Распространение неопределенности - Propagation of uncertainty

В статистика, распространение неопределенности (или же распространение ошибки) является эффектом переменные ' неопределенности (или же ошибки, более конкретно случайные ошибки ) от неопределенности функция на их основе. Когда переменные являются значениями экспериментальных измерений, они имеют неопределенности из-за ограничений измерения (например, инструмент точность ), которые распространяются из-за комбинации переменных в функции.

Неопределенность ты можно выразить разными способами. абсолютная ошибка ΔИкс. Неопределенности также могут быть определены относительная ошибка Икс)/Икс, который обычно записывается в процентах. Чаще всего неопределенность величины количественно выражается с помощью стандартное отклонение, σ, который является положительным квадратным корнем из отклонение. Тогда значение количества и его ошибка выражаются в виде интервала Икс ± ты. Если статистический распределение вероятностей переменной известно или можно предположить, можно вывести пределы уверенности для описания области, в которой может быть найдено истинное значение переменной. Например, 68% доверительный интервал для одномерной переменной, принадлежащей нормальное распределение примерно ± одно стандартное отклонение σ от центрального значения Икс, что означает, что регион Икс ± σ покрывает истинную стоимость примерно в 68% случаев.

Если неопределенности коррелированный тогда ковариация необходимо учитывать. Корреляция может возникать из двух разных источников. Во-первых, погрешности измерения могут быть коррелированы. Во-вторых, когда базовые значения коррелируют по всей совокупности, неопределенности в средних по группе будут соотнесены.[1]

Линейные комбинации

Позволять быть набором м функции, которые представляют собой линейные комбинации переменные с комбинационными коэффициентами :

или в матричной записи,

Также позвольте матрица дисперсии-ковариации из Икс = (Икс1, ..., Иксп) обозначим через :

Тогда матрица дисперсии-ковариации из ж дан кем-то

или в матричной записи,

Это наиболее общее выражение для распространения ошибки от одного набора переменных к другому. Когда ошибки на Икс некоррелированы, общее выражение упрощается до

куда это дисперсия k-й элемент Икс vector. Обратите внимание, что даже если ошибки на Икс могут быть некоррелированными, ошибки на ж в целом коррелированы; другими словами, даже если - диагональная матрица, это вообще полная матрица.

Общие выражения для скалярной функции ж немного проще (здесь а вектор-строка):

Каждый член ковариации можно выразить через коэффициент корреляции к , так что альтернативное выражение для дисперсии ж является

В случае, если переменные в Икс некоррелированы, это упрощает дальнейшее

В простейшем случае одинаковых коэффициентов и дисперсий находим

Нелинейные комбинации

Когда ж представляет собой набор нелинейных комбинаций переменных Икс, интервальное распространение может выполняться для вычисления интервалов, содержащих все согласованные значения переменных. В вероятностном подходе функция ж обычно необходимо линеаризовать приближением к первому порядку Серия Тейлор разложения, хотя в некоторых случаях могут быть получены точные формулы, которые не зависят от разложения, как в случае точной дисперсии продуктов.[2] Расширение Тейлора будет:

куда обозначает частная производная из жk с уважением к я-я переменная, вычисляемая по среднему значению всех компонентов вектора Икс. Или в матричная запись,

где J - Матрица якобиана. Поскольку f0 является константой, она не вносит вклад в ошибку f. Следовательно, распространение ошибки следует линейному случаю, описанному выше, но с заменой линейных коэффициентов, Аки и АкДж частными производными, и . В матричных обозначениях[3]

То есть, якобиан функции используется для преобразования строк и столбцов ковариационно-дисперсионной матрицы аргумента. Обратите внимание, что это эквивалентно матричному выражению для линейного случая с .

Упрощение

Пренебрежение корреляциями или допущение независимых переменных приводит к общей формуле для инженеров и ученых-экспериментаторов для расчета распространения ошибок, формуле дисперсии:[4]

куда представляет собой стандартное отклонение функции , представляет собой стандартное отклонение , представляет собой стандартное отклонение , и так далее.

Важно отметить, что эта формула основана на линейных характеристиках градиента и поэтому это хорошая оценка стандартного отклонения так долго как достаточно малы. В частности, линейная аппроксимация должно быть близко к внутри окрестности радиуса .[5]

Пример

Любая нелинейная дифференцируемая функция, , двух переменных, и , может быть расширен как

следовательно:

куда стандартное отклонение функции , стандартное отклонение , стандартное отклонение и ковариация между и .

В частном случае, когда , . потом

или же

куда корреляция между и .

Когда переменные и некоррелированы, . потом

Предостережения и предупреждения

Оценки ошибок для нелинейных функций: пристрастный за счет использования расширения усеченного ряда. Степень этого смещения зависит от характера функции. Например, смещение ошибки, вычисленное для log (1+Икс) увеличивается как Икс увеличивается, так как расширение до Икс хорошее приближение только тогда, когда Икс близок к нулю.

