Интегральный тест на сходимость - Integral test for convergence

Интегральный тест, примененный к гармонический ряд. Поскольку площадь под кривой

у = 1/ Икс

за

Икс \in [1, \infty)

бесконечно, общая площадь прямоугольников также должна быть бесконечной.

В математика, то интегральный критерий сходимости это метод, используемый для проверки бесконечный серии из неотрицательный условия для конвергенция. Он был разработан Колин Маклорен и Огюстен-Луи Коши и иногда его называют Тест Маклорена – Коши.

Заявление об испытании

Рассмотрим целое число $N$ и неотрицательная функция $ж$ определены на неограниченном интервал $[N, \infty)$ , на котором это монотонно убывающий. Тогда бесконечный ряд

{ Displaystyle сумма _ {п = N} ^ { infty} е (п)}

сходится к настоящий номер если и только если несобственный интеграл

{ Displaystyle int _ {N} ^ { infty} е (х) , dx}

конечно. Другими словами, если интеграл расходится, то серия расходится также.

Замечание

Если несобственный интеграл конечен, то доказательство также дает нижняя и верхняя границы

{ displaystyle int _ {N} ^ { infty} е (х) , dx leq sum _ {n = N} ^ { infty} f (n) leq f (N) + int _ {N} ^ { infty} f (x) , dx}

(1)

для бесконечной серии.

Доказательство

Доказательство в основном использует сравнительный тест, сравнивая срок $ж (п)$ с интегралом $ж$ через интервалы $[п - 1, п)$ и $[п, п + 1)$ , соответственно.

С $ж$ - монотонно убывающая функция, мы знаем, что

{ displaystyle f (x) leq f (n) quad { text {для всех}} x in [n, infty)}

и

{ displaystyle f (n) leq f (x) quad { text {для всех}} x in [N, n].}

Следовательно, для любого целого числа $п \geq N$ ,

{ displaystyle int _ {n} ^ {n + 1} f (x) , dx leq int _ {n} ^ {n + 1} f (n) , dx = f (n)}

(2)

и для каждого целого числа $п \geq N + 1$ ,

{ displaystyle f (n) = int _ {n-1} ^ {n} f (n) , dx leq int _ {n-1} ^ {n} f (x) , dx.}

(3)

Суммируя по всем $п$ из $N$ до некоторого большего целого числа $M$ , получаем из (2)

{ displaystyle int _ {N} ^ {M + 1} f (x) , dx = sum _ {n = N} ^ {M} underbrace { int _ {n} ^ {n + 1} f (x) , dx} _ { leq , f (n)} leq sum _ {n = N} ^ {M} f (n)}

и из (3)

{ Displaystyle сумма _ {п = N} ^ {M} е (п) Leq е (N) + сумма _ {п = N + 1} ^ {M} underbrace { int _ {п-1 } ^ {n} f (x) , dx} _ { geq , f (n)} = f (N) + int _ {N} ^ {M} f (x) , dx.}

Объединение этих двух оценок дает

{ Displaystyle int _ {N} ^ {M + 1} е (х) , dx leq sum _ {n = N} ^ {M} f (n) leq f (N) + int _ {N} ^ {M} f (x) , dx.}

Сдача $M$ стремятся к бесконечности, оценки в (1) и результат.

Приложения

В гармонический ряд

{ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} { гидроразрыва {1} {п}}}

расходится, потому что, используя натуральный логарифм, это первообразный, а основная теорема исчисления, мы получили

{ Displaystyle int _ {1} ^ {M} { frac {1} {n}} , dn = ln n { Bigr |} _ {1} ^ {M} = ln M to infty quad { text {for}} M to infty.}

Напротив, сериал

{ displaystyle zeta (1+ varepsilon) = sum _ {x = 1} ^ { infty} { frac {1} {x ^ {1+ varepsilon}}}}

(ср. Дзета-функция Римана ) сходится для каждого $ε > 0$ , потому что правило власти

{ displaystyle int _ {1} ^ {M} { frac {1} {x ^ {1+ varepsilon}}} , dx = - { frac {1} { varepsilon x ^ { varepsilon} }} { biggr |} _ {1} ^ {M} = { frac {1} { varepsilon}} { Bigl (} 1 - { frac {1} {M ^ { varepsilon}}} { Bigr)} leq { frac {1} { varepsilon}} < infty quad { text {для всех}} M geq 1.}

Из (1) получаем оценку сверху

{ displaystyle zeta (1+ varepsilon) = sum _ {x = 1} ^ { infty} { frac {1} {x ^ {1+ varepsilon}}} leq { frac {1+ varepsilon} { varepsilon}},}

что можно сравнить с некоторыми из частные значения дзета-функции Римана.

