Теорема о монотонной сходимости - Monotone convergence theorem

В математической области реальный анализ, то теорема о монотонной сходимости является любой из ряда связанных теорем, доказывающих конвергенция из монотонные последовательности (последовательности, которые неубывающий или невозрастающий ), которые также ограниченный. Неформально теоремы утверждают, что если последовательность возрастает и ограничена сверху супремум, то последовательность сходится к супремуму; точно так же, если последовательность убывает и ограничена снизу инфимум, он будет сходиться к инфимуму.

Сходимость монотонной последовательности действительных чисел

Лемма 1

Если последовательность действительных чисел возрастает и ограничена сверху, то ее супремум это предел.

Доказательство

Позволять ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п в mathbb {N}}}$ - такая последовательность, и пусть ${ Displaystyle {а_ {п} }}$ быть набором условий ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п в mathbb {N}}}$. По предположению, ${ Displaystyle {а_ {п} }}$ непусто и ограничено сверху. Посредством свойство с наименьшей верхней границей реальных чисел, ${ textstyle c = sup _ {n} {a_ {n} }}$ существует и конечно. Теперь для каждого ${ displaystyle varepsilon> 0}$, Существует ${ displaystyle N}$ такой, что ${ displaystyle a_ {N}> c- varepsilon}$, так как иначе ${ displaystyle c- varepsilon}$ является верхней границей ${ Displaystyle {а_ {п} }}$, что противоречит определению ${ displaystyle c}$. Тогда, поскольку ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п в mathbb {N}}}$ увеличивается, и ${ displaystyle c}$ - его верхняя граница для каждого ${ displaystyle n> N}$, у нас есть ${ displaystyle | c-a_ {n} | leq | c-a_ {N} | < varepsilon}$. Следовательно, по определению предел ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п в mathbb {N}}}$ является ${ textstyle sup _ {n} {a_ {n} }.}$

Лемма 2

Если последовательность действительных чисел убывает и ограничена снизу, то ее инфимум это предел.

Доказательство

Доказательство аналогично доказательству для случая, когда последовательность возрастает и ограничена сверху,

Теорема

Если ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п в mathbb {N}}}$ монотонный последовательность из действительные числа (т.е. если а_п ≤ а_п+1 для каждого п ≥ 1 или а_п ≥ а_п+1 для каждого п ≥ 1), то эта последовательность имеет конечный предел тогда и только тогда, когда последовательность ограниченный.^[1]

Доказательство

• «Если» -направление: Доказательство следует непосредственно из лемм.
• Направление «Только если»: По определение лимита, каждая последовательность ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п в mathbb {N}}}$ с конечным пределом ${ displaystyle L}$ обязательно ограничено.

Сходимость монотонного ряда

Теорема

Если для всех натуральных чисел j и k, а_j,k неотрицательное действительное число и а_j,k ≤ а_j+1,k, тогда^[2]:168

${ displaystyle lim _ {j to infty} sum _ {k} a_ {j, k} = sum _ {k} lim _ {j to infty} a_ {j, k}.}$

Теорема утверждает, что если у вас есть бесконечная матрица неотрицательных действительных чисел такая, что

1. столбцы слабо возрастающие и ограниченные, а
2. для каждой строки серии члены которого даны этой строкой, имеет сходящуюся сумму,

то предел сумм строк равен сумме ряда, член которого k дается пределом столбца k (что также является его супремум ). Ряд имеет сходящуюся сумму тогда и только тогда, когда (слабо возрастающая) последовательность строчных сумм ограничена и, следовательно, сходится.

В качестве примера рассмотрим бесконечную серию строк

${ displaystyle left (1 + { frac {1} {n}} right) ^ {n} = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} { frac {1} {n ^ {k}}} = sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {1} {k!}} times { frac {n} {n}} times { frac {n-1} {n}} times cdots times { frac {n-k + 1} {n}},}$

где п стремится к бесконечности (предел этого ряда равен е ). Здесь запись матрицы в строке п и столбец k является

${ displaystyle { binom {n} {k}} { frac {1} {n ^ {k}}} = { frac {1} {k!}} times { frac {n} {n} } times { frac {n-1} {n}} times cdots times { frac {n-k + 1} {n}};}$

колонны (фиксированные k) действительно слабо растут с увеличением п и ограничена (на 1 /k!), а в строках есть только конечное число ненулевых членов, поэтому условие 2 выполнено; теперь теорема говорит, что вы можете вычислить предел сумм строк ${ Displaystyle (1 + 1 / п) ^ {п}}$ взяв сумму пределов столбца, а именно${ displaystyle { frac {1} {к!}}}$.

