Пополам - Bisection

Линия DE делит прямую AB пополам в точке D, линия EF - серединный перпендикуляр к отрезку AD в точке C, а линия EF - внутренняя биссектриса прямого угла AED.

В геометрия, деление пополам это деление чего-либо на два равных или конгруэнтный части, обычно линия, который затем называется биссектриса. Наиболее часто рассматриваемые типы биссектрис - это биссектриса сегмента (линия, проходящая через середину заданного сегмент ) и биссектриса угла (линия, проходящая через вершину угол, что делит его на два равных угла).

В трехмерное пространство, деление пополам обычно выполняется плоскостью, также называемой биссектриса или плоскость пополам.

Биссектриса отрезка прямой

Биссектриса перпендикулярная

А отрезок биссектриса проходит через середина сегмента. Особенно важно перпендикуляр биссектриса отрезка, который, согласно своему названию, пересекает отрезок в точке прямые углы. Серединный перпендикуляр отрезка также обладает тем свойством, что каждая его точка равноудаленный от конечных точек сегмента. Следовательно, Диаграмма Вороного границы состоят из отрезков таких линий или плоскостей.

В классической геометрии деление пополам - это простой компас и линейка, возможность которого зависит от умения рисовать круги равных радиусов и разных центров. Сегмент делится пополам путем рисования пересекающихся окружностей равного радиуса, центры которых являются конечными точками сегмента и таким образом, что каждый круг проходит через одну конечную точку. Линия, определяемая точками пересечения двух окружностей, является серединным перпендикуляром отрезка, поскольку пересекает отрезок в его центре. Эта конструкция фактически используется при построении линии, перпендикулярной данной линии в данной точке: рисуя произвольный круг, центр которого находится в этой точке, он пересекает линию еще в двух точках, а перпендикуляр, который нужно построить, - это тот, который делит пополам отрезок, определяемый этими двумя точками.

Теорема Брахмагупты заявляет, что если циклический четырехугольник является ортодиагональный (то есть имеет перпендикуляр диагонали ), то перпендикуляр к стороне от точки пересечения диагоналей всегда делит пополам противоположную сторону.

Алгебраически, серединный перпендикуляр отрезка прямой с концами ${ displaystyle P_ {1} (x_ {1}, y_ {1})}$ и ${ Displaystyle P_ {2} (x_ {2}, y_ {2})}$ дается уравнением

{ Displaystyle у = м (х-х_ {3}) + у_ {3}}

, где

{ displaystyle m = - { frac {x_ {2} -x_ {1}} {y_ {2} -y_ {1}}}}

,

{ displaystyle x_ {3} = { tfrac {1} {2}} (x_ {1} + x_ {2})}

, и

{ displaystyle y_ {3} = { tfrac {1} {2}} (y_ {1} + y_ {2})}

.

Биссектриса угла

Деление угла пополам с помощью циркуля и линейки

An угол биссектриса делит угол на два угла с равный меры. У угла только одна биссектриса. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла.

В интерьер или внутренняя биссектриса угла - это линия, полупрямая линия, или отрезок линии, который делит угол меньше 180 ° на два равных угла. В внешний вид или внешняя биссектриса это линия, разделяющая дополнительный угол (180 ° минус первоначальный угол), образованный одной стороной, образующей исходный угол, и продолжением другой стороны, в два равных угла.^[1]

Чтобы разделить угол пополам с линейка и компас, рисуется круг, центр которого является вершиной. Круг пересекает угол в двух точках: по одной на каждой ноге. Используя каждую из этих точек как центр, нарисуйте два круга одинакового размера. Пересечение окружностей (две точки) определяет прямую, являющуюся биссектрисой угла.

Доказательство правильности этой конструкции довольно интуитивно понятно, опираясь на симметрию задачи. В трисечение угла (разделив его на три равные части) не может быть достигнуто с помощью только циркуля и линейки (это было впервые доказано Пьер Ванцель ).

Внутренняя и внешняя биссектрисы угла равны перпендикуляр. Если угол образован двумя линиями, алгебраически заданными как ${ displaystyle l_ {1} x + m_ {1} y + n_ {1} = 0}$ и ${ displaystyle l_ {2} x + m_ {2} y + n_ {2} = 0,}$ тогда внутренняя и внешняя биссектрисы задаются двумя уравнениями^[2]^:стр.15

{ displaystyle { frac {l_ {1} x + m_ {1} y + n_ {1}} { sqrt {l_ {1} ^ {2} + m_ {1} ^ {2}}}} = pm { frac {l_ {2} x + m_ {2} y + n_ {2}} { sqrt {l_ {2} ^ {2} + m_ {2} ^ {2}}}}.}

Треугольник

Совпадения и коллинеарности

Биссектрисы внутреннего угла a треугольник находятся одновременный в точке, называемой стимулятор треугольника, как показано на диаграмме справа.

