Описанный круг - Википедия - Circumscribed circle

Описанный круг, C, и центр окружности, О, из циклический многоугольник, п

В геометрия, то описанный круг или же описанный круг из многоугольник это круг что проходит через все вершины многоугольника. Центр этого круга называется центр окружности а его радиус называется по окружности.

Не каждый многоугольник имеет описанный круг. Многоугольник, у которого он есть, называется циклический многоугольник, а иногда и конциклический многоугольник потому что его вершины конциклический. Все треугольники, все обычный простые многоугольники, все прямоугольники, все равнобедренные трапеции, и все правильные воздушные змеи цикличны.

Родственное понятие - одно из минимальный ограничивающий круг, который является наименьшим кругом, полностью содержащим многоугольник внутри него, если центр круга находится внутри многоугольника. Каждый многоугольник имеет уникальный минимальный ограничивающий круг, который может быть построен линейное время алгоритм.^[1] Даже если у многоугольника есть описанная окружность, она может отличаться от минимальной ограничивающей окружности. Например, для тупой треугольник, минимальная ограничивающая окружность имеет самую длинную сторону в качестве диаметра и не проходит через противоположную вершину.

Треугольники

Все треугольники циклические; то есть каждый треугольник имеет описанную окружность.

Конструкция линейки и компаса

Строительство описанной окружности (красная) и центра описанной окружности Q (красная точка)

Центр описанной окружности треугольника может быть построен нарисовав любые два из трех перпендикулярные биссектрисы. Для трех неколлинеарных точек эти две прямые не могут быть параллельны, а центр описанной окружности - это точка, где они пересекаются. Любая точка на биссектрисе равноудалена от двух точек, которые она делит пополам, из чего следует, что эта точка на обеих биссектрисах равноудалена от всех трех вершин треугольника. Радиус описанной окружности - это расстояние от нее до любой из трех вершин.

Альтернативное строительство

Альтернативное построение центра описанной окружности (пересечение ломаных линий)

Альтернативный метод определения центра описанной окружности состоит в том, чтобы нарисовать любые две линии, каждая из которых выходит из одной из вершин под углом к ​​общей стороне, причем общий угол вылета составляет 90 ° минус угол противоположной вершины. (В случае, если противоположный угол тупой, рисование линии под отрицательным углом означает выход за пределы треугольника.)

В прибрежное плавание описанная окружность треугольника иногда используется как способ получения линия позиции используя секстант когда нет компас доступен. Горизонтальный угол между двумя ориентирами определяет описанную окружность, на которой лежит наблюдатель.

Уравнения окружности

Декартовы координаты

в Евклидова плоскость, можно явно дать уравнение описанной окружности через Декартовы координаты вершин вписанного треугольника. Предположим, что

${ displaystyle { begin {align} mathbf {A} & = (A_ {x}, A_ {y}) mathbf {B} & = (B_ {x}, B_ {y}) mathbf {C} & = (C_ {x}, C_ {y}) end {выровнено}}}$

координаты точек А, B, и C. Описанная окружность - это геометрическое место точек v = (v_Икс,v_у) в декартовой плоскости, удовлетворяющей уравнениям

${ displaystyle { begin {align} | mathbf {v} - mathbf {u} | ^ {2} & = r ^ {2} | mathbf {A} - mathbf {u} | ^ { 2} & = r ^ {2} | mathbf {B} - mathbf {u} | ^ {2} & = r ^ {2} | mathbf {C} - mathbf {u} | ^ {2} & = r ^ {2} end {выровнено}}}$

гарантируя, что очки А, B, C, и v все на одинаковом расстоянии р из общего центра ты круга. С использованием поляризационная идентичность, эти уравнения сводятся к условию, что матрица

${ displaystyle { begin {bmatrix} | mathbf {v} | ^ {2} & - 2v_ {x} & - 2v_ {y} & - 1 | mathbf {A} | ^ {2} & - 2A_ {x} & - 2A_ {y} & - 1 | mathbf {B} | ^ {2} & - 2B_ {x} & - 2B_ {y} & - 1 | mathbf {C} | ^ {2} & - 2C_ {x} & - 2C_ {y} & - 1 end {bmatrix}}}$

имеет ненулевой ядро. Таким образом, описанную окружность можно также описать как локус нулей детерминант этой матрицы:

${ displaystyle det { begin {bmatrix} | mathbf {v} | ^ {2} & v_ {x} & v_ {y} & 1 | mathbf {A} | ^ {2} & A_ {x} & A_ { y} & 1 | mathbf {B} | ^ {2} & B_ {x} & B_ {y} & 1 | mathbf {C} | ^ {2} & C_ {x} & C_ {y} & 1 end { bmatrix}} = 0.}$

С помощью расширение кофактора, позволять

${ displaystyle { begin {align} S_ {x} & = { frac {1} {2}} det { begin {bmatrix} | mathbf {A} | ^ {2} & A_ {y} & 1 | mathbf {B} | ^ {2} & B_ {y} & 1 | mathbf {C} | ^ {2} & C_ {y} & 1 end {bmatrix}}, [5pt] S_ {y } & = { frac {1} {2}} det { begin {bmatrix} A_ {x} & | mathbf {A} | ^ {2} & 1 B_ {x} & | mathbf {B } | ^ {2} & 1 C_ {x} & | mathbf {C} | ^ {2} & 1 end {bmatrix}}, [5pt] a & = det { begin {bmatrix} A_ { x} & A_ {y} & 1 B_ {x} & B_ {y} & 1 C_ {x} & C_ {y} & 1 end {bmatrix}}, [5pt] b & = det { begin {bmatrix } A_ {x} & A_ {y} & | mathbf {A} | ^ {2} B_ {x} & B_ {y} & | mathbf {B} | ^ {2} C_ {x} & C_ {y} & | mathbf {C} | ^ {2} end {bmatrix}} end {align}}}$

тогда мы имеем |v|² − 2Sv − б = 0 и, если предположить, что три точки не были на одной линии (иначе описанная окружность - это та линия, которую также можно рассматривать как обобщенную окружность с S на бесконечности), |v − S/а|² = б/а + |S|²/а², давая центр окружности S/а и окружной радиус √б/а + |S|²/а². Подобный подход позволяет вывести уравнение окружающая сфера из тетраэдр.

Параметрическое уравнение

А единичный вектор перпендикуляр плоскости, содержащей круг, задается формулой

${ displaystyle { widehat {n}} = { frac {(P_ {2} -P_ {1}) times (P_ {3} -P_ {1})} {| (P_ {2} -P_ { 1}) times (P_ {3} -P_ {1}) |}}.}$

Следовательно, учитывая радиус, р, центр, п_c, точка на круге, п₀ и единичная нормаль плоскости, содержащей окружность, ${ textstyle { widehat {n}}}$, одно параметрическое уравнение окружности, начинающейся из точки п₀ и продолжая положительно ориентированный (т. е. правша ) смысл о ${ displaystyle scriptstyle { widehat {n}}}$ следующее:

${ displaystyle mathrm {R} (s) = mathrm {P_ {c}} + cos left ({ frac { mathrm {s}} { mathrm {r}}} right) (P_ { 0} -P_ {c}) + sin left ({ frac { mathrm {s}} { mathrm {r}}} right) left [{ widehat {n}} times (P_ { 0} -P_ {c}) right].}$

Трилинейные и барицентрические координаты

Уравнение описанной окружности в трилинейные координаты Икс : у : z является^[2] а/Икс + б/у + c/z = 0. Уравнение описанной окружности в барицентрические координаты Икс : у : z является а²/Икс + б²/у + c²/z = 0.

В изогональный конъюгат описанной окружности - бесконечно удаленная линия, заданная в трилинейные координаты к топор + к + cz = 0 а в барицентрических координатах Икс + у + z = 0.

Высшие измерения

Кроме того, описанная окружность треугольника, вложенного в d размеры можно найти с помощью обобщенного метода. Позволять А, B, и C быть d-мерные точки, образующие вершины треугольника. Начнем с того, что переставим систему на место C в начале:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {a} & = mathbf {A} - mathbf {C}, mathbf {b} & = mathbf {B} - mathbf {C}. конец {выровнен}}}$

Окружной радиус, р, затем

${ displaystyle r = { frac { left | mathbf {a} right | left | mathbf {b} right | left | mathbf {a} - mathbf {b} right |} {2 left | mathbf {a} times mathbf {b} right |}} = { frac { left | mathbf {a} - mathbf {b} right |} {2 sin theta}} = { frac { left | mathbf {A} - mathbf {B} right |} {2 sin theta}},}$

