Интервальный конечный элемент - Interval finite element

Эта статья включает в себя список общих использованная литература, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшить эта статья введение более точные цитаты. (Январь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Максимальное напряжение по Мизесу в задаче о плоских напряжениях с интервальными параметрами (рассчитывается градиентным методом).

В численный анализ, то интервальный метод конечных элементов (интервал МКЭ) это метод конечных элементов который использует параметры интервала. Интервальный МКЭ может применяться в ситуациях, когда невозможно получить достоверные вероятностные характеристики конструкции. Это важно в бетонных конструкциях, деревянных конструкциях, геомеханике, композитных конструкциях, биомеханике и во многих других областях.^[1] Цель интервального конечного элемента - найти верхнюю и нижнюю границы различных характеристик модели (например, стресс, смещения, поверхность текучести и т. д.) и использовать эти результаты в процессе проектирования. Это так называемая схема наихудшего случая, которая тесно связана с расчет предельного состояния.

Дизайн наихудшего случая требует меньше информации, чем вероятностный дизайн однако результаты более консервативны [Köylüoglu and Елисаков 1998].^{[нужна цитата ]}

Применение интервальных параметров к моделированию неопределенности

Рассмотрим следующее уравнение:

${displaystyle ax = b,}$

где а и б находятся действительные числа, и ${displaystyle x = {frac {b} {a}}}$.

Очень часто точные значения параметров а и б неизвестны.

Предположим, что ${displaystyle ain [1,2] = mathbf {a}}$ и ${displaystyle bin [1,4] = mathbf {b}}$. В этом случае необходимо решить следующее уравнение

${displaystyle [1,2] x = [1,4]}$

Существует несколько определений множества решений этого уравнения с интервальными параметрами.

Единый набор решений

При таком подходе решением является следующий набор

${displaystyle mathbf {x} = left {x: ax = b, ain mathbf {a}, bin mathbf {b} ight} = {frac {mathbf {b}} {mathbf {a}}} = {frac {[1 , 4]} {[1,2]}} = [0,5,4]}$

Это наиболее популярный набор решений интервального уравнения, и этот набор решений будет применен в этой статье.

В многомерном случае множество единых решений намного сложнее. Множество решений следующей системы линейные интервальные уравнения

${displaystyle left [{egin {array} {cc} {[- 4, -3]} & {[- 2,2]} {[- 2,2]} & {[- 4, -3]} конец {array}} ight] left [{egin {array} {c} x_ {1} x_ {2} end {array}} ight] = left [{egin {array} {c} {[- 8,8] } {[- 8,8]} конец {массив}} ight]}$

показано на следующем рисунке

${displaystyle sum {_ {exists exists}} (mathbf {A}, mathbf {b}) = {x: Ax = b, Ain mathbf {A}, bin mathbf {b}}}$

Набор точных решений очень сложен, поэтому необходимо найти наименьший интервал, который содержит набор точных решений.

${displaystyle алмазный костюм слева (сумма {_ {существует}} (mathbf {A}, mathbf {b}) ight) = алмазный костюм {x: Ax = b, Ain mathbf {A}, bin mathbf {b}}}$

или просто

${displaystyle diamondsuit left (сумма {_ {существует}} (mathbf {A}, mathbf {b}) ight) = [{underline {x}} _ {1}, {overline {x}} _ {1}] imes [{underline {x}} _ {2}, {overline {x}} _ {2}] imes ... imes [{underline {x}} _ {n}, {overline {x}} _ {n }]}$

где

${displaystyle {underline {x}} _ {i} = min {x_ {i}: Ax = b, Ain mathbf {A}, bin mathbf {b}}, {overline {x}} _ {i} = max { x_ {i}: Ax = b, Ain mathbf {A}, bin mathbf {b}}}$

${displaystyle x_ {i} in {x_ {i}: Ax = b, Ain mathbf {A}, bin mathbf {b}} = [{underline {x}} _ {i}, {overline {x}} _ { я}]}$

Смотрите также [1]

Набор параметрических решений интервальной линейной системы

Метод интервальных конечных элементов требует решения системы уравнений, зависящих от параметров (обычно с симметричной положительно определенной матрицей). Пример набора решений общей системы уравнений, зависящих от параметров.

${displaystyle left [{egin {array} {cc} p_ {1} & p_ {2} p_ {2} + 1 & p_ {1} end {array}} ight] left [{egin {array} {cc} u_ {1 } u_ {2} end {array}} ight] = left [{egin {array} {c} {frac {p_ {1} + 6p_ {2}} {5.0}} 2p_ {1} -6end {array }} ight], для p_ {1} в [2,4], p_ {2} в [-2,1].}$

показан на картинке ниже.^[2]

Алгебраическое решение

В этом подходе x является номер интервала для которого уравнение

${displaystyle [1,2] x = [1,4]}$

доволен. Другими словами, левая часть уравнения равна правой части уравнения. В этом частном случае решение имеет вид ${displaystyle x = [1,2]}$ потому что

${displaystyle ax = [1,2] [1,2] = [1,4]}$

Если неопределенность больше, т.е. ${displaystyle a = [1,4]}$, тогда ${displaystyle x = [1,1]}$ потому что

${displaystyle ax = [1,4] [1,1] = [1,4]}$

Если неопределенность еще больше, т.е. ${displaystyle a = [1,8]}$, то решения не существует. Найти физическую интерпретацию алгебраического интервального множества решений очень сложно, поэтому в приложениях обычно применяется единое множество решений.

