Чередование серий - Alternating series

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Чередующиеся серии»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Январь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, чередующийся ряд является бесконечная серия формы

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} a_ {n}}$ или же ${ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {п + 1} а_ {п}}$

с а_п > 0 для всехп. Знаки общих терминов чередуются между положительными и отрицательными. Как и любой сериал, чередующийся серия сходится тогда и только тогда, когда соответствующая последовательность частичных сумм сходится.

Примеры

Геометрическая серия 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ суммы до 1/3.

В переменный гармонический ряд имеет конечную сумму, но гармонический ряд не.

В Серия Меркатор дает аналитическое выражение натуральный логарифм:

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} x ^ {n} ; = ; ln (1+ Икс).}$

Функции синуса и косинуса, используемые в тригонометрия могут быть определены как чередующиеся ряды в исчислении, даже если они вводятся в элементарной алгебре как отношение сторон прямоугольного треугольника. Фактически,

${ displaystyle sin x = sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}}$, и

${ displaystyle cos x = sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}.}$

Когда коэффициент переменного (–1)^п удаляется из этих рядов, получаем гиперболические функции sinh и cosh, используемые в расчетах.

Для целого или положительного индекса α Функция Бесселя первого рода можно определить с помощью знакопеременного ряда

${ displaystyle J _ { alpha} (x) = sum _ {m = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {m}} {m! , Gamma (m + alpha + 1)}} { left ({ frac {x} {2}} right)} ^ {2m + alpha}}$ где Γ (z) это гамма-функция.

Если s это комплексное число, то Эта функция Дирихле формируется как чередующийся ряд

${ displaystyle eta (s) = sum _ {n = 1} ^ { infty} {(- 1) ^ {n-1} over n ^ {s}} = { frac {1} {1 ^ {s}}} - { frac {1} {2 ^ {s}}} + { frac {1} {3 ^ {s}}} - { frac {1} {4 ^ {s}} } + cdots}$

что используется в аналитическая теория чисел.

Испытание чередующейся серии

Теорема, известная как «тест Лейбница» или испытание чередующейся последовательностью говорит нам, что чередующийся ряд будет сходиться, если члены а_п сходятся к 0 монотонно.

Доказательство. Предположим, что последовательность ${ displaystyle a_ {n}}$ сходится к нулю и монотонно убывает. Если ${ displaystyle m}$ это странно и ${ Displaystyle м <п}$, получаем оценку ${ Displaystyle S_ {n} -S_ {m} leq a_ {m}}$ с помощью следующего расчета:

${ displaystyle { begin {align} S_ {n} -S_ {m} & = sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} , a_ {k} , - , sum _ {k = 0} ^ {m} , (- 1) ^ {k} , a_ {k} = sum _ {k = m + 1} ^ {n} , (- 1 ) ^ {k} , a_ {k} & = a_ {m + 1} -a_ {m + 2} + a_ {m + 3} -a_ {m + 4} + cdots + a_ {n} & = displaystyle a_ {m + 1} - (a_ {m + 2} -a_ {m + 3}) - (a_ {m + 4} -a_ {m + 5}) - cdots -a_ { n} leq a_ {m + 1} leq a_ {m}. end {выровнено}}}$

С ${ displaystyle a_ {n}}$ монотонно убывает, слагаемые ${ displaystyle - (а_ {м} -а_ {м + 1})}$ отрицательны. Таким образом, имеем окончательное неравенство: ${ Displaystyle S_ {n} -S_ {m} leq a_ {m}}$. Аналогичным образом можно показать, что ${ displaystyle -a_ {m} leq S_ {n} -S_ {m}}$. С ${ displaystyle a_ {m}}$ сходится к ${ displaystyle 0}$, наши частичные суммы ${ displaystyle S_ {m}}$ сформировать Последовательность Коши (т.е. серия удовлетворяет Критерий Коши ) и поэтому сходятся. Аргумент в пользу ${ displaystyle m}$ даже похоже.