Теорема Беппо Леви о монотонной сходимости интеграла Лебега

Следующий результат обусловлен Беппо Леви и Анри Лебег. В дальнейшем ${ displaystyle operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}}}$ обозначает ${ displaystyle sigma}$-алгебра борелевских множеств на ${ displaystyle [0, + infty]}$. По определению, ${ displaystyle operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}}}$ содержит набор ${ Displaystyle {+ infty }}$ и все борелевские подмножества ${ displaystyle mathbb {R} _ { geq 0}.}$

Теорема

Позволять ${ Displaystyle ( Omega, Sigma, mu)}$ быть измерить пространство, и ${ Displaystyle X in Sigma}$. Рассмотрим поточечно неубывающую последовательность ${ Displaystyle {е_ {к} } _ {к = 1} ^ { infty}}$ из ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-измеримый неотрицательные функции ${ displaystyle f_ {k}: от X до [0, + infty]}$, т.е. для каждого ${ displaystyle {к geq 1}}$ и каждый ${ displaystyle {x in X}}$,

${ displaystyle 0 leq f_ {k} (x) leq f_ {k + 1} (x) leq infty.}$

Установите поточечный предел последовательности ${ Displaystyle {е_ {п} }}$ быть ${ displaystyle f}$. То есть на каждый ${ displaystyle x in X}$,

${ Displaystyle f (x): = lim _ {k to infty} f_ {k} (x).}$

потом ${ displaystyle f}$ является ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-измеримые и

${ displaystyle lim _ {k to infty} int _ {X} f_ {k} , d mu = int _ {X} f , d mu.}$

Замечание 1. Интегралы могут быть конечными или бесконечными.

Замечание 2. Теорема остается верной, если выполнены ее предположения. ${ displaystyle mu}$-почти всюду. Другими словами, достаточно наличия нулевой набор ${ displaystyle N}$ такая, что последовательность ${ Displaystyle {е_ {п} (х) }}$ без снижения за каждый ${ displaystyle {x in X setminus N}.}$ Чтобы понять, почему это так, мы начнем с наблюдения, которое допускает последовательность ${ Displaystyle {е_ {п} }}$ к поточечному неубыванию почти всюду приводит к его поточечный предел ${ displaystyle f}$ быть неопределенным на некотором нулевом наборе ${ displaystyle N}$. На этом нулевом наборе ${ displaystyle f}$ затем можно определить произвольно, например как ноль или любым другим способом, сохраняющим измеримость. Чтобы понять, почему это не повлияет на результат теоремы, обратите внимание, что, поскольку ${ Displaystyle { му (N) = 0},}$ у нас на каждый ${ displaystyle k,}$

${ displaystyle int _ {X} f_ {k} , d mu = int _ {X setminus N} f_ {k} , d mu}$ и ${ Displaystyle int _ {X} е , d mu = int _ {X setminus N} f , d mu,}$

при условии, что ${ displaystyle f}$ является ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-измеримый.^{[3](Раздел 21.38)} (Эти равенства непосредственно следуют из определения интеграла Лебега для неотрицательной функции).

Замечание 3. В условиях теоремы

(Отметим, что вторая цепочка равенств следует из замечания 5).

Замечание 4. В приведенном ниже доказательстве не используются никакие свойства интеграла Лебега, кроме установленных здесь. Таким образом, теорема может быть использована для доказательства других основных свойств, таких как линейность, относящихся к интегрированию Лебега.

Замечание 5 (монотонность интеграла Лебега). В нижеследующем доказательстве мы применяем монотонное свойство интеграла Лебега только к неотрицательным функциям. В частности (см. Замечание 4), пусть функции ${ displaystyle f, g: X to [0, + infty]}$ быть ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-измеримый.

• Если ${ displaystyle f leq g}$ везде на ${ displaystyle X,}$ тогда

${ displaystyle int _ {X} f , d mu leq int _ {X} g , d mu.}$

• Если ${ Displaystyle X_ {1}, X_ {2} in Sigma}$ и ${ Displaystyle X_ {1} substeq X_ {2},}$ тогда

${ displaystyle int _ {X_ {1}} f , d mu leq int _ {X_ {2}} f , d mu.}$

Доказательство. Обозначить ${ displaystyle operatorname {SF} (h)}$ набор простых ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-измеримые функции ${ displaystyle s: X to [0, infty)}$ такой, что${ displaystyle 0 leq s leq h}$ везде на ${ displaystyle X.}$

