Треугольник - Triangle

Равносторонний треугольник
Правильный треугольник
Тип	Правильный многоугольник
Края и вершины	3
Символ Шлефли	{3}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D3), порядок 2 × 3
Внутренний угол (градусы )	60°
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый, циклический, равносторонний, изогональный, изотоксальный

Треугольник
Треугольник
Края и вершины	3
Символ Шлефли	{3} (для равносторонних)
Площадь	различные методы; Смотри ниже
Внутренний угол (градусы )	60 ° (для равностороннего)

Треугольник = Треугольник (три) + Угол

А треугольник это многоугольник с тремя края и три вершины. Это один из основных формы в геометрия. Треугольник с вершинами А, B, и C обозначается ${displaystyle riangle ABC}$.^[1]

В Евклидова геометрия, любые три точки, если неколлинеарен, определить уникальный треугольник и одновременно уникальный самолет (т.е. двумерный Евклидово пространство ). Другими словами, есть только одна плоскость, которая содержит этот треугольник, и каждый треугольник содержится в некоторой плоскости. Если вся геометрия - это только Евклидова плоскость, есть только одна плоскость и все треугольники содержатся в ней; однако в многомерных евклидовых пространствах это уже не так. Эта статья посвящена треугольникам в евклидовой геометрии и, в частности, евклидовой плоскости, если не указано иное.

Виды треугольника

Диаграмма Эйлера типов треугольников, используя определение, что равнобедренные треугольники имеют по меньшей мере 2 равные стороны (т.е. равносторонние треугольники равнобедренные).

По длине сторон

Треугольники можно классифицировать по длине их сторон:^[2][3]

• An равносторонний треугольник имеет три стороны одинаковой длины. Равносторонний треугольник тоже правильный многоугольник со всеми углами 60 °.^[4]
• An равнобедренный треугольник имеет две стороны равной длины.^{[примечание 1][5]} Равнобедренный треугольник также имеет два угла одной меры, а именно углы, противоположные двум сторонам одинаковой длины. Этот факт составляет содержание теорема о равнобедренном треугольнике, который был известен Евклид. Некоторые математики определяют равнобедренный треугольник как имеющий ровно две равные стороны, тогда как другие определяют равнобедренный треугольник как равнобедренный треугольник. по меньшей мере две равные стороны.^[5] Последнее определение сделало бы все равносторонние треугольники равнобедренными треугольниками. Правый треугольник 45–45–90, который появляется в квадратная плитка тетракис, равнобедренный.
• А неравносторонний треугольник имеет все стороны разной длины.^[6] Равно как и все углы разной меры.

Равносторонний	Равнобедренный	Неравносторонний

Метки штриховки, также называемые отметками, используются на схемах треугольников и других геометрических фигур для обозначения сторон равной длины.^[1] Сторона может быть обозначена рисунком «галочки», короткие отрезки линии в виде отметки; две стороны имеют одинаковую длину, если они отмечены одинаковым рисунком. В треугольнике фигура обычно не более 3 тиков. Равносторонний треугольник имеет одинаковый узор на всех трех сторонах, равнобедренный треугольник имеет одинаковый узор только на двух сторонах, а равносторонний треугольник имеет разные узоры на всех сторонах, поскольку нет равных сторон.

Точно так же образцы 1, 2 или 3 концентрических дуг внутри углов используются для обозначения равных углов: равносторонний треугольник имеет одинаковый узор на всех трех углах, равнобедренный треугольник имеет тот же узор только на 2 углах, а равносторонний треугольник имеет разные узоры на всех углах, поскольку углы не равны.

По внутренним углам

Треугольники также можно классифицировать по их внутренние углы, измеряется здесь в градусы.

• А прямоугольный треугольник (или же прямоугольный треугольник, ранее назывался прямоугольный треугольник) имеет один из внутренних углов равный 90 ° (a прямой угол ). Сторона, противоположная прямому углу, - это гипотенуза, самая длинная сторона треугольника. Две другие стороны называются ноги или же катети^[7] (единственное число: катет ) треугольника. Правые треугольники подчиняются теорема Пифагора: сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы: а² + б² = c², куда а и б длина ног и c - длина гипотенузы. Специальные прямоугольные треугольники прямоугольные треугольники с дополнительными свойствами, которые упрощают их вычисления. Один из двух самых известных - прямоугольный треугольник 3–4–5, где 3² + 4² = 5². В этой ситуации 3, 4 и 5 являются Пифагорейская тройка. Другой - равнобедренный треугольник с двумя углами по 45 градусов (треугольник 45–45–90).
• Треугольники, угол которых не равен 90 °, называются косые треугольники.
• Треугольник со всеми внутренними углами менее 90 ° является острый треугольник или же остроугольный треугольник.^[3] Если c длина самой длинной стороны, тогда а² + б² > c², куда а и б - длины других сторон.
• Треугольник с одним внутренним углом более 90 ° является тупой треугольник или же тупоугольный треугольник.^[3] Если c длина самой длинной стороны, тогда а² + б² < c², куда а и б - длины других сторон.
• Треугольник с внутренним углом 180 ° (и коллинеарен вершины) выродиться.
• Правый вырожденный треугольник имеет коллинеарные вершины, две из которых совпадают.

Треугольник с двумя углами одинаковой длины также имеет две стороны одинаковой длины, поэтому он является равнобедренным треугольником. Отсюда следует, что в треугольнике, у которого все углы одинаковы, все три стороны имеют одинаковую длину и, следовательно, равносторонние.

Правильно	Тупой	Острый
	${displaystyle underbrace {qquad qquad qquad qquad qquad qquad} _ {}}$
	Косой

Основные факты

Треугольник, показывающий внешний угол d.

Предполагается, что треугольники состоят из двух частей.размерный плоские фигуры, если контекст не предусматривает иное (см. Непланарные треугольники, ниже). Поэтому при строгом лечении треугольник называют 2-симплекс (смотрите также Многогранник ). Элементарные факты о треугольниках были представлены Евклид, в книгах 1–4 его Элементы, написанная около 300 г. до н. э.

Меры внутренних углов треугольника всегда составляют в сумме 180 градусов (один и тот же цвет, чтобы указать, что они равны).

В сумма мер внутренних углов треугольника в Евклидово пространство всегда 180 градусов.^[8][3] Этот факт эквивалентен Евклиду. параллельный постулат. Это позволяет определить меру третьего угла любого треугольника, учитывая меру двух углов. An внешний угол треугольника - это угол, который является линейной парой (и, следовательно, дополнительный ) до внутреннего угла. Мера внешнего угла треугольника равна сумме мер двух внутренних углов, не прилегающих к нему; это теорема о внешнем угле. Сумма измерений трех внешних углов (по одному на каждую вершину) любого треугольника составляет 360 градусов.^{[заметка 2]}

Сходство и соответствие

Два треугольника называются похожий, если каждый угол одного треугольника имеет ту же меру, что и соответствующий угол в другом треугольнике. Соответствующие стороны подобных треугольников имеют одинаковую длину, и этого свойства также достаточно для установления подобия.