Для сильно нелинейных функций существует пять категорий вероятностных подходов для распространения неопределенности;[6] видеть Количественная оценка неопределенности # Методики прямого распространения неопределенности для подробностей.

Взаимный и сдвинутый взаимный

В частном случае обратного или обратного , куда следует за стандартное нормальное распределение, результирующее распределение является обратным стандартным нормальным распределением, и нет определяемой дисперсии.[7]

Однако в несколько более общем случае сдвинутой обратной функции за следуя общему нормальному распределению, статистика среднего и дисперсии действительно существует в основная стоимость смысл, если разница между полюсом и среднее имеет реальную ценность.[8]

Соотношения

Соотношения также проблематичны; нормальные приближения существуют при определенных условиях.

Примеры формул

В этой таблице показаны дисперсии и стандартные отклонения простых функций действительных переменных. , со стандартными отклонениями ковариация и точно известные (детерминированные) действительные константы (т.е. ). В столбцах «Дисперсия» и «Стандартное отклонение» следует понимать как ожидаемые значения (то есть значения, вокруг которых мы оцениваем неопределенность), и следует понимать значение функции, вычисленное при математическом ожидании .

ФункцияДисперсияСтандартное отклонение
[9][10]
[11]
[12]
[12]
[13]

Для некоррелированных переменных () члены ковариации также равны нулю, так как .

В этом случае выражения для более сложных функций могут быть получены путем объединения более простых функций. Например, повторное умножение при отсутствии корреляции дает

По делу у нас также есть выражение Гудмана[2] для точной дисперсии: для некоррелированного случая это

и поэтому имеем:

Примеры расчетов

Функция обратной тангенса

Мы можем рассчитать распространение неопределенности для функции обратной касательной в качестве примера использования частных производных для распространения ошибки.

Определять

куда абсолютная неопределенность нашего измерения Икс. Производная от ж(Икс) относительно Икс является

Следовательно, наша распространенная неопределенность равна

куда - распространенная абсолютная неопределенность.

Измерение сопротивления

Практическое применение - это эксперимент в котором измеряется Текущий, я, и Напряжение, V, на резистор чтобы определить сопротивление, р, с помощью Закон Ома, р = V / я.

Учитывая измеренные переменные с погрешностями, я ± σя и V ± σV, и пренебрегая их возможной корреляцией, неопределенность в вычисленной величине, σр, является:

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Киршнер, Джеймс. «Инструментарий анализа данных № 5: Анализ неопределенности и распространение ошибок» (PDF). Лаборатория сейсмологии Беркли. Калифорнийский университет. Получено 22 апреля 2016.
  2. ^ а б Гудман, Лео (1960). «О точной дисперсии товаров». Журнал Американской статистической ассоциации. 55 (292): 708–713. Дои:10.2307/2281592. JSTOR  2281592.
  3. ^ Очоа1, Бенджамин; Белонги, Серж «Распространение ковариации для управляемого сопоставления» В архиве 2011-07-20 на Wayback Machine
  4. ^ Ку, Х. Х. (октябрь 1966 г.). «Замечания по использованию формул распространения ошибок». Журнал исследований Национального бюро стандартов. 70C (4): 262. Дои:10.6028 / jres.070c.025. ISSN  0022-4316. Получено 3 октября 2012.
  5. ^ Клиффорд, А. А. (1973). Многомерный анализ ошибок: руководство по распространению ошибок и расчетам в многопараметрических системах. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0470160558.[страница нужна ]
  6. ^ Lee, S. H .; Чен, В. (2009). «Сравнительное исследование методов распространения неопределенности для задач типа черного ящика». Структурная и междисциплинарная оптимизация. 37 (3): 239–253. Дои:10.1007 / s00158-008-0234-7. S2CID  119988015.
  7. ^ Джонсон, Норман Л .; Коц, Самуэль; Балакришнан, Нараянасвами (1994). Непрерывные одномерные распределения, Том 1. Вайли. п. 171. ISBN  0-471-58495-9.
  8. ^ Леконт, Кристоф (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем первого ранга». Журнал звука и вибраций. 332 (11): 2750–2776. Дои:10.1016 / j.jsv.2012.12.009.
  9. ^ «Сводка распространения ошибок» (PDF). п. 2. Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-12-13. Получено 2016-04-04.
  10. ^ «Распространение неопределенности с помощью математических операций» (PDF). п. 5. Получено 2016-04-04.
  11. ^ «Стратегии оценки дисперсии» (PDF). п. 37. Получено 2013-01-18.
  12. ^ а б Харрис, Дэниел С. (2003), Количественный химический анализ (6-е изд.), Macmillan, p. 56, ISBN  978-0-7167-4464-1
  13. ^ "Учебник по распространению ошибок" (PDF). Футхилл Колледж. 9 октября 2009 г.. Получено 2012-03-01.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка