Правило LHôpitals - Википедия - LHôpitals rule

Пример применения правила Л'Опиталь к

ж (Икс) = грех (Икс)

и

грамм (Икс) = -0.5 Икс

: функция

час (Икс) = ж (Икс) / грамм (Икс)

не определено в

Икс = 0

, но может быть завершена до непрерывной функции на всех

р

определяя

час (0) = ж'(0) / грамм'(0) = -2

.

В математика, более конкретно исчисление, Правило L'Hôpital или же Правило L'Hospital (Французский:[лопитал], Английский: /ˌлoʊпяˈтɑːл/, лох-пи-TAHL ) предоставляет методику оценки пределы из неопределенные формы. Применение (или повторное применение) правила часто преобразует неопределенную форму в выражение, которое можно легко вычислить с помощью подстановки. Правило названо в честь 17 века. Французский математик Гийом де л'Опиталь. Хотя это правило часто приписывают Л'Опиталу, теорема была впервые представлена ему в 1694 году швейцарским математиком. Иоганн Бернулли.

Правило L'Hôpital гласит, что для функций $ж$ и $грамм$ которые дифференцируемый на открытом интервал $я$ кроме, возможно, в какой-то момент $c$ содержалась в $я$ , если ${ displaystyle lim _ {x to c} f (x) = lim _ {x to c} g (x) = 0 { text {или}} pm infty,}$ и ${ Displaystyle g '(х) neq 0}$ для всех $Икс$ в $я$ с $Икс \neq c$ , и ${ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)}}}$ существует, тогда

{ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}} = lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g '(Икс)}}.}

Дифференцирование числителя и знаменателя часто упрощает частное или преобразует его в предел, который можно вычислить напрямую.

История

Гийом де л'Опиталь (также пишется l'Hospital^[а]) опубликовал это правило в своей книге 1696 г. Analyze des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (дословный перевод: Анализ бесконечно малого для понимания кривых линий), первый учебник по дифференциальное исчисление.^[1]^[b] Однако считается, что это правило открыл швейцарский математик. Иоганн Бернулли.^[3]^[4]

Общая форма

Общая форма правила Л'Опиталя охватывает многие случаи. Позволять $c$ и $L$ быть расширенные действительные числа (т.е. действительные числа, положительная бесконечность или отрицательная бесконечность). Позволять $я$ быть открытый интервал содержащий $c$ (для двустороннего лимита) или открытый интервал с конечной точкой $c$ (для односторонний предел, или предел на бесконечности если $c$ бесконечно). Действительные функции $ж$ и $грамм$ считаются дифференцируемый на $я$ кроме, возможно, в $c$ , и дополнительно ${ Displaystyle g '(х) neq 0}$ на $я$ кроме, возможно, в $c$ . Также предполагается, что ${ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)}} = L.}$ Таким образом, правило применяется к ситуациям, в которых отношение производных имеет конечный или бесконечный предел, но не к ситуациям, в которых это отношение постоянно колеблется как $Икс$ становится все ближе и ближе к $c$ .

Если либо

{ Displaystyle lim _ {x to c} f (x) = lim _ {x to c} g (x) = 0}

или же

{ displaystyle lim _ {x to c} | f (x) | = lim _ {x to c} | g (x) | = infty,}

тогда

{ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}} = L.}

Хотя мы написали Икс → c повсюду пределы также могут быть односторонними (Икс → c⁺ или же Икс → c⁻), когда $c$ является конечной точкой $я$ .

Во втором случае гипотеза о том, что $ж$ расходится до бесконечности в доказательстве не используется (см. примечание в конце раздела доказательства); таким образом, хотя условия правила обычно формулируются так, как указано выше, второе достаточное условие для того, чтобы процедура правила была действительной, можно более кратко сформулировать как ${ displaystyle lim _ {x to c} | g (x) | = infty.}$

Гипотеза о том, что ${ Displaystyle g '(х) neq 0}$ чаще всего встречается в литературе, но некоторые авторы обходят эту гипотезу, добавляя другие гипотезы в другом месте. Один метод^[5] заключается в определении предела функции с дополнительным требованием, чтобы предельная функция была определена всюду на соответствующем интервале $я$ кроме, возможно, в $c$ .^[c] Другой способ^[6] требует, чтобы оба $ж$ и $грамм$ дифференцируема всюду на отрезке, содержащем $c$ .