Граница между расхождением и конвергенцией

Приведенные выше примеры с гармоническими рядами поднимают вопрос, существуют ли такие монотонные последовательности, что $ж (п)$ уменьшается до 0 быстрее, чем $1/ п$ но медленнее, чем $1/ п 1+ ε$ в том смысле, что

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {f (n)} {1 / n}} = 0 quad { text {and}} quad lim _ {n to infty } { frac {f (n)} {1 / n ^ {1+ varepsilon}}} = infty}

для каждого $ε > 0$ , и будет ли соответствующий ряд $ж (п)$ все еще расходится. Как только такая последовательность найдена, аналогичный вопрос можно задать с помощью $ж (п)$ взяв на себя роль $1/ п$ , и так далее. Таким способом можно исследовать границу между расхождением и сходимостью бесконечных рядов.

Используя интегральный критерий сходимости, можно показать (см. Ниже), что для любого натуральное число $k$ , сериал

{ Displaystyle sum _ {N = N_ {k}} ^ { infty} { frac {1} {n ln (n) ln _ {2} (n) cdots ln _ {k-1 } (п) ln _ {k} (n)}}}

(4)

все еще расходится (ср. доказательство того, что сумма обратных простых чисел расходится за $k = 1$ ) но

{ Displaystyle sum _ {N = N_ {k}} ^ { infty} { frac {1} {n ln (n) ln _ {2} (n) cdots ln _ {k-1 } (п) ( ln _ {k} (n)) ^ {1+ varepsilon}}}}

(5)

сходится для каждого $ε > 0$ . Здесь $пер k$ обозначает $k$ -складывать сочинение натурального логарифма, определенного рекурсивно к

{ displaystyle ln _ {k} (x) = { begin {case} ln (x) & { text {for}} k = 1, ln ( ln _ {k-1} ( x)) & { text {for}} k geq 2. end {case}}}

Более того, $N k$ обозначает наименьшее натуральное число такое, что $k$ -складчатая композиция четко определена и $пер k (N k) \geq 1$ , т.е.

{ displaystyle N_ {k} geq underbrace {e ^ {e ^ { cdot ^ { cdot ^ {e}}}}} _ {k e '{ text {s}}} = e uparrow uparrow k}

с помощью тетрация или же Обозначение Кнута со стрелкой вверх.

Чтобы увидеть расхождение ряда (4) используя интегральный тест, обратите внимание, что при повторном применении Правило цепи

{ displaystyle { frac {d} {dx}} ln _ {k + 1} (x) = { frac {d} {dx}} ln ( ln _ {k} (x)) = { frac {1} { ln _ {k} (x)}} { frac {d} {dx}} ln _ {k} (x) = cdots = { frac {1} {x ln (x) cdots ln _ {k} (x)}},}

следовательно

{ displaystyle int _ {N_ {k}} ^ { infty} { frac {dx} {x ln (x) cdots ln _ {k} (x)}} = ln _ {k + 1} (x) { bigr |} _ {N_ {k}} ^ { infty} = infty.}

Чтобы увидеть сходимость ряда (5), отметим, что правило власти, цепное правило и приведенный выше результат

{ displaystyle - { frac {d} {dx}} { frac {1} { varepsilon ( ln _ {k} (x)) ^ { varepsilon}}} = { frac {1} {( ln _ {k} (x)) ^ {1+ varepsilon}}} { frac {d} {dx}} ln _ {k} (x) = cdots = { frac {1} {x ln (x) cdots ln _ {k-1} (x) ( ln _ {k} (x)) ^ {1+ varepsilon}}},}

следовательно

{ Displaystyle int _ {N_ {k}} ^ { infty} { frac {dx} {x ln (x) cdots ln _ {k-1} (x) ( ln _ {k} (x)) ^ {1+ varepsilon}}} = - { frac {1} { varepsilon ( ln _ {k} (x)) ^ { varepsilon}}} { biggr |} _ {N_ {k}} ^ { infty} < infty}

и (1) дает оценки для бесконечного ряда в (5).

Интегральный тест на сходимость - Integral test for convergence

Содержание

Заявление об испытании

Замечание

Доказательство

Приложения

Граница между расхождением и конвергенцией

Смотрите также

Рекомендации