Неопределенность измерения - Википедия - Measurement uncertainty

В метрология, погрешность измерения является выражением статистическая дисперсия значений, приписываемых измеряемой величине. Все измерения подвержены неопределенности, и результат измерения считается полным только в том случае, если он сопровождается заявлением о связанной с ним неопределенности, например стандартное отклонение. По международному соглашению эта неопределенность имеет вероятностную основу и отражает неполное знание величины величины. Это неотрицательный параметр.^[1]

Неопределенность измерения часто принимается за стандартное отклонение распределения вероятностей состояния знаний по возможным значениям, которые можно отнести к измеряемой величине. Относительная неопределенность - это неопределенность измерения относительно величины конкретного единственного выбора значения для измеряемой величины, когда этот выбор не равен нулю. Этот конкретный единственный выбор обычно называется измеренным значением, которое может быть оптимальным в некотором четко определенном смысле (например, иметь в виду, медиана, или же Режим ). Таким образом, относительная неопределенность измерения - это неопределенность измерения, деленная на абсолютное значение измеренного значения, когда измеренное значение не равно нулю.

Фон

Цель измерения - предоставить информацию о количество представляющих интерес - измеряемая величина. Например, измеряемая величина может быть размером цилиндрического элемента, объем судна, разность потенциалов между выводами батареи или массовая концентрация свинца в колбе с водой.

Нет точных измерений. Когда величина измеряется, результат зависит от измерительной системы, процедуры измерения, навыков оператора, окружающей среды и других факторов.^[2] Даже если величина должна быть измерена несколько раз одним и тем же способом и в одних и тех же обстоятельствах, как правило, каждый раз будет получаться другое измеренное значение, если предположить, что измерительная система имеет достаточную разрешающую способность, чтобы различать значения.

Разброс измеренных значений будет зависеть от того, насколько хорошо выполняется измерение. Их средний обеспечит оценку истинного значения величины, которая, как правило, будет более надежной, чем отдельное измеренное значение. Дисперсия и количество измеренных значений предоставят информацию, относящуюся к среднему значению в качестве оценки истинного значения. Однако, как правило, этой информации недостаточно.

Измерительная система может предоставлять измеренные значения, которые не разбросаны относительно истинного значения, а имеют некоторое отклонение от него. Возьмем бытовые весы для ванной. Предположим, он настроен не на отображение нуля, когда на шкале никого нет, а на отображение некоторого смещения значения от нуля. Тогда, независимо от того, сколько раз повторно измерялась масса человека, эффект этого смещения по своей сути будет присутствовать в среднем значении.

«Руководство по выражению неопределенности в измерениях» (широко известное как GUM) является исчерпывающим документом по этому вопросу. GUM был принят всеми основными национальными измерительными институтами (NMI) и международными стандартами аккредитации лабораторий, такими как ISO / IEC 17025 Общие требования к компетентности испытательных и калибровочных лабораторий, что требуется для международная аккредитация лабораторий; и используется в большинстве современных национальных и международных документальных стандартов на методы и технологии измерений. Видеть Объединенный комитет руководств по метрологии.

Неопределенность измерения имеет важные экономические последствия для калибровки и измерений. В отчетах о калибровке величина неопределенности часто рассматривается как показатель качества лаборатории, а меньшие значения неопределенности обычно имеют более высокую ценность и более высокую стоимость. В Американское общество инженеров-механиков (ASME) разработала набор стандартов, касающихся различных аспектов неопределенности измерений. Например, стандарты ASME используются для определения роли неопределенности измерения при приеме или отклонении продуктов на основе результата измерения и спецификации продукта,^[3] обеспечить упрощенный подход (по сравнению с GUM) к оценке неопределенности измерения размеров,^[4] устранение разногласий по величине заявления о неопределенности измерения,^[5] или предоставить руководство по рискам, связанным с любым решением о приемке / отклонении продукта.^[6]

Косвенное измерение

Вышеупомянутое обсуждение касается прямого измерения величины, которое, кстати, случается редко. Например, весы для ванной могут преобразовать измеренное удлинение пружины в оценку измеряемой величины, т.е. масса человека на шкале. Конкретное соотношение между расширением и массой определяется калибровка шкалы. Измерение модель преобразует значение величины в соответствующее значение измеряемой величины.

На практике существует множество видов измерений и, следовательно, множество моделей. Простая модель измерения (например, весы, масса которых пропорциональна длине пружины) может быть достаточной для повседневного домашнего использования. В качестве альтернативы, более сложная модель взвешивания, включающая дополнительные эффекты, такие как воздух. плавучесть, способна обеспечить лучшие результаты для промышленных или научных целей. Обычно бывает несколько разных величин, например температура, влажность и смещение, которые способствуют определению измеряемой величины и должны быть измерены.