Биссектрисы двух внешние углы и биссектриса другого внутренний угол совпадают.^[3]^:стр.149

Три точки пересечения, каждая из которых представляет собой биссектрису внешнего угла с противоположной расширенная сторона, находятся коллинеарен (попадают на одну линию друг с другом).^[3]^{:п. 149}

Три точки пересечения, две из которых между биссектрисой внутреннего угла и противоположной стороной, а третья между биссектрисой другого внешнего угла и протяженной противоположной стороной, коллинеарны.^[3]^{:п. 149}

Теорема о биссектрисе угла

На этой диаграмме BD: DC = AB: AC.

Теорема биссектрисы угла касается относительного длина из двух сегментов, которые треугольник Сторона разделена линией, пересекающей противоположный угол пополам. Он приравнивает их относительную длину к относительной длине двух других сторон треугольника.

Длина

Если стороны треугольника равны ${ displaystyle a, b, c}$ , полупериметр ${ displaystyle s = (a + b + c) / 2,}$ а А - угол противоположной стороны ${ displaystyle a}$ , то длина внутренней биссектрисы угла A равна^[3]^{:п. 70}

{ displaystyle { frac {2 { sqrt {bcs (s-a)}}} {b + c}},}

или в тригонометрических терминах,^[4]

{ displaystyle { frac {2bc} {b + c}} cos { frac {A} {2}}.}

Если внутренняя биссектриса угла A в треугольнике ABC имеет длину ${ displaystyle t_ {a}}$ и если эта биссектриса делит сторону, противоположную A, на отрезки длины м и п, тогда^[3]^:стр.70

{ displaystyle t_ {a} ^ {2} + mn = bc}

где б и c - длины сторон, противоположных вершинам B и C; а сторона, противоположная A, делится в пропорции б:c.

Если внутренние биссектрисы углов A, B и C имеют длины ${ displaystyle t_ {a}, t_ {b},}$ и ${ displaystyle t_ {c}}$ , тогда^[5]

{ displaystyle { frac {(b + c) ^ {2}} {bc}} t_ {a} ^ {2} + { frac {(c + a) ^ {2}} {ca}} t_ { b} ^ {2} + { frac {(a + b) ^ {2}} {ab}} t_ {c} ^ {2} = (a + b + c) ^ {2}.}

Никакие два несовпадающих треугольника не имеют одинаковых трех биссектрис внутренних углов.^[6]^[7]

Целочисленные треугольники

Существуют целые треугольники с биссектрисой рационального угла.

Четырехугольник

Биссектрисы внутреннего угла a выпуклый четырехугольник либо сформировать циклический четырехугольник (то есть четыре точки пересечения смежных биссектрис угла равны конциклический ),^[8] или они одновременный. В последнем случае четырехугольник - это тангенциальный четырехугольник.

Ромб

Каждая диагональ ромб делит пополам противоположные углы.

Экс касательный четырехугольник

Эксцентр эксантангенциальный четырехугольник лежит на пересечении шести биссектрис угла. Это биссектрисы внутреннего угла при двух противоположных углах при вершинах, биссектрисы внешнего угла (биссектрисы дополнительных углов) при двух других углах при вершинах и биссектрисы внешнего угла при углах, образованных в местах, где расширения противоположных сторон пересекаются.

Парабола

В касательная к парабола в любой точке делит пополам угол между линией, соединяющей точку с фокусом, и линией, соединяющей точку и перпендикуляр к директрисе.

Биссектрисы сторон многоугольника

Треугольник

Медианы

Каждый из трех медианы треугольника - это отрезок прямой, проходящий через одну вершина и середина противоположной стороны, так что он делит эту сторону пополам (хотя в целом не перпендикулярно). Три медианы пересекают друг друга в центроид треугольника, который является его центр массы если он имеет однородную плотность; таким образом, любая прямая, проходящая через центр тяжести треугольника и одну из его вершин, делит противоположную сторону пополам. Центроид находится в два раза ближе к середине одной стороны, чем к противоположной вершине.

Перпендикулярные биссектрисы

Интерьер перпендикуляр Биссектриса стороны треугольника - это отрезок, полностью падающий на треугольник и внутрь него, линии, которая перпендикулярно делит эту сторону пополам. Три серединных перпендикуляра трех сторон треугольника пересекаются в точках центр окружности (центр круга через три вершины). Таким образом, любая прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника и перпендикулярная стороне, делит эту сторону пополам.

