Ожидаемое значение - Expected value

«E (X)» перенаправляется сюда. Для ${displaystyle e ^ {x}}$ функция, см. Экспоненциальная функция.

В теория вероятности, то ожидаемое значение из случайная переменная ${displaystyle X}$, обозначенный ${displaystyle E (X)}$ или же ${displaystyle E [X]}$,^[1][2] является обобщением средневзвешенное, и интуитивно среднее арифметическое большого количества независимый реализации из ${displaystyle X}$. Ожидаемое значение также известно как ожидание, математическое ожидание, иметь в виду, средний, или же первый момент. Ожидаемая стоимость - ключевое понятие в экономика, финансы, и многие другие предметы.

По определению ожидаемое значение постоянной случайной величины ${displaystyle X = c}$ является ${displaystyle c}$.^[3] Ожидаемое значение случайной величины ${displaystyle X}$ с равновероятный результаты ${displaystyle {c_ {1}, ldots, c_ {n}}}$ определяется как среднее арифметическое терминов ${displaystyle c_ {i}.}$ Если некоторые из вероятностей ${displaystyle Pr, (X = c_ {i})}$ индивидуального исхода ${displaystyle c_ {i}}$ неравны, то ожидаемое значение определяется как средневзвешенное значение вероятности ${displaystyle c_ {i}}$s, то есть сумма ${displaystyle n}$ товары ${displaystyle c_ {i} cdot Pr, (X = c_ {i})}$.^[4] Ожидаемое значение общей случайной величины включает интеграция в смысле Лебега.

История

Идея ожидаемой стоимости возникла в середине 17 века в результате изучения так называемого проблема очков, который стремится разделить ставки честно между двумя игроками, которые должны завершить свою игру до того, как она закончится должным образом.^[5] Эта проблема обсуждалась веками, и за эти годы было предложено много противоречивых предложений и решений, когда она была поставлена ​​перед Блез Паскаль французского писателя и математика-любителя Шевалье де Мере в 1654 году. Мере утверждал, что эту проблему невозможно решить и что она показала, насколько несовершенной была математика, когда дело доходило до ее применения в реальном мире. Паскаль, будучи математиком, был спровоцирован и полон решимости решить проблему раз и навсегда.

Он начал обсуждать проблему в уже известной серии писем к Пьер де Ферма. Вскоре они оба независимо друг от друга придумали решение. Они решили проблему разными вычислительными способами, но их результаты были идентичны, потому что их вычисления были основаны на одном и том же фундаментальном принципе. Принцип состоит в том, что стоимость будущей прибыли должна быть прямо пропорциональна шансам на ее получение. Этот принцип казался им обоим естественным. Они были очень довольны тем фактом, что они нашли по существу такое же решение, и это, в свою очередь, сделало их абсолютно убежденными, что они решили проблему окончательно; однако они не опубликовали свои выводы. Они сообщили об этом лишь небольшому кругу общих научных друзей в Париже.^[6]

Три года спустя, в 1657 году, голландский математик Кристиан Гюйгенс, только что посетивший Париж, опубликовал трактат (см. Гюйгенс (1657) ) "De ratiociniis in ludo ale«по теории вероятностей. В этой книге он рассмотрел проблему точек и представил решение, основанное на том же принципе, что и решения Паскаля и Ферма. Гюйгенс также расширил концепцию математического ожидания, добавив правила того, как вычислять ожидания в более сложных ситуаций, чем исходная задача (например, для трех или более игроков). В этом смысле эту книгу можно рассматривать как первую успешную попытку заложить основы теория вероятности.

В предисловии к своей книге Гюйгенс писал:

Следует также сказать, что в течение некоторого времени некоторые из лучших математиков Франции занимались этим видом исчисления, так что никто не должен приписывать мне честь первого изобретения. Это не принадлежит мне. Но эти ученые, хотя и подвергают друг друга испытанию, предлагая друг другу множество трудных для решения вопросов, скрывают свои методы. Поэтому мне пришлось исследовать и глубоко изучить этот вопрос, начав с элементов, и по этой причине я не могу утверждать, что я даже начал с того же принципа. Но в конце концов я обнаружил, что мои ответы во многих случаях не отличаются от их.

— Эдвардс (2002)

Таким образом, Гюйгенс узнал о Проблема де Мере в 1655 г. во время визита во Францию; позже, в 1656 г. из его переписки с Каркави, он узнал, что его метод по сути такой же, как и у Паскаля; так что еще до того, как его книга поступила в печать в 1657 году, он знал о приоритете Паскаля в этом вопросе.

Этимология

Ни Паскаль, ни Гюйгенс не использовали термин «ожидание» в его современном смысле. В частности, Гюйгенс пишет:^[7]

Что любой шанс или ожидание выиграть какую-либо вещь стоит именно такой суммы, которую вы бы добыли за тот же шанс и ожидание при честной игре. ... Если я ожидаю a или b и имею равные шансы получить их, мое ожидание стоит (a + b) / 2.

