Анри Лебег - Henri Lebesgue

Для теоретика чисел см. Виктор-Амеде Лебег.
Не путать с французским палеографом Анри Лебег
Анри Лебег
Лебег 2.jpeg
Родился(1875-06-28)28 июня 1875 г.
Бове, Уаз, Франция
Умер26 июля 1941 г.(1941-07-26) (66 лет)
Париж, Франция
НациональностьФранцузский
Альма-матерÉcole Normale Supérieure
Парижский университет
ИзвестенИнтеграция Лебега
Мера Лебега
НаградыЧлен Королевского общества[1]
Приз Понселе на 1914 год[2]
Научная карьера
ПоляМатематика
УчрежденияРеннский университет
Университет Пуатье
Парижский университет
Коллеж де Франс
ДокторантЭмиль Борель
ДокторантыПоль Монтель
Зигмунт Янишевский
Жорж де Рам

Анри Леон Лебег ForMemRS[1] (Французский:[ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ]; 28 июня 1875 - 26 июля 1941) Французский математик известен своим теория интеграции, который был обобщением концепции интеграции 17-го века - суммирования площади между осью и кривой функции, определенной для этой оси. Его теория была первоначально опубликована в его диссертации. Intégrale, longueur, aire («Целое, длина, площадь») на Университет Нанси в течение 1902 г.[3][4]

Личная жизнь

Анри Лебег родился 28 июня 1875 г. в г. Бове, Уаз. Отец Лебега был наборщик и его мать была школой учитель. Его родители собрали дома библиотеку, которой юный Анри мог пользоваться. Его отец умер от туберкулез когда Лебег был еще очень молод, и его мать должна была содержать его сама. Поскольку он показал замечательный талант к математике в начальной школе, один из его преподавателей организовал поддержку сообщества, чтобы продолжить его образование в школе. Коллеж де Бове а затем в Lycée Saint-Louis и Lycée Louis-le-Grand в Париж.[5]

В 1894 году Лебег был принят в École Normale Supérieure, где он продолжал сосредотачивать свою энергию на изучении математики, получив высшее образование в 1897 году. После окончания он оставался в Высшей школе нормального образования в течение двух лет, работая в библиотеке, где ему стало известно об исследовании прерывность сделано в то время Рене-Луи Бэр, недавний выпускник школы. В то же время он поступил в аспирантуру Сорбонна, где он узнал о Эмиль Борель работа над зарождающимся теория меры и Камилла Джордан работает над Мера Иордании. В 1899 году он перешел на преподавательскую должность в Центральном лицее в г. Нэнси, продолжая работу над докторской степенью. В 1902 году он получил Кандидат наук. из Сорбонны с основополагающей диссертацией на тему «Интеграл, длина, площадь», представленной Борелем, на четыре года старше, в качестве советника.[6]

Лебег женился на сестре одного из своих сокурсников, и у него и его жены было двое детей, Сюзанна и Жак.

После публикации диссертации Лебегу в 1902 году предложили должность в Реннский университет, читавший там лекции до 1906 г., когда он перешел на факультет наук Университет Пуатье. В 1910 году Лебег переехал в Сорбонну в качестве maître de conférences, получив звание профессора с 1919 года. В 1921 году он покинул Сорбонну, чтобы стать профессором математики в Коллеж де Франс, где он читал лекции и проводил исследования до конца своей жизни.[7] В 1922 году он был избран членом Академия наук. Анри Лебег умер 26 июля 1941 г. Париж.[6]

Математическая карьера

Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions primitives, 1904

Первая статья Лебега была опубликована в 1898 году и называлась «Sur l'approximation des fonctions». Это касалось Weierstrass Теорема о приближении непрерывных функций многочленами. С марта 1899 г. по апрель 1901 г. Лебег опубликовал шесть заметок в Comptes Rendus. Первый из них, не связанный с его разработкой интеграции Лебега, касался расширения Теорема Бэра функциям двух переменных. Следующие пять касались поверхностей, применимых к плоскости, области перекоса. полигоны, поверхностные интегралы минимальной площади с заданной границей, а в заключительном примечании дается определение интегрирования Лебега для некоторой функции f (x). Великий тезис Лебега, Intégrale, longueur, aireс полным описанием этой работы, появилась в Annali di Matematica в 1902 году. Первая глава развивает теорию меры (см. Мера Бореля ). Во второй главе он определяет интеграл геометрически и аналитически. Следующие главы расширяют Comptes Rendus примечания, касающиеся длины, площади и применимых поверхностей. Последняя глава в основном посвящена Проблема плато. Эта диссертация считается одной из лучших, когда-либо написанных математиком.[1]