Требование наличия лимита

Требование, чтобы предел

{ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)}}}

существует существенно. Без этого условия ${ displaystyle f '}$ или же ${ displaystyle g '}$ могут проявлять незатухающие колебания как ${ displaystyle x}$ подходы ${ displaystyle c}$ , и в этом случае правило L'Hôpital не применяется. Например, если ${ Displaystyle е (х) = х + грех (х)}$ , ${ Displaystyle г (х) = х}$ и ${ displaystyle c = pm infty}$ , тогда

{ displaystyle { frac {f '(x)} {g' (x)}} = { frac {1+ cos (x)} {1}};}

это выражение не приближается к пределу, поскольку ${ displaystyle x}$ идет в ${ displaystyle c}$ , поскольку функция косинуса колеблется между $1$ и $-1$ . Но работая с оригинальными функциями, ${ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {f (x)} {g (x)}}}$ можно показать, что существует:

{ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {f (x)} {g (x)}} = lim _ {x to infty} left (1 + { frac { sin (x)} {x}} right) = 1.}

В таком случае все, что можно сделать, это то, что

{ displaystyle liminf _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)}} leq liminf _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}} leq limsup _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}} leq limsup _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)}},}

так что если предел ж/грамм существует, то он должен лежать между нижним и верхним пределами ж′/грамм′. (В приведенном выше примере это правда, поскольку 1 действительно находится между 0 и 2.)

Примеры

Вот базовый пример, включающий экспоненциальную функцию, которая включает неопределенную форму 0/0 в $Икс = 0$ :

{ displaystyle { begin {align} lim _ {x to 0} { frac {e ^ {x} -1} {x ^ {2} + x}} & = lim _ {x to 0 } { frac {{ frac {d} {dx}} (e ^ {x} -1)} {{ frac {d} {dx}} (x ^ {2} + x)}} [ 4pt] & = lim _ {x to 0} { frac {e ^ {x}} {2x + 1}} [4pt] & = 1. end {выровнено}}}

Это более сложный пример, включающий 0/0. Однократное применение правила L'Hôpital все еще приводит к неопределенной форме. В этом случае предел можно оценить, применив правило трижды:

{ Displaystyle { begin {align} lim _ {x to 0} { frac {2 sin (x) - sin (2x)} {x- sin (x)}} & = lim _ {x to 0} { frac {2 cos (x) -2 cos (2x)} {1- cos (x)}} [4pt] & = lim _ {x to 0} { frac {-2 sin (x) +4 sin (2x)} { sin (x)}} [4pt] & = lim _ {x to 0} { frac {-2 cos (x) +8 cos (2x)} { cos (x)}} [4pt] & = { frac {-2 + 8} {1}} [4pt] & = 6. конец {выровнен}}}

Вот пример с участием ∞/∞:

{ displaystyle lim _ {x to infty} x ^ {n} cdot e ^ {- x} = lim _ {x to infty} { frac {x ^ {n}} {e ^ {x}}} = lim _ {x to infty} { frac {nx ^ {n-1}} {e ^ {x}}} = n cdot lim _ {x to infty} { frac {x ^ {n-1}} {e ^ {x}}}.}

Неоднократно применяйте правило Л'Опиталя до тех пор, пока показатель степени не станет нулевым (если

п

целое число) или отрицательное (если

п

дробно), чтобы заключить, что предел равен нулю.

Вот пример с неопределенной формой $0 \cdot \infty$ (см. ниже), который переписывается в виде ∞/∞:

{ displaystyle lim _ {x to 0 ^ {+}} x ln x = lim _ {x to 0 ^ {+}} { frac { ln x} { frac {1} {x }}} = lim _ {x to 0 ^ {+}} { frac { frac {1} {x}} {- { frac {1} {x ^ {2}}}}} = lim _ {x to 0 ^ {+}} - x = 0.}

Вот пример с участием формула погашения ипотеки и 0/0. Позволять $п$ быть основным (сумма кредита), $р$ процентная ставка за период и $п$ количество периодов. Когда $р$ равна нулю, сумма погашения за период равна ${ displaystyle { frac {P} {n}}}$ (поскольку выплачивается только основная сумма долга); это соответствует формуле для ненулевых процентных ставок:

{ displaystyle { begin {align} lim _ {r to 0} { frac {Pr (1 + r) ^ {n}} {(1 + r) ^ {n} -1}} & = P lim _ {r to 0} { frac {(1 + r) ^ {n} + rn (1 + r) ^ {n-1}} {n (1 + r) ^ {n-1}} } [4pt] & = { frac {P} {n}}. End {align}}}

Можно также использовать правило Лопиталя для доказательства следующей теоремы. Если $ж$ дважды дифференцируема в окрестности точки $Икс$ , тогда

{ displaystyle { begin {align} lim _ {h to 0} { frac {f (x + h) + f (xh) -2f (x)} {h ^ {2}}} & = lim _ {h to 0} { frac {f '(x + h) -f' (xh)} {2h}} [4pt] & = lim _ {h to 0} { frac { f '' (x + h) + f '' (xh)} {2}} [4pt] & = f '' (x). end {выравнивается}}}

Иногда к правилу L'Hôpital прибегают хитрым способом: предположим, $ж (Икс) + ж'(Икс)$ сходится как $Икс \to \infty$ и это ${ Displaystyle е ^ {х} CDOT е (х)}$ сходится к положительной или отрицательной бесконечности. Потом:

{ displaystyle lim _ {x to infty} f (x) = lim _ {x to infty} { frac {e ^ {x} cdot f (x)} {e ^ {x} }} = lim _ {x to infty} { frac {e ^ {x} { bigl (} f (x) + f '(x) { bigr)}} {e ^ {x}} } = lim _ {x to infty} { bigl (} f (x) + f '(x) { bigr)}}

и так,

{ Displaystyle lim _ {х к infty} е (х)}

существует и

{ displaystyle lim _ {x to infty} f '(x) = 0.}

Результат остается верным без дополнительной гипотезы, что

{ Displaystyle е ^ {х} CDOT е (х)}

сходится к положительной или отрицательной бесконечности, но в этом случае обоснование неполное.

Осложнения

Иногда правило L'Hôpital не приводит к ответу за конечное число шагов, если не применяются дополнительные шаги. Примеры включают следующее:

Два приложения могут привести к возврату к исходному выражению, которое должно было быть вычислено:

{ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = lim _ { x to infty} { frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {e ^ {x} + e ^ {- x}}} = lim _ {x to infty} { frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = cdots.}

С этой ситуацией можно справиться, подставив

{ Displaystyle у = е ^ {х}}

и отмечая, что

у

уходит в бесконечность как

Икс

уходит в бесконечность; с такой заменой эта проблема может быть решена одним применением правила:

{ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = lim _ { y to infty} { frac {y + y ^ {- 1}} {yy ^ {- 1}}} = lim _ {y to infty} { frac {1-y ^ {- 2 }} {1 + y ^ {- 2}}} = { frac {1} {1}} = 1.}

В качестве альтернативы числитель и знаменатель можно умножить на

{ displaystyle e ^ {x},}

в этот момент можно сразу же успешно применить правило L'Hôpital:^[7]

{ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = lim _ { x to infty} { frac {e ^ {2x} +1} {e ^ {2x} -1}} = lim _ {x to infty} { frac {2e ^ {2x}} { 2e ^ {2x}}} = 1.}

Произвольно большое количество заявок никогда не может привести к ответу даже без повторения:

{ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {x ^ { frac {1} {2}} + x ^ {- { frac {1} {2}}}} {x ^ { frac {1} {2}} - x ^ {- { frac {1} {2}}}}} = lim _ {x to infty} { frac {{ frac {1} {2 }} x ^ {- { frac {1} {2}}} - { frac {1} {2}} x ^ {- { frac {3} {2}}}} {{ frac {1 } {2}} x ^ {- { frac {1} {2}}} + { frac {1} {2}} x ^ {- { frac {3} {2}}}}} = lim _ {x to infty} { frac {- { frac {1} {4}} x ^ {- { frac {3} {2}}} + { frac {3} {4}} x ^ {- { frac {5} {2}}}} {- { frac {1} {4}} x ^ {- { frac {3} {2}}} - { frac {3} {4}} x ^ {- { frac {5} {2}}}}} = cdots.}

С этой ситуацией тоже можно справиться преобразованием переменных, в данном случае

{ displaystyle y = { sqrt {x}}}

:

{ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {x ^ { frac {1} {2}} + x ^ {- { frac {1} {2}}}} {x ^ { frac {1} {2}} - x ^ {- { frac {1} {2}}}}} = lim _ {y to infty} { frac {y + y ^ {- 1} } {yy ^ {- 1}}} = lim _ {y to infty} { frac {1-y ^ {- 2}} {1 + y ^ {- 2}}} = { frac { 1} {1}} = 1.}

Опять же, альтернативный подход - умножить числитель и знаменатель на

{ displaystyle x ^ {1/2}}

перед применением правила L'Hôpital:

{ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {x ^ { frac {1} {2}} + x ^ {- { frac {1} {2}}}} {x ^ { frac {1} {2}} - x ^ {- { frac {1} {2}}}}} = lim _ {x to infty} { frac {x + 1} {x-1 }} = lim _ {x to infty} { frac {1} {1}} = 1.}

Распространенная ошибка - использование правила L'Hôpital с некоторыми круговое рассуждение для вычисления производной через коэффициент разницы. Например, рассмотрим задачу доказательства формулы производной для полномочия Икс:

{ displaystyle lim _ {h to 0} { frac {(x + h) ^ {n} -x ^ {n}} {h}} = nx ^ {n-1}.}

Применяя правило Л'Опиталя и находя производные по $час$ числителя и знаменателя дает $п х п -1$ как и ожидалось. Однако дифференцирование числителя потребовало использования самого доказываемого факта. Это пример умоляя вопрос, так как нельзя считать факт доказанным в ходе доказательства.

Контрпримеры, когда производная знаменателя равна нулю

Необходимость условия, что ${ Displaystyle g '(х) neq 0}$ возле ${ displaystyle c}$ можно увидеть на следующем контрпримере из-за Отто Штольц.^[8] Позволять ${ Displaystyle е (х) = х + грех х соз х}$ и ${ Displaystyle г (х) = е (х) е ^ { грех х}.}$ Тогда нет предела для ${ Displaystyle е (х) / г (х)}$ в качестве ${ displaystyle x to infty.}$ Тем не мение,

{ displaystyle { begin {align} { frac {f '(x)} {g' (x)}} & = { frac {2 cos ^ {2} x} {(2 cos ^ {2 } x) e ^ { sin x} + (x + sin x cos x) e ^ { sin x} cos x}} [4pt] & = { frac {2 cos x} {2 cos x + x + sin x cos x}} e ^ {- sin x}, end {align}}}

который стремится к 0 при ${ Displaystyle х к infty}$ . Дальнейшие примеры этого типа были найдены Ральф П. Боас мл.^[9]

Другие неопределенные формы

Другие неопределенные формы, такие как $1 \infty$ , $00$ , $\infty 0$ , $0 \cdot \infty$ , и $\infty - \infty$ , иногда можно оценить с помощью правила L'Hôpital. Например, чтобы оценить предел, связанный с $\infty - \infty$ , преобразуйте разницу двух функций в частное:

{ displaystyle { begin {align} lim _ {x to 1} left ({ frac {x} {x-1}} - { frac {1} { ln x}} right) & = lim _ {x to 1} { frac {x cdot ln x-x + 1} {(x-1) cdot ln x}} & quad (1) [6pt] & = lim _ {x to 1} { frac { ln x} {{ frac {x-1} {x}} + ln x}} & quad (2) [6pt] & = lim _ {x to 1} { frac {x cdot ln x} {x-1 + x cdot ln x}} & quad (3) [6pt] & = lim _ { x to 1} { frac {1+ ln x} {1 + 1 + ln x}} & quad (4) [6pt] & = lim _ {x to 1} { frac {1+ ln x} {2+ ln x}} [6pt] & = { frac {1} {2}}, end {выравнивается}}}

где правило Л'Опиталя применяется при переходе от (1) к (2) и снова при переходе от (3) к (4).