В острый треугольник центр описанной окружности делит внутренние срединные перпендикуляры двух кратчайших сторон в равных пропорциях. В тупой треугольник серединные перпендикуляры двух кратчайших сторон (продолженные за пределы их противоположных сторон треугольника к центру описанной окружности) делятся на их соответствующие пересекающиеся стороны треугольника в равных пропорциях.^[9]^{:Следствия 5 и 6}

Для любого треугольника внутренние серединные перпендикуляры имеют вид ${ displaystyle p_ {a} = { tfrac {2aT} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},}$ ${ displaystyle p_ {b} = { tfrac {2bT} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},}$ и ${ displaystyle p_ {c} = { tfrac {2cT} {a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}}},}$ где стороны ${ Displaystyle а geq b geq c}$ и площадь ${ displaystyle T.}$ ^[9]^{:Thm 2}

Четырехугольник

Два бимедианцы из выпуклый четырехугольник - это отрезки прямых, соединяющие середины противоположных сторон, следовательно, каждый из них делит две стороны пополам. Два бимедиана и отрезок прямой, соединяющий середины диагоналей, совпадают в точке, называемой «центроид вершины», и все они делятся пополам.^[10]^:стр.125

Четыре «солодости» выпуклого четырехугольника - это перпендикуляры к стороне, проходящей через середину противоположной стороны, следовательно, делят последнюю пополам. Если четырехугольник циклический (обведены кружком), эти солодовые привычки одновременный в (все встречаются в) общей точке, называемой «антицентром».

Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный четырехугольник ортодиагональный (то есть имеет перпендикуляр диагонали ), то перпендикуляр к стороне от точки пересечения диагоналей всегда делит пополам противоположную сторону.

В построение перпендикулярной биссектрисы образует четырехугольник из серединных перпендикуляров сторон другого четырехугольника.

Биссектрисы площади и биссектрисы периметра

Треугольник

Есть бесконечное множество линий, которые делят пополам площадь из треугольник. Трое из них медианы треугольника (которые соединяют середины сторон с противоположными вершинами), и это одновременный у треугольника центроид; действительно, они единственные биссектрисы площади, проходящие через центроид. Три другие биссектрисы площади параллельны сторонам треугольника; каждая из них пересекает две другие стороны, чтобы разделить их на сегменты с пропорциями ${ displaystyle { sqrt {2}} + 1: 1}$ .^[11] Эти шесть линий являются одновременными, по три одновременно: помимо того, что три медианы являются параллельными, любая одна медиана параллельна двум биссектрисам площади, параллельной сторонам.

В конверт бесконечности биссектрис площади есть дельтовидный (в широком смысле определяется как фигура с тремя вершинами, соединенными кривыми, которые вогнуты по отношению к внешней части дельтовидной мышцы, что делает внутренние точки невыпуклым множеством).^[11] Вершины дельтовидной мышцы находятся посередине медиан; все точки внутри дельтовидной мышцы находятся на трех биссектрисах разных площадей, а все точки за ее пределами - только на одной. [1] Стороны дельтовидной мышцы представляют собой дуги гиперболы которые асимптотический к вытянутым сторонам треугольника.^[11] Отношение площади огибающей биссектрис площади к площади треугольника инвариантно для всех треугольников и равно ${ displaystyle { tfrac {3} {4}} log _ {e} (2) - { tfrac {1} {2}},}$ т.е. 0,019860 ... или менее 2%.

А тесак треугольника - это отрезок прямой, который делит пополам периметр треугольника и имеет одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Три тесака соглашаться в (все проходят) центр круга Шпикера, какой окружать из средний треугольник. Скалыватели параллельны биссектрисам угла.

А разветвитель Треугольник - это отрезок прямой, имеющий одну конечную точку в одной из трех вершин треугольника и делящий пополам периметр. Три сплиттера сходятся во мнении Точка Нагеля треугольника.

Любая линия, проходящая через треугольник, которая разделяет площадь и периметр треугольника пополам, проходит через центр треугольника (центр его окружать ). Для любого данного треугольника их может быть один, два или три. Линия, проходящая через центр центра, делит пополам одну из площади или периметра тогда и только тогда, когда она также делит пополам другую.^[12]

Параллелограмм

Любая линия, проходящая через середину параллелограмм делит область пополам^[13] и периметр.

Круг и эллипс

Все биссектрисы площади и биссектрисы периметра круга или другого эллипса проходят через центр, и любые аккорды через центр разделите пополам площадь и периметр. В случае круга они диаметры круга.

Биссектрисы диагоналей

Параллелограмм

В диагонали параллелограмма рассекают друг друга пополам.

Четырехугольник

Если отрезок прямой, соединяющий диагонали четырехугольника, делит обе диагонали пополам, то этот отрезок ( Линия Ньютона ) сам делится пополам центроид вершины.

