда φ(ν) является весовой функцией и используется для математического представления наличия нескольких формализмов памяти.

Дробная производная Капуто-Фабрицио

В статье 2015 года М. Капуто и М. Фабрицио представили определение дробной производной с неособым ядром для функции ${ displaystyle f (t)}$ из ${ displaystyle C ^ {1}}$ предоставлено:

${ displaystyle _ {a} ^ {CF} D_ {t} ^ { alpha} f (t) = { frac {1} {1- alpha}} int _ {a} ^ {t} f ' ( tau) exp left (- alpha { frac {t- tau} {1- alpha}} right) d tau,}$

куда ${ Displaystyle а <0, альфа в (0,1]}$^[16]

Производная Атанганы – Балеану

Как и интеграл, существует также дробная производная, использующая в качестве ядра общую функцию Миттаг-Леффлера.^[13] Авторы представили две версии: производную Атанганы – Балеану в смысле Капуто (ABC), которая представляет собой свертку локальной производной заданной функции с обобщенной функцией Миттаг-Леффлера, и производную Атанганы – Балеану в смысле Римана – Лиувилля (ABR ) производная, которая является производной свертки данной функции, не дифференцируемой с обобщенной функцией Миттаг-Леффлера.^[17] Дробная производная Атангана-Балеану в смысле Капуто определяется как:

${ displaystyle {} _ {a} ^ {ABC} D_ {t} ^ { alpha} f (t) = { frac {AB ( alpha)} {1- alpha}} int _ {a} ^ {t} f '( tau) E _ { alpha} left (- alpha { frac { left (t- tau right) ^ { alpha}} {1- alpha}} right ) , d tau ,.}$

А дробная производная Атанганы – Балеану в системе Римана – Лиувилля определяется как:

${ displaystyle {} _ {a} ^ {ABR} D_ {t} ^ { alpha} f (t) = { frac {AB ( alpha)} {1- alpha}} { frac {d} {dt}} int _ {a} ^ {t} f ( tau) E _ { alpha} left (- alpha { frac { left (t- tau right) ^ { alpha}} {1- alpha}} right) , d tau ,.}$

Производная Рисса

${ displaystyle { mathcal {F}} left {{ frac { partial ^ { alpha} u} { partial left | x right | ^ { alpha}}} right } (к ) = - left | k right | ^ { alpha} { mathcal {F}} {u } (k)}$

куда F обозначает преобразование Фурье.^[18][19]

Другие типы

К классическим дробным производным относятся:

• Производная Грюнвальда – Летникова^[20][21]
• Производная Сонина – Летникова^[21]
• Производная Лиувилля^[20]
• Производная Капуто^[20]
• Производная Адамара^[20][22]
• Производная Маршо^[20]
• Производная Рисса^[21]
• Производная Миллера – Росса^[20]
• Производная Вейля^[23][24][20]
• Производная Эрдейи – Кобера^[20]

Новые дробные производные включают:

• Коимбра производная^[20]
• Производное катугамполы^[25]
• Производная Гильфера^[20]
• Производная Дэвидсона^[20]
• Производная Чена^[20]
• Производное Капуто Фабрицио^[26][27]
• Производная Атанганы – Балеану^[26][28]

Обобщения

Оператор Эрдейи – Кобера

В Оператор Эрдейи – Кобера - интегральный оператор, введенный Артур Эрдейи (1940).^[29] и Герман Кобер (1940)^[30] и дается

${ displaystyle { frac {x ^ {- nu - alpha +1}} { Gamma ( alpha)}} int _ {0} ^ {x} left (tx right) ^ { alpha -1} t ^ {- alpha - nu} f (t) , dt ,,}$

который обобщает Дробный интеграл Римана – Лиувилля и Интеграл Вейля.