Метод

Рассмотрим PDE с интервальными параметрами

${displaystyle (1) G (x, u, p) = 0}$

где ${displaystyle p = (p_ {1}, dots, p_ {m}) в {mathbf {p}}}$ - вектор параметров, принадлежащих заданным интервалам

${displaystyle p_ {i} in [{underline {p}} _ {i}, {overline {p}} _ {i}] = {mathbf {p}} _ {i},}$

${displaystyle {mathbf {p}} = {mathbf {p}} _ {1} imes {mathbf {p}} _ {2} imes cdots imes {mathbf {p}} _ {m}.}$

Например, уравнение теплопередачи

${displaystyle k_ {x} {frac {partial ^ {2} u} {partial x ^ {2}}} + k_ {y} {frac {partial ^ {2} u} {partial ^ {2}}} + q = 0 {ext {for}} xin Omega}$

${displaystyle u (x) = u ^ {*} (x) {ext {for}} xin частичная омега}$

где ${displaystyle k_ {x}, k_ {y}}$ параметры интервала (т.е. ${displaystyle k_ {x} in {mathbf {k}} _ {x}, k_ {y} in {mathbf {k}} _ {y}}$).

Решение уравнения (1) можно определить следующим образом

${displaystyle {ilde {u}} (x): = {u (x): G (x, u, p) = 0, булавка {mathbf {p}}}}$

Например, в случае уравнения теплопередачи

${displaystyle {ilde {u}} (x) = {u (x): k_ {x} {frac {partial ^ {2} u} {partial x ^ {2}}} + k_ {y} {frac {partial ^ {2} u} {частично y ^ {2}}} + q = 0 {ext {for}} xin Omega, u (x) = u ^ {*} (x) {ext {for}} xin частично Omega , k_ {x} в {mathbf {k}} _ {x}, k_ {y} в {mathbf {k}} _ {y}}}$

Решение ${displaystyle {ilde {u}}}$ очень сложно из-за того, что на практике более интересно найти наименьший возможный интервал, который содержит точное множество решений ${displaystyle {ilde {u}}}$.

${displaystyle {mathbf {u}} (x) = ромб {ilde {u}} (x) = ромб {u (x): G (x, u, p) = 0, булавка {mathbf {p}}}}$

Например, в случае уравнения теплопередачи

${displaystyle {mathbf {u}} (x) = ромб {u (x): k_ {x} {frac {partial ^ {2} u} {partial x ^ {2}}} + k_ {y} {frac { частичный ^ {2} u} {частичный y ^ {2}}} + q = 0 {ext {for}} xin Omega, u (x) = u ^ {*} (x) {ext {for}} xin частичный Омега, k_ {x} в {mathbf {k}} _ {x}, k_ {y} в {mathbf {k}} _ {y}}}$

Метод конечных элементов приводит к следующей системе алгебраических уравнений, зависящей от параметров

${displaystyle K (p) u = Q (p), вывод {mathbf {p}}}$

где K это матрица жесткости и Q это правая часть.

Интервальное решение можно определить как многозначную функцию

${displaystyle {mathbf {u}} = ромб {u: K (p) u = Q (p), булавка {mathbf {p}}}}$

В простейшем случае описанную выше систему можно рассматривать как систему линейные интервальные уравнения.

Также возможно определить интервальное решение как решение следующей задачи оптимизации

${displaystyle {underline {u}} _ {i} = min {u_ {i}: K (p) u = Q (p), pin {mathbf {p}}}}$

${displaystyle {overline {u}} _ {i} = max {u_ {i}: K (p) u = Q (p), pin {mathbf {p}}}}$

В многомерном случае внутреннее решение можно записать как

${displaystyle mathbf {u} = mathbf {u} _ {1} imes cdots imes mathbf {u} _ {n} = [{подчеркивание {u}} _ {1}, {overline {u}} _ {1}] imes cdots imes [{подчеркивание {u}} _ {n}, {overline {u}} _ {n}]}$

Интервальное решение против вероятностного решения

Важно знать, что параметры интервала дают разные результаты, чем равномерно распределенные случайные величины.

Параметр интервала ${displaystyle mathbf {p} = [{подчеркивание {p}}, {overline {p}}]}$ учитывать все возможные распределения вероятностей (для ${значок в стиле отображения [{подчеркивание {p}}, {overline {p}}]}$).

Для определения параметра интервала необходимо знать только верхний ${displaystyle {overline {p}}}$ и нижняя граница ${displaystyle {underline {p}}}$.

Расчет вероятностных характеристик требует знания большого количества экспериментальных результатов.

Можно показать, что сумма n интервальных чисел равна ${displaystyle {sqrt {n}}}$ раз больше, чем сумма соответствующих нормально распределенных случайных величин.

