Односторонний предел - One-sided limit

эта статья не цитировать Любые источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удалено. Найдите источники: «Односторонний предел»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Август 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Функция ж(Икс) = Икс² + знак (Икс) имеет левый предел -1, правый предел +1 и значение функции 0 в точке Икс = 0.

В исчисление, а односторонний предел один из двух пределы из функция ж(Икс) из настоящий переменная Икс так как Икс приближается к указанной точке слева или справа.

Предел как Икс снижение стоимости приближается а (Икс подходы а «справа» или «сверху») могут обозначаться:

${ Displaystyle lim _ {х к ^ {+}} е (х) }$ или ${ displaystyle lim _ {x , downarrow , a} , f (x)}$ или ${ Displaystyle lim _ {х шерроу а} , е (х)}$ или ${ Displaystyle lim _ {х { underset {>} { to}} а} е (х)}$

Предел как Икс приближение увеличения стоимости а (Икс подходы а «слева» или «снизу») могут обозначаться:

${ Displaystyle lim _ {х к ^ {-}} е (х) }$ или ${ Displaystyle lim _ {х , uparrow , а} , е (х)}$ или ${ displaystyle lim _ {x nearrow a} , f (x)}$ или ${ Displaystyle lim _ {х { underset {<} { to}} а} е (х)}$

В теория вероятности обычно используются короткие обозначения:

${ displaystyle f (x-)}$ для левого предела и ${ Displaystyle f (х +)}$ за правильный предел.

Два односторонних предела существуют и равны, если предел ж(Икс) так как Икс подходы а существуют. В некоторых случаях, когда предел

${ Displaystyle lim _ {х к а} е (х) ,}$

не существует, тем не менее, существуют два односторонних ограничения. Следовательно, предел при Икс подходы а иногда называют «двусторонним пределом».

В некоторых случаях один из двух односторонних ограничений существует, а другой нет, а в некоторых случаях ни того, ни другого не существует.

Правосторонний предел можно строго определить как

${ Displaystyle forall varepsilon> 0 ; exists delta> 0 ; forall x in I ; (0$

а левосторонний предел можно строго определить как

${ Displaystyle forall varepsilon> 0 ; exists delta> 0 ; forall x in I ; (0$

где я представляет некоторые интервал это в пределах домен из ж.

Примеры

График функции ${ displaystyle 1 / (1 + 2 ^ {- 1 / x})}$

Один из примеров функции с разными односторонними ограничениями следующий (см. Рисунок):

${ displaystyle lim _ {x to 0 ^ {+}} {1 over 1 + 2 ^ {- 1 / x}} = 1,}$

в то время как

${ displaystyle lim _ {x to 0 ^ {-}} {1 over 1 + 2 ^ {- 1 / x}} = 0.}$

Отношение к топологическому определению предела

Односторонний предел до точки п соответствует общее определение лимита, с областью определения функции, ограниченной одной стороной, либо допуская, что область определения функции является подмножеством топологического пространства, либо рассматривая одностороннее подпространство, включая п. В качестве альтернативы можно рассматривать домен с топология полуоткрытого интервала.

Теорема Абеля

Примечательная теорема об односторонних пределах некоторых степенной ряд на границах их интервалы схождения является Теорема Абеля.

Смотрите также

• Проективно расширенная действительная линия
• Полудифференцируемость
• Ограничьте высшее и ограничьте низшее

внешние ссылки

• «Односторонний предел». PlanetMath.