Примерные суммы

Приведенная выше оценка не зависит от ${ displaystyle n}$. Так что если ${ displaystyle a_ {n}}$ монотонно приближается к 0, оценка дает граница ошибки для приближения бесконечных сумм частичными суммами:

${ displaystyle left | sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} , a_ {k} , - , sum _ {k = 0} ^ {m} , (- 1) ^ {k} , a_ {k} right | leq | a_ {m + 1} |.}$

Абсолютная конвергенция

Серия ${ Displaystyle сумма а_ {п}}$ сходится абсолютно если сериал ${ displaystyle sum | a_ {n} |}$ сходится.

Теорема: абсолютно сходящиеся ряды сходятся.

Доказательство: предположим ${ Displaystyle сумма а_ {п}}$ абсолютно сходится. Потом, ${ displaystyle sum | a_ {n} |}$ сходится, и отсюда следует, что ${ Displaystyle сумма 2 | а_ {п} |}$ тоже сходится. С ${ displaystyle 0 leq a_ {n} + | a_ {n} | leq 2 | a_ {n} |}$, сериал ${ Displaystyle сумма (а_ {п} + | а_ {п} |)}$ сходится сравнительный тест. Следовательно, серия ${ Displaystyle сумма а_ {п}}$ сходится как разность двух сходящихся рядов ${ displaystyle sum a_ {n} = sum (a_ {n} + | a_ {n} |) - sum | a_ {n} |}$.

Условная сходимость

Серия условно сходящийся если он сходится, но не сходится абсолютно.

Например, гармонический ряд

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n}}, !}$

расходится, а альтернативная версия

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}}, !}$

сходится испытание с переменной последовательностью.

Перестановки

Для любого ряда мы можем создать новый ряд, изменив порядок суммирования. Серия безусловно сходящийся если какая-либо перестановка создает ряд с той же сходимостью, что и исходный ряд. Абсолютно сходящиеся ряды безусловно сходятся. Но Теорема рядов Римана утверждает, что условно сходящиеся ряды можно переставить для создания произвольной сходимости.^[1] Общий принцип состоит в том, что сложение бесконечных сумм коммутативно только для абсолютно сходящихся рядов.

Например, одно ложное доказательство того, что 1 = 0, использует несостоятельность ассоциативности для бесконечных сумм.

Другой пример: мы знаем это

${ displaystyle ln (2) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} = 1 - { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} - { frac {1} {4}} + cdots.}$

Но поскольку ряд не сходится абсолютно, мы можем переставить члены, чтобы получить ряд для ${ displaystyle { frac {1} {2}} ln (2)}$:

${ displaystyle { begin {align} & {} quad left (1 - { frac {1} {2}} right) - { frac {1} {4}} + left ({ frac {1} {3}} - { frac {1} {6}} right) - { frac {1} {8}} + left ({ frac {1} {5}} - { frac {1} {10}} right) - { frac {1} {12}} + cdots [8pt] & = { frac {1} {2}} - { frac {1} {4 }} + { frac {1} {6}} - { frac {1} {8}} + { frac {1} {10}} - { frac {1} {12}} + cdots [8pt] & = { frac {1} {2}} left (1 - { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} - { frac {1} { 4}} + { frac {1} {5}} - { frac {1} {6}} + cdots right) = { frac {1} {2}} ln (2). End {выровнено}}}$

Серийное ускорение

На практике численное суммирование чередующихся рядов можно ускорить, используя любой из множества серийное ускорение техники. Один из старейших методов - это Суммирование Эйлера, и есть много современных методов, которые могут предложить еще более быструю сходимость.

Смотрите также

• Серия Гранди
• Интеграл Норлунда – Райса

Примечания

Рекомендации

• Эрл Д. Рейнвилл (1967) Бесконечная серия, стр 73–6, Macmillan Publishers.
• Вайсштейн, Эрик В. «Чередующиеся серии». MathWorld.