куда θ внутренний угол между а и б. Центр окружности, п₀, дан кем-то

${ displaystyle p_ {0} = { frac {( left | mathbf {a} right | ^ {2} mathbf {b} - left | mathbf {b} right | ^ {2} mathbf {a}) times ( mathbf {a} times mathbf {b})} {2 left | mathbf {a} times mathbf {b} right | ^ { 2}}} + mathbf {C}.}$

Эта формула работает только в трех измерениях, поскольку перекрестное произведение не определено в других измерениях, но ее можно обобщить на другие измерения, заменив перекрестные произведения следующими идентичностями:

${ Displaystyle { begin {выровнен} ( mathbf {a} times mathbf {b}) times mathbf {c} & = ( mathbf {a} cdot mathbf {c}) mathbf {b } - ( mathbf {b} cdot mathbf {c}) mathbf {a}, mathbf {a} times ( mathbf {b} times mathbf {c}) & = ( mathbf {a} cdot mathbf {c}) mathbf {b} - ( mathbf {a} cdot mathbf {b}) mathbf {c}, left | mathbf {a} times mathbf {b} right | & = { sqrt { left | mathbf {a} right | ^ {2} left | mathbf {b} right | ^ {2} - ( mathbf {a} cdot mathbf {b}) ^ {2}}}. end {align}}}$

Координаты окружности центра

Декартовы координаты

В Декартовы координаты центра окружности ${ Displaystyle U = left (U_ {x}, U_ {y} right)}$ находятся

${ displaystyle { begin {align} U_ {x} & = { frac {1} {D}} left [(A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}) (B_ { y} -C_ {y}) + (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2}) (C_ {y} -A_ {y}) + (C_ {x} ^ {2} + C_ {y} ^ {2}) (A_ {y} -B_ {y}) right] [5pt] U_ {y} & = { frac {1} {D}} left [(A_ { x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}) (C_ {x} -B_ {x}) + (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2}) (A_ { x} -C_ {x}) + (C_ {x} ^ {2} + C_ {y} ^ {2}) (B_ {x} -A_ {x}) right] end {align}}}$

с

${ displaystyle D = 2 left [A_ {x} (B_ {y} -C_ {y}) + B_ {x} (C_ {y} -A_ {y}) + C_ {x} (A_ {y} -B_ {y}) right]. ,}$

Без ограничения общности это можно выразить в упрощенном виде после трансляции вершины А в начало декартовых систем координат, т. е. когда А′ = А − А = (А′_Икс,А′_у) = (0,0). В этом случае координаты вершин B′ = B − А и C′ = C − А представляют векторы из вершины А′ В эти вершины. Обратите внимание, что этот тривиальный перевод возможен для всех треугольников и центра описанной окружности ${ displaystyle U '= (U' _ {x}, U '_ {y})}$ треугольника А′B′C'Следовать как

${ displaystyle { begin {align} U '_ {x} & = { frac {1} {D'}} left [C '_ {y} ({B' _ {x}} ^ {2} + {B '_ {y}} ^ {2}) - B' _ {y} ({C '_ {x}} ^ {2} + {C' _ {y}} ^ {2}) right ], [5pt] U '_ {y} & = { frac {1} {D'}} left [B '_ {x} ({C' _ {x}} ^ {2} + { C '_ {y}} ^ {2}) - C' _ {x} ({B '_ {x}} ^ {2} + {B' _ {y}} ^ {2}) right] конец {выровнен}}}$

с

${ displaystyle D '= 2 (B' _ {x} C '_ {y} -B' _ {y} C '_ {x}). ,}$

Из-за перевода вершины А до начала координат, окружной радиус р можно вычислить как

${ Displaystyle г = | U ' | = { sqrt {{U' _ {x}} ^ {2} + {U '_ {y}} ^ {2}}}}$

и фактический центр окружности ABC следует как

${ Displaystyle U = U '+ A}$

Трилинейные координаты

Центр окружности имеет трилинейные координаты^[3]

потому что α : cos β : cos γ

куда α, β, γ - углы треугольника.

По длине сторон а, б, в, трилинейные^[4]

${ displaystyle a left (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2} right): b left (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2} справа): c left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} right).}$

Барицентрические координаты

Центр окружности имеет барицентрические координаты

${ displaystyle a ^ {2} left (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2} right): ; b ^ {2} left (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2} right): ; c ^ {2} left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} right), ,}$^[5]

куда а, б, c длины кромок (до н.э, CA, AB соответственно) треугольника.