Некоторые основные теоремы Примерно похожие треугольники:

• Если и только если одна пара внутренних углов двух треугольников имеет ту же меру, что и друг друга, а другая пара также имеет ту же меру, что и друг друга, треугольники похожи.
• Если и только если одна пара соответствующих сторон двух треугольников находится в той же пропорции, что и другая пара соответствующих сторон, и их углы имеют одинаковую меру, тогда треугольники подобны. (The включенный угол для любых двух сторон многоугольника - это внутренний угол между этими двумя сторонами.)
• Если и только если три пары соответствующих сторон двух треугольников находятся в одной пропорции, то треугольники подобны.^{[заметка 3]}

Два треугольника, которые конгруэнтный иметь точно такой же размер и форму:^{[примечание 4]} все пары соответствующих внутренних углов равны по мере, и все пары соответствующих сторон имеют одинаковую длину. (Всего шесть равенств, но трех часто бывает достаточно, чтобы доказать соответствие.)

Некоторые индивидуально необходимые и достаточные условия для конгруэнтности пары треугольников:

• Постулат SAS: две стороны в треугольнике имеют такую ​​же длину, как две стороны в другом треугольнике, и включенные углы имеют ту же меру.
• ASA: два внутренних угла и сторона, входящая в треугольник, имеют те же размеры и длину, что и в другом треугольнике. (The включенная сторона для пары углов - это общая для них сторона.)
• SSS: каждая сторона треугольника имеет ту же длину, что и соответствующая сторона другого треугольника.
• AAS: два угла и соответствующая (не включенная) сторона в треугольнике имеют те же размеры и длину, соответственно, что и в другом треугольнике. (Иногда это называют AAcorrS а затем включает ASA выше.)

Некоторые индивидуально достаточные условия:

• Теорема гипотенузы-катета (HL): гипотенуза и катет в прямоугольном треугольнике имеют ту же длину, что и в другом прямоугольном треугольнике. Это также называется RHS (под прямым углом, гипотенуза, сторона).
• Теорема о гипотенузе-угле: гипотенуза и острый угол в одном прямоугольном треугольнике имеют ту же длину и размер, соответственно, что и в другом прямоугольном треугольнике. Это всего лишь частный случай теоремы AAS.

Важное условие:

• Условие Side-Side-Angle (или Angle-Side-Side): если две стороны и соответствующий невключенный угол треугольника имеют одинаковую длину и размер, соответственно, как и в другом треугольнике, то это нет достаточно, чтобы доказать соответствие; но если заданный угол противоположен более длинной стороне двух сторон, то треугольники совпадают. Теорема гипотенузы-ноги является частным случаем этого критерия. Условие Side-Side-Angle само по себе не гарантирует, что треугольники конгруэнтны, потому что один треугольник может иметь тупой угол, а другой - остроугольный.

Используя прямоугольные треугольники и концепцию подобия, тригонометрические функции синус и косинус могут быть определены. Это функции угол которые исследуются в тригонометрия.

Правые треугольники

Теорема Пифагора

Центральная теорема - это теорема Пифагора, что говорится в любом прямоугольный треугольник, квадрат длины гипотенуза равна сумме квадратов длин двух других сторон. Если гипотенуза имеет длину c, а ноги имеют длины а и б, то теорема утверждает, что

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}.}$

Верно и обратное: если длины сторон треугольника удовлетворяют приведенному выше уравнению, тогда треугольник имеет прямой угол с противоположной стороны. c.

Еще несколько фактов о прямоугольных треугольниках:

• Острые углы прямоугольного треугольника равны дополнительный.

${displaystyle a + b + 90 ^ {circ} = 180 ^ {circ} Правая стрелка a + b = 90 ^ {circ} Правая стрелка a = 90 ^ {circ} -b.}$

• Если стороны прямоугольного треугольника имеют одинаковую длину, то углы, противоположные этим сторонам, имеют одинаковую величину. Поскольку эти углы дополняют друг друга, каждый из них составляет 45 градусов. По теореме Пифагора длина гипотенузы равна длине катета, умноженной на √2.
• В прямоугольном треугольнике с острыми углами 30 и 60 градусов гипотенуза в два раза длиннее более короткой стороны, а длинная сторона равна длине коротких сторон. √3:

${displaystyle c = 2a,}$

${displaystyle b = a imes {sqrt {3}}.}$

Для всех треугольников углы и стороны связаны соотношением закон косинусов и закон синуса (также называемый правило косинуса и правило синуса).

Существование треугольника

Состояние по бокам

В неравенство треугольника утверждает, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше или равна длине третьей стороны. Эта сумма может равняться длине третьей стороны только в случае вырожденного треугольника с коллинеарными вершинами. Эта сумма не может быть меньше длины третьей стороны. Треугольник с тремя заданными положительными длинами сторон существует тогда и только тогда, когда эти длины сторон удовлетворяют неравенству треугольника.

Условия на углах

Три заданных угла образуют невырожденный треугольник (и действительно бесконечное их количество) тогда и только тогда, когда выполняются оба этих условия: (а) каждый из углов положителен, и (б) сумма углов равна 180 °. Если разрешены вырожденные треугольники, допустимы углы 0 °.

Тригонометрические условия

Три положительных угла α, β, и γ, каждая из которых меньше 180 °, являются углами треугольника если и только если выполняется одно из следующих условий:

${displaystyle an {frac {alpha} {2}} an {frac {eta} {2}} + an {frac {eta} {2}} an {frac {gamma} {2}} + an {frac {gamma} {2}} an {frac {alpha} {2}} = 1,}$^[9]

${displaystyle sin ^ {2} {frac {alpha} {2}} + sin ^ {2} {frac {eta} {2}} + sin ^ {2} {frac {gamma} {2}} + 2sin {frac {alpha} {2}} sin {frac {eta} {2}} sin {frac {gamma} {2}} = 1,}$^[9]

${displaystyle sin (2alpha) + sin (2 eta) + sin (2gamma) = 4sin (alpha) sin (eta) sin (gamma),}$

${displaystyle cos ^ {2} alpha + cos ^ {2} eta + cos ^ {2} gamma + 2cos (alpha) cos (eta) cos (gamma) = 1,}$^[10]

${displaystyle an (альфа) + an (эта) + an (гамма) = an (альфа) an (эта) an (гамма),}$

последнее равенство применяется только в том случае, если ни один из углов не равен 90 ° (поэтому значение касательной функции всегда конечно).

Точки, линии и круги, связанные с треугольником

Существуют тысячи различных конструкций, которые находят особую точку, связанную с (и часто внутри) треугольником, удовлетворяющую некоторым уникальным свойствам: см. Статью Энциклопедия центров треугольников для их каталога. Часто они строятся путем нахождения трех линий, симметрично связанных с тремя сторонами (или вершинами), и последующего доказательства того, что эти три линии встречаются в одной точке: важным инструментом для доказательства их существования является Теорема Чевы, что дает критерий определения, когда три такие линии одновременный. Точно так же прямые, ассоциированные с треугольником, часто строятся путем доказательства того, что три симметрично построенные точки являются коллинеарен: здесь Теорема Менелая дает полезный общий критерий. В этом разделе объясняются лишь некоторые из наиболее часто встречающихся конструкций.

В центр окружности - центр окружности, проходящей через три вершины треугольника.

А серединный перпендикуляр стороны треугольника - это прямая линия, проходящая через середина стороны и перпендикулярно ей, т.е. образует с ней прямой угол. Три серединных перпендикуляра встречаются в одной точке, треугольник центр окружности, обычно обозначаемый О; эта точка - центр описанный круг, то круг проходя через все три вершины. Диаметр этого круга, называемый окружной диаметр, можно найти из указанного выше закона синусов. Радиус описанной окружности называется по окружности.

Теорема Фалеса означает, что если центр описанной окружности расположен на стороне треугольника, то противоположный угол будет прямым. Если центр описанной окружности расположен внутри треугольника, то треугольник острый; если центр описанной окружности расположен вне треугольника, то треугольник тупой.

Пересечение высот - это ортоцентр.

An высота треугольника - это прямая линия, проходящая через вершину и перпендикулярная противоположной стороне (т.е. образующая прямой угол). Эта противоположная сторона называется основание высоты, а точка пересечения высоты с основанием (или его продолжением) называется оплачивать высоты. Длина высоты - это расстояние между основанием и вершиной. Три высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентр треугольника, обычно обозначаемого ЧАС. Ортоцентр лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник острый.

Пересечение биссектрис угла является центром окружать.

An биссектриса угла треугольника - это прямая линия, проходящая через вершину, которая разрезает соответствующий угол пополам. Три биссектрисы пересекаются в одной точке, стимулятор, обычно обозначаемый я, центр треугольника окружать. Вписанная окружность - это круг, который лежит внутри треугольника и касается всех трех сторон. Его радиус называется inradius. Есть еще три важных круга: вне окружности; они лежат вне треугольника и касаются одной стороны, а также продолжения двух других. Центры внутренней и вневписанной окружностей образуют ортоцентрическая система.

Пересечение медиан - это центроид.

А медиана треугольника - это прямая линия, проходящая через вершина и середина противоположной стороны и делит треугольник на две равные части. Три медианы пересекаются в одной точке, треугольник центроид или геометрический барицентр, обычно обозначаемый грамм. Центроид жесткого треугольного объекта (вырезанного из тонкого листа однородной плотности) также является его центр массы: объект может быть сбалансирован по центру тяжести в однородном гравитационном поле. Центроид разрезает каждую медиану в соотношении 2: 1, то есть расстояние между вершиной и центроидом в два раза больше расстояния между центроидом и средней точкой противоположной стороны.

Девятиконечный круг демонстрирует симметрию, при которой шесть точек лежат на краю треугольника.

Середины трех сторон и основания трех высот лежат на одном круге, треугольнике круг из девяти точек. Остальные три точки, для которых он назван, являются серединами участка высоты между вершинами и вершинами. ортоцентр. Радиус окружности из девяти точек составляет половину радиуса описанной окружности. Он касается вписанной окружности (в Точка Фейербаха ) и три вне окружности.

Линия Эйлера представляет собой прямую линию, проходящую через ортоцентр (синий), центр окружности из девяти точек (красный), центроид (оранжевый) и центр описанной окружности (зеленый)

Ортоцентр (синяя точка), центр окружности из девяти точек (красный), центроид (оранжевый) и центр описанной окружности (зеленый) лежат на одной линии, известной как Линия Эйлера (Красная линия). Центр окружности из девяти точек находится в средней точке между ортоцентром и центром описанной окружности, а расстояние между центроидом и центром описанной окружности составляет половину расстояния между центроидом и ортоцентром.

Центр вписанной окружности, как правило, не находится на линии Эйлера.

Если отразить медиану в биссектрисе угла, проходящей через ту же вершину, получится симмедиан. Три симедианы пересекаются в одной точке, симедианная точка треугольника.

Вычисление сторон и углов

Существуют различные стандартные методы расчета длины стороны или меры угла. Некоторые методы подходят для вычисления значений в прямоугольном треугольнике; в других ситуациях могут потребоваться более сложные методы.

Тригонометрические отношения в прямоугольных треугольниках

А прямоугольный треугольник всегда включает угол 90 ° (π / 2 радиана), здесь с меткой C. Углы A и B могут различаться. Тригонометрические функции определяют отношения между длинами сторон и внутренними углами прямоугольного треугольника.

В прямоугольные треугольники, тригонометрические отношения синуса, косинуса и тангенса можно использовать для поиска неизвестных углов и длин неизвестных сторон. Стороны треугольника известны следующим образом:

• В гипотенуза сторона, противоположная прямому углу, или определяемая как самая длинная сторона прямоугольного треугольника, в данном случае час.
• В Обратная сторона сторона, противоположная интересующему нас углу, в данном случае а.
• В прилегающая сторона это сторона, которая контактирует с интересующим нас углом и прямым углом, отсюда и его название. В этом случае соседняя сторона б.

Синус, косинус и тангенс

В синус угла - отношение длины противоположной стороны к длине гипотенузы. В нашем случае

${displaystyle sin A = {frac {ext {противоположная сторона}} {ext {hypotenuse}}} = {frac {a} {h}} ,.}$

Это соотношение не зависит от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, если он содержит угол А, поскольку все эти треугольники похожий.

В косинус угла - отношение длины прилегающей стороны к длине гипотенузы. В нашем случае

${displaystyle cos A = {frac {ext {смежная сторона}} {ext {hypotenuse}}} = {frac {b} {h}} ,.}$

В касательная угла - это отношение длины противоположной стороны к длине соседней стороны. В нашем случае

${displaystyle an A = {frac {ext {противоположная сторона}} {ext {смежная сторона}}} = {frac {a} {b}} = {frac {sin A} {cos A}} ,.}$

Акроним "SOH-CAH-TOA "полезный мнемонический для этих соотношений.

Обратные функции

В обратные тригонометрические функции может использоваться для расчета внутренних углов прямоугольного треугольника с длиной любых двух сторон.

Arcsin можно использовать для вычисления угла из длины противоположной стороны и длины гипотенузы.

${displaystyle heta = arcsin left ({frac {ext {противоположная сторона}} {ext {hypotenuse}}} ight)}$

Arccos можно использовать для вычисления угла, исходя из длины прилегающей стороны и длины гипотенузы.

${displaystyle heta = arccos left ({frac {ext {смежная сторона}} {ext {hypotenuse}}} ight)}$

Arctan можно использовать для вычисления угла, исходя из длины противоположной стороны и длины соседней стороны.

${displaystyle heta = arctan left ({frac {ext {противоположная сторона}} {ext {смежная сторона}}} ight)}$

На вводных курсах геометрии и тригонометрии обозначение sin⁻¹, cos⁻¹и т. д. часто используются вместо arcsin, arccos и т. д. Однако обозначения arcsin, arccos и т. д. являются стандартными в высшей математике, где тригонометрические функции обычно возводятся в степени, поскольку это позволяет избежать путаницы между мультипликативный обратный и композиционная инверсия.