Правило L'Hôpital можно использовать для неопределенных форм, включающих экспоненты используя логарифмы "сдвинуть показатель вниз". Вот пример с неопределенной формой $00$ :

{ displaystyle lim _ {x to 0 ^ {+}} x ^ {x} = lim _ {x to 0 ^ {+}} e ^ { ln (x ^ {x})} = lim _ {x to 0 ^ {+}} e ^ {x cdot ln x} = e ^ { lim limits _ {x to 0 ^ {+}} (x cdot ln x)} .}

Допустимо переместить лимит внутрь экспоненциальная функция потому что экспоненциальная функция непрерывный. Теперь показатель степени ${ displaystyle x}$ был «спущен». Лимит ${ displaystyle lim _ {x to 0 ^ {+}} x cdot ln x}$ имеет неопределенную форму $0 \cdot \infty$ , но, как показано в примере выше, правило Л'Опиталя может использоваться для определения того, что

{ displaystyle lim _ {x to 0 ^ {+}} x cdot ln x = 0.}

Таким образом

{ displaystyle lim _ {x to 0 ^ {+}} x ^ {x} = e ^ {0} = 1.}

Теорема Штольца – Чезаро

Теорема Штольца – Чезаро является аналогичным результатом, касающимся пределов последовательностей, но в ней используются конечные операторы разницы скорее, чем производные.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим кривую на плоскости, $Икс$ -координата дается $грамм (т)$ и чей $у$ -координата дается $ж (т)$ , причем обе функции непрерывны, т.е. локус точек формы $[грамм (т), ж (т)]$ . Предполагать $ж (c) = грамм (c) = 0$ . Предел соотношения $ж (т) / грамм (т)$ в качестве $т \to c$ - наклон касательной к кривой в точке $[грамм (c), ж (c)] = [0,0]$ . Касательная к кривой в точке $[грамм (т), ж (т)]$ дан кем-то $[грамм'(т), ж'(т)]$ . Затем правило Лопиталя гласит, что наклон кривой, когда $т = c$ - это предел наклона касательной к кривой по мере приближения кривой к началу координат, при условии, что это определено.

Доказательство правила L'Hôpital

Особый случай

Доказательство правила Л'Опиталя просто в случае, когда $ж$ и $грамм$ находятся непрерывно дифференцируемый в момент $c$ и где конечный предел находится после первого раунда дифференцирования. Это не доказательство общего правила Л'Опиталя, потому что оно более строгое по своему определению, требует как дифференцируемости, так и того, что c быть реальным числом. Поскольку многие общие функции имеют непрерывные производные (например, многочлены, синус и косинус, экспоненциальные функции ), это особый случай, заслуживающий внимания.

Предположим, что $ж$ и $грамм$ непрерывно дифференцируемы в действительном числе $c$ , который ${ Displaystyle f (c) = g (c) = 0}$ , и это ${ displaystyle g '(c) neq 0}$ . потом

{ Displaystyle { begin {align} & lim _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}} = lim _ {x to c} { frac {f (x) -0} {g (x) -0}} = lim _ {x to c} { frac {f (x) -f (c)} {g (x) -g (c)} } [6pt] = {} & lim _ {x to c} { frac { left ({ frac {f (x) -f (c)} {xc}} right)} { left ({ frac {g (x) -g (c)} {xc}} right)}} = { frac { lim limits _ {x to c} left ({ frac {f ( x) -f (c)} {xc}} right)} { lim limits _ {x to c} left ({ frac {g (x) -g (c)} {xc}} right)}} = { frac {f '(c)} {g' (c)}} = lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)} }. end {выравнивается}}}

Это следует из определения производной через фактор-разность. Последнее равенство следует из непрерывности производных при $c$ . Предел в заключении не является неопределенным, потому что ${ displaystyle g '(c) neq 0}$ .

Доказательство более общей версии правила Л'Опиталя приводится ниже.

Общее доказательство

Следующее доказательство принадлежит Тейлор (1952), где единое доказательство 0/0 и ±∞/±∞ даны неопределенные формы. Тейлор отмечает, что разные доказательства можно найти в Леттенмейер (1936) и Важевский (1949).

Позволять ж и грамм - функции, удовлетворяющие гипотезам Общая форма раздел. Позволять ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ - открытый интервал в гипотезе с конечной точкой c. Учитывая, что ${ Displaystyle g '(х) neq 0}$ на этом интервале и грамм непрерывно, ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ можно выбрать меньше, чтобы грамм отличен от нуля на ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ .^[d]

Для каждого Икс в интервале определим ${ Displaystyle м (х) = inf { гидроразрыва {f '( xi)} {g' ( xi)}}}$ и ${ Displaystyle М (х) = sup { гидроразрыва {f '( xi)} {g' ( xi)}}}$ в качестве ${ Displaystyle xi}$ колеблется по всем значениям между Икс и c. (Символы inf и sup обозначают инфимум и супремум.)

Из дифференцируемости ж и грамм на ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ , Теорема Коши о среднем значении гарантирует, что для любых двух различных точек Икс и у в ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ существует ${ Displaystyle xi}$ между Икс и у такой, что ${ Displaystyle { гидроразрыва {е (х) -f (y)} {g (x) -g (y)}} = { frac {f '( xi)} {g' ( xi)}} }$ . Как следствие, ${ Displaystyle м (х) leq { гидроразрыва {f (x) -f (y)} {g (x) -g (y)}} leq M (x)}$ для всех вариантов выбора Икс и у в интервале. Значение грамм(Икс)-грамм(у) всегда отлична от нуля для различных Икс и у в интервале, иначе теорема о среднем значении означало бы существование п между Икс и у такой, что грамм' (п)=0.

Определение м(Икс) и M(Икс) приведет к расширенному действительному числу, поэтому они могут принимать значения ± ∞. В следующих двух случаях м(Икс) и M(Икс) установит границы на отношение ж/грамм.

Случай 1: ${ Displaystyle lim _ {x to c} f (x) = lim _ {x to c} g (x) = 0}$

Для любого Икс в интервале ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ , и укажите у между Икс и c,

{ Displaystyle м (х) leq { гидроразрыва {f (x) -f (y)} {g (x) -g (y)}} = { frac {{ frac {f (x)} { g (x)}} - { frac {f (y)} {g (x)}}} {1 - { frac {g (y)} {g (x)}}}} leq M (x )}

и поэтому как у подходы c, ${ displaystyle { frac {f (y)} {g (x)}}}$ и ${ Displaystyle { гидроразрыва {г (у)} {г (х)}}}$ стать нулевым, и так

{ Displaystyle m (x) leq { frac {f (x)} {g (x)}} leq M (x).}

Случай 2: ${ Displaystyle lim _ {х к с} | г (х) | = infty}$

Для каждого Икс в интервале ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ , определять ${ displaystyle S_ {x} = {y mid y { text {находится между}} x { text {и}} c }}$ . За каждую точку у между Икс и c,

{ Displaystyle м (х) leq { гидроразрыва {f (y) -f (x)} {g (y) -g (x)}} = { frac {{ frac {f (y)} { g (y)}} - { frac {f (x)} {g (y)}}} {1 - { frac {g (x)} {g (y)}}}} leq M (x ).}

В качестве у подходы c, обе ${ Displaystyle { гидроразрыва {е (х)} {г (у)}}}$ и ${ Displaystyle { гидроразрыва {г (х)} {г (у)}}}$ становятся нулевыми, и поэтому

{ Displaystyle м (х) leq liminf _ {y in S_ {x}} { frac {f (y)} {g (y)}} leq limsup _ {y in S_ {x} } { frac {f (y)} {g (y)}} leq M (x).}

В предел высшего и ограничивать низший необходимы, так как существует предел ж/грамм еще не установлено.

Также верно, что

{ displaystyle lim _ {x to c} m (x) = lim _ {x to c} M (x) = lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g '(x)}} = L.}

^[e]и

{ displaystyle lim _ {x to c} left ( liminf _ {y in S_ {x}} { frac {f (y)} {g (y)}} right) = liminf _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}}}

и

{ displaystyle lim _ {x to c} left ( limsup _ {y in S_ {x}} { frac {f (y)} {g (y)}} right) = limsup _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}}.}

В случае 1 теорема сжатия устанавливает, что ${ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}}}$ существует и равно L. В случае 2 и теорема о сжатии снова утверждает, что ${ displaystyle liminf _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}} = limsup _ {x to c} { frac {f (x)} {g ( x)}} = L}$ , так что предел ${ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}}}$ существует и равно L. Это результат, который нужно было доказать.

В случае 2 предположение, что ж(Икс) расходится на бесконечность в доказательстве не использовалась. Это означает, что если |грамм(Икс) | расходится до бесконечности как Икс подходы c и оба ж и грамм удовлетворяют гипотезам правила Лопиталя, то дополнительных предположений о пределе ж(Икс): Возможно даже, что предел ж(Икс) не существует. В этом случае теорема Лопиталя на самом деле является следствием Чезаро – Штольца.^[10]

В случае, когда |грамм(Икс) | расходится до бесконечности как Икс подходы c и ж(Икс) сходится к конечному пределу при c, то правило L'Hôpital будет применимо, но не обязательно, поскольку базовое исчисление пределов покажет, что предел ж(Икс)/грамм(Икс) в качестве Икс подходы c должно быть равно нулю.