Сумма п номер интервала ${displaystyle mathbf {p} = [{подчеркивание {p}}, {overline {p}}]}$ равно

${displaystyle nmathbf {p} = [n {подчеркивание {p}}, n {overline {p}}]}$

Ширина этого интервала равна

${displaystyle n {overline {p}} - n {underline {p}} = n ({overline {p}} - {underline {p}}) = nDelta p}$

Рассматривать нормально распределенная случайная величина Икс такой, что

${displaystyle m_ {X} = E [X] = {frac {{overline {p}} + {underline {p}}} {2}}, sigma _ {X} = {sqrt {Var [X]}} = {frac {Delta p} {6}}}$

Сумма п нормально распределенная случайная величина - это нормально распределенная случайная величина со следующими характеристиками (см. Шесть Сигм )

${displaystyle E [nX] = n {frac {{overline {p}} + {underline {p}}} {2}}, sigma _ {nX} = {sqrt {nVar [X]}} = {sqrt {n) }} sigma = {sqrt {n}} {frac {Delta p} {6}}}$

Можно считать, что ширина вероятностного результата равна 6 сигм (ср. Шесть Сигм ).

${displaystyle 6sigma _ {nX} = 6 {sqrt {n}} {frac {Delta p} {6}} = {sqrt {n}} Delta p}$

Теперь мы можем сравнить ширину интервала результата и вероятностного результата.

${displaystyle {frac {ширина n интервалов} {ширина n случайных величин}} = {frac {nDelta p} {{sqrt {n}} Delta p}} = {sqrt {n}}}$

Из-за этого результаты интервального конечного элемента (или в целом анализа наихудшего случая) могут быть завышены по сравнению со стохастическим анализом бедренной кости (см. Также распространение неопределенности Однако в случае не вероятностной неопределенности невозможно применить чисто вероятностные методы. Поскольку вероятностные характеристики в этом случае точно не известны [ Елисаков 2000].

Можно рассматривать случайные (и нечеткие случайные величины) с интервальными параметрами (например, со средним интервалом, дисперсией и т. Д.). Некоторые исследователи используют интервальные (нечеткие) измерения в статистических расчетах (например, [2] ). В результате таких расчетов мы получим так называемые неточная вероятность.

Неточная вероятность понимается в очень широком смысле. Он используется как общий термин для обозначения всех математических моделей, которые измеряют вероятность или неопределенность без точных числовых вероятностей. Он включает как качественные (сравнительная вероятность, частичное упорядочение предпочтений,…), так и количественные режимы (интервальные вероятности, функции убеждений, верхнее и нижнее предвидение,…). Неточные вероятностные модели необходимы в задачах вывода, когда релевантная информация является скудной, расплывчатой ​​или противоречивой, а также в задачах принятия решений, где предпочтения также могут быть неполными. [3].

Простой пример: моделирование растяжения, сжатия, деформации и напряжения)

1-мерный пример

в напряжение -сжатие проблема, следующие уравнение показывает взаимосвязь между смещение ты и сила п:

${displaystyle {frac {EA} {L}} u = P}$

где L длина, А - площадь поперечного сечения, а E является Модуль для младших.

Если модуль Юнга и сила неопределенны, то

${displaystyle Ein [{underline {E}}, {overline {E}}], Pin [{underline {P}}, {overline {P}}]}$

Найти верхняя и нижняя границы перемещения тывычислим следующие частные производные:

${displaystyle {frac {partial u} {partial E}} = {frac {-PL} {E ^ {2} A}} <0}$

${displaystyle {frac {partial u} {partial P}} = {frac {L} {EA}}> 0}$

Рассчитайте экстремальные значения смещения следующим образом:

${displaystyle {underline {u}} = u ({overline {E}}, {underline {P}}) = {frac {{underline {P}} L} {{overline {E}} A}}}$

${displaystyle {overline {u}} = u ({underline {E}}, {overline {P}}) = {frac {{overline {P}} L} {{underline {E}} A}}}$

Рассчитать напряжение используя следующую формулу:

${displaystyle varepsilon = {frac {1} {L}} u}$

Вычислите производную деформации, используя производную от перемещений:

${displaystyle {frac {partial varepsilon} {partial E}} = {frac {1} {L}} {frac {partial u} {partial E}} = {frac {-P} {E ^ {2} A}} <0}$

${displaystyle {frac {partial varepsilon} {partial P}} = {frac {1} {L}} {frac {partial u} {partial P}} = {frac {1} {EA}}> 0}$

Рассчитайте экстремальные значения смещения следующим образом:

${displaystyle {underline {varepsilon}} = varepsilon ({overline {E}}, {underline {P}}) = {frac {underline {P}} {{overline {E}} A}}}$

${displaystyle {overline {varepsilon}} = varepsilon ({underline {E}}, {overline {P}}) = {frac {overline {P}} {{underline {E}} A}}}$

Также можно рассчитать предельные значения деформации, используя перемещения

${displaystyle {frac {partial varepsilon} {partial u}} = {frac {1} {L}}> 0}$

тогда

${displaystyle {underline {varepsilon}} = varepsilon ({underline {u}}) = {frac {underline {P}} {{overline {E}} A}}}$