Правила синуса, косинуса и тангенса

Треугольник со сторонами длиной a, b и c и углами α, β и γ соответственно.

В закон синуса, или правило синуса,^[11] утверждает, что отношение длины стороны к синусу соответствующего противоположного угла является постоянным, то есть

${displaystyle {frac {a} {sin alpha}} = {frac {b} {sin eta}} = {frac {c} {sin gamma}}.}$

Это отношение равно диаметру описанной окружности данного треугольника. Другая интерпретация этой теоремы состоит в том, что каждый треугольник с углами α, β и γ подобен треугольнику с длинами сторон, равными sin α, sin β и sin γ. Этот треугольник можно построить, сначала построив круг диаметром 1 и вписав в него два угла треугольника. Длина сторон этого треугольника будет равна sin α, sin β и sin γ. Сторона, длина которой равна sin α, противоположна углу, размер которого равен α, и т. Д.

В закон косинусов, или правило косинуса, связывает длину неизвестной стороны треугольника с длиной других сторон и углом, противоположным неизвестной стороне.^[11] По закону:

Для треугольника с длиной сторон а, б, c и углы α, β, γ соответственно, учитывая две известные длины треугольника а и б, а угол между двумя известными сторонами γ (или угол, противоположный неизвестной стороне c), чтобы вычислить третью сторону c, можно использовать следующую формулу:

${displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2abcos (гамма)}$

${displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} -2accos (eta)}$

${displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} -2bccos (альфа)}$

Если известны длины всех трех сторон любого треугольника, можно вычислить три угла:

${displaystyle alpha = arccos left ({frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2bc}} ight)}$

${displaystyle eta = arccos left ({frac {a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2}} {2ac}} ight)}$

${displaystyle gamma = arccos left ({frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}} ight)}$

В закон касательных, или правило касательной, можно использовать для определения стороны или угла, когда известны две стороны и угол или два угла и сторона. В нем говорится, что:^[12]

${displaystyle {frac {ab} {a + b}} = {frac {an [{frac {1} {2}} (alpha - eta)]} {an [{frac {1} {2}} (alpha + eta)]}}.}$

Решение треугольников

«Решение треугольников» - главное тригонометрический задача: найти недостающие характеристики треугольника (три угла, длины трех сторон и т. д.), когда даны по крайней мере три из этих характеристик. Треугольник может быть расположен на самолет или на сфера. Эта проблема часто возникает в различных тригонометрических приложениях, таких как геодезия, астрономия, строительство, навигация и Т. Д.

Вычисление площади треугольника

Площадь треугольника можно продемонстрировать, например, с помощью конгруэнтность треугольников, так как половина площади параллелограмм который имеет одинаковую длину и высоту основания.

Графический вывод формулы ${displaystyle T = {frac {h} {2}} b}$ это позволяет избежать обычной процедуры удвоения площади треугольника и последующего уменьшения ее вдвое.

Расчет площади Т треугольника - элементарная проблема, с которой часто сталкиваются во многих различных ситуациях. Самая известная и простая формула:

${displaystyle T = {frac {1} {2}} bh,}$

куда б - длина основания треугольника, а час это высота или высота треугольника. Термин «основание» обозначает любую сторону, а «высота» обозначает длину перпендикуляра от вершины, противоположной основанию, до линии, содержащей основание. В 499 г. Арьябхата, использовал этот иллюстрированный метод в Арьябхатия (раздел 2.6).^[13]

Несмотря на простоту, эта формула полезна только в том случае, если высоту можно легко определить, что не всегда так. Например, геодезист треугольного поля может относительно легко измерить длину каждой стороны, но относительно сложно построить «высоту». На практике могут использоваться различные методы, в зависимости от того, что известно о треугольнике. Ниже приводится подборка часто используемых формул для вычисления площади треугольника.^[14]

Использование тригонометрии

Применение тригонометрии для определения высоты час.

Высоту треугольника можно найти, применив тригонометрия.

Знание SAS: Используя метки на изображении справа, высота равна час = а грех ${displaystyle gamma}$. Подставив это в формулу ${displaystyle T = {frac {1} {2}} bh}$ полученная выше, площадь треугольника может быть выражена как:

${displaystyle T = {frac {1} {2}} absin gamma = {frac {1} {2}} bcsin alpha = {frac {1} {2}} casin eta}$

(где α - внутренний угол при А, β - внутренний угол при B, ${displaystyle gamma}$ внутренний угол C и c это линия AB).

Кроме того, поскольку sin α = sin (π - α) = sin (β + ${displaystyle gamma}$), и аналогично для двух других углов:

${displaystyle T = {frac {1} {2}} absin (alpha + eta) = {frac {1} {2}} bcsin (eta + gamma) = {frac {1} {2}} casin (gamma + alpha ).}$

Знание ААС:

${displaystyle T = {frac {b ^ {2} (sin alpha) (sin (alpha + eta))} {2sin eta}},}$

и аналогично, если известная сторона а или же c.

Зная ASA:^[2]

${displaystyle T = {frac {a ^ {2}} {2 (cot eta + cot gamma)}} = {frac {a ^ {2} (sin eta) (sin gamma)} {2sin (eta + gamma)} },}$

и аналогично, если известная сторона б или же c.

Используя формулу Герона

Форма треугольника определяется длинами сторон. Следовательно, площадь также может быть получена из длин сторон. К Формула Герона:

${displaystyle T = {sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)}}}$

куда ${displaystyle s = {frac {a + b + c} {2}}}$ это полупериметр, или половину периметра треугольника.

Три других эквивалентных способа записи формулы Герона:

${displaystyle T = {frac {1} {4}} {sqrt {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} -2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}}$

${displaystyle T = {frac {1} {4}} {sqrt {2 (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) ) - (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}}$

${displaystyle T = {frac {1} {4}} {sqrt {(a + b-c) (a-b + c) (- a + b + c) (a + b + c)}}.}$

Использование векторов

Площадь параллелограмм встроен в трехмерный Евклидово пространство можно рассчитать, используя векторов. Пусть векторы AB и AC точка соответственно от А к B и из А к C. Площадь параллелограмма ABDC затем

${displaystyle | mathbf {AB} imes mathbf {AC} |,}$

что является величиной перекрестное произведение векторов AB и AC. Площадь треугольника ABC составляет половину этой площади,

${displaystyle {frac {1} {2}} | mathbf {AB} imes mathbf {AC} |.}$

Площадь треугольника ABC также можно выразить через точечные продукты следующее:

${displaystyle {frac {1} {2}} {sqrt {(mathbf {AB} cdot mathbf {AB}) (mathbf {AC} cdot mathbf {AC}) - (mathbf {AB} cdot mathbf {AC}) ^ { 2}}} = {frac {1} {2}} {sqrt {| mathbf {AB} | ^ {2} | mathbf {AC} | ^ {2} - (mathbf {AB} cdot mathbf {AC}) ^ {2}}}.,}$