Более ста лет спустя, в 1814 году, Пьер-Симон Лаплас опубликовал свой трактат "Аналитическая теория вероятностей", где понятие ожидаемой стоимости было определено явно:^[8]

… Это преимущество в теории случая - произведение суммы, на которую рассчитывают, на вероятность ее получения; это частичная сумма, которая должна быть получена, если мы не хотим рисковать событием, предполагая, что деление производится пропорционально вероятностям. Это разделение является единственно справедливым, когда устранены все странные обстоятельства; потому что равная степень вероятности дает равное право на получение ожидаемой суммы. Назовем это преимуществом математическая надежда.

Обозначения

Использование письма ${displaystyle mathop {hbox {E}}}$ для обозначения ожидаемого значения возвращается к В. А. Уитворт в 1901 г.^[9] С тех пор символ стал популярным среди английских писателей. На немецком, ${displaystyle mathop {hbox {E}}}$ означает «Erwartungswert», на испанском - «Esperanza matemática», а на французском - «Espérance mathématique».^[10]

Еще одно популярное обозначение - ${displaystyle mu _ {X}}$, в то время как ${displaystyle langle Xangle}$ обычно используется в физике, и ${displaystyle mathop {hbox {M}} (X)}$ в русскоязычной литературе.

Определение

Конечный случай

Позволять ${displaystyle X}$ быть случайной величиной с конечным числом конечных результатов ${displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {k}}$ происходит с вероятностями ${displaystyle p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {k},}$ соответственно. В ожидание из ${displaystyle X}$ определяется как

${displaystyle operatorname {E} [X] = sum _ {i = 1} ^ {k} x_ {i}, p_ {i} = x_ {1} p_ {1} + x_ {2} p_ {2} + cdots + x_ {k} p_ {k}.}$ ^[4]

Поскольку сумма всех вероятностей ${displaystyle p_ {i}}$ равно 1 (${displaystyle p_ {1} + p_ {2} + cdots + p_ {k} = 1}$) математическое ожидание - это взвешенная сумма из ${displaystyle x_ {i}}$ ценности, с ${displaystyle p_ {i}}$ значения являются весами.

Если все исходы ${displaystyle x_ {i}}$ находятся равновероятный (то есть, ${displaystyle p_ {1} = p_ {2} = cdots = p_ {k}}$), то средневзвешенное значение превращается в простой средний. С другой стороны, если результаты ${displaystyle x_ {i}}$ не являются равновероятными, тогда простое среднее значение необходимо заменить средневзвешенным, которое учитывает тот факт, что одни исходы более вероятны, чем другие.

Иллюстрация сходимости последовательности средних значений роликов умереть до ожидаемого значения 3,5 по мере увеличения количества бросков (испытаний).

Примеры

• Позволять ${displaystyle X}$ представляют собой результат броска честного шестигранного умереть. В частности, ${displaystyle X}$ будет количество пипсы показывая на верхней грани умереть после жеребьевки. Возможные значения для ${displaystyle X}$ равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6, все из которых одинаково вероятны с вероятностью 1/6. Ожидание ${displaystyle X}$ является

${displaystyle operatorname {E} [X] = 1cdot {frac {1} {6}} + 2cdot {frac {1} {6}} + 3cdot {frac {1} {6}} + 4cdot {frac {1} { 6}} + 5cdot {frac {1} {6}} + 6cdot {frac {1} {6}} = 3.5.}$

Если катить умереть ${displaystyle n}$ раз и вычисляет среднее (среднее арифметическое ) результатов, то при ${displaystyle n}$ растет, средний будет почти наверняка сходиться к ожидаемому значению, факт, известный как сильный закон больших чисел.

• В рулетка Игра состоит из маленького шарика и колеса с 38 пронумерованными лузами по краю. Когда колесо вращается, шарик хаотично раскачивается, пока не окажется в одном из карманов. Предположим случайную величину ${displaystyle X}$ представляет собой (денежный) результат ставки в 1 доллар на одно число (прямая ставка). Если ставка выиграет (что с вероятностью 1/38 в американской рулетке) выигрыш - 35 долларов; в противном случае игрок теряет ставку. Ожидаемая прибыль от такой ставки составит

${displaystyle operatorname {E} [, {ext {gain from}} $ 1 {ext {bet}},] = - $ 1cdot {frac {37} {38}} + $ 35cdot {frac {1} {38}} = - $ {frac {1} {19}}.}$

То есть ставка в 1 доллар проиграет. ${displaystyle - $ {frac {1} {19}}}$, поэтому его ожидаемое значение ${displaystyle - $ {frac {1} {19}}.}$

Счетно бесконечный случай

Интуитивно ожидание случайной величины, принимающей значения в счетном наборе результатов, определяется аналогично как взвешенная сумма значений результатов, где веса соответствуют вероятностям реализации этого значения. Однако проблемы сходимости, связанные с бесконечной суммой, требуют более тщательного определения. Строгое определение сначала определяет математическое ожидание неотрицательной случайной величины, а затем адаптирует его к общим случайным величинам.

Позволять ${displaystyle X}$ быть неотрицательной случайной величиной со счетным набором результатов ${displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots,}$ происходит с вероятностями ${displaystyle p_ {1}, p_ {2}, ldots,}$ соответственно. Как и в дискретном случае, ожидаемое значение ${displaystyle X}$ тогда определяется как ряд

${displaystyle operatorname {E} [X] = sum _ {i = 1} ^ {infty} x_ {i}, p_ {i}.}$

Обратите внимание, что поскольку ${displaystyle x_ {i} p_ {i} geq 0}$, бесконечная сумма определена корректно и не зависит от порядок в котором это вычислено. В отличие от конечного случая, здесь математическое ожидание может быть равно бесконечности, если указанная выше бесконечная сумма неограниченно увеличивается.