Условия коррекции должны быть включены в модель измерения, если условия измерения не совсем такие, как оговорено. Эти термины соответствуют систематическим ошибкам. Учитывая оценку поправочного члена, соответствующая величина должна быть скорректирована с помощью этой оценки. С оценкой будет связана неопределенность, даже если оценка равна нулю, как это часто бывает. Случаи систематических ошибок возникают при измерении высоты, когда измерительный инструмент не совсем вертикальный, а температура окружающей среды отличается от предписанной. Ни юстировка прибора, ни температура окружающей среды не указаны точно, но информация об этих эффектах доступна, например, отсутствие юстировки составляет не более 0,001 °, а температура окружающей среды во время измерения отличается от той, которая предусмотрена не более чем на 2 ° C.

Помимо необработанных данных, представляющих измеренные значения, существует еще одна форма данных, которая часто требуется в модели измерения. Некоторые такие данные относятся к количествам, представляющим физические константы, каждая из которых известна несовершенно. Примерами являются материальные константы, такие как модуль упругости и удельная теплоемкость. Часто в справочниках, сертификатах калибровки и т. Д. Приводятся другие соответствующие данные, которые рассматриваются как оценки дополнительных количеств.

Элементы, необходимые модели измерения для определения измеряемой величины, известны как входные величины в модели измерения. Модель часто называют функциональной зависимостью. Выходная величина в модели измерения - это измеряемая величина.

Формально выходная величина, обозначаемая как ${ displaystyle Y}$, информация о которой требуется, часто связана с входными величинами, обозначенными ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {N}}$, о которой доступна информация, с помощью модели измерения в виде

${ Displaystyle Y = F (X_ {1}, ldots, X_ {N}),}$

куда ${ displaystyle f}$ называется функцией измерения. Общее выражение для модели измерения:

${ displaystyle h (Y,}$ ${ displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {N}) = 0.}$

Считается, что существует процедура расчета ${ displaystyle Y}$ данный ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {N}}$, и это ${ displaystyle Y}$ однозначно определяется этим уравнением.

Распространение раздач

Истинные значения входных величин ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {N}}$ неизвестны. В подходе ГУМа ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {N}}$ характеризуются распределения вероятностей и математически трактуется как случайные переменные. Эти распределения описывают соответствующие вероятности их истинных значений, лежащих в разных интервалах, и назначаются на основе имеющихся знаний о ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {N}}$. Иногда некоторые или все ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {N}}$ взаимосвязаны, и соответствующие распределения, известные как соединение, применяются к этим количествам вместе взятым.

Рассмотрим оценки ${ Displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {N}}$соответственно входных величин ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {N}}$, полученные из сертификатов и отчетов, спецификаций производителей, анализа данных измерений и т. д. Распределения вероятностей, характеризующие ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {N}}$ выбраны так, чтобы оценки ${ Displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {N}}$, соответственно, являются ожидания^[7] из ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {N}}$. Более того, для ${ displaystyle i}$-го входного количества, рассмотрим так называемый стандартная неопределенность, учитывая символ ${ Displaystyle и (х_ {я})}$, определяемый как стандартное отклонение^[7] входного количества ${ displaystyle X_ {i}}$. Эта стандартная неопределенность называется связанной с (соответствующей) оценкой ${ displaystyle x_ {i}}$.

Использование имеющихся знаний для установления распределения вероятностей для характеристики каждой интересующей величины применяется к ${ displaystyle X_ {i}}$ а также ${ displaystyle Y}$. В последнем случае характерное распределение вероятностей для ${ displaystyle Y}$ определяется моделью измерения вместе с распределениями вероятностей для ${ displaystyle X_ {i}}$. Определение распределения вероятностей для ${ displaystyle Y}$ из этой информации известен как распространение распределений.^[7]

На рисунке ниже изображена модель измерения. ${ Displaystyle Y = X_ {1} + X_ {2}}$ в случае, когда ${ displaystyle X_ {1}}$ и ${ displaystyle X_ {2}}$ каждый из них характеризуется (разным) прямоугольником, или униформа, распределение вероятностей. ${ displaystyle Y}$ в этом случае имеет симметричное трапециевидное распределение вероятностей.

