Целочисленный треугольник - Википедия - Integer triangle

Треугольник Герона со сторонами c, е и б + d, и высота а, все целые числа.

An целочисленный треугольник или же цельный треугольник это треугольник все стороны имеют целые числа. А рациональный треугольник может быть определен как имеющий все стороны рациональной длины; любой такой рациональный треугольник можно целочисленно масштабировать (все стороны могут быть умножены на одно и то же целое число, а именно на общее кратное их знаменателя), чтобы получить целочисленный треугольник, поэтому в этом смысле нет существенной разницы между целочисленными треугольниками и рациональными треугольниками. Однако существуют и другие определения термина «рациональный треугольник»: в 1914 г. Кармайкл^[1] использовали термин в том смысле, в котором мы сегодня употребляем термин Героновский треугольник; Сомос^[2] использует его для обозначения треугольников, отношение сторон которых рационально; Конвей и Гай^[3] Определите рациональный треугольник как треугольник с рациональными сторонами и рациональными углами, измеряемыми в градусах, и в этом случае единственным рациональным треугольником является равносторонний треугольник с рациональными сторонами.

В первом разделе ниже приведены различные общие свойства целочисленного треугольника. Все остальные разделы относятся к классам целочисленных треугольников с определенными свойствами.

Общие свойства целочисленного треугольника

Целочисленные треугольники с заданным периметром

Любая тройка положительных целых чисел может служить длинами сторон целочисленного треугольника, если она удовлетворяет неравенству треугольника: самая длинная сторона короче суммы двух других сторон. Каждая такая тройка определяет целочисленный треугольник, уникальный с точностью до конгруэнтности. Итак, количество целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнтности) с периметром п это количество перегородки из п на три положительные части, удовлетворяющие неравенству треугольника. Это целое число, ближайшее к^п2⁄₄₈ когда п даже и^{(п + 3)2}⁄₄₈ когда п странно.^[4][5] Это также означает, что количество целочисленных треугольников с четными периметрами п = 2п совпадает с количеством целых треугольников с нечетными периметрами п = 2п - 3. Таким образом, не существует целочисленного треугольника с периметром 1, 2 или 4, одного с периметром 3, 5, 6 или 8 и двух с периметром 7 или 10. Последовательность числа целых треугольников с периметром п, начинается с п = 1, это:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... (последовательность A005044 в OEIS )

Целочисленные треугольники с заданной наибольшей стороной

Количество целых треугольников (с точностью до сравнения) с заданной наибольшей стороной c и целая тройка (а, б, c) - количество целых троек таких, что а + б > c и а ≤ б ≤ c. Это целочисленное значение Ceiling [^(c + 1)⁄₂] * Этаж [^(c + 1)⁄₂].^[4] В качестве альтернативы для c даже это двойной треугольное число ​^c⁄₂(​^c⁄₂ + 1) и для c странно это квадрат ​^(c + 1)2⁄₄. Это также означает, что количество целых треугольников с наибольшей стороной c превышает количество целых треугольников с наибольшей стороной c−2 по c. Последовательность числа несовпадающих целых треугольников с наибольшей стороной c, начинается с c = 1, это:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (последовательность A002620 в OEIS )

Количество целых треугольников (с точностью до сравнения) с заданной наибольшей стороной c и целая тройка (а, б, c), которые лежат на полукруге диаметром c - количество целых троек таких, что а + б > c , а² + б² ≤ c² и а ≤ б ≤ c. Это также количество целочисленных тупых или правильных (неострых) треугольников с наибольшей стороной c. Последовательность, начиная с c = 1, это:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (последовательность A236384 в OEIS )

Следовательно, разница между двумя вышеуказанными последовательностями дает количество остроугольных целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнтности) с заданной наибольшей стороной c. Последовательность, начиная с c = 1, это:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (последовательность A247588 в OEIS )

Площадь целочисленного треугольника

К Формула Герона, если Т это площадь треугольника, стороны которого имеют длины а, б, и c тогда

${ displaystyle 4T = { sqrt {(a + b + c) (a + b-c) (a-b + c) (- a + b + c)}}.}$

Поскольку все условия радикальный в правой части формулы указаны целые числа, из этого следует, что все целые треугольники должны иметь целое значение 16Т² и Т² будет рационально.

Углы целочисленного треугольника

Посредством закон косинусов, каждый угол целочисленного треугольника имеет рациональный косинус.