Для общей (не обязательно неотрицательной) случайной величины ${displaystyle X}$ со счетным количеством исходов, установите ${displaystyle X ^ {+} (omega) = max (X (omega), 0)}$ и ${displaystyle X ^ {-} (omega) = - min (X (omega), 0)}$. По определению,

${displaystyle operatorname {E} [X] = operatorname {E} [X ^ {+}] - имя оператора {E} [X ^ {-}].}$

Как и в случае неотрицательных случайных величин, ${displaystyle operatorname {E} [X]}$ опять же, может быть конечным или бесконечным. Третий вариант здесь: ${displaystyle operatorname {E} [X]}$ больше не гарантируется, что он будет четко определен. Последнее случается всякий раз, когда ${displaystyle operatorname {E} [X ^ {+}] = operatorname {E} [X ^ {-}] = infty}$.

Примеры

• Предполагать ${displaystyle x_ {i} = i}$ и ${displaystyle p_ {i} = {frac {k} {i2 ^ {i}}},}$ за ${displaystyle i = 1,2,3, ldots}$, куда ${displaystyle k = {frac {1} {ln 2}}}$ (с ${displaystyle ln}$ будучи натуральный логарифм ) - масштабный коэффициент, при котором сумма вероятностей равна 1. Тогда, используя прямое определение неотрицательных случайных величин, мы имеем

${displaystyle operatorname {E} [X] = sum _ {i} x_ {i} p_ {i} = 1left ({frac {k} {2}} ight) + 2left ({frac {k} {8}} ight ) + 3left ({frac {k} {24}} ight) + точки = {frac {k} {2}} + {frac {k} {4}} + {frac {k} {8}} + точки = k.}$

• Пример бесконечного ожидания возникает в контексте Петербургский парадокс. Позволять ${displaystyle x_ {i} = 2 ^ {i}}$ и ${displaystyle p_ {i} = {гидроразрыв {1} {2 ^ {i}}}}$ за ${displaystyle i = 1,2,3, ldots}$. Еще раз, поскольку случайная величина неотрицательна, расчет ожидаемого значения дает

${displaystyle operatorname {E} [X] = sum _ {i = 1} ^ {infty} x_ {i}, p_ {i} = 2cdot {frac {1} {2}} + 4cdot {frac {1} {4 }} + 8cdot {frac {1} {8}} + 16cdot {frac {1} {16}} + cdots = 1 + 1 + 1 + 1 + cdots, = infty.}$

• В качестве примера, где математическое ожидание не определено четко, предположим, что случайная величина ${displaystyle X}$ принимает значения ${displaystyle k = 1, -2,3, -4, cdots}$ с соответствующими вероятностями ${displaystyle {frac {c} {1 ^ {2}}}, {frac {c} {2 ^ {2}}}, {frac {c} {3 ^ {2}}}, {frac {c} { 4 ^ {2}}}}$, ..., куда ${displaystyle c = {frac {6} {pi ^ {2}}}}$ - нормализующая константа, которая гарантирует, что сумма вероятностей равна единице.

Тогда следует, что ${displaystyle X ^ {+}}$ имеет значение ${displaystyle (2k-1)}$ с вероятностью ${displaystyle c / (2k-1) ^ {2}}$ за ${displaystyle k = 1,2,3, cdots}$ и имеет значение ${displaystyle 0}$ с оставшейся вероятностью. По аналогии, ${displaystyle X ^ {-}}$ имеет значение ${displaystyle 2k}$ с вероятностью ${displaystyle c / (2k) ^ {2}}$ за ${displaystyle k = 1,2,3, cdots}$ и имеет значение ${displaystyle 0}$ с оставшейся вероятностью. Используя определение неотрицательных случайных величин, можно показать, что обе ${displaystyle operatorname {E} [X ^ {+}] = infty}$ и ${displaystyle operatorname {E} [X ^ {-}] = infty}$ (видеть Гармонический ряд ). Следовательно, ожидание ${displaystyle X}$ не вполне определен.

Абсолютно сплошной корпус

Если ${displaystyle X}$ случайная величина с функция плотности вероятности из ${displaystyle f (x)}$, то ожидаемое значение определяется как Интеграл Лебега

${displaystyle operatorname {E} [X] = int _ {mathbb {R}} xf (x), dx,}$

где значения с обеих сторон хорошо определены или не определены одновременно.

Пример. Случайная величина, имеющая Распределение Коши^[11] имеет функцию плотности, но ожидаемое значение не определено, так как распределение имеет большие «хвосты».