В двумерном евклидовом пространстве, выражая вектор AB как свободный вектор в декартовом пространстве равно (Икс₁,у₁) и AC в качестве (Икс₂,у₂), это можно переписать как:

${displaystyle {frac {1} {2}}, | x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} |.,}$

Использование координат

Если вершина А находится в начале координат (0, 0) Декартова система координат а координаты двух других вершин равны B = (Икс_B, у_B) и C = (Икс_C, у_C), то площадь можно вычислить как¹⁄₂ раз абсолютная величина из детерминант

${displaystyle T = {frac {1} {2}} left | det {egin {pmatrix} x_ {B} & x_ {C} y_ {B} & y_ {C} end {pmatrix}} ight | = {frac {1 } {2}} | x_ {B} y_ {C} -x_ {C} y_ {B} |.}$

Для трех общих вершин уравнение:

${displaystyle T = {frac {1} {2}} left | det {egin {pmatrix} x_ {A} & x_ {B} & x_ {C} y_ {A} & y_ {B} & y_ {C} 1 & 1 & 1end {pmatrix }} ight | = {frac {1} {2}} {ig |} x_ {A} y_ {B} -x_ {A} y_ {C} + x_ {B} y_ {C} -x_ {B} y_ {A} + x_ {C} y_ {A} -x_ {C} y_ {B} {ig |},}$

который можно записать как

${displaystyle T = {frac {1} {2}} {ig |} (x_ {A} -x_ {C}) (y_ {B} -y_ {A}) - (x_ {A} -x_ {B} ) (y_ {C} -y_ {A}) {ig |}.}$

Если точки помечены последовательно в направлении против часовой стрелки, указанные выше определяющие выражения положительны, и знаки абсолютного значения могут быть опущены.^[15] Приведенная выше формула известна как формула шнурка или формула сюрвейера.

Если мы расположим вершины на комплексной плоскости и обозначим их в последовательности против часовой стрелки как а = Икс_А + у_Ая, б = Икс_B + у_Bя, и c = Икс_C + у_Cя, и обозначим их комплексно сопряженные пары как ${displaystyle {ar {a}}}$, ${displaystyle {ar {b}}}$, и ${displaystyle {ar {c}}}$, то формула

${displaystyle T = {frac {i} {4}} {egin {vmatrix} a & {ar {a}} & 1 b & {ar {b}} & 1 c & {ar {c}} & 1end {vmatrix}}}$

эквивалентно формуле шнурка.

В трех измерениях площадь общего треугольника А = (Икс_А, у_А, z_А), B = (Икс_B, у_B, z_B) и C = (Икс_C, у_C, z_C) это Пифагорова сумма площадей соответствующих проекций на трех главных плоскостях (т.е. Икс = 0, у = 0 и z = 0):

${displaystyle T = {frac {1} {2}} {sqrt {{egin {vmatrix} x_ {A} & x_ {B} & x_ {C} y_ {A} & y_ {B} & y_ {C} 1 & 1 & 1end {vmatrix }} ^ {2} + {egin {vmatrix} y_ {A} & y_ {B} & y_ {C} z_ {A} & z_ {B} & z_ {C} 1 & 1 & 1end {vmatrix}} ^ {2} + {egin {vmatrix} z_ {A} & z_ {B} & z_ {C} x_ {A} & x_ {B} & x_ {C} 1 & 1 & 1end {vmatrix}} ^ {2}}}.}$

Использование линейных интегралов

Площадь внутри любой замкнутой кривой, например треугольника, задается линейный интеграл вокруг кривой алгебраического или знакового расстояния точки кривой от произвольной ориентированной прямой L. Указывает справа от L ориентированными считаются находящимися на отрицательном расстоянии от L, а за вес интеграла принимается составляющая длины дуги, параллельная L а не длину самой дуги.

Этот метод хорошо подходит для вычисления площади произвольного многоугольник. Принимая L быть Икс-ось, линейный интеграл между последовательными вершинами (Икс_я,у_я) и (Икс_я+1,у_я+1) определяется как основание, умноженное на среднюю высоту, а именно (Икс_я+1 − Икс_я)(у_я + у_я+1)/2. Знак области является общим индикатором направления обхода, отрицательная область указывает на обход против часовой стрелки. Тогда площадь треугольника выпадает, как в случае многоугольника с тремя сторонами.

Хотя метод линейного интеграла имеет общее с другими методами, основанными на координатах, произвольный выбор системы координат, в отличие от других, он не делает произвольного выбора вершины треугольника в качестве начала или стороны в качестве основания. Кроме того, выбор системы координат определяется L допускает только две степени свободы, а не три обычных, поскольку вес является локальным расстоянием (например, Икс_я+1 − Икс_я выше), поэтому метод не требует выбора оси, нормальной к L.

При работе в полярные координаты нет необходимости конвертировать в Декартовы координаты использовать линейное интегрирование, поскольку линейный интеграл между последовательными вершинами (р_я, θ_я) и (р_я+1, θ_я+1) многоугольника задается непосредственно выражением р_яр_я+1грех (θ_я+1 - θ_я)/2. Это справедливо для всех значений θ с некоторым снижением числовой точности, когда | θ | на много порядков больше π. В этой формулировке отрицательная область указывает на обход по часовой стрелке, что следует учитывать при смешивании полярных и декартовых координат. Так же как выбор у-ось (Икс = 0) не имеет значения для линейного интегрирования в декартовых координатах, поэтому выбор нулевого заголовка (θ = 0) здесь несущественно.

Формулы, похожие на формулу Герона

Три формулы имеют ту же структуру, что и формула Герона, но выражаются в терминах разных переменных. Во-первых, обозначая медианы по сторонам а, б, и c соответственно как м_а, м_б, и м_c и их полусумма (м_а + м_б + м_c)/2 в качестве σ имеем^[16]

${displaystyle T = {frac {4} {3}} {sqrt {sigma (sigma -m_ {a}) (sigma -m_ {b}) (sigma -m_ {c})}}.}$

Далее, обозначая высоты по сторонам а, б, и c соответственно как час_а, час_б, и час_c, и обозначая полусумму обратных величин высот как ${displaystyle H = (h_ {a} ^ {- 1} + h_ {b} ^ {- 1} + h_ {c} ^ {- 1}) / 2}$ у нас есть^[17]

${displaystyle T ^ {- 1} = 4 {sqrt {H (H-h_ {a} ^ {- 1}) (H-h_ {b} ^ {- 1}) (H-h_ {c} ^ {- 1})}}.}$

И обозначив полусумму синусов углов как S = [(грех α) + (грех β) + (грех γ)] / 2, у нас есть^[18]

${displaystyle T = D ^ {2} {sqrt {S (S-sin alpha) (S-sin eta) (S-sin gamma)}}}$

куда D диаметр описанной окружности: ${displaystyle D = {frac {a} {sin alpha}} = {frac {b} {sin eta}} = {frac {c} {sin gamma}}.}$

Использование теоремы Пика

Видеть Теорема Пика для техники нахождения площади произвольной решетчатый многоугольник (один, нарисованный на сетке с соседними по вертикали и горизонтали точками решетки на равных расстояниях, и с вершинами на точках решетки).

