Интервал (математика) - Interval (mathematics)

Дополнение Икс + а в числовой строке. Все числа больше, чем Икс и меньше чем Икс + а попадают в этот открытый интервал.

В математика, а (настоящий) интервал это набор из действительные числа который содержит все действительные числа, лежащие между любыми двумя числами набора. Например, набор чисел $Икс$ удовлетворение $0 \leq Икс \leq 1$ это интервал, который содержит $0$ , $1$ , и все числа между ними. Другими примерами интервалов являются такие числа, что $0 < Икс < 1$ , набор всех действительных чисел ${ Displaystyle mathbb {R}}$ , набор неотрицательных действительных чисел, набор положительных действительных чисел, пустой набор, и любые одиночка (комплект из одного элемента).

Реальные интервалы играют важную роль в теории интеграция, потому что они являются простейшими наборами, чей «размер» (или «меру», или «длину») легко определить. Затем понятие меры может быть расширено на более сложные наборы действительных чисел, что приведет к Мера Бореля и в конечном итоге Мера Лебега.

Интервалы имеют ключевое значение для интервальная арифметика, генерал числовые вычисления метод, который автоматически обеспечивает гарантированные вложения для произвольных формул, даже при наличии неопределенностей, математических приближений и арифметическое округление.

Аналогичным образом определяются интервалы на произвольной полностью заказанный набор, например целые числа или рациональное число. Обозначение целочисленных интервалов рассматривается в специальном разделе ниже.

Терминология

An открытый интервал не включает свои конечные точки и указывается в круглых скобках.^[1]^[2] Например, $(0,1)$ означает больше чем $0$ и меньше чем $1$ . Это означает $(0,1) = {Икс | 0 < Икс < 1}$ .

А закрытый интервал - интервал, который включает все его предельные точки, и обозначается квадратными скобками.^[1]^[2] Например, $[0,1]$ означает больше или равно $0$ и меньше или равно $1$ .

А полуоткрытый интервал включает только одну из своих конечных точек и обозначается смешением обозначений для открытых и закрытых интервалов.^[3] Например, $(0,1]$ означает больше чем $0$ и меньше или равно $1$ , в то время как $[0,1)$ означает больше или равно $0$ и меньше чем $1$ .

А вырожденный интервал есть ли набор, состоящий из одного действительного числа (т.е. интервал вида ${ Displaystyle [а, а]}$ ).^[3] Некоторые авторы включают в это определение пустое множество. Реальный интервал, который не является ни пустым, ни вырожденным, называется правильный, и имеет бесконечно много элементов.

Интервал называется ограниченный слева или ограниченный справа, если существует какое-то действительное число, которое соответственно меньше или больше всех его элементов. Интервал называется ограниченный, если он ограничен как слева, так и справа; и говорят, что неограниченный в противном случае. Интервалы, ограниченные только на одном конце, называются полуограниченный. Пустое множество ограничено, а набор всех вещественных чисел - единственный интервал, неограниченный с обоих концов. Ограниченные интервалы также широко известны как конечные интервалы.

Ограниченные интервалы ограниченные множества в том смысле, что их диаметр (что равно абсолютная разница между конечными точками) конечно. Диаметр можно назвать длина, ширина, мера, ассортимент, или размер интервала. Размер неограниченных интервалов обычно определяется как $+\infty$ , а размер пустого интервала можно определить как $0$ (или оставлено неопределенным).

В центр (середина ) ограниченного интервала с концами $а$ и $б$ является $(а + б)/2$ , и это радиус полудлина $| а - б |/2$ . Эти концепции не определены для пустых или неограниченных интервалов.

Интервал называется оставить открытым тогда и только тогда, когда он не содержит минимум (элемент, который меньше всех остальных элементов); прямо-открытый если он не содержит максимум; и открыто если у него есть оба свойства. Интервал $[0,1) = {Икс | 0 \leq Икс < 1}$ , например, закрывается слева и открывается справа. Пустой набор и набор всех действительных чисел являются открытыми интервалами, а набор неотрицательных действительных чисел - это интервал, открытый справа, но не открытый интервал слева. Открытые интервалы открытые наборы реальной линии в своем стандарте топология, и образуют база открытых наборов.

Интервал называется левый закрытый если в нем есть минимальный элемент, закрыто вправо если есть максимум, и просто закрыто если есть и то, и другое. Эти определения обычно расширяются, чтобы включить пустое множество и неограниченные интервалы (слева или справа), так что закрытые интервалы совпадают с закрытые наборы в этой топологии.