Если углы любого треугольника образуют арифметическую прогрессию, то один из его углов должен составлять 60 °.^[6] Для целочисленных треугольников оставшиеся углы также должны иметь рациональные косинусы, и ниже описан метод создания таких треугольников. Однако, кроме тривиального случая равностороннего треугольника, не существует целых треугольников, углы которых образуют геометрическую или гармоническую прогрессию. Это потому, что такие углы должны быть рациональными углами формы^πp⁄_q с рациональным 0 <^п⁄_q <1. Но все углы целочисленных треугольников должны иметь рациональные косинусы, и это произойдет только тогда, когда^п⁄_q = ​¹⁄₃ ^[7]:стр.2 т.е. целочисленный треугольник равносторонний.

Площадь каждого внутреннего биссектриса угла целочисленного треугольника рационально, потому что общая формула треугольника для внутреннего биссектрисы угла А является ${ displaystyle { tfrac {2 { sqrt {bcs (s-a)}}} {b + c}}}$ куда s это полупериметр (и то же самое для биссектрис остальных углов).

Боковое разделение по высоте

Любой высота при падении из вершины на противоположную сторону или ее расширение разделит эту сторону или ее расширение на рациональные длины.

Медианы

Квадрат двойного любого медиана целочисленного треугольника является целым числом, потому что общая формула для квадрата медианы м_а² в сторону а является ${ displaystyle { tfrac {(2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2})} {4}}}$, давая (2м_а)² = 2б² + 2c² − а² (и то же самое для медиан с других сторон).

Циркумрадиус и внутренний радиус

Поскольку квадрат площади целочисленного треугольника является рациональным, квадрат его по окружности также рационально, как и квадрат inradius.

Отношение внутреннего радиуса к окружному радиусу целочисленного треугольника является рациональным и равно ${ displaystyle { tfrac {4T ^ {2}} {sabc}}}$ для полупериметра s и площадь Т.

Произведение внутреннего радиуса и описанного радиуса целочисленного треугольника является рациональным и равно ${ displaystyle { tfrac {abc} {2 (a + b + c)}}.}$

Таким образом, квадрат расстояния между стимулятор и центр окружности целочисленного треугольника, заданного формулой Теорема Эйлера в качестве р²−2Rr, рационально.

Героновские треугольники

Все треугольники Герона можно разместить на решетке, каждая вершина которой находится в точке решетки.^[8]

Общая формула

Треугольник Герона, также известный как Треугольник цапли или Треугольник героя, представляет собой треугольник с целыми сторонами и целой площадью. У каждого треугольника Герона есть стороны, пропорциональные^[9]

${ Displaystyle а = п (м ^ {2} + к ^ {2}) ,}$

${ Displaystyle б = м (п ^ {2} + к ^ {2}) ,}$

${ Displaystyle с = (т + п) (мн-к ^ {2}) ,}$

${ displaystyle { text {Semiperimeter}} = мин (т + п) ,}$

${ displaystyle { text {Area}} = mnk (m + n) (mn-k ^ {2}) ,}$

для целых чисел м, п и k с учетом ограничений:

${ Displaystyle НОД {(т, п, к)} = 1 ,}$

${ displaystyle mn> к ^ {2} geq m ^ {2} n / (2m + n) ,}$

${ Displaystyle м geq п geq 1 ,}$.

Коэффициент пропорциональности обычно является рациональным.${ displaystyle { frac {p} {q}}}$ куда${ displaystyle q = gcd {(a, b, c)}}$ сводит сгенерированный треугольник Герона к его примитиву и${ displaystyle p}$ масштабирует этот примитив до необходимого размера.

Пифагоровы треугольники

Треугольник Пифагора является прямоугольным и героническим. Его три целые стороны известны как Пифагорейская тройка или же Пифагорейский триплет или же Пифагорейская триада.^[10] Все тройки Пифагора ${ Displaystyle (а, б, в)}$ с гипотенузой ${ displaystyle c}$ которые примитивный (стороны, не имеющие общего множителя) могут быть порождены

${ Displaystyle а = м ^ {2} -n ^ {2}, ,}$

${ displaystyle b = 2mn, ,}$

${ Displaystyle с = м ^ {2} + п ^ {2}, ,}$

${ displaystyle { text {Semiperimeter}} = m (m + n) ,}$

${ displaystyle { text {Area}} = mn (m ^ {2} -n ^ {2}) ,}$

куда м и п находятся совмещать целые числа и одно из них четное с м > п.

