Линия Эйлера - Euler line

Линия Эйлера (красная) - это прямая линия, проходящая через центр тяжести (оранжевый), ортоцентр (синий), центр описанной окружности (зеленый) и центр окружности из девяти точек (красный).

В геометрия, то Линия Эйлера, названный в честь Леонард Эйлер (/ˈɔɪлər/), это линия определяется из любого треугольник это не равносторонний. Это центральная линия треугольника, и проходит через несколько важных точек, определенных из треугольника, включая ортоцентр, то центр окружности, то центроид, то Эксетер пойнт и центр круг из девяти точек треугольника.^[1]

Концепция линии Эйлера треугольника распространяется на линию Эйлера других форм, таких как четырехугольник и тетраэдр.

Треугольник с центром на линии Эйлера

Индивидуальные центры

Эйлер показал в 1765 году, что в любом треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центроид равны коллинеарен.^[2] Это свойство верно и для другого центр треугольника, то центр девяти точек, хотя это не было определено во времена Эйлера. В равносторонних треугольниках эти четыре точки совпадают, но в любом другом треугольнике все они отличаются друг от друга, и линия Эйлера определяется любыми двумя из них.

Другие примечательные точки, лежащие на линии Эйлера, включают de Longchamps Point, то Точка Шиффлера, то Эксетер пойнт, а Госсард перспективный.^[1] Тем не менее стимулятор обычно не лежит на линии Эйлера;^[3] он находится на линии Эйлера только для равнобедренные треугольники,^[4] для которого линия Эйлера совпадает с осью симметрии треугольника и содержит все центры треугольников.

В тангенциальный треугольник опорного треугольника касается последнего описанный круг в вершинах эталонного треугольника. Центр описанной окружности тангенциального треугольника лежит на линии Эйлера контрольного треугольника.^[5]^{:п. 447} ^[6]^{:стр.104, № 211; с. 242, № 346} В центр подобия из ортический и касательные треугольники также находятся на прямой Эйлера.^[5]^{:п. 447}^[6]^{:п. 102}

Векторное доказательство

Позволять ${ displaystyle ABC}$ быть треугольником. Доказательство того, что центр окружности ${ displaystyle O}$ , то центроид ${ displaystyle G}$ и ортоцентр ${ displaystyle H}$ находятся коллинеарен полагается на бесплатные векторы. Начнем с определения предпосылок. Первый, ${ displaystyle G}$ удовлетворяет соотношению

{ displaystyle { vec {GA}} + { vec {GB}} + { vec {GC}} = 0.}

Это следует из того, что абсолютные барицентрические координаты из ${ displaystyle G}$ находятся ${ displaystyle { frac {1} {3}}: { frac {1} {3}}: { frac {1} {3}}}$ . Далее проблема Сильвестра^[7] читается как

{ displaystyle { vec {OH}} = { vec {OA}} + { vec {OB}} + { vec {OC}}.}

Теперь, используя сложение векторов, выводим, что

{ displaystyle { vec {GO}} = { vec {GA}} + { vec {AO}} , { mbox {(в треугольнике}} AGO { mbox {)}}, , { vec {GO}} = { vec {GB}} + { vec {BO}} , { mbox {(в треугольнике}} BGO { mbox {)}}, , { vec {GO}} = { vec {GC}} + { vec {CO}} , { mbox {(в треугольнике}} CGO { mbox {)}}.}

Складывая эти три соотношения почленно, мы получаем, что

{ displaystyle 3 cdot { vec {GO}} = left ( sum limits _ { scriptstyle { rm {cyclic}}}} { vec {GA}} right) + left ( sum пределы _ { scriptstyle { rm {cyclic}}} { vec {AO}} right) = 0- left ( sum limits _ { scriptstyle { rm {cyclic}}} { vec {OA }} right) = - { vec {OH}}.}

В заключение, ${ Displaystyle 3 cdot { vec {OG}} = { vec {OH}}}$ , так что три точки ${ displaystyle O}$ , ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle H}$ (в этом порядке) коллинеарны.