Как только входные количества ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {N}}$ были охарактеризованы соответствующими распределениями вероятностей, и была разработана модель измерения, распределение вероятностей для измеряемой величины ${ displaystyle Y}$ полностью указано в этой информации. В частности, ожидание ${ displaystyle Y}$ используется как оценка ${ displaystyle Y}$, а стандартное отклонение ${ displaystyle Y}$ как стандартная неопределенность, связанная с этой оценкой.

Часто интервал, содержащий ${ displaystyle Y}$ с указанной вероятностью не требуется. Такой интервал, интервал охвата, может быть выведен из распределения вероятностей для ${ displaystyle Y}$. Указанная вероятность известна как вероятность покрытия. Для данной вероятности охвата существует более одного интервала охвата. Вероятностно симметричный интервал охвата - это интервал, для которого вероятности (в сумме до единицы минус вероятность охвата) значения слева и справа от интервала равны. Самый короткий интервал охвата - это интервал, длина которого меньше всех интервалов охвата, имеющих одинаковую вероятность охвата.

Предварительные знания об истинном значении выходной величины ${ displaystyle Y}$ также можно рассмотреть. Для домашних весов для ванной тот факт, что масса человека положительна и что измеряется масса человека, а не автомобиля, представляет собой предварительное знание о возможных значениях измеряемой величины. этот пример. Такую дополнительную информацию можно использовать для получения распределения вероятностей для ${ displaystyle Y}$ что может дать меньшее стандартное отклонение для ${ displaystyle Y}$ и, следовательно, меньшая стандартная неопределенность, связанная с оценкой ${ displaystyle Y}$.^[8][9][10]

Оценка неопределенности типа A и типа B

Знание о вводимой величине ${ displaystyle X_ {i}}$ выводится из повторяющихся измеренных значений («Оценка неопределенности типа A»), или научного заключения или другой информации, касающейся возможных значений величины («Оценка неопределенности типа B»).

При оценке неопределенности измерения типа А часто делается допущение, что распределение наилучшим образом описывает входную величину. ${ displaystyle X}$ с учетом повторных измерений его (полученных независимо) Гауссово распределение.${ displaystyle X}$ затем имеет математическое ожидание, равное среднему измеренному значению, и стандартное отклонение, равное стандартному отклонению среднего значения. Когда неопределенность оценивается по небольшому количеству измеренных значений (рассматриваемых как экземпляры величины, характеризуемой распределением Гаусса), соответствующее распределение можно рассматривать как т-распределение.^[11]Другие соображения применимы, когда измеренные значения не получены независимо.

Для оценки неопределенности типа B часто единственной доступной информацией является то, что ${ displaystyle X}$ лежит в указанном интервал [${ displaystyle a, b}$]. В таком случае знание величины может быть охарактеризовано прямоугольное распределение вероятностей^[11] с ограничениями ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$.Если бы была доступна другая информация, использовалось бы распределение вероятностей, соответствующее этой информации.^[12]

Коэффициенты чувствительности

Коэффициенты чувствительности ${ Displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {N}}$ опишите, как оценка ${ displaystyle y}$ из ${ displaystyle Y}$ будет зависеть от небольших изменений в оценках ${ Displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {N}}$ входных величин ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {N}}$.Для модели измерения ${ Displaystyle Y = F (X_ {1}, ldots, X_ {N})}$, коэффициент чувствительности ${ displaystyle c_ {i}}$ равно частная производная первого порядка ${ displaystyle f}$ относительно ${ displaystyle X_ {i}}$ оценивается в ${ Displaystyle X_ {1} = x_ {1}}$, ${ Displaystyle X_ {2} = x_ {2}}$и др. для линейный модель измерения

${ Displaystyle Y = c_ {1} X_ {1} + cdots + c_ {N} X_ {N},}$

с ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {N}}$ независимый, изменение ${ displaystyle x_ {i}}$ равно ${ Displaystyle и (х_ {я})}$ дал бы сдачу ${ Displaystyle c_ {я} и (х_ {я})}$ в ${ displaystyle y.}$Это утверждение обычно будет приблизительным для моделей измерения. ${ Displaystyle Y = F (X_ {1}, ldots, X_ {N})}$Относительные величины слагаемых ${ displaystyle | c_ {i} | u (x_ {i})}$ полезны при оценке соответствующих вкладов входных величин в стандартную неопределенность ${ Displaystyle и (у)}$ связана с ${ displaystyle y}$.Стандартная неопределенность ${ Displaystyle и (у)}$ связанный с оценкой ${ displaystyle y}$ выходного количества ${ displaystyle Y}$ не дается суммой ${ displaystyle | c_ {i} | u (x_ {i})}$, но эти члены в квадратуре,^[1] а именно выражением, которое обычно является приближенным для моделей измерения ${ Displaystyle Y = F (X_ {1}, ldots, X_ {N})}$:

${ displaystyle u ^ {2} (y) = c_ {1} ^ {2} u ^ {2} (x_ {1}) + cdots + c_ {N} ^ {2} u ^ {2} (x_ {N}),}$

который известен как закон распространения неопределенности.