В интерьер интервала $я$ это самый большой открытый интервал, который содержится в $я$ ; это также набор точек в $я$ которые не являются конечными точками $я$ . В закрытие из $я$ наименьший отрезок, содержащий $я$ ; который также является набором $я$ с его конечными конечными точками.

Для любого набора $Икс$ реальных чисел, интервальный корпус или интервал из $Икс$ уникальный интервал, содержащий $Икс$ , и не содержит никаких других интервалов, которые также содержат $Икс$ .

Интервал ${ displaystyle I}$ является подынтервал интервала ${ displaystyle J}$ если ${ displaystyle I}$ это подмножество из ${ displaystyle J}$ . Интервал ${ displaystyle I}$ это правильный подинтервал из ${ displaystyle J}$ если ${ displaystyle I}$ это правильное подмножество из ${ displaystyle J}$ .

Примечание о противоречивой терминологии

Условия сегмент и интервал были использованы в литературе двумя по существу противоположными способами, что привело к двусмысленности при использовании этих терминов. В Энциклопедия математики^[4] определяет интервал (без квалификатора), чтобы исключить обе конечные точки (т. е. открытый интервал) и сегмент чтобы включить обе конечные точки (т.е. замкнутый интервал), в то время как Рудина Принципы математического анализа^[5] вызывает наборы формы [а, б] интервалы и множества вида (а, б) сегменты на протяжении. Эти термины, как правило, встречаются в более старых работах; современные тексты все больше отдают предпочтение этому термину интервал (квалифицировано открыто, закрыто, или полуоткрытый), независимо от того, включены ли конечные точки.

Обозначения интервалов

Интервал чисел между $а$ и $б$ , в том числе $а$ и $б$ , часто обозначают $[а, б]$ .^[1] Эти два числа называются конечные точки интервала. В странах, где числа пишутся с десятичная запятая, а точка с запятой может использоваться как разделитель, чтобы избежать двусмысленности.

Включение или исключение конечных точек

Чтобы указать, что одна из конечных точек должна быть исключена из набора, соответствующую квадратную скобку можно либо заменить скобкой, либо перевернуть. Оба обозначения описаны в Международный стандарт ISO 31-11. Таким образом, в обозначение конструктора наборов,

{ displaystyle { begin {align} { color {Maroon} (} a, b { color {Maroon})} = { mathopen { color {Maroon}]}} a, b { mathclose { color {Maroon} [}} & = {x in mathbb {R} mid a { color {Maroon} <} x { color {Maroon} <} b }, {} { color { DarkGreen} [} a, b { color {Maroon})} = { mathopen { color {DarkGreen} [}} a, b { mathclose { color {Maroon} [}} & = {x in mathbb {R} mid a { color {DarkGreen} leq} x { color {Maroon} <} b }, {} { color {Maroon} (} a, b { color {DarkGreen }]} = { mathopen { color {Maroon}]}} a, b { mathclose { color {DarkGreen}]}} & = {x in mathbb {R} mid a { color { Бордовый} <} x { color {DarkGreen} leq} b }, {} { color {DarkGreen} [} a, b { color {DarkGreen}]} = { mathopen { color {DarkGreen} } [}} a, b { mathclose { color {DarkGreen}]}} & = {x in mathbb {R} mid a { color {DarkGreen} leq} x { color {DarkGreen} leq} b }. end {выравнивается}}}

Каждый интервал $(а, а)$ , $[а, а)$ , и $(а, а]$ представляет пустой набор, в то время как $[а, а]$ обозначает одноэлементный набор ${а}$ . Когда $а > б$ , все четыре обозначения обычно используются для представления пустого множества.

Оба обозначения могут пересекаться с другими случаями использования круглых и квадратных скобок в математике. Например, обозначение $(а, б)$ часто используется для обозначения упорядоченная пара в теории множеств координаты из точка или вектор в аналитическая геометрия и линейная алгебра, или (иногда) комплексное число в алгебра. Поэтому Бурбаки ввел обозначения $] а, б [$ для обозначения открытого интервала.^[6] Обозначение $[а, б]$ тоже иногда используется для заказанных пар, особенно в Информатика.

Некоторые авторы используют $] а, б [$ для обозначения дополнения интервала $(а, б)$ ; а именно, набор всех действительных чисел, которые либо меньше, либо равны $а$ , или больше или равно $б$ .