Каждое четное число больше 2 может быть катетом треугольника Пифагора (не обязательно примитивным), потому что если катет задается ${ displaystyle a = 2m}$ и мы выбираем ${ displaystyle b = (a / 2) ^ {2} -1 = m ^ {2} -1}$ в качестве другой ноги гипотенуза ${ displaystyle c = m ^ {2} +1}$.^[11] По сути, это приведенная выше формула генерации с ${ displaystyle n}$ установить в 1 и разрешить ${ displaystyle m}$ в диапазоне от 2 до бесконечности.

Треугольники Пифагора с целой высотой от гипотенузы

Не существует примитивных треугольников Пифагора с целой высотой от гипотенузы. Это потому, что удвоенная площадь равна любому основанию, умноженному на соответствующую высоту: удвоенная площадь, таким образом, равна обоим ab и CD куда d высота от гипотенузы c. Три стороны примитивного треугольника взаимно просты, поэтому d = ​^ab⁄_c находится в полностью восстановленном виде; поскольку c не может равняться 1 для любого примитивного треугольника Пифагора, d не может быть целым числом.

Однако любой треугольник Пифагора с катетами Икс, у и гипотенуза z может сгенерировать треугольник Пифагора с целочисленной высотой, увеличивая стороны на длину гипотенузы z. Если d - высота, то сгенерированный треугольник Пифагора с целой высотой имеет вид^[12]

${ displaystyle (a, b, c, d) = (xz, yz, z ^ {2}, xy). ,}$

Следовательно, все треугольники Пифагора с ножками а и б, гипотенуза c, и целочисленная высота d от гипотенузы, с НОД (а, б, в, г) = 1, которые обязательно имеют оба а² + б² = c² и ${ displaystyle { tfrac {1} {a ^ {2}}} + { tfrac {1} {b ^ {2}}} = { tfrac {1} {d ^ {2}}}}$, порождаются^[13][12]

${ displaystyle a = (m ^ {2} -n ^ {2}) (m ^ {2} + n ^ {2}), ,}$

${ displaystyle b = 2mn (m ^ {2} + n ^ {2}), ,}$

${ Displaystyle с = (м ^ {2} + п ^ {2}) ^ {2}, ,}$

${ displaystyle d = 2mn (m ^ {2} -n ^ {2}), ,}$

${ displaystyle { text {Semiperimeter}} = m (m + n) (m ^ {2} + n ^ {2}) ,}$

${ displaystyle { text {Area}} = mn (m ^ {2} -n ^ {2}) (m ^ {2} + n ^ {2}) ^ {2} ,}$

для взаимно простых целых чисел м, п с м > п.

Треугольники Герона со сторонами в арифметической прогрессии

Треугольник с целыми сторонами и целой площадью имеет стороны в арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда^[14] стороны (б – d, б, б + d), куда

${ Displaystyle Ь = 2 (м ^ {2} + 3n ^ {2}) / г, ,}$

${ Displaystyle д = (м ^ {2} -3n ^ {2}) / г, ,}$

и где грамм является наибольшим общим делителем ${ displaystyle m ^ {2} -3n ^ {2},}$ ${ displaystyle 2mn}$, и ${ displaystyle m ^ {2} + 3n ^ {2}.}$

Треугольники Герона с одним углом, равным дважды другому

Все треугольники Герона с B = 2A порождаются^[15] либо

${ displaystyle a = { tfrac {k ^ {2} (s ^ {2} + r ^ {2}) ^ {2}} {4}}, ,}$

${ displaystyle b = { tfrac {k ^ {2} (s ^ {4} -r ^ {4})} {2}}, ,}$

${ displaystyle c = { tfrac {k ^ {2} (3s ^ {4} -10s ^ {2} r ^ {2} + 3r ^ {4})} {4}} ,}$

${ displaystyle { text {Area}} = { tfrac {k ^ {2} csr (s ^ {2} -r ^ {2})} {2}} ,}$

с целыми числами k, s, р такой, что s² > 3р², или же

${ displaystyle a = { tfrac {q ^ {2} (u ^ {2} + v ^ {2}) ^ {2}} {4}} ,}$,

${ displaystyle b = q ^ {2} uv (u ^ {2} + v ^ {2}) ,}$,

${ displaystyle c = { tfrac {q ^ {2} (14u ^ {2} v ^ {2} -u ^ {4} -v ^ {4})} {4}} ,}$,

${ displaystyle { text {Area}} = { tfrac {q ^ {2} cuv (v ^ {2} -u ^ {2})} {2}} ,}$,

с целыми числами q, ты, v такой, что v > ты и v² < (7+4√3)ты².

Нет треугольников Герона с B = 2А являются равнобедренными или прямоугольными, потому что все результирующие комбинации углов образуют углы с нерациональными синусами, что дает нерациональную площадь или сторону.

Равнобедренные героновские треугольники

Все равнобедренный Треугольники Герона разложимы. Они образованы путем соединения двух конгруэнтных треугольников Пифагора вдоль любого из их общих катетов, так что равные стороны равнобедренного треугольника являются гипотенусами треугольников Пифагора, а основание равнобедренного треугольника вдвое больше другого катета Пифагора. Следовательно, каждый пифагоровский треугольник является строительным блоком для двух равнобедренных треугольников Герона, поскольку соединение может быть вдоль любой стороны. Все пары равнобедренных треугольников Герона задаются рациональными кратными^[16]

${ displaystyle a = 2 (u ^ {2} -v ^ {2}),}$

${ displaystyle b = u ^ {2} + v ^ {2},}$

${ displaystyle c = u ^ {2} + v ^ {2},}$

и

${ displaystyle a = 4uv,}$

${ displaystyle b = u ^ {2} + v ^ {2},}$

${ displaystyle c = u ^ {2} + v ^ {2},}$

для взаимно простых целых чисел ты и v с ты > v и ты + v странный.

Треугольники Герона, периметр которых в четыре раза больше простого

Было показано, что треугольник Герона, периметр которого в четыре раза больше простого числа, однозначно связан с простым числом и что простое число имеет вид ${ displaystyle 1 { text {или}} 3 { text {mod}} 8}$. ^[17][18] Как известно, такое простое ${ displaystyle p}$ можно однозначно разбить на целые числа ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ такой, что ${ displaystyle p = m ^ {2} + 2n ^ {2}}$ (видеть Идонеальные числа Эйлера ). Кроме того, было показано, что такие треугольники Герона примитивны, поскольку наименьшая сторона треугольника должна быть равна штриху, составляющему одну четверть его периметра.

Следовательно, все примитивные треугольники Герона, периметр которых в четыре раза больше простого числа, могут быть порождены формулой

${ Displaystyle а = м ^ {2} + 2n ^ {2}}$

${ displaystyle b = m ^ {2} + 4n ^ {2}}$

${ Displaystyle с = 2 (м ^ {2} + п ^ {2})}$

${ displaystyle { text {Semiperimeter}} = 2a = 2 (m ^ {2} + 2n ^ {2})}$

${ displaystyle { text {Area}} = 2mn (m ^ {2} + 2n ^ {2})}$

для целых чисел ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ такой, что ${ displaystyle m ^ {2} + 2n ^ {2}}$ это простое число.

Кроме того, факторизация площади равна ${ displaystyle 2mnp}$ куда ${ displaystyle p = m ^ {2} + 2n ^ {2}}$ простое. Однако площадь треугольника Герона всегда делится на ${ displaystyle 6}$. Это дает результат, кроме того, когда ${ displaystyle m = 1}$ и ${ Displaystyle п = 1,}$ который дает ${ displaystyle p = 3,}$ все остальные части ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ должны быть ${ displaystyle m}$ странно, только один из них делится на ${ displaystyle 3}$.

Треугольники Герона с целыми inradius и exradii

Существует бесконечно много разложимых и бесконечно много неразложимых примитивных треугольников Герона (непифагорова) с целыми радиусами для окружать и каждый внеокружность.^{[19]:Thms. 3 и 4} Семейство разложимых:

${ displaystyle a = 4n ^ {2}, quad quad b = (2n + 1) (2n ^ {2} -2n + 1), quad quad c = (2n-1) (2n ^ {2 } + 2n + 1),}$

${ displaystyle r = 2n-1, quad quad r_ {a} = 2n + 1, quad quad r_ {b} = 2n ^ {2}, quad quad r_ {c} = { text { Площадь}} = 2n ^ {2} (2n-1) (2n + 1);}$

а семейство неразложимых дается выражением

${ displaystyle a = 5 (5n ^ {2} + n-1), quad quad b = (5n + 3) (5n ^ {2} -4n + 1), quad quad c = (5n- 2) (5n ^ {2} + 6n + 2),}$

