Измеримая функция - Measurable function

В математика и в частности теория меры, а измеримая функция является функцией между базовыми наборами двух измеримые пространства сохраняющий структуру пространств: прообраз любой измеримый множество измеримо. Это прямая аналогия с определением, что a непрерывный функция между топологические пространства сохраняет топологическая структура: прообраз любого открытый набор открыт. В реальный анализ, измеримые функции используются в определении Интеграл Лебега. В теория вероятности, измеримая функция на вероятностное пространство известен как случайная переменная.

Формальное определение

Позволять ${ Displaystyle (Х, Sigma)}$ и ${ displaystyle (Y, mathrm {T})}$ быть измеримыми пространствами, что означает, что ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ комплекты оснащены соответствующими ${ displaystyle sigma}$ -алгебры ${ displaystyle Sigma}$ и ${ displaystyle mathrm {T}}$ . Функция ${ displaystyle f: от X до Y}$ называется измеримой, если для каждого ${ displaystyle E in mathrm {T}}$ прообраз ${ displaystyle E}$ под ${ displaystyle f}$ в ${ displaystyle Sigma}$ ; т.е. ${ displaystyle forall E in mathrm {T}}$

{ displaystyle f ^ {- 1} (E): = {x in X | ; f (x) in E } in Sigma.}

Это, ${ Displaystyle sigma (е) substeq Sigma}$ , где ${ Displaystyle sigma (е)}$ это σ-алгебра, порожденная f. Если ${ displaystyle f: от X до Y}$ - измеримая функция, запишем

{ displaystyle f двоеточие (X, Sigma) rightarrow (Y, mathrm {T}).}

чтобы подчеркнуть зависимость от ${ displaystyle sigma}$ -алгебры ${ displaystyle Sigma}$ и ${ Displaystyle mathrm {T}}$ .

Варианты использования термина

Выбор ${ displaystyle sigma}$ -алгебры в приведенном выше определении иногда неявны и оставлены до контекста. Например, для ${ Displaystyle { mathbb {R}}}$ , ${ Displaystyle { mathbb {C}}}$ , или другие топологические пространства, Борелевская алгебра (содержащий все открытые множества) - обычный выбор. Некоторые авторы определяют измеримые функции как исключительно вещественные по отношению к алгебре Бореля.^[1]

Если значения функции лежат в бесконечномерное векторное пространство, другие неэквивалентные определения измеримости, такие как слабая измеримость и Измеримость Бохнера, существует.

Известные классы измеримых функций

Случайные переменные по определению являются измеримыми функциями, определенными на вероятностных пространствах.
Если ${ Displaystyle (Х, Sigma)}$ и ${ displaystyle (Y, T)}$ находятся Борелевские пространства, измеримая функция ${ Displaystyle f: (X, Sigma) к (Y, T)}$ также называется Функция Бореля. Непрерывные функции - это функции Бореля, но не все функции Бореля непрерывны. Однако измеримая функция - это почти непрерывная функция; увидеть Теорема Лузина. Если борелевская функция оказывается частью некоторой карты ${ Displaystyle Y { xrightarrow {~ pi ~}} X}$ , это называется Секция Бореля.
А Измеримый по Лебегу функция - измеримая функция ${ displaystyle f: ( mathbb {R}, { mathcal {L}}) to ( mathbb {C}, { mathcal {B}} _ { mathbb {C}})}$ , где ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ это ${ displaystyle sigma}$ -алгебра измеримых множеств по Лебегу и ${ displaystyle { mathcal {B}} _ { mathbb {C}}}$ это Борелевская алгебра на сложные числа ${ Displaystyle mathbb {C}}$ . Измеримые по Лебегу функции представляют интерес математический анализ потому что они могут быть интегрированы. В этом случае ${ displaystyle f: X to mathbb {R}}$ , ${ displaystyle f}$ измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle {е> альфа } = {х в X: е (х)> альфа }}$ измеримо для всех ${ displaystyle alpha in mathbb {R}}$ . Это также эквивалентно любому из ${ Displaystyle {е geq альфа }, {е < альфа }, {е leq альфа }}$ измерить для всех ${ displaystyle alpha}$ , или прообраз любого открытого множества, подлежащего измерению. Непрерывные функции, монотонные функции, ступенчатые функции, полунепрерывные функции, функции, интегрируемые по Риману, и функции ограниченной вариации - все они измеримы по Лебегу.^[2] Функция ${ displaystyle f: X to mathbb {C}}$ измеримо, если измеримы действительная и мнимая части.