Теорема гласит:

${displaystyle T = I + {frac {1} {2}} B-1}$

куда ${displaystyle I}$ - количество точек внутренней решетки, а B - количество точек решетки, лежащих на границе многоугольника.

Другие формулы площади

Существует множество других формул площади, например

${displaystyle T = rcdot s,}$

куда р это inradius, и s это полупериметр (на самом деле эта формула верна для все касательные многоугольники ), и^{[19]:Лемма 2}

${displaystyle T = r_ {a} (s-a) = r_ {b} (s-b) = r_ {c} (s-c)}$

куда ${displaystyle r_ {a} ,, r_ {b} ,, r_ {c}}$ радиусы вне окружности по касательной к сторонам а, б, в соответственно.

У нас также есть

${displaystyle T = {frac {1} {2}} D ^ {2} (sin alpha) (sin eta) (sin gamma)}$

и^[20]

${displaystyle T = {frac {abc} {2D}} = {frac {abc} {4R}}}$

для ок. диаметра D; и^[21]

${displaystyle T = {frac {альфа} {4}} (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2})}$

для угла α ≠ 90 °.

Площадь также можно выразить как^[22]

${displaystyle T = {sqrt {rr_ {a} r_ {b} r_ {c}}}.}$

В 1885 году Бейкер^[23] дал коллекцию из более чем сотни различных формул площади для треугольника. К ним относятся:

${displaystyle T = {frac {1} {2}} [abch_ {a} h_ {b} h_ {c}] ^ {1/3},}$

${displaystyle T = {frac {1} {2}} {sqrt {abh_ {a} h_ {b}}},}$

${displaystyle T = {frac {a + b} {2 (h_ {a} ^ {- 1} + h_ {b} ^ {- 1})}},}$

${displaystyle T = {frac {Rh_ {b} h_ {c}} {a}}}$

для описанной окружности (радиус описанной окружности) р, и

${displaystyle T = {frac {h_ {a} h_ {b}} {2sin gamma}}.}$

Верхняя граница площади

Площадь Т любого треугольника с периметром п удовлетворяет

${displaystyle Tleq {frac {p ^ {2}} {12 {sqrt {3}}}},}$

причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.^[24][25]:657

Прочие верхние границы площади Т даны^{[26]:стр.290}

${displaystyle 4 {sqrt {3}} Tleq a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}$

и

${displaystyle 4 {sqrt {3}} Tleq {frac {9abc} {a + b + c}},}$

оба снова держатся тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.

Деление области пополам

Бесконечно много линии, которые делят площадь треугольника пополам.^[27] Три из них - это медианы, которые являются единственными биссектрисами площади, проходящими через центроид. Три другие биссектрисы площади параллельны сторонам треугольника.

Любая линия, проходящая через треугольник, которая разделяет площадь треугольника и его периметр пополам, проходит через центр треугольника. Их может быть один, два или три для любого данного треугольника.

Дальнейшие формулы для общих евклидовых треугольников

Формулы в этом разделе верны для всех евклидовых треугольников.

Медианы, биссектрисы, перпендикулярные биссектрисы и высоты

Медианы и стороны связаны соотношением^{[28]:стр.70}

${displaystyle {frac {3} {4}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) = m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}}$

и

${displaystyle m_ {a} = {frac {1} {2}} {sqrt {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}}} = {sqrt {{frac {1} {2}) } (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) - {гидроразрыв {3} {4}} a ^ {2}}}}$,

и то же самое для м_б и м_c.

Для угла A противоположная сторона а, длина биссектрисы внутреннего угла равна^[29]

${displaystyle w_ {A} = {frac {2 {sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}} = {sqrt {bcleft [1- {frac {a ^ {2}} {(b + c) ^ {2}}} ight]}} = {frac {2bc} {b + c}} cos {frac {A} {2}},}$

для полупериметра s, где длина биссектрисы измеряется от вершины до того места, где она встречается с противоположной стороной.

Внутренние срединные перпендикуляры задаются формулой

${displaystyle p_ {a} = {frac {2aT} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},}$

${displaystyle p_ {b} = {frac {2bT} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},}$

${displaystyle p_ {c} = {frac {2cT} {a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}}},}$

где стороны ${displaystyle ageq bgeq c}$ и площадь ${displaystyle T.}$^{[30]:Thm 2}

Высота, например, со стороны длины а является

${displaystyle h_ {a} = {frac {2T} {a}}.}$

Циркумрадиус и внутренний радиус

Следующие формулы включают радиус описанной окружности р и радиус р:

${displaystyle R = {sqrt {frac {a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2}} {(a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + bc)}}};}$

${displaystyle r = {sqrt {frac {(-a + b + c) (a-b + c) (a + b-c)} {4 (a + b + c)}}};}$

${displaystyle {frac {1} {r}} = {frac {1} {h_ {a}}} + {frac {1} {h_ {b}}} + {frac {1} {h_ {c}}}) }$

куда час_а и т. д. - высоты до индексов;^{[28]:стр.79}

${displaystyle {frac {r} {R}} = {frac {4T ^ {2}} {sabc}} = cos alpha + cos eta + cos gamma -1;}$^[10]

и

${displaystyle 2Rr = {frac {abc} {a + b + c}}}$.

Произведение двух сторон треугольника равно высоте третьей стороны, умноженной на диаметр. D описанной окружности:^{[28]:стр.64}

${displaystyle ab = h_ {c} D, quad quad bc = h_ {a} D, quad ca = h_ {b} D.}$

Смежные треугольники

Предположим, что два смежных, но не перекрывающихся треугольника имеют одну и ту же сторону длины. ж и разделите описанный круг так, чтобы сторона длины ж - хорда описанной окружности, а длины сторон треугольников (а, б, ж) и (c, d, ж), причем два треугольника вместе образуют циклический четырехугольник с последовательностью сторон (а, б, c, d). потом^[31]:84

${displaystyle f ^ {2} = {frac {(ac + bd) (ad + bc)} {(ab + cd)}}.,}$

Центроид

Позволять грамм быть центром тяжести треугольника с вершинами А, B, и C, и разреши п быть любой внутренней точкой. Тогда расстояния между точками связаны соотношением^[31]:174

${Displaystyle (PA) ^ {2} + (PB) ^ {2} + (PC) ^ {2} = (GA) ^ {2} + (GB) ^ {2} + (GC) ^ {2} + 3 (PG) ^ {2}.,}$

Сумма квадратов сторон треугольника равна трехкратной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:

${displaystyle AB ^ {2} + BC ^ {2} + CA ^ {2} = 3 (GA ^ {2} + GB ^ {2} + GC ^ {2}).}$^[32]

Позволять q_а, q_б, и q_c - расстояния от центроида до сторон длин а, б, и c. потом^[31]:173

${displaystyle {frac {q_ {a}} {q_ {b}}} = {frac {b} {a}}, quad quad {frac {q_ {b}} {q_ {c}}}} = {frac {c } {b}}, quad quad {frac {q_ {a}} {q_ {c}}} = {frac {c} {a}},}$

и

${displaystyle q_ {a} cdot a = q_ {b} cdot b = q_ {c} cdot c = {frac {2} {3}} T,}$

для области Т.