Общий случай

В общем, если ${displaystyle X}$ это случайная переменная определено на вероятностное пространство ${displaystyle (Omega, Sigma, operatorname {P})}$, то ожидаемое значение ${displaystyle X}$, обозначаемый ${displaystyle operatorname {E} [X]}$, определяется как Интеграл Лебега

${displaystyle operatorname {E} [X] = int _ {Omega} X (омега), doperatorname {P} (омега).}$

Для многомерных случайных величин их ожидаемое значение определяется для каждого компонента. То есть,

${displaystyle имя оператора {E} [(X_ {1}, ldots, X_ {n})] = (имя оператора {E} [X_ {1}], ldots, имя оператора {E} [X_ {n}])}$

а для случайной матрицы ${displaystyle X}$ с элементами ${displaystyle X_ {ij}}$, ${displaystyle (имя оператора {E} [X]) _ {ij} = имя оператора {E} [X_ {ij}].}$

Основные свойства

Основные свойства ниже (и их имена выделены жирным шрифтом) копируют свойства Интеграл Лебега. Обратите внимание, что буквы «а.с.» стоять за "почти наверняка "- центральное свойство интеграла Лебега. По сути, говорят, что неравенство типа ${displaystyle Xgeq 0}$ верно почти наверняка, когда мера вероятности приписывает нулевую массу дополнительному событию ${displaystyle left {X <0ight}}$.

• Для общей случайной величины ${displaystyle X}$, определим как раньше ${displaystyle X ^ {+} (omega) = max (X (omega), 0)}$ и ${displaystyle X ^ {-} (omega) = - min (X (omega), 0)}$, и обратите внимание, что ${displaystyle X = X ^ {+} - X ^ {-}}$, с обоими ${displaystyle X ^ {+}}$ и ${displaystyle X ^ {-}}$ неотрицательный, тогда:

${displaystyle operatorname {E} [X] = {egin {cases} имя оператора {E} [X ^ {+}] - имя оператора {E} [X ^ {-}] & {ext {if}} имя оператора {E} [ X ^ {+}]$

• Позволять ${displaystyle {mathbf {1}} _ {A}}$ обозначить индикаторная функция из мероприятие ${displaystyle A}$, тогда ${displaystyle operatorname {E} [{mathbf {1}} _ {A}] = 1cdot operatorname {P} (A) + 0cdot operatorname {P} (Omega setminus A) = operatorname {P} (A).}$
• Формулы в терминах CDF: Если ${displaystyle F (x)}$ это кумулятивная функция распределения вероятностной меры ${displaystyle operatorname {P},}$ и ${displaystyle X}$ случайная величина, то

${displaystyle operatorname {E} [X] = int _ {overline {mathbb {R}}} x, dF (x),}$

где значения по обе стороны хорошо определены или не определены одновременно, а интеграл взят в смысле Лебег-Стилтьес. Здесь, ${displaystyle {overline {mathbb {R}}} = [- infty, + infty]}$ - это расширенная реальная линия.

Кроме того,

${displaystyle displaystyle operatorname {E} [X] = int limits _ {0} ^ {infty} (1-F (x)), dx-int limits _ {- infty} ^ {0} F (x), dx, }$

с интегралами, взятыми по Лебегу.

Доказательство второй формулы следует.

Доказательство.

Для произвольного ${displaystyle omega в Omega,}$ ${displaystyle displaystyle X ^ {-} (omega) = int limits _ {- X ^ {-} (omega)} ^ {0} dx = int limits _ {- infty} ^ {0} {mathbf {1}} { {xmid X ^ {-} (omega) geq -x}}, dx = int limits _ {- infty} ^ {0} {mathbf {1}} {{(omega, x) mid X (omega) leq x} }, dx.}$ Последнее равенство имеет место в силу того, что ${displaystyle X ^ {-} (omega) geq -x,}$ куда ${displaystyle xleq 0,}$ подразумевает, что ${displaystyle X ^ {+} (омега) = 0}$ и поэтому ${displaystyle X (omega) leq x.}$ Наоборот, если ${displaystyle X (omega) leq x,}$ куда ${displaystyle xleq 0,}$ тогда ${displaystyle X ^ {+} (омега) = 0}$ и ${displaystyle X ^ {-} (omega) geq -x.}$ Подынтегральное выражение в приведенном выше выражении для ${displaystyle X ^ {-} (омега)}$ неотрицательно, поэтому Теорема Тонелли применяется, и порядок интегрирования может быть изменен без изменения результата. У нас есть ${displaystyle {egin {выравнивается} имя оператора {E} (X ^ {-}) & = int limits _ {Omega} left (int limits _ {- infty} ^ {0} {mathbf {1}} {{(omega, x) mid X (omega) leq x}}, dxight) doperatorname {P} & = int limits _ {- infty} ^ {0} left (int limits _ {Omega} {mathbf {1}} {{omega mid X (omega) leq x}}, doperatorname {P} ight) dx & = int limits _ {- infty} ^ {0} operatorname {P} (Xleq x), dx = int limits _ {- infty} ^ { 0} F (x), dx.end {выровнено}}}$ Рассуждая, как указано выше, ${displaystyle displaystyle X ^ {+} (omega) = int limits _ {0} ^ {infty} {mathbf {1}} {{(omega, x) mid X (omega)> x}}, dx,}$ и ${displaystyle displaystyle operatorname {E} (X ^ {+}) = int limits _ {0} ^ {infty} operatorname {P} (X> x), dx = int limits _ {0} ^ {infty} (1- F (x)), dx.}$ Напоминая, что ${displaystyle имя оператора {E} (X) = имя оператора {E} (X ^ {+}) - имя оператора {E} (X ^ {-})}$ завершает доказательство.

