Арифметическая прогрессия - Arithmetic progression

Визуальное доказательство вывода формул арифметической прогрессии - выцветшие блоки представляют собой повернутую копию арифметической прогрессии

В математика, арифметическая прогрессия (AP) или арифметическая последовательность это последовательность из числа таким образом, чтобы разница между последовательными членами была постоянной. Например, последовательность 5, 7, 9, 11, 13, 15,. . . представляет собой арифметическую прогрессию с общей разностью 2.

Если начальный член арифметической прогрессии равен и общая разница последовательных членов d, то п-й член последовательности () дан кем-то:

,

и вообще

.

Конечная часть арифметической прогрессии называется конечная арифметическая прогрессия а иногда просто называется арифметической прогрессией. В сумма конечной арифметической прогрессии называется арифметический ряд.

Сумма

2+5+8+11+14=40
14+11+8+5+2=40

16+16+16+16+16=80

Вычисление суммы 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Когда последовательность переворачивается и добавляется к самой себе член за членом, результирующая последовательность имеет одно повторяющееся значение в нем, равное сумме первого и последнего чисел (2 + 14 = 16). Таким образом, 16 × 5 = 80 - это удвоенная сумма.

В сумма членов конечной арифметической прогрессии называется арифметический ряд. Например, рассмотрим сумму:

Эту сумму можно быстро найти, взяв число п складываемых членов (здесь 5), умножения на сумму первого и последнего числа в прогрессии (здесь 2 + 14 = 16) и деления на 2:

В приведенном выше случае это дает уравнение:

Эта формула работает для любых действительных чисел и . Например:

Вывод

Анимированное доказательство формулы, дающей сумму первых целых чисел 1 + 2 + ... + n.

Чтобы вывести приведенную выше формулу, начните с выражения арифметического ряда двумя разными способами:

Сложив обе части двух уравнений, все члены, содержащие d Отмена:

Разделив обе части на 2, мы получим уравнение общей формы:

Альтернативная форма является результатом повторной вставки подстановки: :

Кроме того, среднее значение ряда можно рассчитать с помощью: :

Формула очень похожа на среднее значение дискретное равномерное распределение.

В 499 г. Арьябхата видный математик -астроном с классической эпохи Индийская математика и Индийская астрономия, дал этот метод в Арьябхатия (раздел 2.19).

Согласно анекдоту сомнительной надежности,[1] молодой Карл Фридрих Гаусс в начальной школе заново изобрели этот метод для вычисления суммы целых чисел от 1 до 100.

Товар

В товар членов конечной арифметической прогрессии с начальным элементом а1, общие отличия d, и п элементов в сумме определяется в замкнутом выражении

где обозначает Гамма-функция. Формула недействительна, если отрицательное значение или ноль.

Это обобщение того факта, что продукт прогрессии дается факториал и что продукт

за положительные целые числа и дан кем-то

Вывод

где обозначает возрастающий факториал.

По формуле рекуррентности , действительно для комплексного числа ,

,
,

так что

за положительное целое число и положительное комплексное число.

Таким образом, если ,

,

и наконец,

Примеры

Пример 1

Взяв пример , произведение членов арифметической прогрессии по формуле до 50th срок

Пример 2

Произведение первых 10 нечетных чисел дан кем-то

= 654,729,075

Среднеквадратичное отклонение

Стандартное отклонение любой арифметической прогрессии можно рассчитать как

где - количество членов в прогрессии и это общая разница между терминами. Формула очень похожа на стандартное отклонение дискретное равномерное распределение.

Перекрестки

В пересечение любых двух дважды бесконечных арифметических прогрессий либо пуста, либо другая арифметическая прогрессия, которую можно найти с помощью Китайская теорема об остатках. Если каждая пара прогрессий в семействе дважды бесконечных арифметических прогрессий имеет непустое пересечение, то существует общее для всех них число; то есть бесконечные арифметические прогрессии образуют Семья Хелли.[2] Однако пересечение бесконечного множества бесконечных арифметических прогрессий может быть одним числом, а не бесконечной прогрессией.

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ Хейс, Брайан (2006). "День расплаты Гаусса". Американский ученый. 94 (3): 200. Дои:10.1511/2006.59.200. В архиве из оригинала 12 января 2012 г.. Получено 16 октября 2020.
  2. ^ Duchet, Pierre (1995), «Hypergraphs», в Graham, R.L .; Грётшель, М.; Ловас, Л. (ред.), Справочник по комбинаторике, Vol. 1, 2, Амстердам: Elsevier, стр. 381–432, Г-Н  1373663. См., В частности, Раздел 2.5 «Собственность Helly», стр. 393–394.

внешняя ссылка