${displaystyle {overline {varepsilon}} = varepsilon ({overline {u}}) = {frac {overline {P}} {{подчеркивание {E}} A}}}$

Та же методология может быть применена к стресс

${displaystyle sigma = Evarepsilon}$

тогда

${displaystyle {frac {partial sigma} {partial E}} = varepsilon + E {frac {partial varepsilon} {partial E}} = varepsilon + E {frac {1} {L}} {frac {partial u} {partial E }} = {frac {P} {EA}} - {frac {P} {EA}} = 0}$

${displaystyle {frac {partial sigma} {partial P}} = E {frac {partial varepsilon} {partial P}} = E {frac {1} {L}} {frac {partial u} {partial P}} = { гидроразрыв {1} {A}}> 0}$

и

${displaystyle {underline {sigma}} = sigma ({underline {P}}) = {frac {underline {P}} {A}}}$

${displaystyle {overline {sigma}} = sigma ({overline {P}}) = {frac {overline {P}} {A}}}$

Если рассматривать стресс как функцию напряжения, тогда

${displaystyle {frac {partial sigma} {partial varepsilon}} = {frac {partial} {partial varepsilon}} (Evarepsilon) = E> 0}$

тогда

${displaystyle {underline {sigma}} = sigma ({underline {varepsilon}}) = E {underline {varepsilon}} = {frac {underline {P}} {A}}}$

${displaystyle {overline {sigma}} = sigma ({overline {varepsilon}}) = E {overline {varepsilon}} = {frac {overline {P}} {A}}}$

Конструкция безопасна при стрессе ${displaystyle sigma}$ меньше заданного значения ${displaystyle sigma _ {0}}$ т.е.

${displaystyle sigma$

это условие верно, если

${displaystyle {overline {sigma}}$

После расчета мы знаем, что это соотношение выполняется, если

${displaystyle {frac {overline {P}} {A}}$

Пример очень простой, но он показывает применение интервальных параметров в механике. Интервальные МКЭ используют очень похожую методологию в многомерных случаях [Pownuk 2004].

Однако в многомерных случаях связь между неопределенными параметрами и решением не всегда монотонна. В этом случае должны применяться более сложные методы оптимизации.^[1]

Многомерный пример

В случае напряжения -сжатие уравнение равновесия имеет следующий вид:

${displaystyle {frac {d} {dx}} left (EA {frac {du} {dx}} ight) + n = 0}$

где ты это смещение, E является Модуль для младших, А площадь поперечного сечения, а п является распределенной нагрузкой.Чтобы получить уникальное решение, необходимо добавить соответствующие граничные условия, например

${displaystyle u (0) = 0}$

${displaystyle {frac {du (0)} {dx}} EA = P}$

Если Модуль для младших E и п неопределенны, то интервальное решение можно определить следующим образом

${displaystyle {mathbf {u}} (x) = left {u (x): {frac {d} {dx}} left (EA {frac {du} {dx}} ight) + n = 0, u (0 ) = 0, {frac {du (0)} {dx}} EA = P, Ein [{подчеркивание {E}}, {overline {E}}], Pin [{подчеркивание {P}}, {overline {P }}] ight}}$

Для каждого элемента МКЭ уравнение можно умножить на тестовую функцию v

${displaystyle int limits _ {0} ^ {L ^ {e}} left ({frac {d} {dx}} left (EA {frac {du} {dx}} ight) + night) v = 0}$

где ${displaystyle xin [0, L ^ {(e)}].}$

После интеграция по частям получим уравнение в слабой форме

${displaystyle int limits _ {0} ^ {L ^ {(e)}} EA {frac {du} {dx}} {frac {dv} {dx}} dx = int limits _ {0} ^ {L ^ { (e)}} nvdx}$

где ${displaystyle xin [0, L ^ {(e)}].}$

Введем набор точек сетки ${displaystyle x_ {0}, x_ {1}, ..., x_ {Ne}}$, где ${displaystyle Ne}$ - количество элементов, а функции линейной формы для каждого элемента FEM

${displaystyle N_ {1} ^ {(e)} (x) = 1- {frac {1-x_ {0} ^ {(e)}} {x_ {1} ^ {(e)} - x_ {0} ^ {(e)}}}, N_ {2} ^ {(e)} (x) = {гидроразрыв {1-x_ {0} ^ {(e)}} {x_ {1} ^ {(e)} -x_ {0} ^ {(e)}}}.}$

где ${displaystyle xin [x_ {0} ^ {(e)}, x_ {1} ^ {(e)}].}$

${displaystyle x_ {1} ^ {(e)}}$ левая конечная точка элемента, ${displaystyle x_ {1} ^ {(e)}}$ левая конечная точка элемента с номером «е». Приближенное решение в "е" -м элементе представляет собой линейную комбинацию функций формы

${displaystyle u_ {h} ^ {(e)} (x) = u_ {1} ^ {e} N_ {1} ^ {(e)} (x) + u_ {2} ^ {e} N_ {2} ^ {(e)} (x), v_ {h} ^ {(e)} (x) = u_ {1} ^ {e} N_ {1} ^ {(e)} (x) + u_ {2} ^ {e} N_ {2} ^ {(e)} (x)}$