1. поскольку ${ displaystyle f leq g,}$ у нас есть

${ displaystyle operatorname {SF} (f) substeq operatorname {SF} (g).}$

По определению интеграла Лебега и свойствам супремума

${ Displaystyle int _ {X} е , d mu = sup _ {s in { rm {SF}} (f)} int _ {X} s , d mu leq sup _ {s in { rm {SF}} (g)} int _ {X} s , d mu = int _ {X} g , d mu.}$

2. Позволять ${ displaystyle { mathbf {1}} _ {X_ {1}}}$ быть индикаторной функцией множества ${ displaystyle X_ {1}.}$ Из определения интеграла Лебега можно вывести, что

${ displaystyle int _ {X_ {2}} f cdot { mathbf {1}} _ {X_ {1}} , d mu = int _ {X_ {1}} f , d mu }$

если мы это заметим, для каждого ${ displaystyle s in { rm {SF}} (е cdot { mathbf {1}} _ {X_ {1}}),}$ ${ displaystyle s = 0}$ вне ${ displaystyle X_ {1}.}$ В сочетании с предыдущим свойством неравенство ${ displaystyle f cdot { mathbf {1}} _ {X_ {1}} leq f}$ подразумевает

${ displaystyle int _ {X_ {1}} f , d mu = int _ {X_ {2}} f cdot { mathbf {1}} _ {X_ {1}} , d mu leq int _ {X_ {2}} f , d mu.}$

Доказательство

Это доказательство не полагаться на Лемма Фату. Однако мы объясняем, как можно использовать эту лемму.

Для тех, кто не заинтересован в независимом доказательстве, промежуточные результаты, приведенные ниже, можно пропустить.

Промежуточные результаты

Интеграл Лебега как мера

Лемма 1. Позволять ${ Displaystyle ( Omega, Sigma, mu)}$ быть измеримым пространством. Рассмотрим простой ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-измеримая неотрицательная функция ${ displaystyle s: Omega to { mathbb {R} _ { geq 0}}}$. Для подмножества ${ Displaystyle S substeq Omega}$, определить

${ Displaystyle Nu (S) = int _ {S} s , d mu.}$

потом ${ displaystyle nu}$ это мера на ${ displaystyle Omega}$.

Доказательство

Монотонность следует из замечания 5. Здесь мы докажем только счетную аддитивность, оставив остальное на усмотрение читателя. Позволять ${ Displaystyle S = bigcup _ {я = 1} ^ { infty} S_ {я}}$, где все множества ${ displaystyle S_ {i}}$ попарно не пересекаются. Благодаря простоте,

${ displaystyle s = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot { mathbf {1}} _ {A_ {i}},}$

для некоторых конечных неотрицательных констант ${ displaystyle c_ {i} in { mathbb {R}} _ { geq 0}}$ и попарно непересекающиеся множества ${ displaystyle A_ {i} in Sigma}$ такой, что ${ displaystyle bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = Omega}$. По определению интеграла Лебега

${ Displaystyle { begin {align} nu (S) & = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot mu (S cap A_ {i}) & = сумма _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot mu left ( left ( bigcup _ {j = 1} ^ { infty} S_ {j} right) cap A_ {i } right) & = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot mu left ( bigcup _ {j = 1} ^ { infty} (S_ {j} cap A_ {i}) right) end {выровнен}}}$

Поскольку все наборы ${ displaystyle S_ {j} cap A_ {i}}$ попарно не пересекаются, счетная аддитивность ${ displaystyle mu}$дает нам

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot mu left ( bigcup _ {j = 1} ^ { infty} (S_ {j} cap A_ {i}) ) right) = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot sum _ {j = 1} ^ { infty} mu (S_ {j} cap A_ {i}) .}$

Поскольку все слагаемые неотрицательны, сумма ряда, независимо от того, является ли эта сумма конечной или бесконечной, не может измениться при изменении порядка суммирования. По этой причине,

${ displaystyle { begin {align} sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot sum _ {j = 1} ^ { infty} mu (S_ {j} cap A_ {i}) & = sum _ {j = 1} ^ { infty} sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot mu (S_ {j} cap A_ {i} ) & = sum _ {j = 1} ^ { infty} int _ {S_ {j}} s , d mu & = sum _ {j = 1} ^ { infty} nu (S_ {j}), end {align}}}$

как требуется.

«Преемственность снизу»

Следующее свойство является прямым следствием определения меры.