Свойства измеримых функций

Сумма и произведение двух измеримых комплексных функций измеримы.^[3] То же самое и с частным, пока нет деления на ноль.^[1]
Если ${ displaystyle f: (X, Sigma _ {1}) to (Y, Sigma _ {2})}$ и ${ displaystyle g: (Y, Sigma _ {2}) to (Z, Sigma _ {3})}$ измеримыми функциями, то и их композиция ${ displaystyle g circ f: (X, Sigma _ {1}) to (Z, Sigma _ {3})}$ .^[1]
Если ${ displaystyle f: (X, Sigma _ {1}) to (Y, Sigma _ {2})}$ и ${ displaystyle g: (Y, Sigma _ {3}) to (Z, Sigma _ {4})}$ измеримые функции, их состав ${ displaystyle g circ f: от X до Z}$ не должно быть ${ Displaystyle ( Sigma _ {1}, Sigma _ {4})}$ -измеримо, если ${ Displaystyle Sigma _ {3} substeq Sigma _ {2}}$ . В самом деле, две функции, измеримые по Лебегу, могут быть построены таким образом, чтобы их композиция не измерима по Лебегу.
(Точечно) супремум, инфимум, предел высшего, и ограничивать низший последовательности (т. е. счетного числа) действительных измеримых функций также измеримы.^[1]^[4]
В точечно предел последовательности измеримых функций ${ displaystyle f_ {n}: от X до Y}$ измеримо, где ${ displaystyle Y}$ - метрическое пространство (наделенное алгеброй Бореля). В общем случае это неверно, если ${ displaystyle Y}$ неметризуемо. Обратите внимание, что соответствующее утверждение для непрерывных функций требует более строгих условий, чем поточечная сходимость, таких как равномерная сходимость.^[5]^[6]

Неизмеримые функции

Функции с действительными значениями, встречающиеся в приложениях, обычно поддаются измерению; однако доказать существование неизмеримых функций несложно. Такие доказательства опираются на аксиома выбора по существу, в том смысле, что Теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора не доказывает существование таких функций.

В любой мере пространство ${ Displaystyle (Х, Sigma)}$ с неизмеримое множество ${ Displaystyle A подмножество X}$ , ${ Displaystyle А notin Sigma}$ , можно построить неизмеримую индикаторная функция:

{ displaystyle mathbf {1} _ {A} :( X, Sigma) to mathbb {R}, quad mathbf {1} _ {A} (x) = { begin {cases} 1 & { text {if}} x in A 0 & { text {else}}, end {case}}}

где ${ Displaystyle mathbb {R}}$ оснащен обычным Борелевская алгебра. Это неизмеримая функция, поскольку прообраз измеримого множества ${ displaystyle {1 }}$ неизмеримый ${ displaystyle A}$ .

Другой пример: любая непостоянная функция ${ displaystyle f: X to mathbb {R}}$ неизмерима относительно тривиального ${ displaystyle sigma}$ -алгебра ${ Displaystyle Sigma = { emptyset, X }}$ , так как прообраз любой точки в диапазоне представляет собой собственное непустое подмножество ${ displaystyle X}$ , который не является элементом тривиального ${ displaystyle Sigma}$ .

Смотрите также

Векторные пространства измеримых функций: ${ Displaystyle L ^ {p}}$ пробелы
Сохраняющая меру динамическая система

Заметки

^ ^а ^б ^c ^d Стрихарц, Роберт (2000). Путь анализа. Джонс и Бартлетт. ISBN 0-7637-1497-6.
^ Карозерс, Н. Л. (2000). Реальный анализ. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-49756-6.
^ Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения. Вайли. ISBN 0-471-31716-0.
^ Ройден, Х. Л. (1988). Реальный анализ. Прентис Холл. ISBN 0-02-404151-3.
^ Дадли, Р. М. (2002). Реальный анализ и вероятность (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-00754-2.
^ Aliprantis, Charalambos D .; Граница, Ким С. (2006). Бесконечный анализ измерений, Путеводитель автостопом (3-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.

внешние ссылки

[strichartz-1] а ^б ^c ^d Стрихарц, Роберт (2000). Путь анализа. Джонс и Бартлетт. ISBN 0-7637-1497-6.

[carothers-2] Карозерс, Н. Л. (2000). Реальный анализ. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-49756-6.

[folland-3] Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения. Вайли. ISBN 0-471-31716-0.

[royden-4] Ройден, Х. Л. (1988). Реальный анализ. Прентис Холл. ISBN 0-02-404151-3.

[dudley-5] Дадли, Р. М. (2002). Реальный анализ и вероятность (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-00754-2.

[aliprantis-6] Aliprantis, Charalambos D .; Граница, Ким С. (2006). Бесконечный анализ измерений, Путеводитель автостопом (3-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]