Точечная сходимость - Википедия - Pointwise convergence

В математика, поточечная сходимость это один из различных смыслов, в котором последовательность функций могут сходиться к конкретной функции. Он слабее чем равномерное схождение, с чем его часто сравнивают.^[1]^[2]

Определение

Предполагать ${ Displaystyle (е_ {п})}$ это последовательность функции разделяя тот же домен и codomain. Кодомен чаще всего реалы, а вообще может быть любой метрическое пространство. Последовательность ${ Displaystyle (е_ {п})}$ сходится поточечно к функции ${ displaystyle f}$ , часто пишется как

{ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} f_ {n} = f { mbox {pointwise}},}

если и только если

{ displaystyle lim _ {п rightarrow infty} f_ {n} (x) = f (x)}

для каждого Икс в домене. Функция ${ displaystyle f}$ называется поточечной предельной функцией ${ displaystyle f_ {n}}$ .

Характеристики

Эту концепцию часто противопоставляют равномерное схождение. Чтобы сказать это

{ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} f_ {n} = f { mbox {равномерно}}}

Значит это

{ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} , sup {, left | f_ {n} (x) -f (x) right |: x in A , } = 0 ,}

куда ${ displaystyle A}$ это общая область ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle f_ {n}}$ . Это более сильное утверждение, чем утверждение о поточечной сходимости: каждая равномерно сходящаяся последовательность поточечно сходится к одной и той же предельной функции, но некоторые поточечно сходящиеся последовательности не сходятся равномерно. Например, если ${ displaystyle f_ {n}: [0,1) rightarrow [0,1)}$ последовательность функций, определяемая ${ displaystyle f_ {n} (x) = x ^ {n}}$ , тогда ${ displaystyle lim _ {п rightarrow infty} f_ {n} (x) = 0}$ поточечно на отрезке [0,1), но не равномерно.

Поточечный предел последовательности непрерывных функций может быть разрывной функцией, но только если сходимость не равномерная. Например,

{ Displaystyle е (х) = lim _ {п rightarrow infty} соз ( пи х) ^ {2n}}

принимает значение 1, когда Икс является целым числом и 0, когда Икс не является целым числом и поэтому не является непрерывным для каждого целого числа.

Значения функций ж_п не обязательно быть действительными числами, но может быть в любом топологическое пространство, чтобы иметь смысл понятие поточечной сходимости. С другой стороны, равномерная сходимость не имеет смысла для функций, принимающих значения в топологических пространствах в целом, но имеет смысл для функций, принимающих значения в топологических пространствах. метрические пространства, и, в более общем плане, в равномерные пространства.

Топология

Поточечная сходимость аналогична сходимости в топология продукта в космосе Y^Икс, куда Икс это домен и Y это кодомен. Если кодомен Y является компактный, то по Теорема Тихонова, космос Y^Икс также компактный.

Почти везде конвергенция

В теория меры, говорят о почти везде конвергенция последовательности измеримые функции определено на измеримое пространство. Это означает поточечную сходимость почти всюду, т.е.на подмножестве области, дополнение которой имеет нулевую меру. Теорема Егорова утверждает, что поточечная сходимость почти всюду на множестве конечной меры влечет равномерную сходимость на немного меньшем множестве.

Почти всюду поточечная сходимость на пространстве функций на пространстве с мерой не определяет структуру топология на пространстве измеримых функций на измерить пространство (хотя это структура конвергенции ). Ведь в топологическом пространстве, когда каждая подпоследовательность последовательности имеет подпоследовательность с тем же подпоследовательный предел, сама последовательность должна сходиться к этому пределу.

Но рассмотрим последовательность функций так называемых «скачущих прямоугольников». Позволять N = Этаж (бревно₂ п) и k = п мод 2^N. И разреши

{ displaystyle f_ {n} (x) = { begin {case} 1, & { frac {k} {2 ^ {N}}} leq x leq { frac {k + 1} {2 ^ {N}}} 0, & { text {else}}. End {cases}}.}

Тогда любая подпоследовательность последовательности ${ж п} п$ имеет подпоследовательность, которая сама почти всюду сходится к нулю, например, подпоследовательность функций, не обращающихся в нуль в $Икс =0$ . Но нигде исходная последовательность поточечно не сходится к нулю. Следовательно, в отличие от сходимость по мере и L^п сходимость, поточечная сходимость почти всюду - это не сходимость какой-либо топологии на пространстве функций.

Смотрите также

Способы сходимости (аннотированный указатель)