Когда входные количества ${ displaystyle X_ {i}}$ содержат зависимости, приведенная выше формула дополняется терминами, содержащими ковариации,^[1] который может увеличиваться или уменьшаться ${ Displaystyle и (у)}$.

Оценка неопределенности

Основные этапы оценки неопределенности составляют формулировку и расчет, последний состоит из распространения и обобщения.

1. определение количества на выходе ${ displaystyle Y}$ (измеряемая величина),
2. определение входных величин, на которых ${ displaystyle Y}$ зависит от,
3. разработка модели измерения, относящейся к ${ displaystyle Y}$ к входным величинам, и
4. на основе имеющихся знаний присвоение распределений вероятностей - гауссовых, прямоугольных и т. д. - входным величинам (или совместное распределение вероятностей для тех входных величин, которые не являются независимыми).

Этап расчета состоит из распространения распределений вероятностей для входных величин через модель измерения для получения распределения вероятностей для выходных величин. ${ displaystyle Y}$, и суммируя, используя это распределение, чтобы получить

1. ожидание ${ displaystyle Y}$, взятой как оценка ${ displaystyle y}$ из ${ displaystyle Y}$,
2. стандартное отклонение ${ displaystyle Y}$, принятая за стандартную неопределенность ${ Displaystyle и (у)}$ связана с ${ displaystyle y}$, и
3. интервал покрытия, содержащий ${ displaystyle Y}$ с заданной вероятностью покрытия.

Этап распространения оценки неопределенности известен как распространение распределений, для которого доступны различные подходы, в том числе

1. структура неопределенности GUM, представляющая собой применение закона распространения неопределенности, и характеристика выходной величины ${ displaystyle Y}$ с помощью гауссиана или ${ displaystyle t}$-распределение,
2. аналитические методы, в которых математический анализ используется для вывода алгебраической формы распределения вероятностей для ${ displaystyle Y}$, и
3. а Метод Монте-Карло,^[7] в котором приближение к функции распределения для ${ displaystyle Y}$ устанавливается численно путем случайного отбора из распределений вероятностей для входных величин и оценки модели по полученным значениям.

Для любой конкретной задачи оценки неопределенности используется подход 1), 2) или 3) (или какой-либо другой подход), 1) в целом приближенный, 2) точный и 3) обеспечивающий решение с числовой точностью, которую можно контролировать.

Модели с любым количеством выходных величин

Когда модель измерения является многомерной, то есть имеет любое количество выходных величин, вышеупомянутые концепции могут быть расширены.^[13] Выходные величины теперь описываются совместным распределением вероятностей, интервал охвата становится областью охвата, закон распространения неопределенности имеет естественное обобщение, и доступна процедура расчета, реализующая многомерный метод Монте-Карло.

Неопределенность как интервал

Наиболее распространенный взгляд на неопределенность измерений использует случайные величины в качестве математических моделей для неопределенных величин и простых распределений вероятностей, достаточных для представления неопределенностей измерений. Однако в некоторых ситуациях математический интервал может быть лучшей моделью неопределенности, чем распределение вероятностей. Это может включать ситуации, связанные с периодическими измерениями, мусорный бак значения данных, цензура, пределы обнаружения, или диапазоны измерений плюс-минус, где никакое конкретное распределение вероятностей не кажется оправданным или где нельзя предположить, что ошибки отдельных измерений полностью независимы.^{[нужна цитата ]}

Более того крепкий представление неопределенности измерения в таких случаях может быть составлено из интервалов.^[14][15] Интервал [а,б] отличается от прямоугольного или равномерного распределения вероятностей в том же диапазоне тем, что последнее предполагает, что истинное значение находится в правой половине диапазона [(а + б)/2, б] с вероятностью половина и в любом подынтервале [а,б] с вероятностью, равной ширине подынтервала, деленной на б – а. Интервал не делает таких заявлений, за исключением того, что измерение находится где-то в пределах интервала. Распределение таких интервалов измерения можно резюмировать как коробки вероятности и Структуры Демпстера – Шафера над действительными числами, которые включают оба алеаторические и эпистемологические неопределенности.

