Теорема Эйлера в геометрии - Википедия - Eulers theorem in geometry

Теорема Эйлера:
${ displaystyle d = | IO | = { sqrt {R (R-2r)}}}$

В геометрия, Теорема Эйлера заявляет, что расстояние d между окружность и incentre из треугольник дан кем-то^[1][2]

${ Displaystyle d ^ {2} = R (R-2r)}$

или эквивалентно

${ displaystyle { frac {1} {R-d}} + { frac {1} {R + d}} = { frac {1} {r}},}$

куда р и р обозначают радиус описанной окружности и внутренний радиус соответственно (радиусы окружности описанный круг и вписанный круг соответственно). Теорема названа в честь Леонард Эйлер, опубликовавший его в 1765 году.^[3] Однако такой же результат ранее опубликовал Уильям Чаппл в 1746 г.^[4]

Из теоремы следует Неравенство Эйлера:^[5][6]

${ Displaystyle R geq 2r,}$

которое с равенством выполняется только в равносторонний дело.^{[7]:п. 198}

Доказательство

Доказательство теоремы Эйлера в геометрии

Сдача О быть центром описанной окружности треугольника ABC, и я быть его центром, продолжением AI пересекает описанную окружность в точке L. потом L это середина дуги до н.э. Присоединиться LO и вытяните его так, чтобы он пересекал описанную окружность в M. Из я построить перпендикуляр к AB, и пусть D будет его основанием, поэтому Я БЫ = р. Нетрудно доказать, что треугольник ADI похож на треугольник MBL, так Я БЫ / BL = AI / ML, т.е. Я БЫ × ML = AI × BL. Поэтому 2Rr = AI × BL. Присоединиться БИ. Потому что

∠ BIL = ∠ А / 2 + ∠ ABC / 2,

∠ IBL = ∠ ABC / 2 + ∠ CBL = ∠ ABC / 2 + ∠ А / 2,

у нас есть ∠ BIL = ∠ IBL, так BL = IL, и AI × IL = 2Rr. Продлевать OI так, чтобы он пересекал описанную окружность в п и Q; тогда ЧИСЛО ПИ × QI = AI × IL = 2Rr, так (р + d)(р − d) = 2Rr, т.е. d² = р(р − 2р).

Более сильная версия неравенства

Более сильная версия^{[7]:п. 198} является

${ displaystyle { frac {R} {r}} geq { frac {abc + a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3}} {2abc}} geq { frac {a } {b}} + { frac {b} {c}} + { frac {c} {a}} - 1 geq { frac {2} {3}} left ({ frac {a} {b}} + { frac {b} {c}} + { frac {c} {a}} right) geq 2,}$

куда а, б, в - стороны треугольника.

Теорема Эйлера для вписанной окружности

Если ${ displaystyle r_ {a}}$ и ${ displaystyle d_ {a}}$ обозначим соответственно радиус выписанный круг напротив вершины ${ displaystyle A}$ и расстояние между его центром и центром описанной окружности, тогда ${ displaystyle d_ {a} ^ {2} = R (R + 2r_ {a})}$.

Неравенство Эйлера в абсолютной геометрии

Неравенство Эйлера в форме, гласящей, что для всех треугольников, вписанных в данную окружность, максимум радиуса вписанной окружности достигается для равностороннего треугольника и только для него, справедливо в абсолютная геометрия.^[8]

Смотрите также

• Теорема Фусса для отношения одних и тех же трех переменных в бицентрических четырехугольниках
• Теорема Понселе о замыкании, показывая, что существует бесконечное количество треугольников с одинаковыми двумя окружностями (и, следовательно, с одинаковыми р, р, и d)
• Список неравенств треугольника

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Формула треугольника Эйлера». MathWorld.