Функциональное исчисление

В контексте функциональный анализ, функции ж (D) более общие, чем полномочия изучаются в функциональное исчисление из спектральная теория. Теория псевдодифференциальные операторы также позволяет рассматривать полномочия D. Возникающие операторы являются примерами сингулярные интегральные операторы; а обобщение классической теории на высшие измерения называется теорией Потенциалы Рисса. Итак, существует ряд современных теорий, в рамках которых дробное исчисление можно обсудить. Смотрите также Оператор Эрдейи – Кобера важно в специальная функция теория (Октябрь 1940 г. ), (Эрдейи 1950–51 ).

Приложения

Дробное сохранение массы

Как описано Wheatcraft and Meerschaert (2008),^[31] уравнение частичного сохранения массы необходимо для моделирования потока жидкости, когда контрольный объем недостаточно велик по сравнению с масштабом неоднородность и когда поток в контрольном объеме нелинейный. В упомянутой статье уравнение дробного сохранения массы для потока жидкости:

${ Displaystyle - rho left ( nabla ^ { alpha} cdot { vec {u}} right) = Gamma ( alpha +1) Delta x ^ {1- alpha} rho слева ( beta _ {s} + phi beta _ {w} right) { frac { partial p} { partial t}}}$

Проблема потока грунтовых вод

В 2013–2014 гг. Атангана и др. описал некоторые проблемы потока грунтовых вод, используя концепцию производной с дробным порядком.^[32][33] В этих произведениях классическая Закон Дарси обобщается путем рассмотрения расхода воды как функции производной пьезометрического напора нецелого порядка. Этот обобщенный закон и закон сохранения массы затем используются для вывода нового уравнения для потока грунтовых вод.

Уравнение дисперсии дробной адвекции

Это уравнение^{[требуется разъяснение ]} было показано, что это полезно для моделирования потока загрязняющих веществ в неоднородных пористых средах.^[34][35][36]

Атангана и Киликман расширили дробное дисперсионное уравнение адвекции до уравнения переменного порядка. В их работе гидродинамическое дисперсионное уравнение было обобщено с использованием концепции производная вариационного порядка. Модифицированное уравнение решалось численно с помощью Метод Кранка – Николсона. Стабильность и сходимость результатов численного моделирования показали, что модифицированное уравнение более надежно при прогнозировании движения загрязнения в деформируемых водоносных горизонтах, чем уравнения с постоянными дробными и целыми производными.^[37]

Модели уравнения пространственно-временной дробной диффузии

Процессы аномальной диффузии в сложных средах можно хорошо охарактеризовать с помощью моделей уравнений диффузии дробного порядка.^[38][39] Член производной по времени соответствует длительному распаду тяжелого хвоста, а пространственная производная - диффузионной нелокальности. Управляющее уравнение пространственно-временной дробной диффузии можно записать как

${ displaystyle { frac { partial ^ { alpha} u} { partial t ^ { alpha}}} = - K (- Delta) ^ { beta} u.}$

Простым расширением дробной производной является дробная производная переменного порядка, α и β заменены на α(Икс, т) и β(Икс, т). Его приложения в моделировании аномальной диффузии можно найти в справочнике.^[37][40][41]

Структурные модели демпфирования

Дробные производные используются для моделирования вязкоупругий демпфирование в некоторых типах материалов, таких как полимеры.^[42]

ПИД-регуляторы

Обобщая ПИД-регуляторы использование дробных порядков может увеличить их степень свободы. Новое уравнение, связывающее управляющая переменная ты(т) с точки зрения измеренного значение ошибки е(т) можно записать как

${ Displaystyle и (т) = К _ { mathrm {p}} e (t) + K _ { mathrm {i}} D_ {t} ^ {- alpha} e (t) + K _ { mathrm {d }} D_ {t} ^ { beta} e (t)}$

куда α и β положительные дробные порядки и K_п, K_я, и K_d, все неотрицательные, обозначим коэффициенты при пропорциональный, интеграл, и производная термины, соответственно (иногда обозначаются п, я, и D).^[43]