${ displaystyle r = 5n-2, quad quad r_ {a} = 5n + 3, quad quad r_ {b} = 5n ^ {2} + n-1, quad quad r_ {c} = { text {Area}} = (5n-2) (5n + 3) (5n ^ {2} + n-1).}$

Героновские треугольники как грани тетраэдра

Существуют тетраэдры имеющий целочисленный объем и треугольники Герона как лица. В одном примере один край 896, противоположный край 190 и четыре других края 1073; две грани имеют площадь 436800, две другие - 47120, а объем - 62092800.^{[10]:стр.107}

Треугольники Герона в двумерной решетке

2D решетка - это регулярный массив изолированных точек, где, если в качестве Декартово происхождение (0, 0), то все остальные точки находятся в (х, у) куда Икс и у диапазон по всем положительным и отрицательным целым числам. Решетчатый треугольник - это любой треугольник, нарисованный внутри двумерной решетки, все вершины которого лежат в точках решетки. К Теорема Пика решетчатый треугольник имеет рациональную площадь, которая либо является целым числом, либо имеет знаменатель 2. Если решетчатый треугольник имеет целые стороны, то он эероновский с целой площадью.^[20]

Кроме того, было доказано, что все треугольники Герона можно нарисовать как решетчатые треугольники.^[21][22] Следовательно, целочисленный треугольник является героновским тогда и только тогда, когда его можно нарисовать как решетчатый треугольник.

Существует бесконечно много примитивных треугольников Герона (непифагорова), которые можно разместить на целочисленной решетке со всеми вершинами, т.е. стимулятор, и все три превосходители в точках решетки. Два семейства таких треугольников имеют параметризацию, указанную выше в # Героновские треугольники с целым числом inradius и exradii.^{[19]:Thm. 5}

Целочисленные автомедианные треугольники

Автомедианный треугольник - это треугольник, медианы которого имеют те же пропорции (в обратном порядке), что и стороны. Если Икс, у, и z - это три стороны прямоугольного треугольника, отсортированные в порядке возрастания по размеру, и если 2Икс < z, тогда z, Икс + у, и у − Икс - три стороны автомедианного треугольника. Например, прямоугольный треугольник с длинами сторон 5, 12 и 13 может использоваться таким образом для образования наименьшего нетривиального (т. Е. неравносторонний ) целочисленный автомедианный треугольник с длинами сторон 13, 17 и 7.^[23]

Следовательно, используя Формула евклида, который генерирует примитивные треугольники Пифагора, можно генерировать примитивные целочисленные автомедианные треугольники как

${ displaystyle a = | m ^ {2} -2mn-n ^ {2} |}$

${ displaystyle b = m ^ {2} + 2mn-n ^ {2}}$

${ displaystyle c = m ^ {2} + n ^ {2}}$

с ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ coprime и ${ displaystyle m + n}$ странно, и ${ Displaystyle п <м <п { sqrt {3}}}$ (если количество внутри знаков абсолютного значения отрицательное) или${ displaystyle m> (2 + { sqrt {3}}) n}$ (если это количество положительно), чтобы удовлетворить неравенство треугольника.

Важной характеристикой автомедианного треугольника является то, что квадраты его сторон образуют арифметическая прогрессия. Конкретно, ${ displaystyle c ^ {2} -a ^ {2} = b ^ {2} -c ^ {2}}$ так ${ displaystyle 2c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$.

Целочисленные треугольники с определенными угловыми свойствами

Целочисленные треугольники с биссектрисой рационального угла

Семейство треугольников с целыми сторонами ${ displaystyle a, b, c}$ и с рациональной биссектрисой ${ displaystyle d}$ угла A определяется выражением^[24]

${ Displaystyle а = 2 (к ^ {2} -м ^ {2}), ,}$

${ Displaystyle б = (к-м) ^ {2}, ,}$

${ Displaystyle с = (к + м) ^ {2}, ,}$

${ displaystyle d = { tfrac {2 км (k ^ {2} -m ^ {2})} {k ^ {2} + m ^ {2}}}, ,}$

с целыми числами ${ displaystyle k> m> 0}$.