Следствие

Простое, но очень полезное следствие правила Лопиталя - это хорошо известный критерий дифференцируемости. В нем говорится следующее: предположим, что ж непрерывно на а, и это ${ displaystyle f '(x)}$ существует для всех Икс в некотором открытом интервале, содержащем а, за исключением разве что ${ Displaystyle х = а}$ . Предположим, кроме того, что ${ Displaystyle lim _ {х к а} f '(х)}$ существуют. потом ${ displaystyle f '(а)}$ также существует и

{ displaystyle f '(a) = lim _ {x to a} f' (x).}

Особенно, f ' также непрерывен на а.

Доказательство

Рассмотрим функции ${ Displaystyle ч (х) = е (х) -f (а)}$ и ${ Displaystyle г (х) = х-а}$ . Преемственность ж в а говорит нам, что ${ Displaystyle lim _ {х к а} час (х) = 0}$ . Более того, ${ Displaystyle lim _ {х к а} г (х) = 0}$ так как полиномиальная функция всегда всюду непрерывна. Применение правила L'Hopital показывает, что ${ displaystyle f '(a): = lim _ {x to a} { frac {f (x) -f (a)} {xa}} = lim _ {x to a} { frac {h (x)} {g (x)}} = lim _ {x to a} f '(x)}$ .

Смотрите также

Противоречие L'Hôpital

Примечания

^ В 17-м и 18-м веках это имя обычно писалось «госпиталь», и он сам писал свое имя таким образом. Однако французское написание был изменен: молчание 's' было удалено и заменено с циркумфлекс над предыдущей гласной. Прежнее написание все еще используется в английском языке, где нет циркумфлекса.
^ "Предложение I. Problême. Soit une ligne Courbe AMD (AP = x, PM = y, AB = a [см. Рис. 130]) telle que la valeur de l'appliquée y soit exprimée par une fraction, dont le numérateur & le dénominateur deviennent chacun zero lorsque x = a, c'est à dire lorsque le point P tombe sur le point donné B. On demande quelle doit être alors la valeur de l'appliquée BD. [Решение:] ... si l'on prend la difference du numérateur, & qu'on la divise par la difference du denominateur, apres escapeir fait x = a = Ab ou AB, l'on aura la valeur cherchée de l'appliquée bd ou BD " Перевод : "Пусть существует кривая AMD (где AP = X, PM = y, AB = a) такая, что значение ординаты y выражается дробью, числитель и знаменатель которой становятся равными нулю, когда x = a; то есть когда точка P попадает в данную точку B. Кто-то спрашивает, каким будет значение ординаты BD. [Решение:] ... если взять дифференциал числителя и разделить его на дифференциал знаменателя после установки x = a = Ab или AB, будет получено искомое [искомое] значение ординаты bd или BD ".^[2]
^ Определение предела функции функциональным анализом не требует существования такого интервала.
^ С грамм' отличен от нуля и грамм непрерывна на интервале, невозможно грамм быть нулем более одного раза на интервале. Если бы у него было два нуля, теорема о среднем значении утверждал бы существование точки п в промежутке между нулями такой, что грамм' (п) = 0. Так что либо грамм уже отличен от нуля на интервале, иначе интервал может быть уменьшен в размере, чтобы не содержать единственный ноль грамм.
^ Пределы ${ Displaystyle lim _ {х к с} м (х)}$ и ${ Displaystyle lim _ {х к с} М (х)}$ оба существуют, поскольку имеют неубывающую и невозрастающую функции Икссоответственно. Рассмотрим последовательность ${ displaystyle x_ {i} to c}$ . потом ${ Displaystyle lim _ {я} м (x_ {i}) leq lim _ {i} { frac {f '(x_ {i})} {g' (x_ {i})}} leq lim _ {i} M (x_ {i})}$ , поскольку неравенство выполняется для каждого я; это дает неравенства ${ displaystyle lim _ {x to c} m (x) leq lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)}} leq lim _ {х к с} М (х)}$ Следующий шаг - показать ${ displaystyle lim _ {x to c} M (x) leq lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)}}}$ . Действительно, зафиксируем последовательность чисел ${ displaystyle varepsilon _ {i}> 0}$ такой, что ${ Displaystyle lim _ {я} varepsilon _ {я} = 0}$ , и последовательность ${ displaystyle x_ {i} to c}$ . Для каждого я, выберите ${ Displaystyle х_ {я} <у_ {я} <с}$ такой, что ${ displaystyle { frac {f '(y_ {i})} {g' (y_ {i})}} + varepsilon _ {i} geq sup _ {x_ {i} < xi$ , по определению ${ displaystyle sup}$ . Таким образом ${ displaystyle lim _ {i} M (x_ {i}) leq lim _ {i} { frac {f '(y_ {i})} {g' (y_ {i})}} + varepsilon _ {i} = lim _ {i} { frac {f '(y_ {i})} {g' (y_ {i})}} + lim _ {i} varepsilon _ {i} = lim _ {i} { frac {f '(y_ {i})} {g' (y_ {i})}}}$ по желанию. ${ displaystyle lim _ {x to c} m (x) geq lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)}}}$ похож.