Акустические волновые уравнения для сложных сред

Распространение акустических волн в сложных средах, таких как биологические ткани, обычно подразумевает затухание, подчиняющееся степенному закону частоты. Этот вид явления можно описать с помощью причинно-следственного волнового уравнения, которое включает дробные производные по времени:

${ displaystyle nabla ^ {2} u - { dfrac {1} {c_ {0} ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} u} { partial t ^ {2}}} + tau _ { sigma} ^ { alpha} { dfrac { partial ^ { alpha}} { partial t ^ { alpha}}} nabla ^ {2} u - { dfrac { tau _ { epsilon} ^ { beta}} {c_ {0} ^ {2}}} { dfrac { partial ^ { beta +2} u} { partial t ^ { beta +2}}} = 0 ,.}$

См. Также Holm & Näsholm (2011).^[44] и ссылки в нем. Такие модели связаны с общепризнанной гипотезой о том, что множественные явления релаксации вызывают затухание, измеряемое в сложных средах. Эта ссылка дополнительно описана в Näsholm & Holm (2011b).^[45] и в обзорной статье,^[46] так же хорошо как акустическое затухание статья. См. Holm & Nasholm (2013)^[47] для статьи, в которой сравниваются дробные волновые уравнения, моделирующие степенное затухание. Эта книга по степенному затуханию также освещает эту тему более подробно.^[48]

Панди и Холм придали физический смысл дробно-дифференциальным уравнениям, выведя их из физических принципов и интерпретируя дробный порядок в терминах параметров акустической среды, например, в насыщенных флюидом гранулированных рыхлых морских отложениях.^[49] Интересно, что Панди и Холм вывели Закон Ломница в сейсмология и закон Наттинга в неньютоновская реология используя структуру дробного исчисления.^[50] Закон Наттинга был использован для моделирования распространения волн в морских отложениях с использованием дробных производных.^[49]

Дробное уравнение Шредингера в квантовой теории

В дробное уравнение Шредингера, фундаментальное уравнение дробная квантовая механика, имеет следующий вид:^[51][52]

${ Displaystyle я hbar { гидроразрыва { partial psi ( mathbf {r}, t)} { partial t}} = D _ { alpha} left (- hbar ^ {2} Delta right ) ^ { frac { alpha} {2}} psi ( mathbf {r}, t) + V ( mathbf {r}, t) psi ( mathbf {r}, t) ,.}$

где решением уравнения является волновая функция ψ(р, т) - квантово-механический амплитуда вероятности чтобы частица имела данный вектор положения р в любой момент времени т, и час это приведенная постоянная Планка. В потенциальная энергия функция V(р, т) зависит от системы.

Дальше, Δ = ∂²/∂р² это Оператор Лапласа, и D_α - масштабная постоянная с физическим измерение [D_α] = J^{1 − α}· М^α· С^−α = кг^{1 − α}· М^{2 − α}· С^{α − 2}, (в α = 2, D₂ = 1/2м для частицы массы м), а оператор (−час²Δ)^α/2 - 3-мерная дробная квантовая производная Рисса, определяемая формулой

${ displaystyle (- hbar ^ {2} Delta) ^ { frac { alpha} {2}} psi ( mathbf {r}, t) = { frac {1} {(2 pi hbar) ^ {3}}} int d ^ {3} pe ^ {{ frac {i} { hbar}} mathbf {p} cdot mathbf {r}} | mathbf {p} | ^ { alpha} varphi ( mathbf {p}, t) ,.}$

Индекс α в дробном уравнении Шредингера - индекс Леви, 1 < α ≤ 2.