С точки зрения углов треугольника ${ displaystyle alpha, beta, gamma,}$ барицентрические координаты центра описанной окружности^[4]

${ Displaystyle грех 2 альфа: грех 2 бета: грех 2 гамма.}$

Кругоцентр вектор

Поскольку декартовы координаты любой точки являются средневзвешенными координатами вершин, а веса представляют собой барицентрические координаты точки, нормированные на единицу, вектор центра описанной окружности может быть записан как

${ displaystyle U = { frac {a ^ {2} left (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2} right) A + b ^ {2} left (c ^ { 2} + a ^ {2} -b ^ {2} right) B + c ^ {2} left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} right) C} { a ^ {2} left (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2} right) + b ^ {2} left (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2} right) + c ^ {2} left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} right)}}.}.$

Здесь U - вектор центра описанной окружности и А, Б, В - векторы вершин. Делитель здесь равен 16S ² куда S площадь треугольника. Как было сказано ранее

${ displaystyle { begin {align} mathbf {a} & = mathbf {A} - mathbf {C}, mathbf {b} & = mathbf {B} - mathbf {C}. конец {выровнен}}}$

Декартовы координаты из кросс- и скалярных произведений

В Евклидово пространство, существует единственный круг, проходящий через любые заданные три неколлинеарные точки п₁, п₂, и п₃. С помощью Декартовы координаты представить эти точки как пространственные векторы, можно использовать скалярное произведение и перекрестное произведение для вычисления радиуса и центра круга. Позволять

${ displaystyle mathrm {P_ {1}} = { begin {bmatrix} x_ {1} y_ {1} z_ {1} end {bmatrix}}, mathrm {P_ {2}} = { begin {bmatrix} x_ {2} y_ {2} z_ {2} end {bmatrix}}, mathrm {P_ {3}} = { begin {bmatrix} x_ {3} y_ {3} z_ {3} end {bmatrix}}}$

Тогда радиус круга определяется выражением

${ displaystyle mathrm {r} = { frac { left | P_ {1} -P_ {2} right | left | P_ {2} -P_ {3} right | left | P_ {3} -P_ {1} right |} {2 left | left (P_ {1} -P_ {2} right) times left (P_ {2} -P_ {3} right) right |} }}$

Центр круга задается линейная комбинация

${ Displaystyle mathrm {P_ {c}} = alpha , P_ {1} + beta , P_ {2} + gamma , P_ {3}}$

куда

${ displaystyle { begin {align} alpha = { frac { left | P_ {2} -P_ {3} right | ^ {2} left (P_ {1} -P_ {2} right) cdot left (P_ {1} -P_ {3} right)} {2 left | left (P_ {1} -P_ {2} right) times left (P_ {2} -P_ { 3} right) right | ^ {2}}} beta = { frac { left | P_ {1} -P_ {3} right | ^ {2} left (P_ {2} - P_ {1} right) cdot left (P_ {2} -P_ {3} right)} {2 left | left (P_ {1} -P_ {2} right) times left ( P_ {2} -P_ {3} right) right | ^ {2}}} gamma = { frac { left | P_ {1} -P_ {2} right | ^ {2} left (P_ {3} -P_ {1} right) cdot left (P_ {3} -P_ {2} right)} {2 left | left (P_ {1} -P_ {2} вправо) раз влево (P_ {2} -P_ {3} right) right | ^ {2}}} end {выровнено}}}$

Расположение относительно треугольника

Положение центра описанной окружности зависит от типа треугольника:

• Для острого треугольника (все углы меньше прямого) центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника.
• В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда находится в середине гипотенуза. Это одна из форм Теорема Фалеса.
• Для тупого треугольника (треугольник с одним углом больше прямого) центр описанной окружности всегда лежит вне треугольника.

Центр описанной окружности треугольника находится внутри треугольника.

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине гипотенузы.

Центр описанной окружности тупого треугольника находится вне треугольника.

Эти особенности местоположения можно увидеть, рассматривая приведенные выше трилинейные или барицентрические координаты для центра описанной окружности: все три координаты положительны для любой внутренней точки, по крайней мере одна координата отрицательна для любой внешней точки, и одна координата равна нулю, а две положительны для не вершина на стороне треугольника.

Углы

Углы, которые образует описанная окружность со сторонами треугольника, совпадают с углами, под которыми стороны встречаются друг с другом. Сторона противоположного угла α встречается с кругом дважды: по одному на каждом конце; в каждом случае под углом α (аналогично для двух других углов). Это связано с теорема об альтернативном сегменте, в котором указано, что угол между касательной и хордой равен углу в альтернативном сегменте.

