Абсолютная величина - Absolute value

В график функции абсолютного значения действительных чисел

Абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля.

В математика, то абсолютная величина или же модуль из настоящий номер $Икс$ , обозначенный $| Икс |$ , это неотрицательный значение $Икс$ безотносительно к его знак. А именно, $| Икс | = Икс$ если $Икс$ является положительный, и $| Икс | = - Икс$ если $Икс$ является отрицательный (в таком случае $- Икс$ положительный), и $| 0 | = 0$ . Например, абсолютное значение 3 равно 3, а абсолютное значение −3 также равно 3. Абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние с нуля.

Обобщения абсолютного значения для действительных чисел происходят в самых разных математических условиях. Например, абсолютное значение также определяется для сложные числа, то кватернионы, заказанные кольца, поля и векторные пространства. Абсолютная величина тесно связана с понятиями величина, расстояние, и норма в различных математических и физических контекстах.

Терминология и обозначения

В 1806 г. Жан-Робер Арган ввел термин модуль, смысл единица измерения на французском, специально для сложный абсолютная величина,^[1]^[2] и он был заимствован на английском языке в 1866 году как латинский эквивалент модуль.^[1] Период, термин абсолютная величина используется в этом смысле по крайней мере с 1806 года во французском^[3] и 1857 г. на английском языке.^[4] Обозначение $| Икс |$ , с вертикальная полоса с каждой стороны был представлен Карл Вейерштрасс в 1841 г.^[5] Другие названия для абсолютная величина включают численная величина^[1] и величина.^[1] В языках программирования и вычислительных программных пакетах абсолютное значение Икс обычно представлен абс (Икс), или подобное выражение.

Обозначение вертикальной черты также появляется в ряде других математических контекстов: например, когда применяется к набору, оно обозначает его мощность; применительно к матрица, он обозначает его детерминант. Вертикальные полосы обозначают абсолютное значение только для алгебраических объектов, для которых определено понятие абсолютного значения, в частности, элемента нормированная алгебра с делением, например действительное число, комплексное число или кватернион. Тесно связанное, но отличное обозначение - использование вертикальных полос для обозначения евклидова норма^[6] или же sup norm^[7] вектора в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , хотя двойные вертикальные полосы с индексами ( ${displaystyle || cdot || _ {2}}$ и ${displaystyle || cdot || _ {infty}}$ соответственно) являются более распространенными и менее неоднозначными обозначениями.

Определение и свойства

Действительные числа

Для любого настоящий номер $Икс$ , то абсолютная величина или же модуль из $Икс$ обозначается $| Икс |$ (а вертикальная полоса с каждой стороны от количества) и определяется как^[8]

{displaystyle | x | = left {{egin {array} {rl} x, & {ext {if}} xgeq 0 -x, & {ext {if}} x <0.end {array}} ight.}

Абсолютное значение $Икс$ таким образом всегда либо положительный или же нуль, но никогда отрицательный: когда $Икс$ сам по себе отрицательный ( $Икс < 0$ ), то его абсолютное значение обязательно положительно ( $| Икс | = - Икс > 0$ ).

Из аналитическая геометрия с точки зрения абсолютного значения действительного числа это число расстояние с нуля по действительная числовая линия, и, в более общем смысле, абсолютная величина разности двух действительных чисел - это расстояние между ними. Действительно, понятие абстрактного функция расстояния в математике можно рассматривать как обобщение абсолютной величины разности (см. "Расстояние" ниже).

Поскольку квадратный корень представляет собой уникальный положительный квадратный корень (в применении к положительному числу), следует, что

{displaystyle | x | = {sqrt {x ^ {2}}}}

эквивалентно приведенному выше определению и может использоваться как альтернативное определение абсолютного значения действительных чисел.^[9]

Абсолютное значение имеет следующие четыре основных свойства (а, б являются действительными числами), которые используются для обобщения этого понятия на другие области:

${displaystyle \| a \| geq 0}$	Неотрицательность
${displaystyle \| a \| = 0iff a = 0}$	Положительная определенность
${displaystyle \| ab \| = \| a \|, \| b \|}$	Мультипликативность
${displaystyle \| a + b \| leq \| a \| + \| b \|}$	Субаддитивность в частности неравенство треугольника

Неотрицательность, положительная определенность и мультипликативность легко очевидны из определения. Чтобы убедиться, что субаддитивность имеет место, сначала отметим, что одна из двух альтернатив взятия $s$ как либо $-1$ или же $+1$ гарантирует, что ${displaystyle scdot (a + b) = | a + b | geq 0.}$ Теперь, поскольку ${displaystyle -1cdot xleq | x |}$ и ${displaystyle + 1cdot xleq | x |}$ , отсюда следует, что в зависимости от того, какое значение $s$ , надо ${displaystyle scdot xleq | x |}$ для всех реальных ${displaystyle x}$ . Как следствие, ${displaystyle | a + b | = scdot (a + b) = scdot a + scdot bleq | a | + | b |}$ , по желанию. (Обобщение этого аргумента на комплексные числа см. «Доказательство неравенства треугольника для комплексных чисел» ниже.)

Ниже приведены некоторые дополнительные полезные свойства. Это либо непосредственные следствия определения, либо подразумеваемые четырьмя фундаментальными свойствами, указанными выше.

${Displaystyle {ig \|}, \| а \|, {ig \|} = \| а \|}$	Идемпотентность (абсолютное значение абсолютного значения является абсолютным значением)
${displaystyle \| -a \| = \| a \|}$	Ровность (симметрия отражения графика)
${displaystyle \| a-b \| = 0iff a = b}$	Личность неразличимых (эквивалент положительной определенности)
${displaystyle \| a-b \| leq \| a-c \| + \| c-b \|}$	Неравенство треугольника (эквивалент субаддитивности)
${displaystyle left \| {frac {a} {b}} ight \| = {frac {\| a \|} {\| b \|}}}$ (если ${displaystyle beq 0}$ )	Сохранение деления (эквивалент мультипликативности)
${displaystyle \| a-b \| geq {ig \|}, \| a \| - \| b \|, {ig \|}}$	Неравенство обратного треугольника (эквивалент субаддитивности)

Два других полезных свойства, касающихся неравенств:

{displaystyle | a | leq biff -bleq aleq b}

{displaystyle | a | geq biff aleq -b}

или же

{displaystyle ageq b}

Эти отношения могут использоваться для решения неравенств, касающихся абсолютных значений. Например:

${displaystyle \| x-3 \| leq 9}$	${displaystyle iff -9leq x-3leq 9}$
	${displaystyle iff -6leq xleq 12}$

Абсолютное значение, как «расстояние от нуля», используется для определения абсолютная разница между произвольными действительными числами, стандарт метрика на реальные числа.

Сложные числа

Абсолютное значение комплексного числа

{displaystyle z}

это расстояние

{displaystyle r}

из

{displaystyle z}

от происхождения. На картинке также видно, что

{displaystyle z}

и это комплексно сопряженный

{displaystyle {ar {z}}}

имеют одинаковое абсолютное значение.

Поскольку сложные числа не упорядоченный, определение реального абсолютного значения, данное вверху, не может быть непосредственно применено к комплексным числам. Однако геометрическая интерпретация абсолютного значения действительного числа как расстояния от 0 может быть обобщена. Абсолютное значение комплексного числа определяется евклидовым расстоянием до соответствующей точки в комплексная плоскость от источник. Это можно вычислить с помощью теорема Пифагора: для любого комплексного числа

{displaystyle z = x + iy,}

куда $Икс$ и $у$ настоящие числа, абсолютная величина или же модуль из $z$ обозначается $| z |$ и определяется^[10]

{displaystyle | z | = {sqrt {[mathrm {Re} (z)] ^ {2} + [mathrm {Im} (z)] ^ {2}}} = {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}},}

где Re (z) = Икс и я(z) = у обозначают действительную и мнимую части z, соответственно. Когда мнимая часть $у$ равно нулю, это совпадает с определением абсолютного значения действительного числа $Икс$ .

Когда комплексное число $z$ выражается в полярная форма в качестве

{displaystyle z = re ^ {i heta},}

с ${displaystyle r = {sqrt {[mathrm {Re} (z)] ^ {2} + [mathrm {Im} (z)] ^ {2}}} geq 0}$ (и $θ \in arg (z)$ это аргумент (или фаза) z) его абсолютное значение равно

{displaystyle | z | = r}

.