Окружной центр, инцентр и ортоцентр

Теорема Карно утверждает, что сумма расстояний от центра описанной окружности до трех сторон равна сумме радиуса описанной окружности и внутреннего радиуса.^{[28]:стр.83} Здесь длина сегмента считается отрицательной тогда и только тогда, когда сегмент полностью лежит вне треугольника. Этот метод особенно полезен для вывода свойств более абстрактных форм треугольников, таких как те, что индуцированы Алгебры Ли, которые в остальном обладают теми же свойствами, что и обычные треугольники.

Теорема Эйлера заявляет, что расстояние d между центром описанной окружности и центром^{[28]:стр.85}

${displaystyle displaystyle d ^ {2} = R (R-2r)}$

или эквивалентно

${displaystyle {frac {1} {R-d}} + {frac {1} {R + d}} = {frac {1} {r}},}$

куда р это радиус описанной окружности и р это внутренний радиус. Таким образом, для всех треугольников р ≥ 2р, причем равенство справедливо для равносторонних треугольников.

Если обозначить, что ортоцентр делит одну высоту на отрезки длиной ты и v, другую высоту в длины отрезков ш и Икс, а третью высоту - на длины отрезков у и z, тогда УФ = wx = yz.^{[28]:стр.94}

Расстояние от стороны до центра описанной окружности равно половине расстояния от противоположной вершины до ортоцентра.^{[28]:стр.99}

Сумма квадратов расстояний от вершин до ортоцентра ЧАС плюс сумма квадратов сторон равняется двенадцати квадрату радиуса описанной области:^{[28]:стр.102}

${displaystyle AH ^ {2} + BH ^ {2} + CH ^ {2} + a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 12R ^ {2}.}$

Углы

В добавок к закон синуса, то закон косинусов, то закон касательных, а тригонометрические условия существования данные ранее, для любого треугольника

${displaystyle a = bcos C + ccos B, quad b = ccos A + acos C, quad c = acos B + bcos A.}$

Теорема Морли о трехсекторах

Треугольник Морли, полученный в результате деления каждого внутреннего угла на три части. Это пример правило конечного подразделения.

Теорема Морли о трехсекторах утверждает, что в любом треугольнике три точки пересечения соседних трисектора углов образуют равносторонний треугольник, называемый треугольником Морли.

Фигуры вписаны в треугольник

Коники

Как обсуждалось выше, каждый треугольник имеет уникальную вписанную окружность (вписанную окружность), которая является внутренней по отношению к треугольнику и касается всех трех сторон.

Каждый треугольник имеет уникальный Штайнер инеллипс который является внутренним по отношению к треугольнику и касается середины сторон. Теорема мардена показывает, как найти фокусы этого эллипса.^[33] Этот эллипс имеет наибольшую площадь из всех эллипсов, касательных ко всем трем сторонам треугольника.

В Мандарт инеллипс треугольника - это эллипс, вписанный в треугольник, касающийся его сторон в точках контакта его вневписанных окружностей.

Для любого эллипса, вписанного в треугольник ABC, пусть фокусы будут п и Q. потом^[34]

${displaystyle {frac {{overline {PA}} cdot {overline {QA}}} {{overline {CA}} cdot {overline {AB}}}}} + {frac {{overline {PB}} cdot {overline {QB} }}} {{overline {AB}} cdot {overline {BC}}}} + {frac {{overline {PC}} cdot {overline {QC}}} {{overline {BC}} cdot {overline {CA} }}} = 1.}$

Выпуклый многоугольник

Каждый выпуклый многоугольник с площадью Т можно вписать в треугольник площадью не более 2Т. Равенство имеет место (исключительно) для параллелограмм.^[35]

Шестиугольник

В Лемуан шестиугольник это циклический шестиугольник с вершинами, заданными шестью пересечениями сторон треугольника с тремя прямыми, параллельными сторонам и проходящими через его симедианная точка. В любом простая форма или ее самопересекающаяся форма, шестиугольник Лемуана является внутренним по отношению к треугольнику с двумя вершинами на каждой стороне треугольника.

Квадраты

Каждый острый треугольник имеет три вписанных квадрата (квадраты внутри, такие, что все четыре вершины квадрата лежат на стороне треугольника, поэтому два из них лежат на одной стороне, и, следовательно, одна сторона квадрата совпадает с частью стороны треугольника). В прямоугольном треугольнике два квадрата совпадают и имеют вершину в прямом угле треугольника, поэтому прямоугольный треугольник имеет только два отчетливый вписанные квадраты. В тупой треугольник вписан только один квадрат, сторона которого совпадает с частью самой длинной стороны треугольника. Внутри данного треугольника более длинная общая сторона связана с меньшим вписанным квадратом. Если вписанный квадрат имеет сторону длины q_а и треугольник имеет сторону длины а, часть стороны которого совпадает со стороной квадрата, то q_а, а, высота час_а со стороны а, а площадь треугольника Т связаны согласно^[36][37]

${displaystyle q_ {a} = {frac {2Ta} {a ^ {2} + 2T}} = {frac {ah_ {a}} {a + h_ {a}}}.}$

Наибольшее возможное отношение площади вписанного квадрата к площади треугольника равно 1/2, что происходит, когда а² = 2Т, q = а/2, а высота треугольника от основания длины а равно а. Наименьшее возможное отношение стороны одного вписанного квадрата к стороне другого в том же не тупом треугольнике равно ${displaystyle 2 {sqrt {2}} / 3 = 0,94 ....}$^[37] Оба этих крайних случая имеют место для равнобедренного прямоугольного треугольника.

Треугольники

С внутренней точкой в ​​эталонном треугольнике, ближайшие точки на трех сторонах служат вершинами педальный треугольник этой точки. Если внутренняя точка окружности опорного треугольника, вершины треугольника педали являются серединами сторон эталонного треугольника, и поэтому треугольник педали называются средний треугольник или средний треугольник. Треугольник средней точки делит контрольный треугольник на четыре конгруэнтных треугольника, которые похожи на контрольный треугольник.

В Треугольник Жергонна или касающийся треугольника контрольного треугольника имеет свои вершины в трех точках касания сторон контрольного треугольника с вписанной окружностью. В коснуться треугольника из ссылки треугольник имеет свои вершины в точках касания Вневписанного эталонного треугольника с его сторон (не распространяется).

Фигуры, описанные вокруг треугольника

В тангенциальный треугольник опорного треугольника (кроме прямоугольного треугольника) является треугольник, стороны которого находятся на касательные линии к описанной окружности контрольного треугольника в его вершинах.

