Неизмеримый набор - Non-measurable set

В математика, а неизмеримое множество это набор которому нельзя придать значимый «объем». В математическое существование таких наборов предназначена для предоставления информации о понятиях длина, площадь и объем в формальной теории множеств. В ZF, выбор влечет, что неизмеримые подмножества существуют.

Понятие неизмеримого множества с момента его появления вызывало большие споры. Исторически это привело Борель и Колмогоров сформулировать теорию вероятностей на множествах, которые должны быть измеримыми. Измеримые множества на прямой - это повторяющиеся счетные объединения и пересечения интервалов (называемые Наборы Бореля ) плюс-минус нулевые наборы. Эти множества достаточно богаты, чтобы включать все мыслимые определения множества, возникающие в стандартной математике, но они требуют большого формализма, чтобы доказать, что множества измеримы.

В 1970 г. Роберт М. Соловей построен Модель Соловая, что показывает, что это согласуется со стандартной теорией множеств без бесчисленного выбора, что все подмножества вещественных чисел измеримы. Однако результат Соловея зависит от существования недоступный кардинал, существование и непротиворечивость которой невозможно доказать в рамках стандартной теории множеств.

Исторические постройки

Первое указание на то, что может возникнуть проблема с определением длины для произвольного набора, поступило от Теорема Витали.[1]

Когда вы формируете объединение двух непересекающихся множеств, можно было бы ожидать, что мера результата будет суммой меры двух множеств. Мера с этим естественным свойством называется конечно аддитивный. Хотя конечно аддитивная мера достаточна для большей части интуиции области и аналогична Интеграция Римана, считается недостаточным для вероятность, потому что традиционные современные методы обработки последовательностей событий или случайных величин требуют счетная аддитивность.

В этом отношении плоскость похожа на линию; существует конечно аддитивная мера, продолжающая меру Лебега, инвариантная относительно всех изометрии. Когда вы увеличиваете измерение картина ухудшается. В Парадокс Хаусдорфа и Парадокс Банаха – Тарского показать, что вы можете взять трехмерный мяч радиуса 1, разрезать его на 5 частей, сдвинуть и повернуть части и получить два шара радиуса 1. Эта конструкция физически не реализуема. В 1989 г. А. К. Дьюдни опубликовал письмо своего друга Арло Липофа в колонке Computer Recreations журнала Scientific American где он описывает подпольную операцию «в южноамериканской стране» по удвоению золотых шаров с помощью Парадокс Банаха – Тарского.[2] Естественно, это было в апрельском номере, а "Арло Липоф" - анаграмма из "день дурака ".

пример

Рассматривать S, множество всех точек в единичном круге и действие на S группой г состоящий из всех рациональных поворотов (поворотов на углы, рациональные кратные π). Вот г счетно (точнее, г изоморфен ) в то время как S бесчисленное множество. Следовательно S разбивается на несчетное количество орбит под г. С использованием аксиома выбора, мы могли бы выбрать одну точку с каждой орбиты, получив несчетное подмножество со свойством, что все переводы (переведенные копии)[3] из Икс от г не пересекаются с Икс и друг от друга. Набор из них переводит разбиение круга на счетный набор непересекающихся множеств, которые попарно конгруэнтны (рациональными поворотами). Набор Икс будет неизмеримой для любой счетно-аддитивной вероятностной меры, инвариантной относительно вращения, на S: если Икс имеет нулевую меру, счетная аддитивность означала бы, что весь круг имеет нулевую меру. Если Икс имеет положительную меру, счетная аддитивность показала бы, что круг имеет бесконечную меру.

Последовательные определения меры и вероятности

В Парадокс Банаха – Тарского показывает, что невозможно определить объем в трех измерениях, если не сделана одна из следующих четырех уступок:

  1. Объем набора может измениться при его повороте.
  2. Объем объединения двух непересекающихся множеств может отличаться от суммы их объемов.
  3. Некоторые наборы могут быть помечены как «неизмеримые», и прежде чем говорить о его объеме, нужно будет проверить, является ли набор «измеримым».
  4. Аксиомы ZFC (Теория множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора), возможно, придется изменить.

Стандартная теория меры использует третий вариант. Один определяет семейство измеримых множеств, которое очень богато, и почти любой набор, явно определенный в большинстве разделов математики, будет в этом семействе. Обычно очень легко доказать, что данное конкретное подмножество геометрической плоскости измеримо. Основное предположение состоит в том, что счетно бесконечная последовательность непересекающихся множеств удовлетворяет формуле суммы, свойству, называемому σ-аддитивность.

В 1970 г. Соловей продемонстрировал, что существование неизмеримого множества для Мера Лебега невозможно доказать в рамках теории множеств Цермело – Френкеля в отсутствие дополнительной аксиомы (например, аксиомы выбора), показывая, что (при условии согласованности недоступный кардинал ) существует модель ZF, которая называется Модель Соловая, в котором счетный выбор выполняется, каждое множество измеримо по Лебегу и в котором полная аксиома выбора неверна.

Выбранная аксиома эквивалентна фундаментальному результату точечная топология, Теорема Тихонова, а также к соединению двух фундаментальных результатов функционального анализа, Теорема Банаха – Алаоглу и Теорема Крейна – Мильмана. Это также в значительной степени влияет на изучение бесконечных групп, а также кольцо и теория порядка (увидеть Теорема о булевом простом идеале ). Однако аксиомы определенность и зависимый выбор вместе достаточно для большинства геометрическая теория меры, теория потенциала, Ряд Фурье и Преобразования Фурье, делая все подмножества действительной прямой измеримыми по Лебегу.

Смотрите также

использованная литература

Заметки

  1. ^ Мур, Грегори Х., Аксиома выбора Цермело, Springer-Verlag, 1982, стр. 100-101
  2. ^ Дьюдни (1989)
  3. ^ Абрего, Бернардо М .; Фернандес-Мерчант, Сильвия; Льяно, Бернардо (январь 2010 г.). «О максимальном количестве переводов в наборе точек». Дискретная и вычислительная геометрия. 43 (1): 1–20. Дои:10.1007 / s00454-008-9111-9. ISSN  0179-5376.

Список используемой литературы

  • Дьюдни, А. К. (1989). «Изготовитель материи дает повод для размышлений». Scientific American (Апрель): 116–119. Дои:10.1038 / scientificamerican0489-116.