В книге Дёрри^[7] то Линия Эйлера и проблема Сильвестра собраны в одно доказательство. Однако большинство доказательств проблемы Сильвестра опираются на фундаментальные свойства свободных векторов, независимо от линии Эйлера.

Расстояния между центрами

На прямой Эйлера центроид грамм находится между центром описанной окружности О и ортоцентр ЧАС и вдвое дальше от ортоцентра, чем от центра описанной окружности:^[6]^:стр.102

{ displaystyle GH = 2GO;}

{ displaystyle OH = 3GO.}

Сегмент GH это диаметр ортоцентроидный круг.

Центр N окружности из девяти точек лежит вдоль линии Эйлера на полпути между ортоцентром и центром описанной окружности:^[1]

{ Displaystyle ON = NH, quad OG = 2 cdot GN, quad NH = 3GN.}

Таким образом, линия Эйлера может быть перемещена на числовую прямую с центром описанной окружности. О в точке 0 центроид грамм в 2т, центр девяти точек в точке 3т, а ортоцентр ЧАС в 6т для некоторого коэффициента масштабирования т.

Кроме того, квадрат расстояния между центроидом и центром описанной окружности вдоль линии Эйлера меньше квадрата по окружности р² на сумму, равную одной девятой суммы квадратов длин сторон а, б, и c:^[6]^:стр.71

{ displaystyle GO ^ {2} = R ^ {2} - { tfrac {1} {9}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}).}

К тому же,^[6]^:стр.102

{ displaystyle OH ^ {2} = 9R ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2});}

{ displaystyle GH ^ {2} = 4R ^ {2} - { tfrac {4} {9}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}).}

Представление

Уравнение

Позволять А, B, C Обозначим углы вершин опорного треугольника, и пусть Икс : у : z быть переменной точкой в трилинейные координаты; то уравнение для линии Эйлера имеет вид

{ Displaystyle sin (2A) sin (B-C) x + sin (2B) sin (C-A) y + sin (2C) sin (A-B) z = 0.}

Уравнение для линии Эйлера в барицентрические координаты ${ displaystyle alpha: beta: gamma}$ является^[8]

{ Displaystyle ( загар C- загар B) альфа + ( загар A- загар C) бета + ( загар B- загар A) гамма = 0.}

Параметрическое представление

Другой способ представить линию Эйлера - в терминах параметра т. Начиная с центра описанной окружности (с трилинейными координатами ${ Displaystyle соз А: соз В: соз C}$ ) и ортоцентра (с трилинейными ${ displaystyle sec A: sec B: sec C = cos B cos C: cos C cos A: cos A cos B),}$ каждая точка на прямой Эйлера, кроме ортоцентра, задается трилинейными координатами

{ Displaystyle соз А + T соз В соз С: соз В + т соз С соз А: соз C + т соз А соз В}

сформированный как линейная комбинация трилиней этих двух точек, для некоторых т.

Например:

В центр окружности имеет трилинейные ${ Displaystyle соз А: соз В: соз С,}$ соответствующий значению параметра ${ displaystyle t = 0.}$
В центроид имеет трилинейные ${ Displaystyle соз А + соз В соз С: соз В + соз С соз А: соз С + соз А соз В,}$ соответствующий значению параметра ${ displaystyle t = 1.}$
В центр девяти точек имеет трилинейные ${ Displaystyle соз А + 2 соз В соз С: соз В + 2 соз С соз А: соз С + 2 соз А соз В,}$ соответствующий значению параметра ${ displaystyle t = 2.}$
В de Longchamps Point имеет трилинейные ${ Displaystyle соз А- соз В соз С: соз В- соз С соз А: соз C- соз А соз В,}$ соответствующий значению параметра ${ displaystyle t = -1.}$

Склон

В Декартова система координат, обозначим наклоны сторон треугольника как ${ displaystyle m_ {1},}$ ${ displaystyle m_ {2},}$ и ${ displaystyle m_ {3},}$ и обозначим наклон его линии Эйлера как ${ displaystyle m_ {E}}$ . Тогда эти уклоны соотносятся согласно^[9]^{:Лемма 1}