Как упоминалось выше, каждый треугольник имеет уникальную описанную окружность - окружность, проходящую через все три вершины, центр которой является пересечением серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Кроме того, каждый треугольник имеет уникальный Круговорот Штейнера, который проходит через вершины треугольника и имеет центр в центре тяжести треугольника. Из всех эллипсов, проходящих через вершины треугольника, он имеет наименьшую площадь.

В Гипербола Киперта уникальный конический который проходит через три вершины треугольника, его центр тяжести и центр описанной окружности.

Из всех треугольников, содержащихся в данном выпуклом многоугольнике, существует треугольник максимальной площади, вершинами которого являются все вершины данного многоугольника.^[38]

Указание положения точки в треугольнике

Один из способов определить расположение точек внутри (или вне) треугольника - это разместить треугольник в произвольном месте и с ориентацией в Декартова плоскость, и использовать декартовы координаты. Этот подход удобен для многих целей, но имеет тот недостаток, что значения координат всех точек зависят от произвольного расположения на плоскости.

Две системы избегают этой особенности, так что на координаты точки не влияют перемещение треугольника, его вращение или отражение, как в зеркале, любое из которых дает конгруэнтный треугольник, или даже путем его масштабирования, чтобы получить аналогичный треугольник. :

• Трилинейные координаты укажите относительные расстояния точки от сторон, чтобы координаты ${displaystyle x: y: z}$ указывают, что отношение расстояния точки от первой стороны к ее расстоянию от второй стороны равно ${displaystyle x: y}$ , так далее.
• Барицентрические координаты формы ${displaystyle alpha: eta: gamma}$ укажите положение точки с помощью относительных весов, которые должны были бы быть применены к трем вершинам, чтобы сбалансировать в противном случае невесомый треугольник на данной точке.

Непланарные треугольники

Непланарный треугольник - это треугольник, не входящий в (плоскую) плоскость. Некоторые примеры неплоских треугольников в неевклидовой геометрии: сферические треугольники в сферическая геометрия и гиперболические треугольники в гиперболическая геометрия.

В то время как меры внутренних углов в плоских треугольниках всегда составляют в сумме 180 °, гиперболический треугольник имеет меры углов, которые в сумме составляют менее 180 °, а сферический треугольник имеет меры углов, которые в сумме составляют более 180 °. Гиперболический треугольник можно получить, нарисовав отрицательно изогнутую поверхность, например поверхность седла, а сферический треугольник можно получить, нарисовав положительно изогнутую поверхность, например сфера. Таким образом, если нарисовать гигантский треугольник на поверхности Земли, он обнаружит, что сумма размеров его углов больше 180 °; фактически это будет между 180 ° и 540 °.^[39] В частности, можно нарисовать на сфере треугольник так, чтобы размер каждого из его внутренних углов равнялся 90 °, что в сумме дает 270 °.

В частности, на сфере сумма углов треугольника равна

180° × (1 + 4ж),

куда ж - это доля площади сферы, заключенной в треугольник. Например, предположим, что мы рисуем на поверхности Земли треугольник с вершинами на Северном полюсе, в точке на экваторе с координатой 0 ° долготы и точкой на экваторе с координатой 90 ° западной долготы. В большой круг линия между двумя последними точками - это экватор, а линия большого круга между любой из этих точек и Северным полюсом - это линия долготы; так что есть прямые углы в двух точках на экваторе. Более того, угол на Северном полюсе также равен 90 °, потому что две другие вершины отличаются на 90 ° долготы. Итак, сумма углов в этом треугольнике равна 90° + 90° + 90° = 270°. Треугольник охватывает 1/4 части северного полушария (90 ° / 360 °, если смотреть с Северного полюса) и, следовательно, 1/8 поверхности Земли, поэтому в формуле ж = 1/8; таким образом, формула правильно дает сумму углов треугольника как 270 °.

Из приведенной выше формулы суммы углов мы также можем видеть, что поверхность Земли локально плоская: если мы нарисуем произвольно маленький треугольник в окрестности одной точки на поверхности Земли, дробь ж поверхности Земли, заключенной в треугольник, будет произвольно близка к нулю. В этом случае формула суммы углов упрощается до 180 °, что, как мы знаем, говорит нам евклидова геометрия для треугольников на плоской поверхности.

Треугольники в строительстве

В Флэтайрон-билдинг в Нью-Йорке имеет форму треугольная призма

Прямоугольники были самой популярной и распространенной геометрической формой для зданий, поскольку ее легко складывать и организовывать; Как правило, легко проектировать мебель и приспособления, которые вписываются в здания прямоугольной формы. Но треугольники, хотя концептуально их сложнее использовать, дают большую силу. Как компьютерные технологии помогают архитекторы При проектировании новых зданий треугольные формы становятся все более распространенными в качестве частей зданий и в качестве основной формы некоторых типов небоскребов, а также строительных материалов. В 1989 году в Токио архитекторы задавались вопросом, можно ли построить 500-этажную башню, чтобы обеспечить доступное офисное пространство для этого густонаселенного города, но с опасностью для зданий со стороны землетрясения, архитекторы посчитали, что для строительства такого здания потребуется треугольная форма.^[40]

В Нью-Йорк, так как Бродвей пересекает основные проспекты, получающиеся блоки вырезаны как треугольники, и на этих формах построены здания; одно из таких зданий - треугольная форма Флэтайрон-билдинг в котором, по признанию специалистов по недвижимости, есть «лабиринт неудобных мест, в которых нелегко разместить современную офисную мебель», но это не помешало этой структуре стать знаковой достопримечательностью.^[41] Дизайнеры построили дома в Норвегия с использованием треугольных тем.^[42] В церквях появились треугольники^[43] а также общественные здания, включая колледжи^[44] а также подставки для новаторского дизайна дома.^[45]

Треугольники крепкие; в то время как прямоугольник может схлопнуться в параллелограмм от давления до одной из точек треугольники обладают естественной силой, которая поддерживает конструкции против бокового давления. Треугольник не изменит форму, если его стороны не согнуты, не растянуты, не сломаны или если его суставы не сломаны; по сути, каждая из трех сторон поддерживает две другие. Прямоугольник, напротив, больше зависит от прочности соединений в структурном смысле. Некоторые инновационные дизайнеры предложили сделать кирпичи не прямоугольными, а треугольными, которые можно комбинировать в трех измерениях.^[46] Вероятно, что по мере усложнения архитектуры треугольники будут все больше использоваться по-новому. Важно помнить, что треугольники сильны с точки зрения жесткости, но когда они упакованы в мозаика расположение треугольников не так прочно, как шестиугольники при сжатии (отсюда преобладание гексагональных форм в природа ). Треугольники с мозаикой по-прежнему обладают превосходной прочностью для консольный однако, и это основа для одной из самых сильных рукотворных структур, четырехгранная ферма.

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• Иванов, А. (2001) [1994], "Треугольник", Энциклопедия математики, EMS Press
• Кларк Кимберлинг: Энциклопедия треугольных центров. Перечисляет около 5200 интересных точек, связанных с любым треугольником.