Бесконечные конечные точки

В некоторых контекстах интервал может быть определен как подмножество расширенные действительные числа, набор всех действительных чисел дополнен $-\infty$ и $+\infty$ .

В этой интерпретации обозначения $[-\infty, б]$ , $(-\infty, б]$ , $[а, +\infty]$ , и $[а, +\infty)$ все значимы и различны. Особенно, $(-\infty, +\infty)$ обозначает множество всех обычных действительных чисел, а $[-\infty, +\infty]$ обозначает расширенные числа.

Даже в контексте обычных вещественных чисел можно использовать бесконечный конечная точка, чтобы указать, что в этом направлении нет ограничений. Например, $(0, +\infty)$ это набор положительные действительные числа, также записывается как ${ Displaystyle mathbb {R} _ {+}}$ .^[7] Контекст влияет на некоторые из приведенных выше определений и терминологии. Например, интервал $(-\infty, +\infty)$ = ${ Displaystyle mathbb {R}}$ закрыто в сфере обычных реалов, но не в сфере расширенных реалов.

Целочисленные интервалы

Когда $а$ и $б$ находятся целые числа, обозначение ⟦а, б⟧, или $[а .. б]$ или ${а .. б}$ или просто $а .. б$ , иногда используется для обозначения интервала всех целые числа между $а$ и $б$ включены. Обозначение $[а .. б]$ используется в некоторых языки программирования; в Паскаль, например, он используется для формального определения типа поддиапазона, наиболее часто используемого для определения нижней и верхней границ допустимых индексы из массив.

Целочисленный интервал, имеющий конечную нижнюю или верхнюю конечную точку, всегда включает эту конечную точку. Следовательно, исключение конечных точек можно явно обозначить, написав $а .. б - 1$ , $а + 1 .. б$ , или $а + 1 .. б - 1$ . Обозначения с альтернативными скобками, например $[а .. б)$ или $[а .. б [$ редко используются для целочисленных интервалов.^{[нужна цитата ]}

Классификация интервалов

Интервалы действительных чисел можно разделить на одиннадцать различных типов, перечисленных ниже.^{[нужна цитата ]}, где $а$ и $б$ настоящие числа, и ${ displaystyle a$ :

Пусто:

{ Displaystyle [b, a] = (b, a) = [b, a) = (b, a] = (a, a) = [a, a) = (a, a] = {} = пустой набор }

Вырожденный:

{ Displaystyle [а, а] = {а }}

Правильный и ограниченный:

Открыто:

{ displaystyle (a, b) = {x mid a

Закрыто:

{ displaystyle [a, b] = {x mid a leq x leq b }}

Левое закрытие, правое открытие:

{ displaystyle [a, b) = {x mid a leq x

Открыто слева, закрыто справа: ${ displaystyle (a, b] = {x mid a$

Ограниченные слева и неограниченные справа:
Оставить открытым: ${ Displaystyle (а, + infty) = {х середина х> а }}$
Слева закрыто: ${ Displaystyle [а, + infty) = {х середина х geq а }}$

Неограниченные слева и справа:
Открыто вправо: ${ displaystyle (- infty, b) = {x mid x$
Закрыто вправо: ${ displaystyle (- infty, b] = {x mid x leq b }}$

Неограниченный с обоих концов (одновременно открытый и закрытый): ${ Displaystyle (- infty, + infty) = mathbb {R}}$ :

Свойства интервалов

Интервалы в точности соответствуют связанный подмножества ${ Displaystyle mathbb {R}}$ . Отсюда следует, что изображение интервала любым непрерывная функция это тоже интервал. Это одна из формулировок теорема о промежуточном значении.
Интервалы также являются выпуклые подмножества из ${ Displaystyle mathbb {R}}$ . Интервальное вложение подмножества ${ Displaystyle X substeq mathbb {R}}$ также выпуклая оболочка из ${ displaystyle X}$ .
Пересечение любого набора интервалов всегда является интервалом. Объединение двух интервалов является интервалом тогда и только тогда, когда они имеют непустое пересечение или открытая конечная точка одного интервала является закрытой конечной точкой другого (например, ${ displaystyle (a, b) чашка [b, c] = (a, c]}$ ).
Если ${ Displaystyle mathbb {R}}$ рассматривается как метрическое пространство, его открытые шары являются открытыми ограниченными множествами $(c + р, c - р)$ , и это закрытые шары замкнутые ограниченные множества $[c + р, c - р]$ .
Любой элемент $Икс$ интервала $я$ определяет раздел $я$ на три непересекающихся интервала $я$ ₁, $я$ ₂, $я$ ₃: соответственно элементы $я$ что меньше чем $Икс$ , синглтон ${ Displaystyle [х, х] = {х }}$ , а элементы больше, чем $Икс$ . Части $я$ ₁ и $я$ ₃ оба непусты (и имеют непустое внутреннее пространство) тогда и только тогда, когда $Икс$ находится в интерьере $я$ . Это интервальная версия принцип трихотомии.
Диадические интервалы

