Сходимость по мере - Convergence in measure

Сходимость по мере представляет собой одно из двух различных математических понятий, каждое из которых обобщает понятие сходимость по вероятности.

Определения

Позволять ${displaystyle f, f_ {n} (нин mathbb {N}): X o mathbb {R}}$ быть измеримые функции на измерить пространство ${displaystyle (X, Sigma, mu)}$. Последовательность ${displaystyle f_ {n}}$ говорят глобально сходятся по мере к ${displaystyle f}$ если для каждого ${displaystyle epsilon> 0}$,

${displaystyle lim _ {n o infty} mu ({xin X: | f (x) -f_ {n} (x) | geq varepsilon}) = 0}$,

и чтобы сходятся локально по мере к ${displaystyle f}$ если для каждого ${displaystyle epsilon> 0}$ и каждый ${displaystyle Fin Sigma}$ с${displaystyle mu (F)$,

${displaystyle lim _ {n o infty} mu ({xin F: | f (x) -f_ {n} (x) | geq varepsilon}) = 0}$.

Сходимость по мере может относиться либо к глобальной сходимости по мере, либо к локальной сходимости по мере, в зависимости от автора.

Характеристики

На протяжении, ж и ж_п (п ${displaystyle in}$ N) - измеримые функции Икс → р.

• Глобальная сходимость по мере подразумевает локальную сходимость по мере. Обратное, однако, неверно; т.е., локальная сходимость по мере, вообще говоря, строго слабее глобальной сходимости по мере.
• Если, однако, ${displaystyle mu (X)$ или, в более общем смысле, если ж и все ж_п исчезают вне некоторого множества конечной меры, тогда исчезает различие между локальной и глобальной сходимостью по мере.
• Если μ является σ-конечный и (ж_п) сходится (локально или глобально) к ж по мере существует подпоследовательность, сходящаяся к ж почти всюду. Предположение о σ-конечность не нужна в случае глобальной сходимости по мере.
• Если μ является σ-конечно, (ж_п) сходится к ж локально в меру если и только если каждая подпоследовательность, в свою очередь, имеет подпоследовательность, сходящуюся к ж почти всюду.
• В частности, если (ж_п) сходится к ж почти везде, то (ж_п) сходится к ж локально в меру. Обратное неверно.
• Лемма Фату и теорема о монотонной сходимости если сходимость почти всюду заменена сходимостью (локальной или глобальной) по мере.^{[требуется разъяснение ]}
• Если μ является σ-конечно, Лебега теорема о доминируемой сходимости также выполняется, если сходимость почти всюду заменяется сходимостью (локальной или глобальной) по мере.^{[требуется разъяснение ]}
• Если Икс = [а,б] ⊆ р и μ является Мера Лебега, есть последовательности (грамм_п) ступенчатых функций и (час_п) непрерывных функций, глобально сходящихся по мере к ж.^{[требуется разъяснение ]}
• Если ж и ж_п (п ∈ N) находятся в L^п(μ) для некоторых п > 0 и (ж_п) сходится к ж в п-норм, тогда (ж_п) сходится к ж глобально в меру. Обратное неверно.
• Если ж_п сходится к ж в меру и грамм_п сходится к грамм в меру тогда ж_п + грамм_п сходится к ж + грамм в меру. Кроме того, если пространство мер конечно, ж_пграмм_п также сходится к фг.

Контрпримеры

Позволять ${displaystyle X = mathbb {R}}$, μ быть мерой Лебега, и ж постоянная функция с нулевым значением.

• Последовательность ${displaystyle f_ {n} = chi _ {[n, infty)}}$ сходится к ж локально по мере, но не сходится к ж глобально в меру.
• Последовательность ${displaystyle f_ {n} = chi _ {left [{frac {j} {2 ^ {k}}}, {frac {j + 1} {2 ^ {k}}} ight]}}$ куда ${displaystyle k = lfloor log _ {2} nfloor}$ и ${displaystyle j = n-2 ^ {k}}$

(Первые пять членов из которых ${displaystyle chi _ {left [0,1ight]} ,; chi _ {left [0, {frac {1} {2}} ight]} ,; chi _ {left [{frac {1} {2}}, 1ight]} ,; chi _ {left [0, {frac {1} {4}} ight]} ,; chi _ {left [{frac {1} {4}}, {frac {1} {2}} ight]}}$) сходится к 0 глобально в меру; но нет Икс делает ж_п(Икс) сходятся к нулю. (f_п) не сходится к ж почти всюду.

• Последовательность ${displaystyle f_ {n} = nchi _ {left [0, {frac {1} {n}} ight]}}$ сходится к ж почти везде и во всем мире в меру, но не в п-норма для любого ${displaystyle pgeq 1}$.

Топология

Существует топология, называется топология (локальной) сходимости по мере, на совокупности измеримых функций из Икс такая, что локальная сходимость по мере соответствует сходимости по этой топологии. Эта топология определяется семейством псевдометрика

${displaystyle {ho _ {F}: Fin Sigma, mu (F)$

куда

${displaystyle ho _ {F} (f, g) = int _ {F} min {| f-g |, 1}, dmu}$.

В общем, можно ограничиться некоторым подсемейством множеств F (вместо всех возможных подмножеств конечной меры). Достаточно, чтобы для каждого ${displaystyle Gsubset X}$ конечной меры и ${displaystyle varepsilon> 0}$ Существует F в семье такой, что ${displaystyle mu (Gsetminus F)$ Когда ${displaystyle mu (X)$, мы можем рассматривать только одну метрику ${displaystyle ho _ {X}}$, поэтому топология сходимости по конечной мере метризуема. Если ${displaystyle mu}$ - произвольная мера конечна или нет, то

${displaystyle d (f, g): = inf limits _ {delta> 0} mu ({| f-g | geq delta}) + delta}$

по-прежнему определяет метрику, которая генерирует глобальную сходимость по мере.^[1]

Поскольку эта топология порождается семейством псевдометрики, она униформизируемый.Работа с единообразными структурами вместо топологий позволяет нам сформулировать однородные свойства Такие какКошиность.

Рекомендации

• Д. Х. Фремлин, 2000. Теория измерения. Торрес Фремлин.
• Х. Л. Ройден, 1988. Реальный анализ. Прентис Холл.
• Г. Б. Фолланд 1999, раздел 2.4. Реальный анализ. Джон Вили и сыновья.