Полудифференцируемость - Semi-differentiability

В исчисление, филиал математика, понятия односторонняя дифференцируемость и полудифференцируемость из настоящий -значен функция ж действительной переменной слабее, чем дифференцируемость. В частности, функция ж как говорят справа дифференцируемый в какой-то момент а если, грубо говоря, производная можно определить как аргумент функции Икс переезжает в а справа и дифференцируемый слева в а если производную можно определить как Икс переезжает в а слева.

Одномерный случай

Эта функция не имеет производной в отмеченной точке, так как функция не непрерывный там. Однако он имеет правую производную во всех точках, причем

{ Displaystyle partial _ {+} е (а)}

постоянно равен 0.

В математика, а левая производная и правая производная находятся производные (скорость изменения функции), определенная для движения только в одном направлении (влево или вправо; то есть к более низким или более высоким значениям) аргументом функции.

Определения

Позволять ж обозначают действительную функцию, определенную на подмножестве я реальных чисел.

Если $а \in я$ это предельная точка из $я \cap$ $[а,\infty)$ и односторонний предел

{ displaystyle partial _ {+} f (a): = lim _ { scriptstyle x to a ^ {+} atop scriptstyle x in I} { frac {f (x) -f (a )} {xa}}}

существует как действительное число, то ж называется справа дифференцируемый в а и предел ∂₊ж(а) называется правая производная из ж в а.

Если $а \in я$ предельная точка $я \cap$ $(-\infty, а]$ и односторонний предел

{ displaystyle partial _ {-} f (a): = lim _ { scriptstyle x to a ^ {-} atop scriptstyle x in I} { frac {f (x) -f (a )} {xa}}}

существует как действительное число, то ж называется дифференцируемый слева в а и предел ∂_–ж(а) называется левая производная из ж в а.

Если $а \in я$ предельная точка $я \cap$ $[а,\infty)$ и $я \cap (-\infty, а]$ и если ж дифференцируема слева и справа в а, тогда ж называется полудифференцируемый в а.

Если левая и правая производные равны, то они имеют то же значение, что и обычная («двунаправленная») производная. Также можно определить симметричная производная, что равно среднее арифметическое левой и правой производных (когда они обе существуют), поэтому симметричная производная может существовать, когда обычная производная не существует.^[1]

Замечания и примеры

Функция дифференцируемый загар внутренняя точка а своего домен тогда и только тогда, когда он полудифференцируем в а а левая производная равна правой производной.
Примером полудифференцируемой функции, которая не является дифференцируемой, является абсолютная величина в а = 0.
Если функция полудифференцируема в точке а, это означает, что он непрерывен при а.
В индикаторная функция 1_[0,∞) дифференцируема справа на каждом действительном а, но разрывной в нуле (обратите внимание, что эта индикаторная функция не дифференцируема слева в нуле).

Заявление

Если действительная дифференцируемая функция ж, определенный на интервале я действительной прямой имеет всюду нулевую производную, тогда она постоянна, как применение теорема о среднем значении показывает. Предположение о дифференцируемости можно ослабить до непрерывности и односторонней дифференцируемости ж. Версия для дифференцируемых справа функций приведена ниже, версия для дифференцируемых слева функций аналогична.

Теорема — Позволять ж быть ценным, непрерывная функция, определенный на произвольной интервал я реальной линии. Если ж дифференцируема справа в каждой точке $а \in я$ , что не супремум отрезка, и если эта правая производная всегда равна нулю, то ж является постоянный.

Доказательство —

Для доказательство от противного Предположим, что существуют $а < б$ в я такой, что $ж (а) \neq ж (б)$ . потом

{ displaystyle varepsilon: = { frac {| f (b) -f (a) |} {2 (b-a)}}> 0.}

Определять c как инфимум из всех тех Икс в интервале $(а, б]$ для чего коэффициент разницы из ж превышает ε по абсолютной величине, т.е.

{ displaystyle c = inf {, x in (a, b] mid | f (x) -f (a) |> varepsilon (x-a) , }.}

Благодаря преемственности ж, следует, что $c < б$ и $| ж (c) - ж (а) | = ε (c - а)$ . В c правая производная от ж равен нулю по предположению, следовательно, существует d в интервале $(c, б]$ с $| ж (Икс) - ж (c) | \leq ε (Икс - c)$ для всех Икс в $(c, d]$ . Следовательно, по неравенство треугольника,

{ Displaystyle | е (х) -f (а) | Leq | е (х) -f (с) | + | е (с) -f (а) | Leq varepsilon (х-а)}

для всех Икс в $[c, d)$ , что противоречит определению c.

Дифференциальные операторы, действующие влево или вправо

Другое распространенное использование - описание производных инструментов, рассматриваемых как бинарные операторы в инфиксная запись, в котором производные должны применяться либо влево, либо вправо операнды. Это полезно, например, при определении обобщений Скобка Пуассона. Для пары функций f и g левая и правая производные соответственно определяются как

{ Displaystyle е { stackrel { leftarrow} { partial}} _ {x} g = { frac { partial f} { partial x}} cdot g}

{ displaystyle f { stackrel { rightarrow} { partial}} _ {x} g = f cdot { frac { partial g} { partial x}}.}

В обозначение бюстгальтера, оператор производной может действовать на правый операнд как обычная производная или на левый как отрицательная производная.^[2]

Многомерный случай

Это определение может быть обобщено на вещественные функции ж определены на подмножествах р^п используя более слабую версию производная по направлению. Позволять а внутренняя точка области определения ж. потом ж называется полудифференцируемый в момент а если для каждого направления ты ∈ р^п Лимит

{ Displaystyle partial _ {u} е (а) = lim _ {ч к 0 ^ {+}} { гидроразрыва {е (а + ч , и) -f (а)} {ч}} }

существует как действительное число.

Таким образом, полудифференцируемость слабее, чем Дифференцируемость Гато, для которого берется предел выше час → 0 без ограничения час только положительные значения.

Например, функция ${ displaystyle f (x, y) = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ полудифференцируема в ${ displaystyle (0,0)}$ , но не дифференцируемые там Гато.

(Обратите внимание, что это обобщение не эквивалентно исходному определению для п = 1 поскольку понятие односторонних предельных точек заменено более сильным понятием внутренних точек.)

Характеристики

Любой выпуклая функция на выпуклом открытое подмножество из р^п полудифференцируема.
В то время как каждая полудифференцируемая функция одной переменной непрерывна; это больше не верно для нескольких переменных.

Обобщение

Вместо действительных функций можно рассматривать функции, принимающие значения в р^п или в Банахово пространство.