Проблема очков - Problem of points

В проблема очков, также называемый проблемой разделение ставок, является классической задачей в теория вероятности. Одна из известных проблем, которая послужила причиной зарождения современной теории вероятностей в 17 веке, она привела к Блез Паскаль к первому явному рассуждению о том, что сегодня известно как ожидаемое значение.

Проблема касается азартной игры с двумя игроками, которые имеют равные шансы на победу в каждом раунде. Игроки вносят равный вклад в призовой фонд и заранее соглашаются, что первый игрок, выигравший определенное количество раундов, получит весь приз. Теперь предположим, что игра прервана внешними обстоятельствами до того, как любой из игроков добился победы. Как тогда справедливо разделить банк? Молчаливо подразумевается, что разделение должно каким-то образом зависеть от количества раундов, выигранных каждым игроком, так что игрок, который близок к победе, получит большую часть банка. Но проблема не только в расчетах; это также включает решение, что такое «справедливое» разделение.

Ранние решения

Лука Пачоли рассмотрел такую ​​проблему в своем учебнике 1494 г. Сумма арифметики, геометрической, пропорциональной и пропорциональной. Его метод заключался в том, чтобы делить ставки пропорционально количеству раундов, выигранных каждым игроком, а количество раундов, необходимых для победы, вообще не входило в его вычисления.^[1]

В середине 16 века Никколо Тарталья заметил, что метод Пачоли приводит к противоречивым результатам, если игра прерывается, когда был сыгран только один раунд. В этом случае правило Пачоли присуждает весь банк победителю этого единственного раунда, хотя преимущество в один раунд в начале длинной игры далеко не решающее. Тарталья разработал метод, позволяющий избежать этой конкретной проблемы, основывая деление на соотношении между размером лида и продолжительностью игры.^[1] Однако это решение не лишено проблем; в игре до 100 он делит ставки таким же образом, как при отведении 65–55, так и при отведении 99–89, даже несмотря на то, что первое по-прежнему является относительно открытой игрой, тогда как во втором случае победа ведущего игрока почти гарантирована. . Сам Тарталья не был уверен, можно ли вообще решить проблему таким образом, чтобы убедить обоих игроков в ее справедливости: «независимо от того, каким образом будет проведено разделение, будет повод для судебного разбирательства».^[2]

Паскаль и Ферма

Проблема снова возникла около 1654 г., когда Шевалье де Мере поставил это перед Блез Паскаль. Паскаль обсуждал проблему в своей постоянной переписке с Пьер де Ферма. В ходе этого обсуждения Паскаль и Ферма не только представили убедительное и непротиворечивое решение этой проблемы, но и разработали концепции, которые по-прежнему являются фундаментальными для теории вероятностей.

Первоначальная идея Паскаля и Ферма заключалась в том, что разделение должно зависеть не столько от истории той части прерванной игры, которая действительно имела место, сколько от возможных способов продолжения игры, если бы она не была прервана. Интуитивно понятно, что игрок с преимуществом 7–5 в игре до 10 имеет те же шансы на победу, что и игрок с преимуществом 17–15 в игре до 20, и поэтому Паскаль и Ферма считали, что прерывание в любом из двух ситуаций должны привести к одинаковому разделению ставок. Другими словами, важно не количество раундов, выигранных каждым игроком на данный момент, а количество раундов, которое каждый игрок еще должен выиграть, чтобы добиться общей победы.

Ферма рассуждал так:^[3] Если одному игроку нужно р больше раундов, чтобы выиграть и другие потребности s, игра наверняка будет выиграна кем-то после ${ displaystyle r + s-1}$ дополнительные раунды. Поэтому представьте, что игроки должны были играть ${ displaystyle r + s-1}$ больше раундов; Всего в этих раундах ${ Displaystyle 2 ^ {г + s-1}}$ различные возможные исходы. В некоторых из этих возможных вариантов будущего решение игры будет принято менее чем за ${ displaystyle r + s-1}$ раундов, но нет ничего плохого в том, чтобы представить игроков, продолжающих играть без цели. Рассмотрение только одинаково длинных фьючерсов имеет то преимущество, что можно легко убедить себя, что каждый из ${ Displaystyle 2 ^ {г + s-1}}$ возможности одинаково вероятны. Таким образом, Ферма смог вычислить шансы для каждого игрока, чтобы выиграть, просто записав таблицу всех ${ Displaystyle 2 ^ {г + s-1}}$ возможные продолжения и подсчет того, сколько из них приведет к победе каждого игрока. Ферма счел очевидным справедливым делить ставки пропорционально этим шансам.