Лемма 2. Позволять ${ displaystyle mu}$ быть мерой, и ${ Displaystyle S = bigcup _ {я = 1} ^ { infty} S_ {я}}$, где

${ Displaystyle S_ {1} substeq cdots substeq S_ {я} substeq S_ {я + 1} substeq cdots substeq S}$

- неубывающая цепь со всеми ее множествами ${ displaystyle mu}$-измеримый. потом

${ displaystyle mu (S) = lim _ {i} mu (S_ {i}).}$

Доказательство теоремы

Шаг 1. Начнем с того, что покажем ${ displaystyle f}$ является ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$–Измеримо.^{[3](Раздел 21.3)}

Заметка. Если бы мы использовали лемму Фату, измеримость легко следовала бы из замечания 3 (а).

Сделать это без используя лемму Фату, достаточно показать, что прообраз интервала ${ displaystyle [0, t]}$ под ${ displaystyle f}$ является элементом сигма-алгебра ${ displaystyle Sigma}$ на ${ displaystyle X}$, потому что (замкнутые) интервалы порождают Борелевская сигма-алгебра на реалах. поскольку ${ displaystyle [0, t]}$ - отрезок, и для каждого ${ displaystyle k}$, ${ Displaystyle 0 Leq F_ {к} (х) Leq F (х)}$,

${ displaystyle 0 leq f (x) leq t quad Leftrightarrow quad { Bigl [} forall k quad 0 leq f_ {k} (x) leq t { Bigr]}.}$

Таким образом,

${ displaystyle {x in X mid 0 leq f (x) leq t } = bigcap _ {k} {x in X mid 0 leq f_ {k} (x) leq t }.}$

Будучи инверсией Набор Бореля под ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-измеримая функция ${ displaystyle f_ {k}}$, каждое множество в счетном пересечении является элементом ${ displaystyle Sigma}$. поскольку ${ displaystyle sigma}$-алгебры по определению замкнуты относительно счетных пересечений, это показывает, что ${ displaystyle f}$ является ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-измеримая, а интегральная ${ Displaystyle textstyle int _ {X} е , д му}$ хорошо определено (и, возможно, бесконечно).

Шаг 2. Сначала мы покажем, что ${ displaystyle textstyle int _ {X} f , d mu geq lim _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu.}$

Определение ${ displaystyle f}$ и монотонность ${ Displaystyle {е_ {к} }}$ подразумевают, что ${ Displaystyle е (х) geq f_ {к} (х)}$, для каждого ${ displaystyle k}$ и каждый ${ displaystyle x in X}$. По монотонности (точнее, ее более узкой версии, установленной в замечании 5; см. Также замечание 4) интеграла Лебега

${ displaystyle int _ {X} е , d mu geq int _ {X} f_ {k} , d mu,}$

и

${ displaystyle int _ {X} f , d mu geq lim _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu.}$

Отметим, что предел справа существует (конечный или бесконечный), поскольку из-за монотонности (см. Замечание 5 и замечание 4) последовательность неубывающая.

Конец шага 2.

Докажем обратное неравенство. Мы стремимся показать, что

${ displaystyle int _ {X} е , d mu leq lim _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu}$.

Доказательство с помощью леммы Фату. Согласно замечанию 3 неравенство, которое мы хотим доказать, эквивалентно

${ Displaystyle int _ {X} liminf _ {k} f_ {k} (x) , d mu leq liminf _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu .}$

Но последнее немедленно следует из леммы Фату, и доказательство завершено.

Независимое доказательство. Чтобы доказать неравенство без используя лемму Фату, нам понадобится дополнительный механизм. Обозначить ${ displaystyle operatorname {SF} (f)}$ набор простых ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-измеримые функции ${ displaystyle s: X to [0, infty)}$ такой, что${ displaystyle 0 leq s leq f}$ на ${ displaystyle X}$.

Шаг 3. Учитывая простую функцию ${ displaystyle s in operatorname {SF} (f)}$ и реальное число ${ Displaystyle т в (0,1)}$, определить

${ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} = {x in X mid t cdot s (x) leq f_ {k} (x) } substeq X.}$

потом ${ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} in Sigma}$, ${ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} substeq B_ {k + 1} ^ {s, t}}$, и ${ displaystyle textstyle X = bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t}}$.

Шаг 3а. Чтобы доказать первое утверждение, пусть ${ displaystyle textstyle s = sum _ {я = 1} ^ {m} c_ {i} cdot { mathbf {1}} _ {A_ {i}}}$, для некоторого конечного набора попарно непересекающихся измеримых множеств ${ displaystyle A_ {i} in Sigma}$ такой, что ${ Displaystyle textstyle X = чашка _ {я = 1} ^ {m} A_ {я}}$, некоторые (конечные) неотрицательные константы ${ displaystyle c_ {i} in { mathbb {R}} _ { geq 0}}$, и ${ displaystyle { mathbf {1}} _ {A_ {i}}}$ обозначающие индикаторную функцию набора ${ displaystyle A_ {i}}$.