Его лекции с 1902 по 1903 год были собраны в "Борель тракт " Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives. Проблема интеграции, рассматриваемая как поиск примитивной функции, является лейтмотивом книги. Лебег представляет проблему интеграции в ее историческом контексте, обращаясь к Огюстен-Луи Коши, Питер Густав Лежен Дирихле, и Бернхард Риманн. Лебег представляет шесть условий, которым желательно, чтобы интеграл удовлетворял, последнее из которых: «Если последовательность fп(x) возрастает до предела f (x), интеграл от fп(x) стремится к интегралу от f (x) ». Лебег показывает, что его условия приводят к теория меры и измеримые функции а также аналитическое и геометрическое определения интеграла.

Он повернулся к тригонометрический работает с его статьей 1903 года "Sur les séries trigonométriques". В этой работе он представил три основные теоремы: что тригонометрический ряд, представляющий ограниченную функцию, является рядом Фурье, что nth Коэффициент Фурье стремится к нулю ( Лемма Римана – Лебега. ), и что a Ряд Фурье интегрируемо почленно. В 1904–1905 годах Лебег снова читал лекции в Коллеж де Франс, на этот раз по тригонометрическим рядам, и он продолжил публиковать свои лекции в другом из «Борелевских трактатов». В этом трактате он снова рассматривает предмет в историческом контексте. Он излагает ряды Фурье, теорию Кантора-Римана, Интеграл Пуассона и Задача Дирихле.

В статье 1910 года «Тригонометрический подход к репрезентации функций, удовлетворяющих одному условию Липшица» рассматривается ряд Фурье функций, удовлетворяющих условию Липшица. Условие Липшица, с оценкой порядка величины остаточного члена. Он также доказывает, что Лемма Римана – Лебега. является наилучшим возможным результатом для непрерывных функций и дает некоторую обработку Константы Лебега.

Лебег однажды написал: «Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans contenu». («Сведенная к общим теориям, математика была бы прекрасной формой без содержания».)

В теоретико-мерном анализе и смежных разделах математики Интеграл Лебега – Стилтьеса. обобщает интегрирование Римана – Стилтьеса и Лебега, сохраняя многие преимущества последнего в более общей теории меры.

В течение своей карьеры Лебег также совершал набеги на сферы комплексный анализ и топология. У него также были разногласия с Эмиль Борель о том, чей интеграл был более общим.[8][9][10][11] Однако эти незначительные набеги бледнеют по сравнению с его вкладом в реальный анализ; его вклад в эту область оказал огромное влияние на форму поля сегодня, и его методы стали неотъемлемой частью современного анализа. Они имеют важные практические последствия для фундаментальной физики, о которых Лебег совершенно не подозревал, как указано ниже.

Теория интеграции Лебега

Аппроксимация интеграла Римана прямоугольными участками.
Это исторический обзор. Для технической математической обработки см. Интеграция Лебега.

Интеграция это математическая операция, которая соответствует неформальной идее поиска площадь под график из функция. Первая теория интеграции была разработана Архимед в 3 веке до нашей эры своим методом квадратуры, но это могло быть применено только в ограниченных обстоятельствах с высокой степенью геометрической симметрии. В 17 веке Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц открыл идею о том, что интеграция неразрывно связана с дифференциация Последнее является способом измерения скорости изменения функции в любой заданной точке графика. Эта удивительная взаимосвязь между двумя основными геометрическими операциями в исчислении, дифференцированием и интегрированием, теперь известна как Основная теорема исчисления. Это позволило математикам впервые вычислить широкий класс интегралов. Однако в отличие от метода Архимеда, основанного на Евклидова геометрия математики считали, что теории Ньютона и Лейбница интегральное исчисление не имело строгого фундамента.

В 19 веке, Огюстен Коши развитая эпсилон-дельта пределы, и Бернхард Риманн после этого формализовала то, что сейчас называется Интеграл Римана. Чтобы определить этот интеграл, нужно заполнить область под графиком все меньшими и меньшими прямоугольники и берет предел суммы площадей прямоугольников на каждом этапе. Однако для некоторых функций общая площадь этих прямоугольников не приближается к единому числу. Как таковые, они не имеют интеграла Римана.