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

Этот дальнейшее чтение раздел может содержать несоответствующие или чрезмерные предложения, которые могут не соответствовать рекомендациям Википедии. руководящие указания. Убедитесь, что только разумное количество из сбалансированный, актуальный, надежный, и даны важные предложения для дальнейшего чтения; удаление менее актуальных или повторяющихся публикаций с помощью та же точка зрения где это уместно. Рассмотрите возможность использования соответствующих текстов в качестве встроенные источники или создание отдельная библиографическая статья. (Декабрь 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

• Бич В., Кокс М. Г. и Харрис П. М. Эволюция «Руководства по выражению неопределенности в измерениях». Метрология, 43 (4): С161 – С166, 2006.
• Кокс, М. Г., и Харрис, П. М. Руководство SSfM по лучшей практике № 6, Оценка неопределенности. Технический отчет DEM-ES-011^{[постоянная мертвая ссылка ]}, Национальная физическая лаборатория, 2006.
• Кокс, М. Г., и Харрис, П. М. . Спецификации программного обеспечения для оценки неопределенности. Технический отчет DEM-ES-010^{[постоянная мертвая ссылка ]}, Национальная физическая лаборатория, 2006.
• Грабе, М ., Погрешности измерений в науке и технологиях, Springer 2005.
• Грабе, М. Обобщенное гауссовское исчисление ошибок, Springer 2010.
• Дитрих, К. Ф. (1991). Неопределенность, калибровка и вероятность. Бристоль, Великобритания: Адам Хильгер.
• EA. Выражение неопределенности измерения при калибровке. Технический отчет EA-4/02, Европейское сотрудничество по аккредитации, 1999 г.
• Эльстер К. и Томан Б. Байесовский анализ неопределенности при предшествующем незнании измеряемой величины в сравнении с анализом с использованием Дополнения 1 к Гид: сравнение. Метрология, 46: 261–266, 2009.
• Ferson, S .; Крейнович, В .; Hajagos, J .; Оберкампф, В .; Гинзбург, Л. (2007). «Экспериментальная оценка неопределенности и статистика для данных, имеющих интервальную неопределенность» (PDF).
• Lira., I. Оценка неопределенности измерения. Основы и практическое руководство. Институт физики, Бристоль, Великобритания, 2002 г.
• Майсен Н., Тейлор П. (редакторы), Практические примеры прослеживаемости, неопределенности измерений и валидации в химии, Том 1, 2010 г .; ISBN  978-92-79-12021-3.
• Поссоло А. и Айер Х. К. 2017 Концепции и инструменты для оценки неопределенности измерений Rev. Sci. Инстр., 88 011301 (2017).
• UKAS. Выражение неопределенности при тестировании на ЭМС. Технический отчет LAB34, Служба аккредитации Соединенного Королевства, 2002 г.
• UKAS M3003 Выражение неопределенности и уверенности в измерениях (Выпуск 3, ноябрь 2012 г.) UKAS
• ASME PTC 19.1, Погрешность испытаний, Нью-Йорк: Американское общество инженеров-механиков; 2005 г.
• Руо, М. (2013), Распространение неопределенностей в экспериментальных измерениях (PDF) (короткое изд.)
• Да Силва, Р.Б .; Bulska, E .; Godlewska-Zylkiewicz, B .; Hedrich, M .; Majcen, N .; Magnusson, B .; Marincic, S .; Пападакис, I .; Patriarca, M .; Василева, Е .; Тейлор, П. (2012). Аналитическое измерение: неопределенность измерения и статистика. ISBN  978-92-79-23070-7.
• Арнаут, Л. Р. (2008). «Неопределенность измерения в реверберационных камерах - I. Пример статистики. Технический отчет TQE 2» (PDF) (2-е изд.). Национальная физическая лаборатория. Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-03-04. Получено 2013-09-26.
• Leito, I .; Jalukse, L .; Хельм, И. (2013). «Оценка неопределенности измерений в химическом анализе (аналитическая химия)] Он-лайн курс». Тартуский университет.

внешняя ссылка

• NPLUnc
• Оценка температуры и ее неопределенность в малых системах, 2011 г.
• Введение в оценку неопределенности измерения
• JCGM 200: 2008. Международный словарь метрологии - Основные и общие понятия и связанные с ними термины, 3-е издание. Объединенный комитет руководств по метрологии.
• ISO 3534-1: 2006. Статистика - Словарь и символы - Часть 1: Общие статистические термины и термины, используемые для оценки вероятности. ISO
• JCGM 106: 2012. Оценка данных измерений - Роль неопределенности измерения в оценке соответствия. Объединенный комитет руководств по метрологии.
• NIST. Неопределенность результатов измерений.