Для каждого ${ displaystyle x in A_ {i},}$ ${ Displaystyle т cdot s (х) leq f_ {к} (х)}$ выполняется тогда и только тогда, когда ${ displaystyle f_ {k} (x) in [t cdot c_ {i}, + infty].}$ Учитывая, что множества ${ displaystyle A_ {i}}$ попарно не пересекаются,

${ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} = bigcup _ {i = 1} ^ {m} { Bigl (} f_ {k} ^ {- 1} { Bigl (} [t cdot c_ {i}, + infty] { Bigr)} cap A_ {i} { Bigr)}.}$

Поскольку прообраз ${ displaystyle f_ {k} ^ {- 1} { Bigl (} [t cdot c_ {i}, + infty] { Bigr)}}$ множества Бореля${ Displaystyle [т cdot c_ {я}, + infty]}$ под измеримой функцией ${ displaystyle f_ {k}}$ измеримо, и ${ displaystyle sigma}$-алгебры, по определению, замкнуты относительно конечных пересечений и объединений, следует первое утверждение.

Шаг 3б. Чтобы доказать второе утверждение, отметим, что для каждого ${ displaystyle k}$ и каждый ${ displaystyle x in X}$, ${ displaystyle f_ {k} (x) leq f_ {k + 1} (x).}$

Шаг 3c. Для доказательства третьего утверждения покажем, что ${ displaystyle textstyle X substeq bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t}}$.

Действительно, если, наоборот, ${ displaystyle textstyle X not substeq bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t}}$, то элемент

${ displaystyle textstyle x_ {0} in X setminus bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t} = bigcap _ {k} (X setminus B_ {k} ^ {s, t })}$

существует такое, что ${ displaystyle f_ {k} (x_ {0})$, для каждого ${ displaystyle k}$. Принимая предел как ${ Displaystyle к к infty}$, мы получаем

${ displaystyle f (x_ {0}) leq t cdot s (x_ {0})$

Но по первоначальному предположению ${ displaystyle s leq f}$. Получили противоречие.

Шаг 4. Для каждого простого ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-измеримая неотрицательная функция ${ displaystyle s_ {2}}$,

${ displaystyle lim _ {n} int _ {B_ {n} ^ {s, t}} s_ {2} , d mu = int _ {X} s_ {2} , d mu. }$

Чтобы доказать это, определим ${ displaystyle textstyle nu (S) = int _ {S} s_ {2} , d mu}$. По лемме 1 ${ Displaystyle Nu (S)}$ это мера на ${ displaystyle Omega}$. По «непрерывности снизу» (лемма 2)

${ displaystyle lim _ {n} int _ {B_ {n} ^ {s, t}} s_ {2} , d mu = lim _ {n} nu (B_ {n} ^ {s , t}) = nu (X) = int _ {X} s_ {2} , d mu,}$

как требуется.

Шаг 5. Теперь докажем, что для каждого ${ displaystyle s in operatorname {SF} (f)}$,

${ displaystyle int _ {X} s , d mu leq lim _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu.}$

Действительно, используя определение ${ displaystyle B_ {k} ^ {s, t}}$, неотрицательность ${ displaystyle f_ {k}}$, и монотонности интеграла Лебега (см. замечание 5 и 4), имеем

${ displaystyle int _ {B_ {k} ^ {s, t}} t cdot s , d mu leq int _ {B_ {k} ^ {s, t}} f_ {k} , d mu leq int _ {X} f_ {k} , d mu,}$

для каждого ${ Displaystyle к geq 1}$. В соответствии с шагом 4, поскольку ${ Displaystyle к к infty}$, неравенство принимает вид

${ displaystyle t int _ {X} s , d mu leq lim _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu.}$

Принимая предел как ${ displaystyle t uparrow 1}$ дает

${ displaystyle int _ {X} s , d mu leq lim _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu,}$

как требуется.

Шаг 6. Теперь мы можем доказать обратное неравенство, т.е.

${ displaystyle int _ {X} f , d mu leq lim _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu.}$

В самом деле, по неотрицательности ${ displaystyle f _ {+} = f}$ и ${ displaystyle f _ {-} = 0.}$ Для расчета ниже неотрицательность ${ displaystyle f}$ важно. Применяя определение интеграла Лебега и неравенство, установленное на шаге 5, имеем

${ displaystyle int _ {X} е , d mu = sup _ {s in operatorname {SF} (f)} int _ {X} s , d mu leq lim _ { k} int _ {X} f_ {k} , d mu.}$

Доказательство окончено.

Смотрите также