Биссектрисы объема

Плоскость, которая разделяет два противоположных края тетраэдра в заданном соотношении, также делит объем тетраэдра в таком же соотношении. Таким образом, любая плоскость, содержащая бимедиан (соединитель середин противоположных ребер) тетраэдра, делит объем тетраэдра пополам.^[14]^[15]^{:стр.89–90}

использованная литература

^ Вайсштейн, Эрик В. "Биссектриса внешнего угла". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
^ Испания, Барри. Аналитические коники, Dover Publications, 2007 (ориг. 1957 г.).
^ ^а ^б ^c ^d ^е Джонсон, Роджер А., Продвинутая евклидова геометрия, Dover Publ., 2007 (ориг. 1929 г.).
^ Оксман, Виктор. «О существовании треугольников с заданной длиной одной стороны и двумя смежными биссектрисами», Форум Геометрикорум 4, 2004, 215–218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf
^ Саймонс, Стюарт. Математический вестник 93, март 2009 г., 115–116.
^ Миронеску П., Панайтополь Л., "Существование треугольника с предписанными длинами биссектрис углов", Американский математический ежемесячный журнал 101 (1994): 58–60.
^ Оксман, Виктор, "Чисто геометрическое доказательство единственности треугольника с предписанными биссектрисами углов", Форум Geometricorum 8 (2008): 197–200.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Четырехугольник». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Quadrateral.html
^ ^а ^б Митчелл, Дуглас В. (2013), «Серединные перпендикулярные направления сторон треугольника», Форум Geometricorum 13, 53-59. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307.pdf
^ Альтшиллер-Корт, Натан, Колледж Геометрия, Dover Publ., 2007.
^ ^а ^б ^c Данн, Дж. А., Претти, Дж. Э., «Деление треугольника пополам», Математический вестник 56, май 1972 г., 105-108.
^ Кодокостас, Димитриос, «Треугольные эквалайзеры», Математический журнал 83, апрель 2010 г., стр. 141–146.
^ Данн, Дж. А. и Дж. Э. Претти, «Деление треугольника пополам», Математический вестник 56, май 1972 г., стр. 105.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдр». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html
^ Альтшиллер-Корт Н. Тетраэдр. Гл. 4 дюйма Современная чистая твердотельная геометрия: Челси, 1979.

внешние ссылки

Биссектриса угла в завязать узел
Определение биссектрисы угла. Открытый справочник по математике С интерактивным апплетом
Определение биссектрисы линии. Открытый справочник по математике С интерактивным апплетом
Биссектриса перпендикулярной линии. С интерактивным апплетом
Анимированные инструкции по разделению угла пополам и деление линии пополам Использование циркуля и линейки
Вайсштейн, Эрик В. «Биссектриса линии». MathWorld.

В этой статье использован материал из раздела Биссектриса угла PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

[1] Вайсштейн, Эрик В. "Биссектриса внешнего угла". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.

[2] Испания, Барри. Аналитические коники, Dover Publications, 2007 (ориг. 1957 г.).

[Johnson-3] а ^б ^c ^d ^е Джонсон, Роджер А., Продвинутая евклидова геометрия, Dover Publ., 2007 (ориг. 1929 г.).

[4] Оксман, Виктор. «О существовании треугольников с заданной длиной одной стороны и двумя смежными биссектрисами», Форум Геометрикорум 4, 2004, 215–218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf

[5] Саймонс, Стюарт. Математический вестник 93, март 2009 г., 115–116.

[6] Миронеску П., Панайтополь Л., "Существование треугольника с предписанными длинами биссектрис углов", Американский математический ежемесячный журнал 101 (1994): 58–60.

[7] Оксман, Виктор, "Чисто геометрическое доказательство единственности треугольника с предписанными биссектрисами углов", Форум Geometricorum 8 (2008): 197–200.

[8] Вайсштейн, Эрик В. «Четырехугольник». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Quadrateral.html

[Mitchell-9] а ^б Митчелл, Дуглас В. (2013), «Серединные перпендикулярные направления сторон треугольника», Форум Geometricorum 13, 53-59. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307.pdf

[Altshiller-Court-10] Альтшиллер-Корт, Натан, Колледж Геометрия, Dover Publ., 2007.

[Dunn-11] а ^б ^c Данн, Дж. А., Претти, Дж. Э., «Деление треугольника пополам», Математический вестник 56, май 1972 г., 105-108.

[12] Кодокостас, Димитриос, «Треугольные эквалайзеры», Математический журнал 83, апрель 2010 г., стр. 141–146.

[13] Данн, Дж. А. и Дж. Э. Претти, «Деление треугольника пополам», Математический вестник 56, май 1972 г., стр. 105.

[14] Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдр». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html

[15] Альтшиллер-Корт Н. Тетраэдр. Гл. 4 дюйма Современная чистая твердотельная геометрия: Челси, 1979.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]