Поскольку произведение любого комплексного числа $z$ и это комплексно сопряженный ${displaystyle {ar {z}} = x-iy,}$ с тем же абсолютным значением, всегда неотрицательное действительное число ${displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2})}$ , абсолютное значение комплексного числа удобно выразить как

{displaystyle | z | = {sqrt {zcdot {overline {z}}}},}

напоминая альтернативное определение реалов: ${displaystyle | x | = {sqrt {xcdot x}}.}$

Комплексное абсолютное значение разделяет четыре основных свойства, приведенных выше для реального абсолютного значения.

На языке теория групп, мультипликативное свойство можно перефразировать следующим образом: абсолютное значение - это групповой гомоморфизм от мультипликативная группа комплексных чисел на группа при умножении положительные действительные числа.^[11]

Важно отметить, что свойство субаддитивность ("неравенство треугольника ") распространяется на любой конечный набор $п$ сложный числа ${extstyle (z_ {k}) _ {k = 1} ^ {n}}$ в качестве

{displaystyle {Bigg |} sum _ {k = 1} ^ {n} z_ {k} {Bigg |} leq sum _ {k = 1} ^ {n} | z_ {k} | .quad quad (*)}

Это неравенство относится и к бесконечным семьи при условии, что бесконечная серия ${extstyle sum _ {k = 1} ^ {infty} z_ {k}}$ является абсолютно сходящийся. Если Интеграция Лебега рассматривается как непрерывный аналог суммирования, то этому неравенству аналогично подчиняются комплексные значения, измеримые функции ${displaystyle f: mathbb {R} o mathbb {C}}$ при интеграции через измеримое подмножество ${displaystyle E}$ :

{displaystyle {Bigg |} int _ {E} f dx {Bigg |} leq int _ {E} | f | dx.quad quad (**)}

(Это включает в себя Интегрируемый по Риману функции на ограниченном интервале ${displaystyle [a, b]}$ как частный случай.)

Доказательство комплексного неравенства треугольника

Неравенство треугольника, заданное формулой ${displaystyle (*)}$ , можно продемонстрировать, применив три легко проверяемых свойства комплексных чисел: а именно, для каждого комплексного числа ${displaystyle zin mathbb {C}}$ ,

(i): существует

{displaystyle cin mathbb {C}}

такой, что

{displaystyle | c | = 1}

и

{displaystyle | z | = ccdot z}

;

(ii):

{displaystyle mathrm {Re} (z) leq | z |}

.

Также для семейства комплексных чисел ${displaystyle (w_ {k}) _ {k = 1} ^ {n}}$ , ${extstyle sum _ {k} w_ {k} = sum _ {k} mathrm {Re} (w_ {k}) + isum _ {k} mathrm {Im} (w_ {k})}$ . Особенно,

(iii): если

{extstyle sum _ {k} w_ {k} в mathbb {R}}

, тогда

{extstyle sum _ {k} w_ {k} = sum _ {k} mathrm {Re} (w_ {k})}

.

Доказательство чего-либо ${displaystyle (*)}$ : выбирать ${displaystyle cin mathbb {C}}$ такой, что ${displaystyle | c | = 1}$ и ${extstyle {ig |} сумма _ {k} z_ {k} {ig |} = c {ig (} сумма _ {k} z_ {k} {ig)}}$ (суммировано ${displaystyle k = 1, ldots, n}$ ). Следующее вычисление дает желаемое неравенство:

{displaystyle {Big |} sum _ {k} z_ {k} {Big |}; {overset {(i)} {=}}; c {Big (} sum _ {k} z_ {k} {Big)} = сумма _ {k} cz_ {k}; {overset {(iii)} {=}}; sum _ {k} mathrm {Re} (cz_ {k}); {overset {(ii)} {leq}} ; сумма _ {k} | cz_ {k} | = сумма _ {k} | c || z_ {k} | = сумма _ {k} | z_ {k} |}

.