Целочисленные треугольники с целым числом п-секторы всех углов

Существует бесконечно много непохожих треугольников, в которых три стороны и биссектрисы каждого из трех углов являются целыми числами.^[25]

Существует бесконечно много непохожих треугольников, в которых три стороны и два трисектора каждого из трех углов являются целыми числами.^[25]

Однако для п > 3 не существует треугольников, у которых три стороны и (п–1) п-сектора каждого из трех углов являются целыми числами.^[25]

Целочисленные треугольники с одним углом и заданным рациональным косинусом

Некоторые целые треугольники с одним углом при вершине А дав рациональный косинус ч / к (час<0 или> 0; k> 0) имеют вид^[26]

${ displaystyle a = p ^ {2} -2pqh + q ^ {2} k ^ {2},}$

${ displaystyle b = p ^ {2} -q ^ {2} k ^ {2},}$

${ Displaystyle с = 2qk (п-qh),}$

куда п и q любые взаимно простые положительные целые числа такие, что p> qk.

Целочисленные треугольники с углом 60 ° (углы в арифметической прогрессии)

Все целые треугольники с углом 60 ° имеют свои углы в арифметической прогрессии. Все такие треугольники пропорциональны:^[6]

${ displaystyle a = 4mn ,}$

${ displaystyle b = 3m ^ {2} + n ^ {2} ,}$

${ Displaystyle c = 2mn + | 3m ^ {2} -n ^ {2} | ,}$

с взаимно простыми целыми числами м, п и 1 ≤п ≤ м или 3м ≤ п. Отсюда все примитивные решения могут быть получены делением а, б, и c на их наибольший общий делитель.

Целочисленные треугольники с углом 60 ° также могут быть созданы с помощью^[27]

${ displaystyle a = m ^ {2} -mn + n ^ {2} ,}$

${ displaystyle b = 2mn-n ^ {2} ,}$

${ Displaystyle с = м ^ {2} -n ^ {2} ,}$

с взаимно простыми целыми числами м, п с 0 <п < м (угол 60 ° противоположен стороне длины а). Отсюда все примитивные решения могут быть получены делением а, б, и c на их наибольший общий делитель (например, решение равностороннего треугольника получается, взяв м = 2 и п = 1, но это дает а = б = c = 3, что не является примитивным решением). Смотрите также ^[28][29]

Точнее, если ${ Displaystyle м = -n (мод 3)}$, тогда ${ displaystyle gcd (a, b, c) = 3}$, иначе ${ displaystyle gcd (a, b, c) = 1}$. Две разные пары ${ Displaystyle (м, п)}$ и ${ Displaystyle (м, м-п)}$ генерировать такую ​​же тройку. К сожалению, обе пары могут иметь gcd = 3, поэтому мы не можем избежать дублирования, просто пропустив этот случай. Вместо этого дубликатов можно избежать, ${ displaystyle n}$ иду только до ${ displaystyle m / 2}$. Нам все равно нужно разделить на 3, если gcd = 3. Единственное решение для ${ Displaystyle п = м / 2}$ при указанных выше ограничениях ${ Displaystyle (3,3,3) эквив (1,1,1)}$ за ${ Displaystyle m = 2, n = 1}$. С этим дополнительным ${ Displaystyle п Leq м / 2}$ ограничение все тройки могут быть сгенерированы однозначно.

An Тройка Эйзенштейна представляет собой набор целых чисел, которые представляют собой длины сторон треугольника, в котором один из углов равен 60 градусам.

Целочисленные треугольники с углом 120 °

Целочисленные треугольники с углом 120 ° могут быть созданы с помощью^[30]

${ Displaystyle а = м ^ {2} + мин + п ^ {2}, ,}$

${ displaystyle b = 2mn + n ^ {2}, ,}$

${ Displaystyle с = м ^ {2} -n ^ {2} ,}$

с взаимно простыми целыми числами м, п с 0 <п < м (угол 120 ° противоположен стороне длины а). Отсюда все примитивные решения могут быть получены делением а, б, и c на их наибольший общий делитель. Наименьшее решение для м= 2 и п= 1, это треугольник со сторонами (3,5,7). Смотрите также.^[28][29]

Точнее, если ${ Displaystyle м = п (мод 3)}$, тогда ${ displaystyle gcd (a, b, c) = 3}$, иначе ${ displaystyle gcd (a, b, c) = 1}$. С самой большой стороны а может быть сгенерирован только с одним ${ Displaystyle (м, п)}$ пары, каждая примитивная тройка может быть сгенерирована ровно двумя способами: один раз напрямую с gcd = 1 и один раз косвенно с gcd = 3. Следовательно, чтобы однозначно сгенерировать все примитивные тройки, можно просто добавить дополнительные ${ Displaystyle м neq п (мод 3)}$ условие.^{[нужна цитата ]}

Целочисленные треугольники с одним углом, равным произвольному рациональному числу, умноженному на другой угол

Для положительных относительно простых целых чисел час и k, треугольник со следующими сторонами имеет углы ${ displaystyle h alpha}$, ${ Displaystyle к альфа}$, и ${ Displaystyle пи - (ч + к) альфа}$ а значит, два угла в соотношении ч: к, а его стороны целые:^[31]

${ displaystyle a = q ^ {h + k-1} { frac { sin h alpha} { sin alpha}} = q ^ {k} cdot sum _ {0 leq i leq { frac {h-1} {2}}} (- 1) ^ {i} { binom {h} {2i + 1}} p ^ {h-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}$

${ displaystyle b = q ^ {h + k-1} { frac { sin k alpha} { sin alpha}} = q ^ {h} cdot sum _ {0 leq i leq { frac {k-1} {2}}} (- 1) ^ {i} { binom {k} {2i + 1}} p ^ {k-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}$

${ displaystyle c = q ^ {h + k-1} { frac { sin (h + k) alpha} { sin alpha}} = sum _ {0 leq i leq { frac { h + k-1} {2}}} (- 1) ^ {i} { binom {h + k} {2i + 1}} p ^ {h + k-2i-1} (q ^ {2}) -p ^ {2}) ^ {i},}$

куда ${ displaystyle alpha = cos ^ {- 1} { frac {p} {q}}}$ и п и q любые относительно простые целые числа такие, что ${ displaystyle cos { frac { pi} {h + k}} <{ frac {p} {q}} <1}$.

Целочисленные треугольники с одним углом, дважды равным другому

С углом А противоположной стороны ${ displaystyle a}$ и угол B противоположной стороны ${ displaystyle b}$, некоторые треугольники с B = 2A порождаются^[32]

${ Displaystyle а = п ^ {2}, ,}$

${ Displaystyle б = мин ,}$

${ Displaystyle с = м ^ {2} -n ^ {2}, ,}$

с целыми числами м, п такое, что 0 <п < м < 2п.

Все треугольники с B = 2А (целое или нет)^[33] ${ Displaystyle а (а + с) = Ь ^ {2}}$.

Целочисленные треугольники с одним углом, равным 3/2 другого.

Класс эквивалентности подобных треугольников с ${ Displaystyle B = { tfrac {3} {2}} A}$ генерируются^[32]

${ Displaystyle а = мн ^ {3}, ,}$

${ displaystyle b = n ^ {2} (m ^ {2} -n ^ {2}), ,}$

${ displaystyle c = (m ^ {2} -n ^ {2}) ^ {2} -m ^ {2} n ^ {2}, ,}$

с целыми числами ${ displaystyle m, n}$ такой, что ${ displaystyle 0 < varphi n$, куда ${ displaystyle varphi}$ это Золотое сечение ${ displaystyle varphi = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} приблизительно 1.61803}$.

Все треугольники с ${ Displaystyle B = { tfrac {3} {2}} A}$ (с целыми сторонами или без) удовлетворяют ${ displaystyle (b ^ {2} -a ^ {2}) (b ^ {2} -a ^ {2} + bc) = a ^ {2} c ^ {2}}$.

Целочисленные треугольники с одним углом трижды другим

Мы можем сгенерировать полный класс эквивалентности аналогичных треугольников, удовлетворяющих B = 3A, с помощью формул ^[34]

${ Displaystyle а = п ^ {3}, ,}$

${ displaystyle b = n (m ^ {2} -n ^ {2}), ,}$

${ Displaystyle с = м (м ^ {2} -2n ^ {2}), ,}$

куда ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ целые числа такие, что ${ displaystyle { sqrt {2}} n$.

Все треугольники с B = 3A (с целыми сторонами или без) удовлетворяют ${ displaystyle ac ^ {2} = (b-a) ^ {2} (b + a)}$.

Целочисленные треугольники с тремя рациональными углами

Единственный целочисленный треугольник с тремя рациональными углами (рациональное число градусов или, что эквивалентно, рациональные доли полного поворота) - это равносторонний треугольник.^[3] Это потому, что целые стороны подразумевают три рациональных косинусы посредством закон косинусов, и по Теорема Нивена рациональный косинус совпадает с рациональным углом тогда и только тогда, когда косинус равен 0, ± 1/2 или ± 1. Единственные из них, дающие угол строго между 0 ° и 180 °, - это значение косинуса 1/2 для угла 60 °, значение косинуса -1/2 для угла 120 ° и значение косинуса 0 для угла 90 °. Единственная комбинация трех из них, позволяющая многократно использовать любой из них и в сумме 180 °, - это три угла 60 °.

Целочисленные треугольники с целым отношением радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу

Условия известны с точки зрения эллиптические кривые чтобы целочисленный треугольник имел целочисленное отношение N из по окружности к inradius.^[35][36] Наименьший случай, случай равносторонний треугольник, имеет N= 2. Во всех известных случаях N ≡ 2 (mod 8) - то есть N–2 делится на 8.

Пары треугольников 5-Con

Пара треугольников 5-Con - это пара треугольников, которые похожий но нет конгруэнтный и которые разделяют три угла и две стороны. Примитивные целочисленные треугольники 5-Con, в которых четыре различных целочисленных стороны (две стороны, каждая из которых появляется в обоих треугольниках, и одна другая сторона в каждом треугольнике) не имеют общего делителя, имеют тройки сторон

${ Displaystyle (х ^ {3}, х ^ {2} у, ху ^ {2})}$ и ${ Displaystyle (х ^ {2} у, ху ^ {2}, у ^ {3})}$

для положительных взаимно простых целых чисел Икс и у. Самый маленький пример - пара (8, 12, 18), (12, 18, 27), порожденная Икс = 2, у = 3.

Конкретные целые треугольники

• Единственный треугольник с последовательными целыми числами для сторон и площади имеет стороны (3, 4, 5) и площадь 6.
• Единственный треугольник с последовательными целыми числами для высоты и сторон имеет стороны (13, 14, 15) и высоту со стороны 14, равную 12.
• Треугольник (2, 3, 4) и его кратные - единственные треугольники с целыми сторонами в арифметической прогрессии и имеющие свойство дополнительного внешнего угла.^[37][38][39] Это свойство указывает, что если угол C тупой и сегмент отброшен из точки B, перпендикулярно пересекающейся с AC расширенный в точке P, то ∠CAB = 2∠CBP.
• Треугольник (3, 4, 5) и его кратные - единственные целые прямоугольные треугольники со сторонами в арифметической прогрессии.^[39]
• Треугольник (4, 5, 6) и его кратные - единственные треугольники, у которых один угол равен двум другим и имеет целые стороны в арифметической прогрессии.^[39]
• Треугольник (3, 5, 7) и его кратные - единственные треугольники с углом 120 ° и целыми сторонами в арифметической прогрессии.^[39]
• Единственный целочисленный треугольник с площадью = полупериметр^[40] имеет стороны (3, 4, 5).
• Единственные целые треугольники с площадью периметра имеют стороны^[40][41] (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) и (9, 10, 17). Из них первые два, но не последние три, являются прямоугольными.
• Существуют целочисленные треугольники с тремя рациональными медианы.^{[10]:п. 64} У самого маленького есть стороны (68, 85, 87). Другие включают (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) и (327, 386, 409).
• Равнобедренных треугольников Пифагора нет.^[16]
• Единственными примитивными треугольниками Пифагора, у которых квадрат периметра равен целому числу, кратному площади, являются (3, 4, 5) с периметром 12 и площадью 6 и с отношением квадрата периметра к площади 24; (5, 12, 13) с периметром 30 и площадью 30 и с отношением квадрата периметра к площади 30; и (9, 40, 41) с периметром 90 и площадью 180 и с отношением квадрата периметра к площади 45.^[42]
• Существует единственная (с точностью до подобия) пара рационального прямоугольного треугольника и рационального равнобедренного треугольника, которые имеют одинаковый периметр и одинаковую площадь. Уникальная пара состоит из треугольника (377, 135, 352) и треугольника (366, 366, 132).^[43] Не существует пары таких треугольников, если требуется, чтобы они также были примитивными целыми треугольниками.^[43] Авторы подчеркивают поразительный факт, что второе утверждение может быть доказано элементарной аргументацией (они делают это в своем приложении A), в то время как первое утверждение требует современной весьма нетривиальной математики.

Смотрите также

• Пентагон Роббинса, циклический пятиугольник с целыми сторонами и целой площадью
• Кирпич Эйлера, кубоид с целыми ребрами и целыми диагоналями граней
• Тетраэдр # Целочисленные тетраэдры

Рекомендации