Мера Иордании - Jordan measure

В математика, то Мера Пеано – Жордана (также известный как Содержание Иордании) является расширением понятия размера (длина, площадь, объем ) для форм более сложных, чем, например, треугольник, диск, или же параллелепипед.

Оказывается, что для того, чтобы у набора была мера Джордана, необходимо хорошо воспитанный в определенном ограничительном смысле. По этой причине сейчас чаще работают с Мера Лебега, который является расширением жордановой меры на более широкий класс множеств. С исторической точки зрения, Иорданская мера была первой, ближе к концу девятнадцатого века. По историческим причинам термин Мера Иордании теперь хорошо установлено, несмотря на то, что это не истинная мера в ее современном определении, поскольку измеримые по Жордану множества не образуют σ-алгебру. Например, одиночные наборы ${ Displaystyle {х } _ {х in mathbb {R}}}$в ${ Displaystyle mathbb {R}}$ мера Жордана равна 0, а ${ Displaystyle mathbb {Q} cap [0,1]}$их счетное объединение не измеримо по Жордану.^[1] По этой причине некоторые авторы^[2] предпочитаю использовать термин Содержание Иордании (см. статью о содержание ).

Мера Пеано – Жордана названа в честь ее создателя, французского математика. Камилла Джордан, и итальянский математик Джузеппе Пеано.^[3]

Жорданова мера «простых множеств»

Простой набор по определению представляет собой объединение (возможно, перекрывающихся) прямоугольников.

Простой набор сверху разложен на объединение неперекрывающихся прямоугольников.

Рассмотрим Евклидово пространство р^п. Начнем с рассмотрения продуктов ограниченный интервалы

${ displaystyle C = [a_ {1}, b_ {1}) times [a_ {2}, b_ {2}) times cdots times [a_ {n}, b_ {n})}$

которые закрываются на левом конце и открываются на правом конце (полуоткрытые интервалы - это технический выбор; как мы увидим ниже, можно использовать закрытые или открытые интервалы, если желательно). Такой набор назовем п-размерный прямоугольник, или просто прямоугольник. Один определяет Мера Иордании такого прямоугольника будет произведением длин интервалов:

${ displaystyle m (C) = (b_ {1} -a_ {1}) (b_ {2} -a_ {2}) cdots (b_ {n} -a_ {n}).}$

Далее рассматривается простые наборыиногда называют полипрямоугольники, которые конечны союзы прямоугольников,

${ Displaystyle S = C_ {1} чашка C_ {2} чашка cdots чашка C_ {k}}$

для любогоk ≥ 1.

Невозможно определить жорданову меру S как просто сумму мер отдельных прямоугольников, потому что такое представление S далеко не уникален, и между прямоугольниками может быть значительное перекрытие.

К счастью, любой такой простой набор S можно переписать как объединение другого конечного семейства прямоугольников, прямоугольников, которые на этот раз являются взаимно непересекающийся, а затем определяется мера Жордана м(S) как сумму мер непересекающихся прямоугольников.

Можно показать, что это определение жордановой меры S не зависит от представления S как конечное объединение непересекающихся прямоугольников. Именно на этапе «переписывания» используется предположение, что прямоугольники составлены из полуоткрытых интервалов.

Расширение на более сложные наборы

Множество (представленное на рисунке областью внутри синей кривой) измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда оно может быть хорошо аппроксимировано как изнутри, так и снаружи простыми наборами (их границы показаны темно-зеленым и темно-розовым цветом соответственно) .

Обратите внимание, что набор, который является продуктом закрытых интервалов,

${ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] times [a_ {2}, b_ {2}] times cdots times [a_ {n}, b_ {n}]}$

не простой набор, и мяч. Таким образом, пока набор измеримых по Жордану множеств все еще очень ограничен. Ключевым шагом затем является определение ограниченного множества как Иордания измеримая если она "хорошо аппроксимируется" простыми наборами, точно так же, как функция Интегрируемый по Риману если он хорошо аппроксимируется кусочно-постоянными функциями.

Формально для ограниченного множества Bопределить его внутренняя мера Иордании так как

${ Displaystyle м _ {*} (В) = sup _ {S подмножество В} м (S)}$

и это внешняя мера так как

${ Displaystyle м ^ {*} (В) = inf _ {S supset B} м (S)}$

где инфимум и супремум берутся по простым множествам S. Набор B называется измеримой по Жордану, если внутренняя мера B равна внешней мере. Общее значение двух мер тогда просто называется мерой Жордана B.

Получается, что все прямоугольники (открытые или закрытые), а также все шары, симплексы и т. д. измеримы по Жордану. Кроме того, если учесть два непрерывные функции, множество точек между графиками этих функций измеримо по Жордану, пока это множество ограничено, а общая область определения двух функций измерима по Жордану. Любое конечное объединение и пересечение измеримых по Жордану множеств измеримо по Жордану, как и установить разницу любых двух измеримых по Жордану множеств. А компактный набор не обязательно измерима по Жордану. Например, толстый набор кантора не является. Его внутренняя жорданова мера равна нулю, так как его дополнять является плотный; однако его внешняя жорданова мера не обращается в нуль, так как она не может быть меньше (фактически равна) ее меры Лебега. Кроме того, ограниченный открытый набор не обязательно измерима по Жордану. Например, дополнение толстого набора Кантора (в пределах интервала) - нет. Ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его индикаторная функция является Интегрируемый по Риману, а значение интеграла - его жорданова мера.[1]

Эквивалентно для ограниченного множества B внутренняя жорданова мера B - мера Лебега интерьер из B а внешняя мера Жордана - это мера Лебега закрытие.^[4] Отсюда следует, что ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет нулевую меру Лебега. (Или, что то же самое, если граница имеет нулевую жорданову меру; эквивалентность выполняется благодаря компактности границы.)

Мера Лебега

Это последнее свойство сильно ограничивает типы множеств, измеримых по Жордану. Например, набор рациональное число тогда, содержащийся в интервале [0,1], не измерим по Жордану, так как его граница равна [0,1], которая не имеет нулевой жордановой меры. Однако интуитивно понятно, что набор рациональных чисел - это «маленький» набор, так как он счетный, и он должен иметь нулевой "размер". Это действительно так, но только если заменить меру Жордана на Мера Лебега. Мера Лебега набора такая же, как его мера Жордана, если это множество имеет меру Жордана. Однако мера Лебега определена для гораздо более широкого класса множеств, таких как множество рациональных чисел в интервале, упомянутом ранее, а также для множеств, которые могут быть неограниченными или фракталы. Кроме того, мера Лебега, в отличие от меры Жордана, является истинным мера, то есть любое счетное объединение измеримых по Лебегу множеств измеримо по Лебегу, в то время как счетные объединения измеримых по Жордану множеств не обязательно должны быть измеримыми по Жордану.

Рекомендации

• Эммануэле ДиБенедетто (2002). Реальный анализ. Базель, Швейцария: Birkhäuser. ISBN  0-8176-4231-5.
• Ричард Курант; Фриц Джон (1999). Введение в исчисление и анализ Том II / 1: главы 1–4 (Классические занятия по математике). Берлин: Springer. ISBN  3-540-66569-2.

внешняя ссылка

• Дервент, Джон. «Джордан Мера». MathWorld.
• Терехин, А.П. (2001) [1994], «Иорданская мера», Энциклопедия математики, EMS Press