• Неотрицательность: Если ${displaystyle Xgeq 0}$ (как тогда ${displaystyle operatorname {E} [X] geq 0}$.
• Линейность ожидания:^[3] Оператор ожидаемого значения (или оператор ожидания) ${displaystyle operatorname {E} [cdot]}$ является линейный в том смысле, что для любых случайных величин ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$, а постоянная ${displaystyle a}$,

${displaystyle {egin {выровнено} имя оператора {E} [X + Y] & = имя оператора {E} [X] + имя оператора {E} [Y], operatorname {E} [aX] & = имя оператора {E} [X ], конец {выровнен}}}$

всякий раз, когда правая часть определена корректно. Это означает, что ожидаемое значение суммы любого конечного числа случайных величин является суммой ожидаемых значений отдельных случайных величин, а ожидаемое значение линейно масштабируется с мультипликативной константой.

• Монотонность: Если ${displaystyle Xleq Y}$ (в качестве.), и оба ${displaystyle operatorname {E} [X]}$ и ${displaystyle operatorname {E} [Y]}$ существовать, тогда ${displaystyle operatorname {E} [X] leq operatorname {E} [Y]}$.

Доказательство следует из линейности и неотрицательности ${displaystyle Z = Y-X}$, поскольку ${displaystyle Zgeq 0}$ (в качестве.).

• Не мультипликативность: Как правило, ожидаемое значение не является мультипликативным, т.е. ${displaystyle operatorname {E} [XY]}$ не обязательно равно ${displaystyle operatorname {E} [X] cdot operatorname {E} [Y]}$. Если ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ находятся независимый, то можно показать, что ${displaystyle имя оператора {E} [XY] = имя оператора {E} [X] имя оператора {E} [Y]}$. Если случайные величины равны зависимый, то вообще ${displaystyle operatorname {E} [XY] eq operatorname {E} [X] operatorname {E} [Y]}$, хотя в особых случаях зависимости равенство может выполняться.
• Закон бессознательного статистика: Ожидаемое значение измеримой функции ${displaystyle X}$, ${displaystyle g (X)}$, при условии ${displaystyle X}$ имеет функцию плотности вероятности ${displaystyle f (x)}$, дается внутренний продукт из ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$:

${displaystyle operatorname {E} [g (X)] = int _ {mathbb {R}} g (x) f (x), dx.}$ ^[3]

Эта формула верна и в многомерном случае, когда ${displaystyle g}$ является функцией нескольких случайных величин, а ${displaystyle f}$ является их плотность стыков.^[3][12]

• Невырожденность: Если ${displaystyle operatorname {E} [| X |] = 0}$, тогда ${displaystyle X = 0}$ (в качестве.).
• Для случайной величины ${displaystyle X}$ с четко определенным ожиданием: ${displaystyle | operatorname {E} [X] | leq operatorname {E} | X |}$.
• Следующие утверждения относительно случайной величины ${displaystyle X}$ эквивалентны:
  • ${displaystyle operatorname {E} [X]}$ существует и конечно.
  • Обе ${displaystyle operatorname {E} [X ^ {+}]}$ и ${displaystyle operatorname {E} [X ^ {-}]}$ конечны.
  • ${displaystyle operatorname {E} [| X |]}$ конечно.

По указанным выше причинам выражения "${displaystyle X}$ интегрируемо "и" ожидаемое значение ${displaystyle X}$ конечно "используются в этой статье как синонимы.

• Если ${displaystyle operatorname {E} [X] <+ infty}$ тогда ${displaystyle X <+ infty}$ (в качестве.). Аналогично, если ${displaystyle operatorname {E} [X]> - infty}$ тогда ${displaystyle X> -infty}$ (в качестве.).
• Если ${displaystyle operatorname {E} | X ^ {eta} |$ и ${displaystyle 0$ тогда ${displaystyle operatorname {E} | X ^ {alpha} |$
• Если ${displaystyle X = Y}$ (в качестве.), тогда ${displaystyle operatorname {E} [X] = operatorname {E} [Y]}$. Другими словами, если X и Y - случайные величины, которые принимают разные значения с нулевой вероятностью, то ожидание X будет равно ожиданию Y.
• Если ${displaystyle X = c}$ (в качестве.) для некоторой постоянной ${displaystyle cin [-infty, + infty]}$, тогда ${displaystyle operatorname {E} [X] = c}$. В частности, для случайной величины ${displaystyle X}$ с четко определенным ожиданием, ${displaystyle имя оператора {E} [имя оператора {E} [X]] = имя оператора {E} [X]}$. Хорошо определенное ожидание подразумевает, что существует одно число или, скорее, одна константа, определяющая ожидаемое значение. Отсюда следует, что ожидание этой константы - это всего лишь исходное ожидаемое значение.
• Для неотрицательной целочисленной случайной величины ${displaystyle X: Omega o {0,1,2,3, ldots, + infty},}$

${displaystyle operatorname {E} [X] = sum _ {n = 0} ^ {infty} имя оператора {P} (X> n).}$

Доказательство.