А диадический интервал ограниченный действительный интервал, концы которого ${ textstyle { frac {j} {2 ^ {n}}}}$ и ${ textstyle { frac {j + 1} {2 ^ {n}}}}$ , где ${ textstyle j}$ и ${ textstyle n}$ целые числа. В зависимости от контекста любая конечная точка может или не может быть включена в интервал.
Диадические интервалы обладают следующими свойствами:
Длина двоичного интервала всегда является целой степенью двойки.
Каждый диадический интервал содержится ровно в одном диадическом интервале, вдвое большей длины.
Каждый диадический интервал состоит из двух диадических интервалов половинной длины.
Если два открытых диадических интервала перекрываются, то один из них является подмножеством другого.
Следовательно, диадические интервалы имеют структуру, отражающую структуру бесконечного двоичное дерево.
Диадические интервалы важны для нескольких областей численного анализа, включая адаптивное уточнение сетки, многосеточные методы и вейвлет-анализ. Другой способ представить такую структуру: p-адический анализ (для $п = 2$ ).^[8]
Обобщения

Многомерные интервалы
Дальнейшая информация: Регион (математика)
Во многих контекстах ${ displaystyle n}$ -мерный интервал определяется как подмножество ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ это Декартово произведение из ${ displaystyle n}$ интервалы, ${ displaystyle I = I_ {1} times I_ {2} times cdots times I_ {n}}$ , по одному на каждую координировать ось.
Для ${ displaystyle n = 2}$ , это можно представить как область, ограниченную квадрат или прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат в зависимости от того, одинаковы ли ширины интервалов или нет; аналогично, для ${ displaystyle n = 3}$ , это можно представить как область, ограниченную выровненным по оси куб или прямоугольный кубоид.В высших измерениях декартово произведение ${ displaystyle n}$ интервалы ограничены n-мерный гиперкуб или гипер прямоугольник.
А грань такого интервала ${ displaystyle I}$ является результатом замены любого невырожденного интервального множителя ${ displaystyle I_ {k}}$ вырожденным интервалом, состоящим из конечной точки ${ displaystyle I_ {k}}$ . В лица из ${ displaystyle I}$ включать ${ displaystyle I}$ сам и все грани его граней. В углы из ${ displaystyle I}$ грани, которые состоят из одной точки ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ .
Сложные интервалы
Интервалы сложные числа можно определить как регионы комплексная плоскость, либо прямоугольный или круговой.^[9]
Топологическая алгебра

Интервалы могут быть связаны с точками на плоскости, и, следовательно, области интервалов могут быть связаны с регионы самолета. Обычно интервал в математике соответствует упорядоченной паре (х, у) взяты из прямой продукт R × R действительных чисел с самим собой, где часто предполагается, что у > Икс. Для целей математическая структура, это ограничение снимается,^[10] и «обратные интервалы», где у − Икс <0 разрешены. Затем набор всех интервалов [х, у] можно отождествить с топологическое кольцо сформированный прямая сумма R с самим собой, где сложение и умножение определяются покомпонентно.
Алгебра прямых сумм ${ Displaystyle (R oplus R, +, раз)}$ имеет два идеалы, { [Икс,0] : Икс ∈ R} и {[0,у] : у ∈ R}. В элемент идентичности этой алгебры - сжатый интервал [1,1]. Если интервал [х, у] не входит ни в один из идеалов, то он имеет мультипликативный обратный [1/Икс, 1/у]. Наделен обычным топология, алгебра интервалов образует топологическое кольцо. В группа единиц этого кольца состоит из четырех квадранты определяется осями или идеалами в данном случае. В компонент идентичности этой группы - квадрант I.
Каждый интервал можно рассматривать как симметричный интервал вокруг его середина. В реконфигурации, опубликованной в 1956 г. М. Вармусом, ось «сбалансированных интервалов» [Икс, −Икс] используется вместе с осью интервалов [х, х], которые сводятся к точке. Вместо прямой суммы ${ Displaystyle R oplus R}$ , кольцо интервалов выделено^[11] с расщепленное комплексное число самолет М. Вармуса и Д. Х. Лемер через идентификацию
z = (Икс + у) / 2 + j (Икс − у)/2.
Это линейное отображение плоскости, которое составляет изоморфизм колец, придает плоскости мультипликативную структуру, имеющую некоторые аналогии с обычной комплексной арифметикой, например полярное разложение.
Смотрите также