Треугольник с центром на описанной окружности треугольника ABC.

В этом разделе углы при вершинах обозначены А, B, C и все координаты трилинейные координаты:

• Точка Штейнера = до н.э / (б² − c²) : ок / (c² − а²) : ab / (а² − б²) = невершинная точка пересечения описанной окружности с эллипсом Штейнера. (The Эллипс Штейнера, с центром = центроид (ABC), - эллипс наименьшей площади, проходящий через А, B, и C. Уравнение для этого эллипса: 1/(топор) + 1/(к) + 1/(cz) = 0.)
• Тарри-пойнт = сек (А + ω): сек (B + ω): сек (C + ω) = антипод точки Штейнера
• В центре внимания Парабола Киперта = csc (B − C): csc (C − А): csc (А − B).

Другие свойства

В диаметр описанной окружности, называемой окружной диаметр и равняется удвоенному по окружности, можно вычислить как длину любой стороны треугольника, деленную на синус противоположного угол:

${ displaystyle { text {Diameter}} = { frac {a} { sin A}} = { frac {b} { sin B}} = { frac {c} { sin C}}. }$

Как следствие закон синуса, неважно, какая сторона и противоположный угол взяты: результат будет одинаковым.

Диаметр описанной окружности также можно выразить как

${ displaystyle { begin {align} { text {Diameter}} & {} = { frac {abc} {2 cdot { text {area}}}} = { frac {| AB || BC | | CA |} {2 | Delta ABC |}} [5pt] & {} = { frac {abc} {2 { sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}} [5pt] & {} = { frac {2abc} { sqrt {(a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + bc)}}} end { выровнено}}}$

куда а, б, c - длины сторон треугольника и s = (а + б + c)/2 - полупериметр. Выражение ${ Displaystyle { sqrt { scriptstyle {s (s-a) (s-b) (s-c)}}}}$ выше - площадь треугольника, по Формула Герона.^[6] Тригонометрические выражения для диаметра описанной окружности включают^[7]

${ displaystyle { text {Diameter}} = { sqrt { frac {2 cdot { text {area}}} { sin A sin B sin C}}}.}$

Треугольник круг из девяти точек имеет половину диаметра описанной окружности.

В любом данном треугольнике центр описанной окружности всегда коллинеарен центроид и ортоцентр. Линия, которая проходит через все они, известна как Линия Эйлера.

В изогональный конъюгат центра описанной окружности ортоцентр.

Полезный минимальный ограничивающий круг из трех точек определяется либо описанной окружностью (где три точки находятся на минимальной ограничивающей окружности), либо двумя точками самой длинной стороны треугольника (где две точки определяют диаметр окружности). Обычно минимальную ограничивающую окружность путают с описанной.

Описанная окружность трех коллинеарные точки это линия, на которой лежат три точки, часто называемая круг бесконечного радиуса. Почти коллинеарные точки часто приводят к числовая нестабильность при вычислении описанной окружности.

Окружности треугольников имеют интимную связь с Триангуляция Делоне из набор очков.

К Теорема Эйлера в геометрии, расстояние между центром описанной окружности О и стимулятор я является

${ Displaystyle OI = { sqrt {R (R-2r)}},}$

куда р - радиус вписанной окружности и р - радиус описанной окружности; следовательно, радиус описанной окружности как минимум в два раза больше inradius (Неравенство треугольника Эйлера ), с равенством только в равносторонний дело.^[8][9]

Расстояние между О и ортоцентр ЧАС является^[10][11]

${ displaystyle OH = { sqrt {R ^ {2} -8R ^ {2} cos A cos B cos C}} = { sqrt {9R ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})}}.}$

За центроид грамм и центр девяти точек N у нас есть

${ displaystyle { begin {align} IG &$

Произведение радиуса вписанной окружности и радиуса описанной окружности треугольника со сторонами а, б, и c является^[12]

${ displaystyle rR = { frac {abc} {2 (a + b + c)}}.}$

С окружным радиусом р, стороны а, б, c, и медианы м_а, м_б, и м_c, у нас есть^[13]

${ displaystyle { begin {align} 3 { sqrt {3}} R & geq a + b + c [5pt] 9R ^ {2} & geq a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} [5pt] { frac {27} {4}} R ^ {2} & geq m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}. End {выровнено}}}$

Если медиана м, высота час, и внутренняя биссектриса т все исходят из одной вершины треугольника с описанным радиусом р, тогда^[14]

${ displaystyle 4R ^ {2} h ^ {2} (t ^ {2} -h ^ {2}) = t ^ {4} (m ^ {2} -h ^ {2}).}$

Теорема Карно утверждает, что сумма расстояний от центра описанной окружности до трех сторон равна сумме радиуса описанной окружности и inradius.^[15] Здесь длина сегмента считается отрицательной тогда и только тогда, когда сегмент полностью лежит вне треугольника.