{ displaystyle m_ {1} m_ {2} + m_ {1} m_ {3} + m_ {1} m_ {E} + m_ {2} m_ {3} + m_ {2} m_ {E} + m_ { 3} м_ {E}}

{ displaystyle + 3m_ {1} m_ {2} m_ {3} m_ {E} + 3 = 0.}

Таким образом, наклон линии Эйлера (если он конечен) выражается через наклоны сторон как

{ displaystyle m_ {E} = - { frac {m_ {1} m_ {2} + m_ {1} m_ {3} + m_ {2} m_ {3} +3} {m_ {1} + m_ { 2} + m_ {3} + 3m_ {1} m_ {2} m_ {3}}}.}

Причем прямая Эйлера параллельна стороне острого треугольника до н.э если и только если^[9]^:стр.173 ${ displaystyle tan B tan C = 3.}$

Отношение к вписанным равносторонним треугольникам

Географическое положение центроидов равносторонние треугольники вписанный в данный треугольник образован двумя линиями, перпендикулярными линии Эйлера данного треугольника.^[10]^{:Коро. 4}

В особых треугольниках

Прямоугольный треугольник

В прямоугольный треугольник прямая Эйлера совпадает с медиана к гипотенуза - то есть он проходит как через прямоугольную вершину, так и через середину стороны, противоположной этой вершине. Это потому, что ортоцентр прямоугольного треугольника, пересечение его высоты, попадает в прямоугольную вершину, а ее центр описанной окружности - пересечение ее перпендикулярные биссектрисы сторон, приходится на середину гипотенузы.

Равнобедренный треугольник

Линия Эйлера равнобедренный треугольник совпадает с ось симметрии. В равнобедренном треугольнике стимулятор попадает на линию Эйлера.

Автомедианный треугольник

Линия Эйлера автомедианный треугольник (тот, чей медианы имеют те же пропорции, но в обратном порядке, что и стороны) перпендикулярно одной из средних.^[11]

Системы треугольников с совпадающими прямыми Эйлера

Рассмотрим треугольник ABC с Точки Ферма – Торричелли F₁ и F₂. Прямые Эйлера 10 треугольников с вершинами, выбранными из А, Б, В, F₁ и F₂ находятся одновременный в центре тяжести треугольника ABC.^[12]

Прямые Эйлера четырех треугольников, образованных ортоцентрическая система (набор из четырех точек, каждая из которых является ортоцентр треугольника с вершинами в трех других точках) совпадают в центр девяти точек общий для всех треугольников.^[6]^:стр.111

Обобщения

Четырехугольник

В выпуклый четырехугольник, квазиортоцентр ЧАС, "центроид площади" грамм, а квазиокружностьцентр О находятся коллинеарен в этом порядке на прямой Эйлера и HG = 2ИДТИ.^[13]

Тетраэдр

А тетраэдр это трехмерный объект ограничен четырьмя треугольными лица. Семь линий, связанных с тетраэдром, совпадают в его центроиде; его шесть промежуточных плоскостей пересекаются в его Точка Монжа; и есть описанная сфера, проходящая через все вершины, чей центр является центром описанной окружности. Эти точки определяют «линию Эйлера» тетраэдра, аналогичного треугольнику. Центроид - это середина между точкой Монжа и центром описанной окружности вдоль этой линии. Центр двенадцатиточечная сфера также лежит на прямой Эйлера.

Симплициальный многогранник

А симплициальный многогранник многогранник, у которого все грани симплексы. Например, каждый многоугольник является симплициальным многогранником. Линия Эйлера, связанная с таким многогранником, - это линия, определяемая его центром тяжести и окружность центра массы. Это определение линии Эйлера обобщает приведенные выше.^[14]

Предположим, что ${ displaystyle P}$ это многоугольник. Линия Эйлера ${ displaystyle E}$ чувствителен к симметрии ${ displaystyle P}$ следующими способами:

1. Если ${ displaystyle P}$ имеет линию симметрии отражения ${ displaystyle L}$ , тогда ${ displaystyle E}$ либо ${ displaystyle L}$ или точка на ${ displaystyle L}$ .

2. Если ${ displaystyle P}$ имеет центр вращательной симметрии ${ displaystyle C}$ , тогда ${ displaystyle E = C}$ .

3. Если все, кроме одной из сторон ${ displaystyle P}$ равной длины, то ${ displaystyle E}$ ортогонален последней стороне.

Связанные конструкции

Парабола Киперта треугольника - это единственная парабола, касающаяся сторон (две из них расширенный ) треугольника и имеет прямую Эйлера в качестве директриса.^[15]^{:п. 63}

внешняя ссылка

[k-1] а ^б ^c Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Congressus Numerantium. 129: i – xxv, 1–295.

[2] Эйлер, Леонард (1767). "Solutio facilis problematum quorundam geometryorum difficillimorum" [Простое решение некоторых сложных геометрических задач]. Новые комментарии Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae. 11: 103–123. E325. Перепечатано в Опера Омния, сер. I, т. XXVI, стр. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Лозанна, 1953, Г-Н0061061. Обобщено на: Дартмутский колледж.

[3] Шатчнайдер, Дорис; Кинг, Джеймс (1997). Включение геометрии: динамическое программное обеспечение в обучении, преподавании и исследованиях. Математическая ассоциация Америки. С. 3–4. ISBN 978-0883850992.

[4] Эдмондс, Аллан Л .; Хаджа, Моваффак; Мартини, Хорст (2008), "Ортоцентрические симплексы и бирегулярность", Результаты по математике, 52 (1–2): 41–50, Дои:10.1007 / s00025-008-0294-4, Г-Н 2430410, Хорошо известно, что центр евклидова треугольника лежит на его линии Эйлера, соединяющей центр тяжести и центр описанной окружности тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный..

[SL-5] а ^б Леверша, Джерри; Смит, Г. К. (ноябрь 2007 г.), "Геометрия Эйлера и треугольника", Математический вестник, 91 (522): 436–452, JSTOR 40378417.

[ac-6] а ^б ^c ^d ^е ^ж Альтшиллер-Корт, Натан, Колледж Геометрия, Dover Publications, 2007 (ориг. Barnes & Noble, 1952).

[Dorrie-7] а ^б Дёрри, Генрих, "100 великих проблем элементарной математики. Их история и решение". Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965 г., ISBN 0-486-61348-8, страницы 141 (Прямая Эйлера) и 142 (Проблема Сильвестра)

[8] Скотт, Дж. А., "Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника", Математический вестник 83, ноябрь 1999 г., 472-477.

[BHS-9] а ^б Владимир Г. Боскофф, Лаурентиу Хоменцовски и Богдан Д. Сучава, "Перспектива Госсарда и проективные последствия", Форум Geometricorum, Том 13 (2013), 169–184. [1]

[Garcia-10] Франсиско Хавьер Гарсия Капитан, «Локус центроидов подобных вписанных треугольников», Форум Geometricorum 16, 2016, 257–267 .http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf

[parry-11] Парри, К. Ф. (1991), «Штайнер-Лемус и автомедианный треугольник», Математический вестник, 75 (472): 151–154, JSTOR 3620241.

[12] Белухов, Николай Иванов. «Десять параллельных линий Эйлера», Форум Geometricorum 9. 2009. С. 271–274. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html

[13] Мякишев, Алексей (2006), "О двух замечательных прямых, относящихся к четырехугольнику" (PDF), Форум Geometricorum, 6: 289–295.

[14] Табачников, Серж; Цукерман, Эммануэль (май 2014 г.), «Окружной центр массы и обобщенная линия Эйлера», Дискретная и вычислительная геометрия, 51 (51): 815–836, arXiv:1301.0496, Дои:10.1007 / s00454-014-9597-2.

[Scimemi-15] Шимеми, Бенедетто, "Простые соотношения относительно инеллипса Штайнера треугольника", Форум Geometricorum 10, 2010: 55–77.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]