Дробное уравнение Шредингера переменного порядка

Как естественное обобщение дробное уравнение Шредингера, дробное уравнение Шредингера переменного порядка было использовано для изучения дробных квантовых явлений:^[53]

${ Displaystyle я HBAR { гидроразрыва { partial psi ^ { alpha ( mathbf {r})} ( mathbf {r}, t)} { partial t ^ { alpha ( mathbf {r} )}}} = left (- hbar ^ {2} Delta right) ^ { frac { beta (t)} {2}} psi ( mathbf {r}, t) + V ( mathbf {r}, t) psi ( mathbf {r}, t),}$

куда Δ = ∂²/∂р² это Оператор Лапласа и оператор (−час²Δ)^β(т)/2 - дробная квантовая производная Рисса переменного порядка.

Смотрите также

Другие фракционные теории

• Дробная динамика
• Дробное преобразование Фурье
• Дробная квантовая механика

Примечания

Рекомендации

Источники

• Килбас Анатолий Александрович; Шривастава, Хари Мохан; Трухильо, Хуан Дж. (2006). Теория и приложения дробных дифференциальных уравнений. Амстердам, Нидерланды: Эльзевир. ISBN  978-0-444-51832-3.

дальнейшее чтение

Статьи по истории дробного исчисления

• Росс, Б. (1975). «Краткая история и изложение фундаментальной теории дробного исчисления». Дробное исчисление и его приложения. Дробное исчисление и его приложения. Конспект лекций по математике. Конспект лекций по математике. 457. С. 1–36. Дои:10.1007 / BFb0067096. ISBN  978-3-540-07161-7.
• Дебнат, Л. (2004). «Краткое историческое введение в дробное исчисление». Международный журнал математического образования в науке и технологиях. 35 (4): 487–501. Дои:10.1080/00207390410001686571. S2CID  122198977.
• Tenreiro Machado, J .; Кирякова, В .; Майнарди, Ф. (2011). «Новейшая история дробного исчисления». Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании. 16 (3): 1140–1153. Bibcode:2011CNSNS..16.1140M. Дои:10.1016 / j.cns.2010.05.027. HDL:10400.22/4149.
• Tenreiro Machado, J.A .; Galhano, A.M .; Трухильо, Дж. Дж. (2013). «Научные метрики развития дробного исчисления с 1966 года». Дробное исчисление и прикладной анализ. 16 (2): 479–500. Дои:10.2478 / s13540-013-0030-у. HDL:10400.22/3773. S2CID  122487513.
• Tenreiro Machado, J.A .; Galhano, A.M.S.F .; Трухильо, Дж. Дж. (2014). «О развитии дробного исчисления за последние пятьдесят лет». Наукометрия. 98 (1): 577–582. Дои:10.1007 / s11192-013-1032-6. HDL:10400.22/3769. S2CID  16501850.

Книги

• Олдхэм, Кейт Б.; Спаниер, Джером (1974). Дробное исчисление; Теория и приложения дифференцирования и интеграции к произвольному порядку. Математика в науке и технике. V. Академическая пресса. ISBN  978-0-12-525550-9.
• Miller, Kenneth S .; Росс, Бертрам, ред. (1993). Введение в дробное исчисление и дробно-дифференциальные уравнения. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-471-58884-9.
• Самко, С .; Килбас, A.A .; Маричев, О. (1993). Дробные интегралы и производные: теория и приложения. Книги Тейлора и Фрэнсиса. ISBN  978-2-88124-864-1.
• Carpinteri, A .; Майнарди, Ф., ред. (1998). Фракталы и дробное исчисление в механике сплошной среды. Springer-Verlag Telos. ISBN  978-3-211-82913-4.
• Игорь Подлубный (27 октября 1998 г.). Дробные дифференциальные уравнения: введение в дробные производные, дробные дифференциальные уравнения, методы их решения и некоторые из их приложений. Эльзевир. ISBN  978-0-08-053198-4.
• Уэст, Брюс Дж .; Болонья, Мауро; Григолини, Паоло (2003). Физика фрактальных операторов. Физика сегодня. 56. Springer Verlag. п. 65. Bibcode:2003ФТ .... 56л..65Вт. Дои:10.1063/1.1650234. ISBN  978-0-387-95554-4.
• Майнарди, Ф. (2010). Дробное исчисление и волны в линейной вязкоупругости: введение в математические модели. Imperial College Press. Архивировано из оригинал на 2012-05-19. Получено 2014-01-31.
• Тарасов, В. (2010). Дробная динамика: приложения дробного исчисления к динамике частиц, полей и сред. Нелинейная физическая наука. Springer. ISBN  9783642140037.
• Чжоу, Ю. (2010). Основная теория дробных дифференциальных уравнений. Сингапур: World Scientific. Дои:10.1142/9069. ISBN  978-981-4579-89-6.
• Учайкин, В. (2012). Дробные производные для физиков и инженеров. Дробные производные для физиков и инженеров: история вопроса и теория. Нелинейная физическая наука. Пресса о высшем образовании. Bibcode:2013fdpe.book ..... U. Дои:10.1007/978-3-642-33911-0. ISBN  9783642339103.
• Дафтардар-гейджи, Варша (2013). Дробное исчисление: теория и приложения. Издательство Нароса. ISBN  978-8184873337.