После подстановки в слабую форму уравнения получим следующую систему уравнений

${displaystyle left [{egin {array} {cc} {frac {E ^ {(e)} A ^ {(e)}} {L ^ {(e)}}}} & - {frac {E ^ {(e )} A ^ {(e)}} {L ^ {(e)}}} - {frac {E ^ {(e)} A ^ {(e)}} {L ^ {(e)}}} & {frac {E ^ {(e)} A ^ {(e)}} {L ^ {(e)}}} end {array}} ight] left [{egin {array} {c} u_ {1 } ^ {(e)} u_ {2} ^ {(e)} end {array}} ight] = left [{egin {array} {c} int limits _ {0} ^ {L ^ {(e) }} nN_ {1} ^ {(e)} (x) dx int limits _ {0} ^ {L ^ {(e)}} nN_ {2} ^ {(e)} (x) dxend {array} } ight]}$

или в матричной форме

${displaystyle K ^ {(e)} u ^ {(e)} = Q ^ {(e)}}$

Для построения глобальной матрицы жесткости необходимо в каждом узле рассмотреть уравнение равновесия, после чего уравнение имеет следующий вид матрицы

${displaystyle Ku = Q}$

где

${displaystyle K = left [{egin {array} {ccccc} K_ {11} ^ {(1)} & K_ {12} ^ {(1)} & 0 & ... & 0 K_ {21} ^ {(1)}] & K_ {22} ^ {(1)} + K_ {11} ^ {(2)} & K_ {12} ^ {(2)} & ... & 0 0 & K_ {21} ^ {(2)} & K_ {22 } ^ {(2)} + K_ {11} ^ {(3)} & ... & 0 ... & ... & ... & ... & ... 0 & 0 & ... & K_ { 22} ^ {(Ne-1)} + K_ {11} ^ {(Ne)} & K_ {11} ^ {(Ne)} 0 & 0 & ... & K_ {21} ^ {(Ne)} & K_ {22} ^ {(Ne)} конец {массив}} ight]}$

- глобальная матрица жесткости,

${displaystyle u = left [{egin {array} {c} u_ {0} u_ {1} ... u_ {Ne} end {array}} ight]}$

- вектор решения,

${displaystyle Q = left [{egin {array} {c} Q_ {0} Q_ {1} ... Q_ {Ne} end {array}} ight]}$

это правая часть.

В случае проблемы растяжения-сжатия

${displaystyle K = left [{egin {array} {ccccc} {frac {E ^ {(1)} A ^ {(1)}} {L ^ {(1)}}}} & - {frac {E ^ { (1)} A ^ {(1)}} {L ^ {(1)}}} & 0 & ... & 0 - {frac {E ^ {(1)} A ^ {(1)}} {L ^ {(1)}}} & {frac {E ^ {(1)} A ^ {(1)}} {L ^ {(1)}}} + {frac {E ^ {(2)} A ^ { (2)}} {L ^ {(2)}}} & - {гидроразрыв {E ^ {(2)} A ^ {(2)}} {L ^ {(2)}}} & ... & 0 0 & - {frac {E ^ {(2)} A ^ {(2)}} {L ^ {(2)}}} & {frac {E ^ {(2)} A ^ {(2)}} {L ^ {(2)}}} + {frac {E ^ {(3)} A ^ {(3)}} {L ^ {(3)}}} & ... & 0 ... &. .. & ... & ... & ... 0 & 0 & ... & {frac {E ^ {(Ne-1)} A ^ {(Ne-1)}} {L ^ {(Ne-1 )}}} + {frac {E ^ {(Ne)} A ^ {(Ne)}} {L ^ {(Ne)}}} & - {frac {E ^ {(Ne)} A ^ {(Ne )}} {L ^ {(Ne)}}} 0 & 0 & ... & - {frac {E ^ {(Ne)} A ^ {(Ne)}} {L ^ {(Ne)}}} & { frac {E ^ {(Ne)} A ^ {(Ne)}} {L ^ {(Ne)}}} конец {массив}} ight]}$

Если пренебречь распределенной нагрузкой п

${displaystyle Q = left [{начало {массив} {c} R 0 ... 0 P end {array}} ight]}$

После учета граничных условий матрица жесткости имеет следующий вид

${displaystyle K = left [{egin {array} {ccccc} 1 & 0 & 0 & ... & 0 0 & {frac {E ^ {(1)} A ^ {(1)}} {L ^ {(1)}}} + {frac {E ^ {(2)} A ^ {(2)}} {L ^ {(2)}}} & - {frac {E ^ {(2)} A ^ {(2)}} {L ^ {(2)}}} & ... & 0 0 & - {frac {E ^ {(2)} A ^ {(2)}} {L ^ {(2)}}} & {frac {E ^ {(2)} A ^ {(2)}} {L ^ {(2)}}} + {frac {E ^ {(3)} A ^ {(3)}} {L ^ {(3)} }} & ... & 0 ... & ... & ... & ... & ... 0 & 0 & ... & {frac {E ^ {(e-1)} A ^ {(e -1)}} {L ^ {(e-1)}}} + {frac {E ^ {(e)} A ^ {(e)}} {L ^ {(e)}}} & - {frac {E ^ {(e)} A ^ {(e)}} {L ^ {(e)}}} 0 & 0 & ... & - {frac {E ^ {(e)} A ^ {(e)} } {L ^ {(e)}}} & {frac {E ^ {(e)} A ^ {(e)}} {L ^ {(e)}}} end {array}} ight] = K ( E, A) = K (E ^ {(1)}, ..., E ^ {(Ne)}, A ^ {(1)}, ..., A ^ {(Ne)})}$

Правая часть имеет следующий вид

${displaystyle Q = left [{egin {array} {c} 0 0 ... 0 P end {array}} ight] = Q (P)}$

Предположим, что модуль Юнга E, площадь поперечного сечения А и нагрузка п неопределенны и принадлежат некоторым интервалам

${displaystyle E ^ {(e)} в [{подчеркивание {E}} ^ {(e)}, {overline {E}} ^ {(e)}]}$

${displaystyle A ^ {(e)} в [{подчеркивание {A}} ^ {(e)}, {overline {A}} ^ {(e)}]}$

${displaystyle Pin [{подчеркивание {P}}, {overline {P}}]}$

Интервальное решение можно определить вычислением следующим образом

${displaystyle {mathbf {u}} = ромб {u: K (E, A) u = Q (P), E ^ {(e)} в [{подчеркивание {E}} ^ {(e)}, {overline {E}} ^ {(e)}], A ^ {(e)} в [{подчеркивание {A}} ^ {(e)}, {overline {A}} ^ {(e)}], Pin [ {подчеркивание {P}}, {overline {P}}]}}$

Расчет интервального вектора ${displaystyle {mathbf {u}}}$ в целом NP-жесткий Однако в определенных случаях можно рассчитать решение, которое можно использовать во многих инженерных приложениях.

Результатом расчетов являются интервальные смещения

${displaystyle u_ {i} в [{underline {u}} _ {i}, {overline {u}} _ {i}]}$

Предположим, что смещения в столбце должны быть меньше некоторого заданного значения (из соображений безопасности).

${displaystyle u_ {i}$

Неопределенная система безопасна, если интервальное решение удовлетворяет всем условиям безопасности.

В данном конкретном случае

${displaystyle u_ {i}$

или просто

${displaystyle {overline {u}} _ {i}$

При постобработке можно рассчитать интервальное напряжение, интервальную деформацию и интервал функции предельного состояния и использовать эти значения в процессе проектирования.

Метод интервальных конечных элементов может применяться для решения задач, в которых недостаточно информации для создания надежной вероятностной характеристики конструкций [ Елисаков 2000]. Метод интервальных конечных элементов может быть также применен в теории неточная вероятность.

Метод комбинирования конечных точек

Можно решить уравнение ${displaystyle K (p) u (p) = Q (p)}$ для всех возможных комбинаций конечных точек интервала ${Displaystyle {шляпа {p}}}$.
Список всех вершин интервала ${Displaystyle {шляпа {p}}}$ можно записать как ${displaystyle L = {p_ {1} ^ {*}, ..., p_ {n} ^ {*}}}$.
Верхнюю и нижнюю границы решения можно вычислить следующим образом

${displaystyle {underline {u}} _ {i} = min {u_ {i} (p_ {k} ^ {*}): K (p_ {k} ^ {*}) u (p_ {k} ^ {* }) = Q (p_ {k} ^ {*}), p_ {k} ^ {*} в L}}$

${displaystyle {overline {u}} _ {i} = max {u_ {i} (p_ {k} ^ {*}): K (p_ {k} ^ {*}) u (p_ {k} ^ {*) }) = Q (p_ {k} ^ {*}), p_ {k} ^ {*} в L}}$

Метод комбинирования конечных точек дает решение, которое обычно бывает точным; к сожалению, этот метод имеет экспоненциальную вычислительную сложность и не может быть применен к задачам со многими интервальными параметрами [Neumaier 1990].

Метод расширения Тейлора

Функция ${displaystyle u = u (p)}$ можно расширить с помощью Серия Тейлор В простейшем случае ряды Тейлора используют только линейную аппроксимацию.

${displaystyle u_ {i} (p) приблизительно u_ {i} (p_ {0}) + sum _ {j} {frac {partial u (p_ {0})} {partial p_ {j}}} Дельта p_ {j }}$

Верхнюю и нижнюю границы решения можно рассчитать по следующей формуле

${displaystyle {underline {u}} _ {i} приблизительно u_ {i} (p_ {0}) - left | sum _ {j} {frac {partial u (p_ {0})} {partial p_ {j}} } ight | Дельта p_ {j}}$

${displaystyle {overline {u}} _ {i} приблизительно u_ {i} (p_ {0}) + left | sum _ {j} {frac {partial u (p_ {0})} {partial p_ {j}} } ight | Дельта p_ {j}}$

Метод очень эффективен, но не очень точен.
Для повышения точности можно применить разложение Тейлора более высокого порядка [Pownuk 2004].
Этот подход также может быть применен в интервальный метод конечных разностей и метод интервальных граничных элементов.

Градиентный метод

Если знак производных ${displaystyle {frac {partial u_ {i}} {partial p_ {j}}}}$ постоянна, то функции ${displaystyle u_ {i} = u_ {i} (p)}$ является монотонным, и точное решение может быть вычислено очень быстро.

если ${displaystyle {frac {partial u_ {i}} {partial p_ {j}}} geq 0}$ тогда ${displaystyle p_ {i} ^ {min} = {underline {p}} _ {i}, p_ {i} ^ {max} = {overline {p}} _ {i}}$

если ${displaystyle {frac {partial u_ {i}} {partial p_ {j}}} <0}$ тогда ${displaystyle p_ {i} ^ {min} = {overline {p}} _ {i}, p_ {i} ^ {max} = {underline {p}} _ {i}}$

Экстремальные значения решения можно рассчитать следующим образом

${displaystyle {underline {u}} _ {i} = u_ {i} (p ^ {min}), {overline {u}} _ {i} = u_ {i} (p ^ {max})}$

Во многих конструкторских приложениях этот метод дает точное решение.
Если решение не монотонное, оно обычно разумно. Для повышения точности метода можно применять тесты на монотонность и анализ чувствительности более высокого порядка. Метод может быть применен для решения линейных и нелинейных задач вычислительной механики [Pownuk 2004]. Применение метода анализа чувствительности к решению задач гражданского строительства можно найти в следующей статье [М.В. Рама Рао, А. Павунук и И. Скална 2008].
Этот подход также может быть применен в интервальный метод конечных разностей и метод интервальных граничных элементов.

Элемент за элементом метод

Муханна и Маллен применили поэлементную формулировку к решению уравнения конечных элементов с интервальными параметрами [Muhanna, Mullen 2001]. Используя этот метод, можно получить решение с гарантированной точностью в случае стропильных и каркасных конструкций.

Методы возмущений

Решение ${displaystyle u = u (p)}$ матрица жесткости ${displaystyle K = K (p)}$ и вектор нагрузки ${displaystyle Q = Q (p)}$ можно расширить с помощью теория возмущений. Теория возмущений приводит к приближенному значению интервального решения [Qiu, Елисаков 1998]. Метод очень эффективен и может быть применен к большим задачам вычислительной механики.

Метод поверхности отклика

Можно приблизить решение ${displaystyle u = u (p)}$ используя поверхность отклика. Затем можно использовать поверхность отклика для получения интервального решения [Akpan 2000]. Используя метод поверхности отклика, можно решить очень сложную задачу вычислительной механики [Beer 2008].

Чистые интервальные методы

Некоторые авторы пытались применить чистые интервальные методы к решению задач конечных элементов с интервальными параметрами. В некоторых случаях можно получить очень интересные результаты, например [Попова, Янков, Бонев 2008]. Однако в целом метод дает очень завышенные результаты [Kulpa, Pownuk, Skalna 1998].

Параметрические интервальные системы

[Popova 2001] и [Skalna 2006] ввели методы решения системы линейных уравнений, в которой коэффициенты являются линейными комбинациями интервальных параметров. В этом случае можно получить очень точное решение интервальных уравнений с гарантированной точностью.

Смотрите также

• Метод интервальных граничных элементов
• Интервал (математика)
• Интервальная арифметика
• Неточная вероятность
• Многозначная функция
• Дифференциальное включение
• Ошибка наблюдения
• Случайный компакт
• Надежность (статистика)
• Доверительный интервал
• Лучший, худший и средний случай
• Вероятностный дизайн
• Распространение неопределенности
• Анализ экспериментальной неопределенности
• Анализ чувствительности
• Теория возмущений
• Механика сплошной среды
• Механика твердого тела
• Ферма
• Космическая рамка
• Линейная эластичность
• Сопротивление материалов

использованная литература

• U.O. Акпан, Т. Коко, И. Орисамолу, Б.К. Галлант, Практический нечеткий анализ конструкций с помощью конечных элементов, Конечные элементы в анализе и проектировании, 38, стр. 93–111, 2000.
• М. Бир, Оценка несовместимых инженерных данных, Третий семинар по надежным инженерным вычислениям (REC08) Технологический институт Джорджии, 20–22 февраля 2008 г., Саванна, Джорджия, США.
• Демпстер, А. П. (1967). «Верхняя и нижняя вероятности, индуцированные многозначным отображением». Анналы математической статистики 38 (2): 325-339. [4]. Проверено 23 сентября 2009 г.
• Анализ неопределенности в гражданском строительстве, В. Феллин, Х. Лессманн, М. Обергуггенбергер и Р. Вайдер (ред.), Springer-Verlag, Берлин, 2005 г.
• И. Елисаков, Возможные ограничения вероятностных методов в технике. Обзоры прикладной механики, Том 53, № 2, стр. 19–25, 2000 г.
• Главачек, И., Хлебоун, Дж., Бабушка, И.: Проблемы с неопределенными исходными данными и метод наихудшего сценария. Эльзевир, Амстердам (2004)
• Кёйлюоглу, У., Исаак Елисаков; Сравнение стохастических и интервальных конечных элементов, применяемых к сдвиговым каркасам с неопределенными свойствами жесткости, Computers & Structures Volume: 67, Issue: 1-3, April 1, 1998, pp. 91–98
• Кульпа З., Павнюк А., Скална И., Анализ линейных механических конструкций с неопределенностями с помощью интервальных методов. Компьютерная механика и инженерные науки, т. 5. 1998. С. 443–477.
• Д. Моенс и Д. Вандепитт, Теория интервальной чувствительности и ее применение к анализу огибающей частотной характеристики неопределенных структур. Компьютерные методы в прикладной механике и технике Vol. 196, № 21-24, 1 апреля 2007 г., стр. 2486–2496.
• Мёллер Б., Бир М. Нечеткая случайность - неопределенность в гражданском строительстве и вычислительной механике, Springer, Berlin, 2004.
• Р.Л. Муханна, Р.Л. Маллен, Неопределенность в задачах механики - интервальный подход. Журнал инженерной механики, Том 127, № 6, 2001 г., 557-556
• А. Ноймайер, Интервальные методы для систем уравнений, Cambridge University Press, Нью-Йорк, 1990.
• Попова Е. О решении параметризованных линейных систем. W. Kraemer, J. Wolff von Gudenberg (Eds.): Научные вычисления, Проверенные числа, интервальные методы. Kluwer Acad. Издательство, 2001, с. 127–138.
• Е. Попова, Р. Янков, З. Бонев: Ограничение отклика механических конструкций с неопределенностями по всем параметрам. В R.L.Muhannah, R.L.Mullen (Eds): Proceedings of the NSF Workshop on Reliable Engineering Computing (REC), Svannah, Georgia USA, 22-24 февраля 2006 г., стр. 245-265
• A. Pownuk, Численное решение нечетких дифференциальных уравнений в частных производных и их применение в вычислительной механике, Нечеткие дифференциальные уравнения с частными производными и реляционные уравнения: характеристика и моделирование коллектора (М. Никравеш, Л. Заде и В. Коротких, ред.), Исследования в области нечеткости и мягкие вычисления, Physica-Verlag, 2004, стр. 308–347.
• А. Павунук, Эффективный метод решения крупномасштабных инженерных задач с интервальными параметрами на основе анализа чувствительности, Материалы семинара NSF по надежным инженерным вычислениям, 15–17 сентября 2004 г., Саванна, Джорджия, США, стр. 305–316
• М.В. Рама Рао, А. Павунук и И. Скална, Расчет напряжений монолитной железобетонной балки с неопределенными структурными параметрами, Семинар NSF по надежным инженерным вычислениям, 20–22 февраля 2008 г., Саванна, Джорджия, США, стр. 459–478
• И. Скална, Метод внешнего интервального решения систем линейных уравнений, линейно зависящих от интервальных параметров, Надежные вычисления, Том 12, номер 2, апрель, 2006 г., стр. 107–120
• З. Цю и И. Елисаков, Антиоптимизация конструкций с большими неопределенными, но неслучайными параметрами с помощью интервального анализа Компьютерные методы в прикладной механике и технике, Том 152, выпуски 3-4, 24 января 1998 г., страницы 361-372
• Бернардини, Альберто, Тонон, Фульвио, Граничная неопределенность в гражданском строительстве, Springer 2010

• Бен-Хаим Ю., Елисаков И., 1990, Выпуклые модели неопределенности в прикладной механике. Издательство Elsevier Science, Нью-Йорк

• Валлиаппан С., Фам Т.Д., 1993, Нечеткий конечно-элементный анализ основания на упругой грунтовой среде. Международный журнал численных и аналитических методов в геомеханике, том 17, стр. 771–789

• Елисаков И., Ли Ю. В., Старнес Дж. Х., 1994, Детерминированный метод прогнозирования влияния неизвестных, но ограниченных модулей упругости на изгиб композитных конструкций. Компьютерные методы в прикладной механике и технике, Том 111, с. 155–167.

• Валлиаппан С. Фам Т.Д., 1995, Анализ упругопластических конечных элементов с нечеткими параметрами. Международный журнал численных методов в инженерии, 38, стр. 531–548.

• Рао С.С., Сойер Дж. П., 1995, Нечеткий метод конечных элементов для анализа неточно определенных систем. Журнал AIAA, Том 33, № 12, стр. 2364–2370

• Кёйлюоглу Х.У., Чакмак А., Нильсен С.Р.К., 1995, Отображение интервалов в строительной механике. В кн .: Спанос, под ред. Вычислительная стохастическая механика. 125-133. Балкема, Роттердам

• Муханна, Р. Л. и Р. Л. Маллен (1995). "Разработка интервальных методов для нечеткости в механике сплошной среды" в материалах 3-го Международного симпозиума по моделированию и анализу неопределенности и ежегодной конференции Североамериканского общества обработки нечеткой информации (ISUMA – NAFIPS'95), IEEE, 705–710

внешние ссылки

• Надежные инженерные вычисления, Технологический институт Джорджии, Саванна, США
• Интервальные вычисления
• Надежные вычисления (журнал)
• Интервальные уравнения (сборники ссылок)
• Веб-приложения с интервалом конечных элементов
• Попова Е. А. Набор параметрических решений интервальной линейной системы.
• Общество неточной вероятности: теории и приложения