Лебег изобрел новый метод интеграции для решения этой проблемы: вместо использования площадей прямоугольников, в которых акцент делается на домен функции, Лебег посмотрел на codomain функции для его фундаментальной единицы площади. Идея Лебега заключалась в том, чтобы сначала определить меру как для множеств, так и для функций на этих множествах. Затем он приступил к построению интеграла для того, что он назвал простые функции; измеримые функции, которые принимают только конечно много значений. Затем он определил его для более сложных функций как наименьшая верхняя граница всех интегралов от простых функций, меньших, чем рассматриваемая функция.

Интегрирование Лебега обладает тем свойством, что каждая функция, определенная на ограниченном интервале с интегралом Римана, также имеет интеграл Лебега, и для этих функций два интеграла согласуются. Кроме того, каждая ограниченная функция на замкнутом ограниченном интервале имеет интеграл Лебега, и есть много функций с интегралом Лебега, которые не имеют интеграла Римана.

В рамках развития интеграции Лебега Лебег изобрел концепцию мера, что расширяет идею длина от интервалов до очень большого класса множеств, называемых измеримыми множествами (точнее, простые функции являются функциями, которые принимают конечное число значений, и каждое значение берется на измеримом множестве) .Техника Лебега для поворота мера в интеграл легко обобщается на многие другие ситуации, что приводит к современной области теория меры.

Интеграл Лебега недостаточен в одном отношении: интеграл Римана обобщается на несобственный интеграл Римана для измерения функций, область определения которых не является закрытый интервал.Интеграл Лебега объединяет многие из этих функций (всегда воспроизводя один и тот же ответ, когда он это делает), но не все из них. Хенсток интеграл представляет собой еще более общее понятие интеграла (основанное на теории Римана, а не на теории Лебега), которое включает в себя как интегрирование Лебега, так и несобственное интегрирование Римана. Однако интеграл Хенстока зависит от конкретных упорядочивающих характеристик реальная линия и поэтому не обобщает, чтобы позволить интегрирование в более общих пространствах (скажем, коллекторы ), тогда как интеграл Лебега распространяется на такие пространства вполне естественно.

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ а б c Буркилл, Дж. (1944). «Анри Лебег. 1875-1941». Уведомления о некрологе членов Королевского общества. 4 (13): 483–490. Дои:10.1098 / рсбм.1944.0001. JSTOR  768841. S2CID  122854745.
  2. ^ "Премии Парижской академии наук за 1914 год". Природа. 94 (2358): 518–519. 7 января 1915 г. Дои:10.1038 / 094518a0.
  3. ^ Анри Лебег на Проект "Математическая генеалогия"
  4. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Анри Лебег", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
  5. ^ Хокинг, Стивен В. (2005). Бог создал целые числа: математические открытия, изменившие историю. Запуск Press. С. 1041–87. ISBN  978-0-7624-1922-7.
  6. ^ а б МакЭлрой, Такер (2005). От А до Я математиков. Публикация информационной базы. стр.164. ISBN  978-0-8160-5338-4.
  7. ^ Перрин, Луи (2004). «Анри Лебег: обновление современного анализа». В Le Lionnais, Франсуа (ред.). Великие течения математической мысли. 1 (2-е изд.). Courier Dover Publications. ISBN  978-0-486-49578-1.
  8. ^ Песин, Иван Н. (2014). Birnbaum, Z. W .; Лукач, Э. (ред.). Классическая и современная теории интеграции. Академическая пресса. п. 94. ISBN  9781483268699. Утверждение Бореля о том, что его интеграл является более общим по сравнению с интегралом Лебега, послужило причиной спора между Борелем и Лебегом на страницах книги. Annales de l'École Supérieure 35 (1918), 36 (1919), 37 (1920)
  9. ^ Лебег, Анри (1918). "Remarques sur les théories de la mesure et de l'intégration" (PDF). Annales de l'École Supérieure. 35: 191–250. Дои:10.24033 / asens.707.
  10. ^ Борель, Эмиль (1919). "L'intégration des fonctions nonbornées" (PDF). Annales de l'École Supérieure. 36: 71–92. Дои:10.24033 / asens.713.
  11. ^ Лебег, Анри (1920). "Sur une définition due à M. Borel (lettre à M. le Directeur des Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure)" (PDF). Annales de l'École Supérieure. 37: 255–257. Дои:10.24033 / asens.725.

внешние ссылки