Решение Ферма, безусловно «правильное» по сегодняшним меркам, было улучшено Паскалем двумя способами. Во-первых, Паскаль представил более подробный аргумент, почему полученное разделение следует считать справедливым. Во-вторых, он показал, как вычислить правильное деление более эффективно, чем табличный метод Ферма, который становится совершенно непрактичным (без современных компьютеров), если ${ displaystyle r + s-1}$ больше примерно 10.

Вместо того, чтобы просто рассматривать вероятность выигрыша весь оставшуюся игру Паскаль разработал принцип меньших шагов: предположим, что игроки могли играть только один еще раунд перед тем, как его прервать, и что мы уже решили, как справедливо разделить ставки после этого еще одного раунда (возможно, потому, что этот раунд позволяет одному из игроков выиграть). Воображаемый дополнительный раунд может привести к одному из двух возможных вариантов будущего с разными справедливыми делениями ставок, но поскольку у двух игроков есть равные шансы на победу в следующем раунде, они должны разделить разницу между двумя будущими делениями поровну. Таким образом, знание справедливых решений в играх с меньшим количеством оставшихся раундов может быть использовано для расчета справедливых решений для игр с большим количеством оставшихся раундов.^[4]

Легче убедить себя в справедливости этого принципа, чем для таблицы возможных вариантов будущего Ферма, которые вдвойне гипотетичны, потому что нужно представить себе, что игра иногда продолжается после того, как была выиграна. Анализ Паскаля здесь - один из самых ранних примеров использования ожидаемые значения вместо шансы рассуждая о вероятности. Вскоре после этого эта идея стала основой для первого систематического трактата о вероятности Кристиан Гюйгенс. Позже современная концепция вероятность выросли из использования математических ожиданий Паскаля и Гюйгенса.

Прямое применение пошагового правила Паскаля происходит значительно быстрее, чем метод Ферма, когда остается много раундов. Однако Паскаль смог использовать его в качестве отправной точки для разработки более продвинутых вычислительных методов. Путем умного манипулирования личностями с участием того, что сегодня известно как Треугольник Паскаля (включая несколько первых явных доказательства по индукции ) Паскаль наконец показал, что в игре, где одному игроку нужно р очки для победы и другие потребности s очков на победу, правильное деление ставок находится в соотношении (используя современные обозначения)

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {s-1} { binom {r + s-1} {k}} { mbox {to}} sum _ {k = s} ^ {r + s-1} { binom {r + s-1} {k}}}$ где ${ Displaystyle { binom {г + с-1} {к}}}$ термин представляет сочетание оператор.

Проблема разделения ставок стала для Паскаля главным мотивирующим примером. Трактат об арифметическом треугольнике.^[4][5]

Хотя вывод этого результата Паскалем не зависел от табличного метода Ферма, ясно, что он также точно описывает подсчет различных результатов ${ displaystyle r + s-1}$ дополнительные раунды, которые предложил Ферма.

Примечания

Рекомендации

• Андерс Халд: История вероятностей и статистики и их приложений до 1750 г.. Wiley 2003, ISBN  978-0-471-47129-5, п. 35, 54
• Кейт Девлин: Незаконченная игра: Паскаль, Ферма и письмо семнадцатого века, которые сделали мир современным. Основные книги 2010, ISBN  978-0465018963

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник Паскаля». MathWorld.
• Раннее развитие математической вероятности
• Проблема баллов на MathForum
• Очень доступное объяснение проблемы очков от Блог о вероятности и статистике.