Из этого доказательства ясно, что в ${displaystyle (*)}$ точно, если все ${displaystyle cz_ {k}}$ неотрицательные действительные числа, что, в свою очередь, происходит точно, если все ненулевые ${displaystyle z_ {k}}$ имеют то же самое аргумент, т.е. ${displaystyle z_ {k} = a_ {k} zeta}$ для комплексной постоянной ${displaystyle zeta}$ и реальные константы ${displaystyle a_ {k} geq 0}$ за ${displaystyle 1leq kleq n}$ .

С ${displaystyle f}$ измеримый означает, что ${displaystyle | f |}$ также измеримо, доказательство неравенства ${displaystyle (**)}$ действует по той же методике, заменяя ${extstyle sum _ {k} (cdot)}$ с ${extstyle int _ {E} (cdot), dx}$ и ${displaystyle z_ {k}}$ с ${displaystyle f (x)}$ .^[12]

Функция абсолютного значения

В график функции абсолютного значения действительных чисел

Сочинение абсолютной ценности с кубическая функция в разном порядке

Реальная функция абсолютного значения: непрерывный повсюду. это дифференцируемый везде кроме $Икс = 0$ . это монотонно убывающий на интервале $(-\infty,0]$ и монотонно возрастает на интервале $[0,+\infty)$ . Поскольку действительное число и его противоположный имеют одинаковое абсолютное значение, это даже функция, и, следовательно, не обратимый. Реальная функция абсолютного значения - это кусочно-линейный, выпуклая функция.

И реальные, и сложные функции идемпотент.

Связь со знаковой функцией

Функция абсолютного значения действительного числа возвращает его значение независимо от его знака, тогда как знак (или знак) функция возвращает знак числа независимо от его значения. Следующие уравнения показывают взаимосвязь между этими двумя функциями:

{displaystyle | x | = xoperatorname {sgn} (x),}

или же

{displaystyle | x | имя оператора {sgn} (x) = x,}

и для $Икс \neq 0$ ,

{displaystyle operatorname {sgn} (x) = {frac {| x |} {x}} = {frac {x} {| x |}}.}

Производная

Реальная функция абсолютного значения имеет производную для каждого $Икс \neq 0$ , но не дифференцируемый в $Икс = 0$ . Его производная для $Икс \neq 0$ дается ступенчатая функция:^[13]^[14]

{displaystyle {frac {d | x |} {dx}} = {frac {x} {| x |}} = {egin {cases} -1 & x <0 1 & x> 0.end {cases}}}

Реальная функция абсолютного значения является примером непрерывной функции, которая достигает глобального минимума там, где производная не существует.

В субдифференциальный из $| Икс |$ в $Икс = 0$ это интервал $[-1,1]$ .^[15]

В сложный функция абсолютного значения везде непрерывна, но комплексно дифференцируемый нигде потому что это нарушает Уравнения Коши – Римана.^[13]

Вторая производная от $| Икс |$ относительно $Икс$ равен нулю везде, кроме нуля, где его нет. Как обобщенная функция, вторую производную можно взять равной удвоенной Дельта-функция Дирака.

Первообразный

В первообразный (неопределенный интеграл) реальной функции абсолютного значения есть

{displaystyle int | x | dx = {гидроразрыв {x | x |} {2}} + C,}

куда $C$ произвольный постоянная интеграции. Это не сложный первообразный поскольку сложные первообразные могут существовать только для комплексно-дифференцируемых (голоморфный ) функций, которыми комплексная функция абсолютного значения не является.

Расстояние

Абсолютная величина тесно связана с идеей расстояния. Как отмечалось выше, абсолютное значение действительного или комплексного числа - это расстояние от этого числа до начала координат, вдоль линии действительных чисел, для действительных чисел, или в комплексной плоскости, для комплексных чисел, и, в более общем смысле, абсолютное значение разности двух действительных или комплексных чисел - это расстояние между ними.