• Шривастава, Хари М (2014). Специальные функции дробного исчисления и связанные с ним дробно-дифференциальные уравнения. Сингапур: World Scientific. Дои:10.1142/8936. ISBN  978-981-4551-10-6.
• Li, C P; Цзэн, Ф Х (2015). Численные методы дробного исчисления. США: CRC Press.

• Умаров, С. (2015). Введение в дробные и псевдодифференциальные уравнения с сингулярными символами. Развитие математики. 41. Швейцария: Шпрингер. Дои:10.1007/978-3-319-20771-1. ISBN  978-3-319-20770-4.

• Херрманн, Р. (2018). Дробное исчисление - Введение для физиков (3-е изд.). Сингапур: World Scientific. Дои:10.1142/11107. ISBN  978-981-3274-57-0.

внешняя ссылка

• Эрик В. Вайсштейн. «Дробное дифференциальное уравнение». Из MathWorld - Веб-ресурс Wolfram.
• MathWorld - дробное исчисление
• MathWorld - Дробная производная
• Дробное исчисление на MathPages
• Специализированный журнал: Дробное исчисление и прикладной анализ (1998–2014 гг.) и Дробное исчисление и прикладной анализ (с 2015 г.)
• Специализированный журнал: Дробные дифференциальные уравнения (ДДУ)
• Специализированный журнал: Связь в дробном исчислении (ISSN  2218-3892 )
• Специализированный журнал: Журнал дробного исчисления и приложений (JFCA)
• www.nasatech.com
• Коллекция Игоря Подлубного связанных книг, статей, ссылок, программного обеспечения и т. Д.
• GigaHedron - собрание книг, статей, препринтов Ричарда Херманна и т. Д.
• s.dugowson.free.fr
• История, определения и приложения для инженера (PDF ), Адам Ловерро, Университет Нотр-Дам
• Моделирование дробного исчисления
• Вводные заметки по дробному исчислению
• Степенный закон и дробная динамика
• CRONE Toolbox, Matlab и Simulink Toolbox, посвященный дробному исчислению, который можно бесплатно загрузить
• Завада, Петр (1998). «Оператор дробной производной на комплексной плоскости». Коммуникации по математической физике. 192 (2): 261–285. arXiv:funct-an / 9608002. Bibcode:1998CMaPh.192..261Z. Дои:10.1007 / s002200050299. S2CID  1201395.
• Завада, Петр (2002). «Релятивистские волновые уравнения с дробными производными и псевдодифференциальные операторы». Журнал прикладной математики. 2 (4): 163–197. arXiv:hep-th / 0003126. Дои:10.1155 / S1110757X02110102. S2CID  6647936.