Исчисление
Precalculus	Биномиальная теорема Вогнутая функция Непрерывная функция Факториал Конечная разница Свободные переменные и связанные переменные Основная теорема График функции Линейная функция Теорема о среднем значении Радиан Теорема Ролля Секант Склон Касательная
Пределы	Неопределенная форма Предел функции Односторонний предел Предел последовательности Порядок приближения (ε, δ) -определение предела
Дифференциальное исчисление	Правило цепи Производная Дифференциальный Дифференциальное уравнение Дифференциальный оператор Неявное дифференцирование Обратные функции и дифференцирование Правило L'Hôpital Правило Лейбница Логарифмическая производная Теорема о среднем значении Метод Ньютона Обозначение Обозначения Лейбница Обозначение Ньютона Правило продукта Правило частного Задача максимизации угла Региомонтануса Связанные ставки Самые простые правила Правило постоянного фактора в дифференциации Линейность дифференцирования Правило власти Правило сумм в дифференцировании Стационарная точка Тест первой производной Тест второй производной Теорема об экстремальном значении Максимумы и минимумы Теорема Тейлора
Интегральное исчисление	Первообразный Длина дуги Константа интеграции Дифференцирование под знаком интеграла Основная теорема исчисления Интеграл секущей в кубе Интеграл секущей функции Интеграция по частям Интеграция заменой Тригонометрическая замена Замена касательного полуугла Частичные доли в интеграции Квадратичный интеграл Доказательство того, что 22/7 превышает π Самые простые правила Правило постоянного множителя в интеграции Линейность интеграции Правило суммы в интеграции Трапецеидальная линейка
Векторное исчисление	Завиток Производная по направлению Расхождение Теорема расходимости Градиент Теорема о градиенте Теорема Грина Лапласиан Теорема Стокса
Многопараметрическое исчисление	Кривизна Интеграция с дисками Теорема расходимости Внешний вид Рог Габриэля Геометрический Матрица Гессе Матрица Якоби и определитель Множитель Лагранжа Линейный интеграл Матрица Кратный интеграл Частная производная Интеграция с оболочкой Поверхностный интеграл Тензор Объемный интеграл
Серии	Тест Авеля Чередование Испытание чередующейся серии Арифметико-геометрическая последовательность Биномиальный Тест конденсации Коши Тест прямого сравнения Тест Дирихле Формула Эйлера – Маклорена Фурье Геометрический Гармонический Бесконечный Интегральный тест на сходимость Предел сравнительного теста Маклорен Мощность Соотношение тест Корневой тест Тейлор Срок тестирования
Специальные функции и числа	Числа Бернулли e (математическая константа) Экспоненциальная функция Натуральный логарифм Приближение Стирлинга
История исчисления	Адекватность Брук Тейлор Колин Маклорен Общность алгебры Готфрид Вильгельм Лейбниц Бесконечно малый Исчисление бесконечно малых Исаак Ньютон Плавность Закон непрерывности Леонард Эйлер Метод флюсий Метод механических теорем
Списки	Правила дифференциации Список интегралов от экспоненциальных функций Список интегралов от гиперболических функций Список интегралов обратных гиперболических функций Список интегралов обратных тригонометрических функций Список интегралов от иррациональных функций Список интегралов логарифмических функций Список интегралов рациональных функций Список интегралов от тригонометрических функций Список лимитов Списки интегралов