Стандарт Евклидово расстояние между двумя точками

{displaystyle a = (a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {n})}

и

{displaystyle b = (b_ {1}, b_ {2}, dots, b_ {n})}

в Евклидово $п$ -Космос определяется как:

{displaystyle {sqrt {extstyle sum _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}}.}

Это можно рассматривать как обобщение, поскольку для ${displaystyle a_ {1}}$ и ${displaystyle b_ {1}}$ действительный, т.е. в 1-пространстве, согласно альтернативному определению абсолютного значения,

{displaystyle | a_ {1} -b_ {1} | = {sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2}}} = {sqrt {extstyle sum _ {i = 1} ^ {1} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}},}

и для ${displaystyle a = a_ {1} + ia_ {2}}$ и ${displaystyle b = b_ {1} + ib_ {2}}$ комплексные числа, т. е. в 2-м пространстве,

${displaystyle \| a-b \|}$	${displaystyle = \| (a_ {1} + ia_ {2}) - (b_ {1} + ib_ {2}) \|}$
	${displaystyle = \| (a_ {1} -b_ {1}) + i (a_ {2} -b_ {2}) \|}$
	${displaystyle = {sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2}}} = {sqrt {extstyle sum _ {i = 1 } ^ {2} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}}.}$

Вышеупомянутое показывает, что расстояние «абсолютное значение» для действительных и комплексных чисел согласуется со стандартным евклидовым расстоянием, которое они наследуют в результате рассмотрения их как одно- и двумерного евклидова пространства соответственно.

Свойства абсолютного значения разности двух действительных или комплексных чисел: неотрицательность, тождество неразличимых, симметрия и неравенство треугольника, приведенные выше, можно рассматривать как мотивирующие более общее понятие функция расстояния следующее:

Действительная функция $d$ на съемочной площадке $Икс \times Икс$ называется метрика (или функция расстояния) на $Икс$ , если он удовлетворяет следующим четырем аксиомам:^[16]

${displaystyle d (a, b) geq 0}$	Неотрицательность
${displaystyle d (a, b) = 0iff a = b}$	Личность неразличимых
${displaystyle d (a, b) = d (b, a)}$	Симметрия
${displaystyle d (a, b) leq d (a, c) + d (c, b)}$	Неравенство треугольника

Обобщения

Заказанные кольца

Определение абсолютного значения, данное для действительных чисел выше, может быть расширено на любое заказанное кольцо. То есть, если $а$ является элементом упорядоченного кольцар, то абсолютная величина из $а$ , обозначаемый $| а |$ , определяется как:^[17]

{displaystyle | a | = left {{egin {array} {rl} a, & {ext {if}} ageq 0 -a, & {ext {if}} a <0.end {array}} ight.}

куда $- а$ это Противоположное число из $а$ , 0 - аддитивная идентичность, а <и ≥ имеют обычный смысл по отношению к порядку в кольце.

Поля

Четыре основных свойства абсолютного значения для действительных чисел могут использоваться для обобщения понятия абсолютного значения на произвольное поле следующим образом.

Действительная функция $v$ на поле $F$ называется абсолютная величина (также модуль, величина, ценить, или же оценка)^[18] если он удовлетворяет следующим четырем аксиомам:

${displaystyle v (a) geq 0}$	Неотрицательность
${displaystyle v (a) = 0iff a = mathbf {0}}$	Положительная определенность
${displaystyle v (ab) = v (a) v (b)}$	Мультипликативность
${displaystyle v (a + b) leq v (a) + v (b)}$	Субаддитивность или неравенство треугольника

Где 0 обозначает аддитивная идентичность из $F$ . Из положительной определенности и мультипликативности следует, что $v (1) = 1$ , куда 1 обозначает мультипликативная идентичность из $F$ . Определенные выше действительные и комплексные абсолютные значения являются примерами абсолютных значений для произвольного поля.

Если $v$ является абсолютным значением на $F$ , то функция $d$ на $F \times F$ , определяется $d (а, б) = v (а - б)$ , является метрикой и следующие эквиваленты:

$d$ удовлетворяет ультраметрический неравенство ${displaystyle d (x, y) leq max (d (x, z), d (y, z))}$ для всех $Икс$ , $у$ , $z$ в $F$ .
${displaystyle {ig {} v {Big (} {extstyle sum _ {k = 1} ^ {n}} mathbf {1} {Big)}: nin mathbb {N} {ig}}}$ является ограниченный вр.
${displaystyle v {Big (} {extstyle sum _ {k = 1} ^ {n}} mathbf {1} {Big)} leq 1}$ для каждого ${displaystyle nin mathbb {N}.}$
${displaystyle v (a) leq 1Rightarrow v (1 + a) leq 1}$ для всех ${displaystyle ain F.}$
${displaystyle v (a + b) leq mathrm {max} {v (a), v (b)}}$ для всех ${displaystyle a, bin F.}$

Абсолютное значение, которое удовлетворяет любому (а значит, всем) из вышеуказанных условий, называется неархимедов, иначе говорят, что Архимедов.^[19]

Векторные пространства

Опять же, фундаментальные свойства абсолютного значения действительных чисел могут быть использованы, с небольшими изменениями, для обобщения этого понятия на произвольное векторное пространство.

Действительнозначная функция на векторное пространство $V$ над полем $F$ , представленный как $|| \cdot ||$ , называется абсолютная величина, но чаще норма, если он удовлетворяет следующим аксиомам:

Для всех $а$ в $F$ , и $v$ , $ты$ в $V$ ,

${displaystyle \| mathbf {v} \| geq 0}$	Неотрицательность
${displaystyle \| mathbf {v} \| = 0iff mathbf {v} = 0}$	Положительная определенность
${displaystyle \| amathbf {v} \| = \| a \|\| mathbf {v} \|}$	Положительная однородность или положительная масштабируемость
${displaystyle \| mathbf {v} + mathbf {u} \| leq \| mathbf {v} \| + \| mathbf {u} \|}$	Субаддитивность или неравенство треугольника

Норма вектора также называется его длина или же величина.

В случае Евклидово пространство $р п$ , функция, определяемая

{displaystyle | (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}) | = {sqrt {extstyle sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}}}

норма, называемая Евклидова норма. Когда настоящие числа $р$ рассматриваются как одномерное векторное пространство $р 1$ , абсолютная величина равна норма, и является $п$ -norm (см. L^п Космос ) для любого $п$ . Фактически абсолютная величина - это «единственная» норма на $р 1$ , в том смысле, что для каждой нормы $|| \cdot ||$ на $р 1$ , $|| Икс || = || 1 || \cdot | Икс |$ . Комплексная абсолютная величина - это частный случай нормы в внутреннее пространство продукта. Она идентична евклидовой норме, если комплексная плоскость отождествляется с Евклидова плоскость $р 2$ .

Композиционные алгебры

Каждая композиционная алгебра А имеет инволюция Икс → Икс* назвал его спряжение. Продукт в А элемента Икс и его сопряженный Икс* написано N(Икс) = х х* и назвал норма x.

Действительные числа ℝ, комплексные числа ℂ и кватернионы ℍ являются композиционными алгебрами с нормами, заданными формулой определенные квадратичные формы. Абсолютное значение в этих алгебры с делением дается квадратный корень нормы композиционной алгебры.

В общем случае нормой композиционной алгебры может быть квадратичная форма это не определенно и имеет нулевые векторы. Однако, как и в случае алгебр с делением, когда элемент Икс имеет ненулевую норму, то Икс имеет мультипликативный обратный данный Икс*/N(Икс).

Примечания

^ ^а ^б ^c ^d Оксфордский словарь английского языка, Предварительная редакция, июнь 2008 г.
^ Нахин, О'Коннор и Робертсон, и functions.Wolfram.com.; для французского смысла см. Литтре, 1877
^ Лазар Николя М. Карно, Mémoire sur la Relationship Qui Existe Entre les Distances соответственно de cinq point quelconques pris dans l'espace, п. 105 в Google Книгах
^ Джеймс Милл Пирс, Учебник аналитической геометрии в Интернет-архиве. Самая старая цитата во 2-м издании Оксфордского словаря английского языка датируется 1907 годом. абсолютная величина также используется в отличие от относительная ценность.
^ Николас Дж. Хайэм, Справочник по письму для математических наук, SIAM. ISBN 0-89871-420-6, п. 25
^ Спивак, Михаил (1965). Исчисление на многообразиях. Боулдер, Колорадо: Westview. п. 1. ISBN 0805390219.
^ Мункрес, Джеймс (1991). Анализ на многообразиях. Боулдер, Колорадо: Westview. п. 4. ISBN 0201510359.
^ Мендельсон, п. 2.
^ Стюарт, Джеймс Б. (2001). Исчисление: концепции и контексты. Австралия: Брукс / Коул. ISBN 0-534-37718-1., п. A5
^ Гонсалес, Марио О. (1992). Классический комплексный анализ. CRC Press. п. 19. ISBN 9780824784157.
^ Лоренц, Фалько (2008), Алгебра. Vol. II. Поля со структурой, алгебрами и продвинутыми темами, Universitext, New York: Springer, p. 39, Дои:10.1007/978-0-387-72488-1, ISBN 978-0-387-72487-4, МИСТЕР 2371763.
^ Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 325. ISBN 0-07-054235-X.
^ ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. Абсолютная величина. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
^ Бартель и Шерберт, стр. 163
^ Питер Риггерс, Панайотис Панатиотопулос, ред., Новые разработки в проблемах с контактами, 1999, ISBN 3-211-83154-1, п. 31–32
^ Эти аксиомы не минимальны; например, неотрицательность может быть получена из трех других: $0 = d (а, а) \leq d (а, б) + d (б, а) = 2 d (а, б)$ .
^ Мак-Лейн, п. 264.
^ Шехтер, п. 260. Это значение оценка редко. Обычно оценка логарифм обратной абсолютной величины
^ Шехтер, стр. 260–261.

внешняя ссылка

[oed-1] а ^б ^c ^d Оксфордский словарь английского языка, Предварительная редакция, июнь 2008 г.

[2] Нахин, О'Коннор и Робертсон, и functions.Wolfram.com.; для французского смысла см. Литтре, 1877

[3] Лазар Николя М. Карно, Mémoire sur la Relationship Qui Existe Entre les Distances соответственно de cinq point quelconques pris dans l'espace, п. 105 в Google Книгах

[4] Джеймс Милл Пирс, Учебник аналитической геометрии в Интернет-архиве. Самая старая цитата во 2-м издании Оксфордского словаря английского языка датируется 1907 годом. абсолютная величина также используется в отличие от относительная ценность.

[5] Николас Дж. Хайэм, Справочник по письму для математических наук, SIAM. ISBN 0-89871-420-6, п. 25

[6] Спивак, Михаил (1965). Исчисление на многообразиях. Боулдер, Колорадо: Westview. п. 1. ISBN 0805390219.

[7] Мункрес, Джеймс (1991). Анализ на многообразиях. Боулдер, Колорадо: Westview. п. 4. ISBN 0201510359.

[8] Мендельсон, п. 2.

[9] Стюарт, Джеймс Б. (2001). Исчисление: концепции и контексты. Австралия: Брукс / Коул. ISBN 0-534-37718-1., п. A5

[10] Гонсалес, Марио О. (1992). Классический комплексный анализ. CRC Press. п. 19. ISBN 9780824784157.

[11] Лоренц, Фалько (2008), Алгебра. Vol. II. Поля со структурой, алгебрами и продвинутыми темами, Universitext, New York: Springer, p. 39, Дои:10.1007/978-0-387-72488-1, ISBN 978-0-387-72487-4, МИСТЕР 2371763.

[12] Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 325. ISBN 0-07-054235-X.

[MathWorld-13] а ^б Вайсштейн, Эрик В. Абсолютная величина. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.

[BS163-14] Бартель и Шерберт, стр. 163

[15] Питер Риггерс, Панайотис Панатиотопулос, ред., Новые разработки в проблемах с контактами, 1999, ISBN 3-211-83154-1, п. 31–32

[16] Эти аксиомы не минимальны; например, неотрицательность может быть получена из трех других: $0 = d (а, а) \leq d (а, б) + d (б, а) = 2 d (а, б)$ .

[17] Мак-Лейн, п. 264.

[18] Шехтер, п. 260. Это значение оценка редко. Обычно оценка логарифм обратной абсолютной величины

[19] Шехтер, стр. 260–261.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

${displaystyle \| a-b \|}$	${displaystyle = \| (a_ {1} + ia_ {2}) - (b_ {1} + ib_ {2}) \|}$
	${displaystyle = \| (a_ {1} -b_ {1}) + i (a_ {2} -b_ {2}) \|}$
	${displaystyle = {sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2}}} = {sqrt {extstyle sum _ {i = 1 } ^ {2} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}}.}$