Если ${displaystyle operatorname {P} (X = + infty)> 0,}$ тогда ${displaystyle operatorname {E} [X] = + infty.}$ С другой стороны, ${displaystyle operatorname {P} (X> n) geq operatorname {P} (X = + infty)> 0,}$ поэтому ряд справа расходится на ${displaystyle + infty,}$ и выполняется равенство. Если ${displaystyle operatorname {P} (X = + infty) = 0,}$ тогда ${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} имя оператора {P} (X> n) = сумма _ {n = 0} ^ {infty} сумма _ {j = n + 1} ^ {infty} имя оператора {P } (X = j).}$ Определим бесконечную верхнетреугольную матрицу ${displaystyle M = {egin {bmatrix} имя оператора {P} (X = 1) & имя оператора {P} (X = 2) & имя оператора {P} (X = 3) & cdots & имя оператора {P} (X = n) & cdots & operatorname { P} (X = 2) & имя оператора {P} (X = 3) & cdots & имя оператора {P} (X = n) & cdots && имя оператора {P} (X = 3) & cdots & имя оператора {P} (X = n) & cdots &&& ddots & vdots & &&&& operatorname {P} (X = n) & cdots &&&&& ddots end {bmatrix}}.}$ Двойная серия ${displaystyle extstyle sum _ {i = 1} ^ {infty} sum _ {j = i} ^ {infty} имя оператора {P} (X = j)}$ это сумма ${displaystyle M}$элементов, если суммирование производится строка за строкой. Поскольку каждое слагаемое неотрицательно, ряд либо сходится абсолютно, либо расходится к ${displaystyle + infty.}$ В обоих случаях изменение порядка суммирования не влияет на сумму. Изменение порядка суммирования от строки к строке к столбцу за столбцом дает нам ${displaystyle {egin {align} sum _ {n = 0} ^ {infty} sum _ {j = n + 1} ^ {infty} имя оператора {P} (X = j) & = sum _ {j = 1} ^ {infty} sum _ {n = 0} ^ {j-1} имя оператора {P} (X = j) & = sum _ {j = 1} ^ {infty} имя оператора {P} (X = j) & = сумма _ {j = 0} ^ {infty} имя оператора {P} (X = j) & = имя оператора {E} [X] .end {выровнено}}}$

Использование и приложения

Ожидание случайной величины играет важную роль в различных контекстах. Например, в теория принятия решений, агент, делающий оптимальный выбор в контексте неполной информации, часто предполагается, чтобы максимизировать ожидаемую ценность своих вспомогательная функция. Для другого примера в статистика, где ищутся оценки неизвестных параметров на основе имеющихся данных, сама оценка является случайной величиной. В таких условиях желательным критерием «хорошей» оценки является то, что она беспристрастный; то есть ожидаемое значение оценки равно истинному значению базового параметра.

Можно построить ожидаемое значение, равное вероятности события, взяв ожидание индикаторная функция это единица, если событие произошло, и ноль в противном случае. Это отношение можно использовать для перевода свойств ожидаемых значений в свойства вероятностей, например с использованием закон больших чисел обосновать оценку вероятностей частоты.

Ожидаемые значения степеней Икс называются моменты из Икс; то моменты о среднем из Икс ожидаемые значения степеней Икс - E [Икс]. Моменты некоторых случайных величин можно использовать для задания их распределения через их функции, производящие момент.

Эмпирически оценивать ожидаемое значение случайной величины, многократно измеряются наблюдения переменной и вычисляется среднее арифметическое результатов. Если ожидаемое значение существует, эта процедура оценивает истинное ожидаемое значение в беспристрастный образом и имеет свойство минимизировать сумму квадратов остатки (сумма квадратов разностей между наблюдениями и оценивать ). В закон больших чисел демонстрирует (при достаточно мягких условиях), что, поскольку размер из образец становится больше, отклонение этого оценивать становится меньше.

Это свойство часто используется в самых разных приложениях, включая общие проблемы статистическая оценка и машинное обучение, для оценки (вероятностных) интересующих величин через Методы Монте-Карло, поскольку большинство представляющих интерес величин можно записать в терминах математического ожидания, например ${displaystyle operatorname {P} ({Xin {mathcal {A}}}) = operatorname {E} [{mathbf {1}} _ {mathcal {A}}]}$, куда ${displaystyle {mathbf {1}} _ {mathcal {A}}}$ - индикаторная функция множества ${displaystyle {mathcal {A}}}$.

Масса распределения вероятностей уравновешивается ожидаемым значением, здесь бета-распределение (α, β) с ожидаемым значением α / (α + β).

В классическая механика, то центр массы аналогично ожиданию. Например, предположим Икс дискретная случайная величина со значениями Икс_я и соответствующие вероятности п_я. Теперь рассмотрим невесомую штангу, на которой размещены грузы в местах Икс_я вдоль стержня и имеющий массы п_я (сумма равна единице). Точка балансировки стержня - E [Икс].

Ожидаемые значения также можно использовать для вычисления отклонение, с помощью вычислительной формулы для дисперсии

${displaystyle operatorname {Var} (X) = operatorname {E} [X ^ {2}] - (имя оператора {E} [X]) ^ {2}.}$

Очень важное применение математического ожидания находится в области квантовая механика. Математическое ожидание квантово-механического оператора ${displaystyle {hat {A}}}$ работает на квантовое состояние вектор ${displaystyle | psi angle}$ записывается как ${displaystyle langle {hat {A}} angle = langle psi | A | psi angle}$. В неуверенность в ${displaystyle {hat {A}}}$ можно рассчитать по формуле ${displaystyle (Delta A) ^ {2} = langle {hat {A}} ^ {2} angle -langle {hat {A}} angle ^ {2}}$.

