Неопределенность ты можно выразить разными способами. абсолютная ошибкаΔИкс. Неопределенности также могут быть определены относительная ошибка(ΔИкс)/Икс, который обычно записывается в процентах. Чаще всего неопределенность величины количественно выражается с помощью стандартное отклонение, σ, который является положительным квадратным корнем из отклонение. Тогда значение количества и его ошибка выражаются в виде интервала Икс ± ты. Если статистический распределение вероятностей переменной известно или можно предположить, можно вывести пределы уверенности для описания области, в которой может быть найдено истинное значение переменной. Например, 68% доверительный интервал для одномерной переменной, принадлежащей нормальное распределение примерно ± одно стандартное отклонение σ от центрального значения Икс, что означает, что регион Икс ± σ покрывает истинную стоимость примерно в 68% случаев.
Если неопределенности коррелированный тогда ковариация необходимо учитывать. Корреляция может возникать из двух разных источников. Во-первых, погрешности измерения могут быть коррелированы. Во-вторых, когда базовые значения коррелируют по всей совокупности, неопределенности в средних по группе будут соотнесены.[1]
Тогда матрица дисперсии-ковариации из ж дан кем-то
или в матричной записи,
Это наиболее общее выражение для распространения ошибки от одного набора переменных к другому. Когда ошибки на Икс некоррелированы, общее выражение упрощается до
куда это дисперсия k-й элемент Икс vector. Обратите внимание, что даже если ошибки на Икс могут быть некоррелированными, ошибки на ж в целом коррелированы; другими словами, даже если - диагональная матрица, это вообще полная матрица.
Общие выражения для скалярной функции ж немного проще (здесь а вектор-строка):
Каждый член ковариации можно выразить через коэффициент корреляции к , так что альтернативное выражение для дисперсии ж является
В случае, если переменные в Икс некоррелированы, это упрощает дальнейшее
В простейшем случае одинаковых коэффициентов и дисперсий находим
Когда ж представляет собой набор нелинейных комбинаций переменных Икс, интервальное распространение может выполняться для вычисления интервалов, содержащих все согласованные значения переменных. В вероятностном подходе функция ж обычно необходимо линеаризовать приближением к первому порядку Серия Тейлор разложения, хотя в некоторых случаях могут быть получены точные формулы, которые не зависят от разложения, как в случае точной дисперсии продуктов.[2] Расширение Тейлора будет:
куда обозначает частная производная из жk с уважением к я-я переменная, вычисляемая по среднему значению всех компонентов вектора Икс. Или в матричная запись,
где J - Матрица якобиана. Поскольку f0 является константой, она не вносит вклад в ошибку f. Следовательно, распространение ошибки следует линейному случаю, описанному выше, но с заменой линейных коэффициентов, Аки и АкДж частными производными, и . В матричных обозначениях[3]
То есть, якобиан функции используется для преобразования строк и столбцов ковариационно-дисперсионной матрицы аргумента. Обратите внимание, что это эквивалентно матричному выражению для линейного случая с .
Упрощение
Пренебрежение корреляциями или допущение независимых переменных приводит к общей формуле для инженеров и ученых-экспериментаторов для расчета распространения ошибок, формуле дисперсии:[4]
куда представляет собой стандартное отклонение функции , представляет собой стандартное отклонение , представляет собой стандартное отклонение , и так далее.
Важно отметить, что эта формула основана на линейных характеристиках градиента и поэтому это хорошая оценка стандартного отклонения так долго как достаточно малы. В частности, линейная аппроксимация должно быть близко к внутри окрестности радиуса .[5]
Пример
Любая нелинейная дифференцируемая функция, , двух переменных, и , может быть расширен как
следовательно:
куда стандартное отклонение функции , стандартное отклонение , стандартное отклонение и ковариация между и .
В частном случае, когда , . потом
или же
куда корреляция между и .
Когда переменные и некоррелированы, . потом
Предостережения и предупреждения
Оценки ошибок для нелинейных функций: пристрастный за счет использования расширения усеченного ряда. Степень этого смещения зависит от характера функции. Например, смещение ошибки, вычисленное для log (1+Икс) увеличивается как Икс увеличивается, так как расширение до Икс хорошее приближение только тогда, когда Икс близок к нулю.
В частном случае обратного или обратного , куда следует за стандартное нормальное распределение, результирующее распределение является обратным стандартным нормальным распределением, и нет определяемой дисперсии.[7]
Однако в несколько более общем случае сдвинутой обратной функции за следуя общему нормальному распределению, статистика среднего и дисперсии действительно существует в основная стоимость смысл, если разница между полюсом и среднее имеет реальную ценность.[8]
Соотношения также проблематичны; нормальные приближения существуют при определенных условиях.
Примеры формул
В этой таблице показаны дисперсии и стандартные отклонения простых функций действительных переменных. , со стандартными отклонениями ковариация и точно известные (детерминированные) действительные константы (т.е. ). В столбцах «Дисперсия» и «Стандартное отклонение» следует понимать как ожидаемые значения (то есть значения, вокруг которых мы оцениваем неопределенность), и следует понимать значение функции, вычисленное при математическом ожидании .
Для некоррелированных переменных () члены ковариации также равны нулю, так как .
В этом случае выражения для более сложных функций могут быть получены путем объединения более простых функций. Например, повторное умножение при отсутствии корреляции дает
По делу у нас также есть выражение Гудмана[2] для точной дисперсии: для некоррелированного случая это
и поэтому имеем:
Примеры расчетов
Функция обратной тангенса
Мы можем рассчитать распространение неопределенности для функции обратной касательной в качестве примера использования частных производных для распространения ошибки.
Определять
куда абсолютная неопределенность нашего измерения Икс. Производная от ж(Икс) относительно Икс является
Следовательно, наша распространенная неопределенность равна
куда - распространенная абсолютная неопределенность.
Учитывая измеренные переменные с погрешностями, я ± σя и V ± σV, и пренебрегая их возможной корреляцией, неопределенность в вычисленной величине, σр, является:
^Клиффорд, А. А. (1973). Многомерный анализ ошибок: руководство по распространению ошибок и расчетам в многопараметрических системах. Джон Вили и сыновья. ISBN978-0470160558.[страница нужна ]
^Lee, S. H .; Чен, В. (2009). «Сравнительное исследование методов распространения неопределенности для задач типа черного ящика». Структурная и междисциплинарная оптимизация. 37 (3): 239–253. Дои:10.1007 / s00158-008-0234-7. S2CID119988015.
^Джонсон, Норман Л .; Коц, Самуэль; Балакришнан, Нараянасвами (1994). Непрерывные одномерные распределения, Том 1. Вайли. п. 171. ISBN0-471-58495-9.
^Леконт, Кристоф (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем первого ранга». Журнал звука и вибраций. 332 (11): 2750–2776. Дои:10.1016 / j.jsv.2012.12.009.
Тейлор, Дж. Р. (1997), Введение в анализ ошибок: исследование неопределенностей в физических измерениях (2-е изд.), University Science Books
Ван, К. М.; Айер, Хари К. (2005-09-07). «О поправках высшего порядка для распространения неопределенностей». Метрология. 42 (5): 406–410. Дои:10.1088/0026-1394/42/5/011. ISSN0026-1394.