Неравенство
График интервалов
Интервальный конечный элемент
Интервал (статистика)
Отрезок
Разделение интервала
Единичный интервал
использованная литература

^ ^а ^б ^c «Список арифметических и общих математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-17. Получено 2020-08-23.
^ ^а ^б «Интервалы». www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-23.
^ ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Интервал». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-23.
^ «Интервал и отрезок - Математическая энциклопедия». www.encyclopediaofmath.org. В архиве из оригинала 26.12.2014. Получено 2016-11-12.
^ Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. стр.31. ISBN 0-07-054235-X.
^ «Почему американская и французская нотации различаются для открытых интервалов (x, y) и] x, y [?». hsm.stackexchange.com. Получено 28 апреля 2018.
^ «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-23.
^ Козырев, Сергей (2002). "Теория всплесков как $п$ -адический спектральный анализ ». Известия РАН. Сер. Мат. 66 (2): 149–158. arXiv:math-ph / 0012019. Bibcode:2002IzMat..66..367K. Дои:10.1070 / IM2002v066n02ABEH000381. Получено 2012-04-05.
^ Комплексная интервальная арифметика и ее приложения, Миодраг Петкович, Лиляна Петкович, Wiley-VCH, 1998, ISBN 978-3-527-40134-5
^ Кай Мадсен (1979) Рецензия на "Интервальный анализ в расширенном интервальном пространстве" Эдгара Каухера.^{[постоянная мертвая ссылка ]} от Математические обзоры
^ Д. Х. Лемер (1956) Обзор «Исчисления приближений»^{[постоянная мертвая ссылка ]} из математических обзоров
Список используемой литературы

Т. Сунага, «Теория интервальной алгебры и ее приложение к численному анализу», В: Мемуары Исследовательской ассоциации прикладной геометрии (RAAG), Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Токио, Япония, 1958, т. 2. С. 29–46 (547–564); перепечатано в Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009, Vol. 26, № 2-3, с. 126–143.
внешние ссылки

Осознанный интервал Брайан Хейс: An Статья американского ученого обеспечивает введение.
Сайт интервальных вычислений
Исследовательские центры интервальных вычислений
Обозначение интервалов Джордж Бек, Вольфрам Демонстрационный проект.
Вайсштейн, Эрик В. «Интервал». MathWorld.

[:0-1] а ^б ^c «Список арифметических и общих математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-17. Получено 2020-08-23.

[:1-2] а ^б «Интервалы». www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-23.

[:2-3] а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Интервал». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-23.

[4] «Интервал и отрезок - Математическая энциклопедия». www.encyclopediaofmath.org. В архиве из оригинала 26.12.2014. Получено 2016-11-12.

[5] Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. стр.31. ISBN 0-07-054235-X.

[6] «Почему американская и французская нотации различаются для открытых интервалов (x, y) и] x, y [?». hsm.stackexchange.com. Получено 28 апреля 2018.

[7] «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-23.

[8] Козырев, Сергей (2002). "Теория всплесков как $п$ -адический спектральный анализ ». Известия РАН. Сер. Мат. 66 (2): 149–158. arXiv:math-ph / 0012019. Bibcode:2002IzMat..66..367K. Дои:10.1070 / IM2002v066n02ABEH000381. Получено 2012-04-05.

[9] Комплексная интервальная арифметика и ее приложения, Миодраг Петкович, Лиляна Петкович, Wiley-VCH, 1998, ISBN 978-3-527-40134-5

[10] Кай Мадсен (1979) Рецензия на "Интервальный анализ в расширенном интервальном пространстве" Эдгара Каухера.^{[постоянная мертвая ссылка ]} от Математические обзоры

[11] Д. Х. Лемер (1956) Обзор «Исчисления приближений»^{[постоянная мертвая ссылка ]} из математических обзоров

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]