Если у треугольника есть две определенные окружности в качестве описанной окружности и окружать, существует бесконечное количество других треугольников с такими же описанными и вписанными окружностями, с любой точкой на описанной окружности в качестве вершины. (Это п = 3 случай Пористость Понселе ). Необходимым и достаточным условием существования таких треугольников является указанное выше равенство ${ displaystyle OI = { sqrt {R (R-2r)}}.}$^[16]

Циклические четырехугольники

Циклические четырехугольники

Четырехугольники, которые можно описать, обладают особыми свойствами, включая тот факт, что противоположные углы дополнительные углы (с добавлением 180 ° или π радиан).

Циклический п-угольники

Для циклического многоугольника с нечетным числом сторон все углы равны тогда и только тогда, когда многоугольник правильный. У циклического многоугольника с четным числом сторон все углы равны тогда и только тогда, когда альтернативные стороны равны (то есть стороны 1, 3, 5, ... равны, а стороны 2, 4, 6, ... равны).^[17]

Циклический пятиугольник с рациональный стороны и площадь известны как Пентагон Роббинса; во всех известных случаях его диагонали также имеют рациональную длину.^[18]

В любом циклическом п-гон с четным п, сумма одного набора альтернативных углов (первого, третьего, пятого и т. д.) равна сумме другого набора альтернативных углов. Это можно доказать индукцией по п= 4, в каждом случае заменяя одну сторону еще тремя сторонами и отмечая, что эти три новые стороны вместе со старой стороной образуют четырехугольник, который сам обладает этим свойством; чередующиеся углы последнего четырехугольника представляют собой прибавления к суммам альтернативных углов предыдущего п-гон.

Пусть один п-гон вписать в круг, а другой пусть п-гон быть тангенциальный к этому кругу в вершинах первого п-гон. Тогда из любой точки п на окружности произведение расстояний по перпендикулярам от п в стороны от первого п-угольник равен произведению перпендикулярных расстояний от п по сторонам второго п-гон.^[19]

Точка на описанной окружности

Пусть циклический п-угольник имеет вершины А₁ , ..., А_п на единичном круге. Тогда для любой точки M на малой дуге А₁А_п, расстояния от M к вершинам удовлетворяют^[20]

${ displaystyle { begin {cases} MA_ {1} + MA_ {3} + cdots + MA_ {n-2} + MA_ {n}$

Константа, описывающая многоугольник

Последовательность описанных многоугольников и окружностей.

Любой правильный многоугольник циклический. Рассмотрим единичный круг, затем описываем правильный треугольник так, чтобы каждая сторона касалась круга. Опишите круг, а затем квадрат. Опять описываем круг, затем описываем правильный 5-угольник и так далее. Радиусы описанных окружностей сходятся к так называемому константа, описывающая многоугольник

${ displaystyle prod _ {n = 3} ^ { infty} { frac {1} { cos left ({ frac { pi} {n}} right)}} = 8.7000366 ldots.}$

(последовательность A051762 в OEIS ). Обратной величиной этой постоянной является Постоянная Кеплера – Боукампа.

Смотрите также

• Circumgon
• Описанная сфера
• Вписанный круг
• Японская теорема для циклических многоугольников
• Японская теорема для циклических четырехугольников
• Теорема Юнга, неравенство, связывающее диаметр точки, установленной на радиус ее минимальной ограничивающей сферы
• Теорема Косницы
• Теорема Лестера
• Тангенциальный многоугольник
• Центр треугольника

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вывод формулы для радиуса описанной окружности треугольника на Mathalino.com
• Полурегулярные углы и боковые углы: соответствующие обобщения прямоугольников и ромбов в Эскизы динамической геометрии, интерактивный эскиз динамической геометрии.

MathWorld

• Вайсштейн, Эрик В. «По кругу». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Циклический многоугольник». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Окружность Штейнера". MathWorld.

Интерактивный

• Описанная окружность треугольника и центр окружности С интерактивной анимацией
• Интерактивный Java-апплет для центра окружности