Меняя пределы и ожидания

В общем, дело обстоит не так ${displaystyle имя оператора {E} [X_ {n}] или имя оператора {E} [X]}$ несмотря на ${displaystyle X_ {n} o X}$ точечно. Таким образом, нельзя поменять местами пределы и ожидания без дополнительных условий на случайные величины. Чтобы увидеть это, позвольте ${displaystyle U}$ - случайная величина, равномерно распределенная на ${displaystyle [0,1]}$. За ${displaystyle ngeq 1,}$ определить последовательность случайных величин

${displaystyle X_ {n} = ncdot mathbf {1} left {Uin left [0, {frac {1} {n}} ight] ight},}$

с ${displaystyle {mathbf {1}} {A}}$ являясь индикаторной функцией события ${displaystyle A}$. Тогда следует, что ${displaystyle X_ {n} o 0}$ (в качестве). Но, ${displaystyle operatorname {E} [X_ {n}] = ncdot operatorname {P} left (Uin left [0, {frac {1} {n}} ight] ight) = ncdot {frac {1} {n}} = 1}$ для каждого ${displaystyle n}$. Следовательно, ${displaystyle lim _ {n o infty} имя оператора {E} [X_ {n}] = 1eq 0 = имя оператора {E} left [lim _ {n o infty} X_ {n} ight].}$

Аналогично для общей последовательности случайных величин ${displaystyle {Y_ {n}: ngeq 0}}$, оператор ожидаемого значения не ${displaystyle sigma}$-аддитив, т.е.

${displaystyle operatorname {E} left [sum _ {n = 0} ^ {infty} Y_ {n} ight] eq sum _ {n = 0} ^ {infty} имя оператора {E} [Y_ {n}].}$

Пример легко получить, задав ${displaystyle Y_ {0} = X_ {1}}$ и ${displaystyle Y_ {n} = X_ {n + 1} -X_ {n}}$ за ${displaystyle ngeq 1}$, куда ${displaystyle X_ {n}}$ как в предыдущем примере.

Ряд результатов сходимости задают точные условия, которые позволяют менять пределы и ожидания, как указано ниже.

• Теорема о монотонной сходимости: Позволять ${displaystyle {X_ {n}: ngeq 0}}$ последовательность случайных величин, с ${displaystyle 0leq X_ {n} leq X_ {n + 1}}$ (а.о.) для каждого ${displaystyle ngeq 0}$. Кроме того, пусть ${displaystyle X_ {n} o X}$ точечно. Тогда теорема о монотонной сходимости утверждает, что ${displaystyle lim _ {n} имя оператора {E} [X_ {n}] = имя оператора {E} [X].}$

Используя теорему о монотонной сходимости, можно показать, что математическое ожидание действительно удовлетворяет счетной аддитивности для неотрицательных случайных величин. В частности, пусть ${displaystyle {X_ {i}} _ {i = 0} ^ {infty}}$ быть неотрицательными случайными величинами. Это следует из теорема о монотонной сходимости который

${displaystyle operatorname {E} left [sum _ {i = 0} ^ {infty} X_ {i} ight] = sum _ {i = 0} ^ {infty} operatorname {E} [X_ {i}].}$

• Лемма Фату: Позволять ${displaystyle {X_ {n} geq 0: ngeq 0}}$ - последовательность неотрицательных случайных величин. Лемма Фату утверждает, что

${displaystyle operatorname {E} [liminf _ {n} X_ {n}] leq liminf _ {n} имя оператора {E} [X_ {n}].}$

Следствие. Позволять ${displaystyle X_ {n} geq 0}$ с ${displaystyle operatorname {E} [X_ {n}] leq C}$ для всех ${displaystyle ngeq 0}$. Если ${displaystyle X_ {n} o X}$ (как тогда ${displaystyle operatorname {E} [X] leq C.}$

Доказательство наблюдая, что ${displaystyle extstyle X = liminf _ {n} X_ {n}}$ (п.н.) и применяя лемму Фату.

• Теорема о доминирующей сходимости: Позволять ${displaystyle {X_ {n}: ngeq 0}}$ - последовательность случайных величин. Если ${displaystyle X_ {n} o X}$ точечно (в качестве.), ${displaystyle | X_ {n} | leq Yleq + infty}$ (а.с.), и ${displaystyle operatorname {E} [Y]$. Тогда согласно теореме о мажорируемой сходимости
  • ${displaystyle operatorname {E} | X | leq operatorname {E} [Y]$;
  • ${displaystyle lim _ {n} имя оператора {E} [X_ {n}] = имя оператора {E} [X]}$
  • ${displaystyle lim _ {n} имя оператора {E} | X_ {n} -X | = 0.}$
• Равномерная интегрируемость: В некоторых случаях равенство ${displaystyle displaystyle lim _ {n} имя оператора {E} [X_ {n}] = имя оператора {E} [lim _ {n} X_ {n}]}$ выполняется, когда последовательность ${displaystyle {X_ {n}}}$ является равномерно интегрируемый.

Неравенства

Существует ряд неравенств, связанных с ожидаемыми значениями функций случайных величин. Следующий список включает некоторые из наиболее простых.

• Неравенство Маркова: Для неотрицательный случайная переменная ${displaystyle X}$ и ${displaystyle a> 0}$, Неравенство Маркова утверждает, что

${displaystyle operatorname {P} (Xgeq a) leq {frac {operatorname {E} [X]} {a}}.}$

• Неравенство Биенайме-Чебышева: Позволять ${displaystyle X}$ - произвольная случайная величина с конечным математическим ожиданием ${displaystyle operatorname {E} [X]}$ и конечный отклонение ${displaystyle operatorname {Var} [X] eq 0}$. Неравенство Бьенайме-Чебышева утверждает, что для любого действительного числа ${displaystyle k> 0}$,

${displaystyle operatorname {P} {Bigl (} {Bigl |} X-operatorname {E} [X] {Bigr |} geq k {sqrt {operatorname {Var} [X]}} {Bigr)} leq {frac {1 } {k ^ {2}}}.}$

• Неравенство Дженсена: Позволять ${displaystyle f: {mathbb {R}} o {mathbb {R}}}$ быть Борель выпуклая функция и ${displaystyle X}$ случайная величина такая, что ${displaystyle operatorname {E} | X |$. потом

${displaystyle f (operatorname {E} (X)) leq operatorname {E} (f (X)).}$

(Обратите внимание, что правая часть определена корректно, даже если ${displaystyle X}$ не конечно. Действительно, как отмечалось выше, конечность ${displaystyle operatorname {E} | X |}$ подразумевает, что ${displaystyle X}$ конечно а.с. .; таким образом ${displaystyle f (X)}$ определяется как.).

• Неравенство Ляпунова:^[13] Позволять ${displaystyle 0$. Неравенство Ляпунова утверждает, что

${displaystyle left (имя оператора {E} | X | ^ {s} ight) ^ {1 / s} leq left (имя оператора {E} | X | ^ {t} ight) ^ {1 / t}.}$

Доказательство. Применение Неравенство Дженсена к ${displaystyle | X | ^ {s}}$ и ${displaystyle g (x) = | x | ^ {т / с}}$, получать ${displaystyle {Bigl |} имя оператора {E} | X ^ {s} | {Bigr |} ^ {t / s} leq имя оператора {E} | X ^ {s} | ^ {t / s} = имя оператора {E} | X | ^ {t}}$. Принимая ${displaystyle t ^ {th}}$ корень каждой стороны завершает доказательство.

• Неравенство Коши – Буняковского – Шварца.: Неравенство Коши – Буняковского – Шварца утверждает, что

${displaystyle (operatorname {E} [XY]) ^ {2} leq operatorname {E} [X ^ {2}] cdot operatorname {E} [Y ^ {2}].}$

• Неравенство Гёльдера: Позволять ${displaystyle p}$ и ${displaystyle q}$ удовлетворить ${displaystyle 1leq pleq infty}$, ${displaystyle 1leq qleq infty}$, и ${displaystyle 1 / p + 1 / q = 1}$. Неравенство Гёльдера утверждает, что

${displaystyle operatorname {E} | XY | leq (имя оператора {E} | X | ^ {p}) ^ {1 / p} (имя оператора {E} | Y | ^ {q}) ^ {1 / q}.}$

• Неравенство Минковского: Позволять ${displaystyle p}$ быть положительным действительным числом, удовлетворяющим ${displaystyle 1leq pleq infty}$. Пусть, кроме того, ${displaystyle operatorname {E} | X | ^ {p}$ и ${displaystyle operatorname {E} | Y | ^ {p}$. Тогда согласно неравенству Минковского ${displaystyle operatorname {E} | X + Y | ^ {p}$ и

${displaystyle {Bigl (} имя оператора {E} | X + Y | ^ {p} {Bigr)} ^ {1 / p} leq {Bigl (} имя оператора {E} | X | ^ {p} {Bigr)} ^ {1 / p} + {Bigl (} имя оператора {E} | Y | ^ {p} {Bigr)} ^ {1 / p}.}$

Ожидаемые значения общих распределений

Распределение	Обозначение	Среднее E (X)
Бернулли	${displaystyle Xsim ~ b (1, p)}$	${displaystyle p}$
Биномиальный	${displaystyle Xsim B (n, p)}$	${displaystyle np}$
Пуассон	${displaystyle Xsim Po (лямбда)}$	${displaystyle lambda}$
Геометрический	${displaystyle Xsim Geometric (p)}$	${displaystyle 1 / p}$
Униформа	${displaystyle Xsim U (a, b)}$	${displaystyle (a + b) / 2}$
Экспоненциальный	${displaystyle Xsim exp (лямбда)}$	${displaystyle 1 / lambda}$
Нормальный	${displaystyle Xsim N (mu, sigma ^ {2})}$	${displaystyle mu}$
Стандарт Нормальный	${displaystyle Xsim N (0,1)}$	${displaystyle 0}$
Парето	${displaystyle Xsim Par (альфа)}$	${displaystyle alpha / (alpha +1)}$ если ${displaystyle alpha> 1}$
Коши	${displaystyle Xsim Cauchy (x_ {0}, гамма)}$	неопределенный

Связь с характеристической функцией